高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3整体设计教学分析本节是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，是相互独立的，随机事件的概率是基础，在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有着广泛的应用． 三维目标通过总结和归纳本章的知识，使学生进一步了解随机事件，了解概率的意义，掌握各种概率的计算公式，能够用所学知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，让概率更好地为人类服务．重点难点概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同的教练带领下战斗力会有很大的不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防俱佳所向披靡，为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样需要不断归纳整理、系统总结、升华提高，现在我们就概率这一章进行归纳复习，引出课题．思路2.为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题． 推进新课新知探究提出问题1．随机事件的概率包括几部分？2．古典概型包括几部分？3．几何概型包括几部分？4．本章涉及的主要数学思想是什么？5．画出本章的知识结构图．讨论结果：1．随机事件的概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A 发生的频率m n总是接近于某一常数，且在它的附近摆动，这个常数就是事件A 的概率P (A )，概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2)概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大；概率越小，事件A 发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1]之间，从而任何事件的概率在[0,1]之间，即0≤P (A )≤1.概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(3)频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型(1)古典概型的概念①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)②每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 在使用古典概型的概率公式时，应该注意：①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．几何概型(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 几何概型研究的是随机事件的结果有无限多个，且事件的发生只与区域的长度(面积或体积)成比例的概率问题．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数，可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率，学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1)古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n ，二是事件A 所包含的结果数m ，最后化归为公式P (A )＝m n .(2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．如图1.图1应用示例思路1例1 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)．(1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率．活动：本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力．解：(1)设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P (A )＝6×56×6＝56. 抛掷2次，向上的数不同的概率为56.(2)设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．∵向上的数之和为6的结果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，∴P (B )＝56×6＝536.抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536. 例2 甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．活动：学生思考交流，教师引导，各种颜色的球被取到的可能性相同，属于古典概型，可以利用古典概型的知识解决．解：(1)设A 为“取出的两球是相同颜色”，B 为“取出的两球是不同颜色”，则事件A的概率为P (A )＝3×2＋3×29×6＝29.由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为P (B )＝1－P (A )＝1－29＝79. (2)随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N 个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n .第3步：计算n N 的值，则n N就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．思路2例1 已知单位正方形ABCD ，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求：(1)△AMB 面积大于等于14的概率； (2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图2，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内运动时，△ABM的面积大于等于14，由几何概型知，P ＝S 矩形CDFE S 正方形＝12. (2)如图3，以AB 为半径作圆弧，M 在阴影部分时，AM 的长度大于等于1, 由几何概型知，P ＝S 阴影S 正方形ABCD ＝1－14×π×12＝1－π4. 图2 图3例2 如图4，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：图4(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为μΩ＝16×16＝256(cm 2)．记“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为μA ＝π×62＝36π(cm 2)；事件B 所占区域面积为μB ＝π×42－π×22＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为μC ＝(256－36π) cm 2.由几何概型的概率公式，得(1)P (A )＝μA μΩ＝9π64；(2)P (B )＝μB μΩ＝3π64；(3)P (C )＝μC μΩ＝1－9π64. 点评：对于(3)的求解，也可以直接应用对立事件的性质P (A )＝1－P (A )求解．知能训练1．下列说法正确的是( )．A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C2．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是( )．A.16B.12C.13D.14答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A 为“三件产品全不是次品”，B 为“三件产品全是次品”，C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )．A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥答案：B4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8 g,4.85 g]范围内的概率是( )．A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.68答案：C5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )．A.12B.14C.13D.18答案：B6．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )． A.13 B.14 C.12D ．无法确定 答案：C7．如图5所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是( )．图5A.12B.34C.38D.18答案：C8．任意投掷3枚硬币，(1)写出所有可能出现的试验结果；(2)写出恰有一枚硬币正面朝上的可能的结果；(3)求出现一正二反的概率．解：(1)可能的结果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)8种可能．(2)其中恰有一枚硬币正面朝上有(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)3种不同的结果．(3)概率为38. 9．有两组相同的牌，每组三张，它们的牌面数字分别是1,2,3，现从每组牌中各摸出一张牌，问：(1)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？(2)两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是多少？解：(1)和为4的概率最大；(2)两张牌的牌面数字和为4的概率为13；(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是49. 拓展提升1．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为＝3×2－12×223×2＝23. 2．如图6，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？图6活动：学生读题，教师引导提示，因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．解：设A 为“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm 2)，两个等腰直角三角形的面积的和为2×12×23×23＝529(cm 2)，带形区域的面积为625－529＝96(cm 2)，∴P (A )＝96625. 课堂小结同统计一样，概率也是一门实践性很强的数学分支，与日常生活联系紧密．现实生活中存在大量的随机事件，在一次试验中它的发生是随机的，可是借助大量的重复试验就会发现它的发生又具有某种规律，体现了“随机性中蕴涵规律性，偶然性中蕴涵着必然性”的唯物辩证法观点，概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题等都是要掌握的重点内容，内容涉及了今年的高考题，要切实注意，同时由于这部分内容与其他内容联系较少，要多加练习，达到熟练的目的．作业复习题三任选3题．设计感想这章内容与其他数学知识联系较少，其解题方法独特，对同学们的思维能力、分析及解决问题能力要求较高．钻研课本，理解概念，弄清公式的“来龙去脉”，尤其是公式中字母的内涵．在此基础上，适当地做一些练习，并及时归纳解题方法，不断反思及加深自己对数学知识(概念、公式等)的理解．备课资料备选习题1．从五件正品一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率是( )．A ．1 B.12 C.13 D.23答案：C2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是( )．A.12B.13C.14D.253．现有5个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进3个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是( )．A.110B.35C.310D.910答案：D4．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有( )．A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种答案：C5．若连掷两次骰子，分别得到的点数是m ，n ，将m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是( )．A.1136B.16C.14D.736答案：A6．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是( )．A ．C 39C 25B ．C 310C 25 C ．A 310A 25D ．C 410C 25答案：A7．两个事件互斥是两个事件对立的________条件．( )．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要答案：B8．下列事件中，随机事件的个数是( )．①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ②某地1月1日刮西北风 ③当x 是实数时，x 2≥0 ④一个电影院某天的上座率超过50%A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B9．从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是( )．A.14B.12C.13D.34答案：D10．一箱内有10张标有0到9的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )．A.13B.35C.25D.14答案：C11．盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是( )．A.4445B.15C.145D.8990答案：A12．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是( )．A ．30%B ．20%C ．80%D ．以上都不对答案：C13．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )． A.12 B.34 C.14 D.1314．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y2＝25外的概率是( )．A.536B.712C.512D.13答案：B15．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是( )． A.12 B.13 C.14 D.15答案：D16．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )．A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面答案：C17．某人向图7的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是( )．图7答案：B18．袋子中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．求：(1)3个全是红球的概率；(2)3个颜色全相同的概率；(3)3个颜色不全相同的概率；(4)3个颜色全不相同的概率．解：(1)3个全是红球的概率为127；(2)3个颜色全相同的概率为327＝19； (3)“3个颜色不全相同”的概率为1－19＝89；(4)“3个颜色全不相同”的概率为29. 19．小张去南京出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率；(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？答案：(1)0.7；(2)0.8；(3)可能乘火车或轮船去，也可能乘汽车或飞机去．。
