第3章 刚体力学(1)

描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义：在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
（力对转轴的力矩）
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解：
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘：m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解：
J 1 mR2 4
例3-6（P181） 挂钟摆锤的转动惯量
解：
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半 径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）

说明 ( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
第三章 刚体力学
如果刚体所受合力为零，同时 合力矩为零， 好，现在我们可以问一个问题： Fi 0 , Mi 0 则刚体会做什么样的运动？
R
2
dm m R
R
r
dr
一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设盘质量面密度为 ,在盘上取半径为r,宽为dr的圆环
m π R2
R 2 0
dm 2 π rdr
3
J r dm
R
0
1 2 π R mR 2πσr dr 2 2
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
ω ω0 βt θ θ 0 ω 0 t 12 β t 2 ω 2 ω 02 2 β ( θ θ 0 )
第三章 刚体力学
z
重要
刚体定轴转动的特点 O
第三章 刚体力学
5. 角速度正负的判断
0
0
逆时钟转动
顺时钟转动
第三章 刚体力学 （2）角量和线量的关系
z

s r
v r
an r 2
O
at r

dv d(r ) at r dt dt
（3）角量与线量的公式比较
x
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
平 动 刚体：外力作用下形状和大小都不发生变化的物体。 转 动 二、刚体的运动形式 ［实例］

d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件

(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1

注意： F应该理解为外力在转动平面内的分力
如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等于
各个力矩的代数和
Mi riFi
i
i
力是引起质点运动状态变化的原因，而力矩是引起
转动物体运动状态变化的原因
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
F ifi m iai
外力的合力
内力的合力
假设 Fi和fi 都是位于质
点i所在的转动平面内
得到：
质点i的加速度 Z Mz
df
dF
Odr
dm
dF
F i fi m ia i m ir i
转动平面
dFn
转动定律
将力分解为作用在质量元△m上
的切向力和法向力
Z Mz
Fifim iai
dF df
Finfinmiain
将切向分量式两边同乘r，
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J r2dm
Z
R 2dm R 2 dm m2R O
J是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
R dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
•转轴的位置
布，与转轴的位置结合决定转
•刚体的形状
轴到每个质元的矢径。
单个质点的转动惯量 J miri2 n
质点系的转动惯量 J (miri2)
i1
质量连续分布的刚 体的转动惯量
J r2dm m
国际单位制中转动惯量的单位为千克·米2（kg·m2）
转动惯量的定义及物理意义