辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知a ，b 为两条直线，，为两个平面，且满足，，，αβa α⊂b β⊂l αβ= ，则“与异面”是“直线与l 相交”的（ ）//a l a b b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）22113x y k k +=--k A ．B ．1k <13k <<C ．D ．或3k >1k <3k >3．两平行直线与之间的距离为（）320mx y --=4670x y --=A ．B ．C ．D ．4．设AB 是椭圆（）的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作22221x y a b +=0a b >>AB 的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）111121991||||||||||F A F P F P F P F B +++++ A ．B ．C ．D ．98a99a100a101a5．已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则A 240x y +-=B 22(1)1x y ++=(1,0)C 的最小值为（ ）2AB BC +A ．B ．C ．D ．6．在四棱锥中，平面，二面角的大小为P ABCD -PA ⊥,ABCD AB BC ⊥P CD A --，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ 45,2AD CD ︒+=P A B C D ,,,,O O ）A ．B ．C ．D ．3π8π37．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）C ()()222229xy xy +=-A ．曲线的图象不关于原点对称C B ．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C C ．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为y kx =C k (],1-∞-D ．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3C O 8．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一A B PA PBλ=0λ>1λ≠P 个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，AB 21AB λλ⋅-故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，1111ABCD A B C D -P 2PA PB=则点的轨迹长度为（ ）P A ．B ．C ．D ．2π4π34π3(2π二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法命题正确的是（ ）A ．已知，，则在上的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b 110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．若直线l 的方向向量为，平面的法向量为，则()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ //l αC ．已知三棱锥，点P 为平面ABC 上的一点，且O ABC -，则()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R12m n -=D ．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底p mx ny kz =++,,x y z p 下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则{},,x y z (,,)m n k p {,,}a b c (1,2,3)在基底下的坐标为p {,,}a b a b c -+13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知，是双曲线E ：的左、右焦点，过作倾斜角为1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>1F 的直线分别交y 轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是6πM P 1MP MF =（ ）A ．B．的离心率等于123F PF π∠=E C ．双曲线渐近线的方程为D ．的内切圆半径是y =12PF F 1c ⎛ ⎝11．在直三棱柱中，，，M 是的中点，N111ABC A B C -12AA AB BC ===π2ABC ∠=AB 是的中点，点P 在线段上，点Q 是线段上靠近M 的三等分点，R 是线段11A C 1B NCM 的中点，若面，则（ ）．1AC PR ∥1B CMA ．B ．P 为的中点1PR B Q∥1B N C ．三棱锥的体积为D ．三棱锥的外接球表面积为1P B CM -23P ABC -748π81三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆：与圆：交于A ，B 两点，当变1C 2216x y +=2C 22160x y kx y m ++++-=k化时，的最小值为．ABm =13．如图，已知四边形ABCD 是菱形，，点E 为AB 的中点，把4AB BD ==沿DE 折起，使点A 到达点P 的位置，且平面平面BCDE ，则异面直线ADE V PDE ⊥PD 与BC 所成角的余弦值为 ．14．倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲l 2222:1(0)3x y C m m m -=>1F 线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则,A B AB C 2F 直线的斜率为.l四、解答题（本大题共5小题）15．如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，111ABC A B C -1AA 5AB =，点分别为的中点.13,4AA AC BC ===,P D 1,AB C B(1)求证：；BC PD ⊥(2)求点到平面的距离C 1PBC 16．已知圆.22:4O x y +=(1)直线截圆的弦长为的值.430x y a -+=O a(2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点O x y ,A B Q 的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.Q O 17．如图，四棱锥中，P ABCD -，，，平面平面，且4AB PA ==2CD CB ==PD =60ABC ∠=︒PAB ⋂PCD l =平面，平面平面.//l ABCD PAD ⊥ABCD(1)求四棱锥的体积；P ABCD -(2)设Q 为上一点，若，求二面角的大小.PC QA QB =Q AB C --18．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．M C x P (1)求椭圆的方程；C (2)点是椭圆C 上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；R M MPR 24MR(3)过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，P C D E D E N FP 直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．NE MF Q T DF TQ 19．在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以O xyz -(,,)u a b c =()0000,,P x y z l 为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为u0P l ；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式000(0)x x y y z z abc a b c ---==≠αu 0P α方程表示为.()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为l 112x z-==1α，求直线与平面所成角的正弦值；y +-50z +=l 1α(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点2α2320x y z ++-=(1,2,1)P 到平面的距离;P 2α(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S 求几何体的体积；S （ii ）若集合，记集合中所有点构成的{(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N 几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.T T答案1．【正确答案】C【详解】当“与异面”，若直线与l 不相交，由于，则，a b b ,b l β⊂//b l 又，则，这与和异矛盾，故直线与l 相交，//a l //a b a b b 故“与异面”是“直线与l 相交”的充分条件；a b b 当“直线与l 相交”，若与不异面，则与平行或相交，b a b a b 若与平行，又，则，这与直线和l 相交相矛盾；a b //a l //l b b 若与相交，设，则且，得，a b a b A = A α∈A β∈A l ∈即A 为直线的公共点，这与 相矛盾；,a l //a l 综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l 相交”的必要条件；a b a b b 所以“与异面”是“直线与l 相交”的充分必要条件.a b b 故选：C.2．【正确答案】B【详解】若方程表示双曲线，22113x y k k +=--则，得.()()130k k --<13k <<故选：B3．【正确答案】C【详解】由题意知，所以，32467m --=≠--2m =则化为，4670x y --=72302x y --=所以两平行直线与之间的距离为23x y --20=4670x y --=d ==故选：C ．4．【正确答案】D【详解】设椭圆右焦点为F 2，由椭圆的定义知，2，，，12||||2(1i i F P F P a i +==⋯99)．∴99121(||||)299198iii F P F P a a=+=⨯=∑由题意知，，，关于轴成对称分布，1P 2P ⋯99Py ．∴9999112111(||)(||||)992i i i i i F P F P F P a ===+=∑∑又，11||||2F A F B a +=故所求的值为．101a 故选：D ．5．【正确答案】C 【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的()()011,0,,D x B x y 2BC BD=D 坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得2AB BC+()2AB BD +AB BD+解.【详解】设，不妨令，()()011,0,,D x B xy 2BC BD=则=整理得，()2221103134x y x ++=-+110484x x x ++又，所以，()22113133x y ++=2011044810x x x x ---=则，解得，()()001212410x x x +--=012x =-所以存在定点，使得，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭2BC BD=要使最小，即最小，2AB BC+()2AB BD +则，B ，D 三点共线，且DA 垂直于直线时取得最小值，如图所示，A 240xy +-=所以的最小值为．2AB BC+故选C.【关键点拨】设，令，将所求转化为求的最小值，()()011,0,,D x B x y 2BC BD=AB BD+是解决本题的关键.6．【正确答案】C【详解】由题设，，，，在一个圆上，故，又，A B C D 180ADC ABC ∠+∠=︒AB BC ⊥所以，即，故是四边形外接圆的直径，90ADC ∠=︒AD CD ⊥AC ABCD由平面，，，平面，则，PA ⊥ABCD BC CD AC ⊂ABCD PA BC ⊥，，PA CD ⊥PA AC ⊥由，，平面，则平面，平面，则，PA AB A = PA AB ⊂PAB ⊥BC PAB PB ⊂PAB BC PB ⊥由，，平面，则平面，平面，则PA AD A= PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PA ⊂PAD ，CD PA ⊥故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外PBC △PCD △PCA V PC PC P ABCD -接球球心，且为二面角的平面角，故，PDA ∠P CD A --45PDA ∠=︒因为，，45PDA ∠=︒2AD CD +=令且，则，，AD x =02x <<PA x =2CD x =-故，AC ==所以外接球半径，11222PC R ====当时，的表面积的最小值为．23x =min R O 284ππ3⨯=故选：C7．【正确答案】D【详解】对于A ，结合曲线：，将代入，C ()()222229x y x y +=-(),x y --方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A 错误；C 对于B ，令，则，解得，0y =()2229x x=3x =±令，则，解得，1x =±()()222191y y +=-21y =令，则，解得，2x =±()()222494y y +=-22y =<故曲线经过的整点只能是，B 错误；C ()()()0,0,3,0,3,0-对于C ，直线与曲线：必有公共点，y kx =C ()()222229x y x y +=-()0,0因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，y kx =C ()()222229x y xy y kx⎧+=-⎪⎨=⎪⎩()0,0即只有一个解为，即时，无解，()()24222191x k x k +=-0x =0x ≠()()24222191x k x k +=-故，即实数的取值范围为，C 错误，210k -≤k (][),11,-∞-+∞ 对于D ，由，可得，时取等号，()()222229xy x y +=-()22222299x y x y x y -+=≤+0y =则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D 正确，CO 3=≤d 故选：D8．【正确答案】C【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O 位置及半径，P 在空间内轨迹为以O 为球心的球，球与面，，交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，ABCD 11ABB A 11BCC B 求出在截面内的圆弧的长度即可.【详解】在平面中，图①中以B 为原点以AB 为x 轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，(),0O a r ，2222,2,32123PA PA PB r AB PB=∴=∴=⋅=⨯=- 设圆O 与AB 交于M ,由阿氏圆性质知，2AM MBλ==，||2||2,||2||42BM BO a AM BM a =-=-∴==- ，422633,1,(1,0)a a a a O ∴-+-=-=∴=∴P 在空间内轨迹为以O 为球心半径为2的球，若P 在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M ，R ，所以P 在四边11ABB A 1AB BB ，形内的轨迹为，11ABB A MR在中2,1,RO BO == Rt O RB △，，60ROB ∠= π22π33MR∴⨯==当P 在面内部的轨迹长为，∴11ABB A 2π3同理，当P 在面内部的轨迹长为，ABCD 2π3当P 在面时,如图③所示，11BCCB 面，平面截球所得小OB ⊥11BCC B 11BCC B 圆是以B 为圆心，以BP 为半径的圆，截面圆与分别交于，且1BB BC ，R Q ，BP ===P 在正方形内的轨迹为，∴11BCC BRQ ，∴π2RQ=综上：P 的轨迹长度为.224πππ333+=故选C.9．【正确答案】CD【分析】根据投影向量公式计算判断A ，应用向量共线判断B ，判断四点共面判断C ，根据基底运算判断 D.【详解】对于A ，由于，，则在的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b ，故A 错误；()()0010,0,10,0,111a b b b b ⋅+-⎛⎫⋅=-= ⎪⨯⎝⎭对于B ，因为直线l 的方向向量为，平面的法向量为，所以()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以或，B 错误；·220e n =-+=//l αl α⊂对于C ，因为P 为平面ABC 上的一点，所以四点共面，,,,P A B C 则由空间向量共面定理以及可得，()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R，所以，C 正确；112m n +-=12m n -=对于D ，在单位正交基底下的坐标为，即，p {,,}a b c ()1,2,323a b c p +=+ 所以在基底下满足：p{},,a b a b c-+ ，()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc -+++=++-+23a b c =++ 故，，，可得，，，1x y +=2y x -=3z =12x =-32y =3z =则在基底下的坐标为，故D 正确.p {,,}a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭故选CD.10．【正确答案】ACD 【详解】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，,M O 1PF 12F F 12PF F 2PF MO ∥2PF x ⊥A 选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A 正确；1PF 6π123F PF π∠=B 选项中，直角中，，，，12PF F 122F F c =2PF =1PF =所以，得：，故B 不正确；122PF PF a -====ce aC 选项中，由，即，即，即222c a b =+223c a =2223a b a +=ba =所以双曲线的渐近线方程为：，故C 正确；by x a =±=D 选项中，的周长为，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有12PF F (2c +，得：，故D 正确(22cr c +=1r c ⎛= ⎝故选：ACD.11．【正确答案】ACD【详解】对于选项AB ，连接并延长交于S ，连接，BQ CA NS由平面几何知识可得：S 是的中点，且N ，R ，S 三点共线，是重心，CA Q ABC V 因为面，平面，平面平面，所以，PR ∥1B CM PR ⊂1B NSB 1B NSB 11B CM B Q =1PR B Q ∥作交于，由直棱柱性质有，因此是平行四边形，1//SK B Q 1B N K 1//B N BS 1B KSQ ，111133B K SQ BS B N===又由平面几何知识知是中点，因此是中点，R NS P NK 从而，即P 为上靠近N 的三等分点，所以A 正确，1111212233NP NK B N B N ==⨯=1B N B 错误；对于选项C ，，因此是平行四边形，所以与互相平分，123B P BQ BS ==1B PQB BP 1B Q 从而与点到平面的距离相等，三棱锥的体积等于三棱锥P B 1B CM1P B CM -的体积，1B B CM-而，所以C 正确；11112212323B B CM B BCM V V --==⨯⨯⨯⨯=对于选项D ，∵的外心是S ，由得平面，ABC V 1//NS CC NS ⊥ABC ∴三棱锥的外接球球心一定在直线上，P ABC -NS设三棱锥的外接球球心为O ，半径为R ，，P ABC -OS h =则，22222222R OA SA SO hh ==+=+=+，()222222238249R OP NP ON h h h ==+=+-=-+∴，解得：，，2238249h h h +=-+59h =22518728181R =+=球表面积为，所以D 正确．27484ππ81S R ==故选：ACD ．12．【正确答案】2±【详解】与相减，2216x y +=22160x y kx y m ++++-=可得两圆的公共弦所在线的方程为：，kx y m ++由圆：可得，圆的半径为4， 1C 2216x y +=()10,0C圆心到AB 直线的距离为1C d =，AB =211k +≥所以时等号成立，≥0k =又因为的最小值为|AB |所以，解得.=2m =±故答案为.2±13．【正确答案】/340.75【详解】因为，故或其补角就是异面直线PD 与BC 所成的角，//BC AD PDA ∠连接PA ，易知，，4PD AD ==2PE AE ==因为平面平面，菱形中，，PDE BCDE DE =ABCD AB BD =即是正三角形，为中点，则，所以，又，ABD E AB AE DE ⊥PE DE ⊥BE DE ⊥所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，PEB ∠PDE BCDE 因为平面平面，PDE ⊥BCDE 所以，，所以，90PEB ∠= 90PEA ∠=PE AE ⊥所以中，PA ==PDA由余弦定理得，2223cos 24PD AD PAPDA PD AD+-∠===⋅所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为．34故答案为.3414．【正确答案【详解】设中点为，两渐近线可写成，设，AB M 2203x y -=()()1122,A x y B x y 则，且1212(,)22x x y y M ++221122220303x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②①-②可得，()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+整理得，，即(*)，121212122321y y y y x x x x +-⋅=+-13OM AB k k ⋅=如图，在中，，则,12Rt F MF △1211||||||2OM F F OF ==212MOF MF O ∠=∠故，即，121212tan tan tan 21tan MF O MOF MF O MF O ∠∠=∠=-∠221ABOM ABk k k =-将此式代入（*）得，解得依题意，，则.2221,13AB AB k k =-21,7AB k =0AB k>AB k =故答案为15．【正确答案】(1)证明见解析；【详解】（1）由，得，则，即5,3,4AB AC BC ===222AB AC BC =+90ACB ∠=︒，BC AC ⊥由平面，平面，则，1AA ⊥ABC ⊂BC ABC 1AA BC ⊥而，平面，于是平面，连接，1AA AC A = 1,AA AC ⊂11ACC A ⊥BC 11ACC A 1AC 又平面，则，由点分别为的中点，得，1AC ⊂11ACC A 1BC AC ⊥,P D 1,AB C B 1//AC PD 所以.BC PD ⊥（2）连接，交于点E ，连接BE ，过点C 作，F为垂足，1AC 1AC CF BE ⊥由，侧棱垂直于底面，得且，13AA AC ==1AA 1CE AC ⊥CE =又，，平面CBE ，则平面CBE ，1CB AC ⊥CB CE C = ,CB CE ⊂1AC ⊥又平面CBE ，则，又，，平面，CF ⊂1CF AC ⊥CF BE ⊥1BE AC E = 1,BE AC ⊂1ABC 因此平面，即CF 为点C 到平面的距离，CF ⊥1BC A 1PBC 由平面，平面，得，⊥BC 11ACC A CE ⊂11ACC A BC CE ⊥BE ==所以点C 到平面的距离．1PBC BC CECF BE⋅===16．【正确答案】(1)5a =±(2)有，公共弦长为【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得O 430x y a -+=5a d =2245a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；5a =±（2），设，(2,0),(0,2)A B (,)Q x y 2222(2)2(2)x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦化简得：，即，224840x y x y ++-+=22(2)(4)16x y ++-=所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，Q ()2,4E 圆心距，，两圆相交，OE ==4224-<<+所以两圆有两个公共点，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，220x y -+=圆心到公共弦的距离为.()0,0==17．【正确答案】(1)6；(2).45︒【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，//l ABCD l ⊂PAB PAB ⋂ABCD AB =所以，同理得，所以，//l AB //l CD //AB CD 因为，，，所以，4AB =2BC CD ==60ABC ∠=︒120BCD ∠=︒所以且30DBCBDC ∠=∠=︒BD ===所以且，30DBA ∠=︒2AD ===底面梯形的高为，ABCD sin sin 30h BD ABD =∠==所以底面梯形的面积ABCD 1(24)2S =⨯+=在中，，，PAD △4PA =2AD=PD =所以，所以，222PA AD PD =+PD AD ⊥因为平面平面，平面平面，，平面PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PD AD ⊥PD ⊂，PAD 所以平面，PD ⊥ABCD 所以四棱锥的体积.P ABCD -11633V S PD =⋅=⨯=（2）因为，，所以即，2AD =BD =4AB =222AB AD BD =+BD AD ⊥所以，，两两垂直，可以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系DB AD DP ，D xyz -则，，，，，()0,0,0D A (2,0,0)()0,B C (−1,3,0)(0,0,P 所以，，，(1,CP =()3,CA =()CB =设，(,,)CQ CP λλ==所以，，()3,,QA CA CQ λ=-=--()1,QB CB CQ λ=-=-- 因为，所以，QA QB =222222(331213)(1)(112)()λλλλλλ-++=+--++解得，因此，，12λ=12QB ⎛=⎝5,2QA ⎛= ⎝ 设为平面的法向量，则，m =(x,y,z )PAQ QB m QA m ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩则，102502QB m x y QA m x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩取，则，即，1y=x =2z =m =因为平面，所以平面的法向量为，PD ⊥ABCD ABCD ()0,0,1n =设二面角为，则，Q AB C --θcos 所以由图二面角的大小为.Q AB C --45︒18．【正确答案】(1)22198x y +=(2)83y x =(3)2【详解】（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥2c 则，1c =将代入中，得，x c =2222:1(0)x y C a b a b +=>>2b y a =±则，结合，283b a =2221a b c -==从而，，29a =28b =椭圆C 方程为；∴22198x y +=（2）由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，M C 0故设，与椭圆联立，:l x my n =+22198x y +=得，由椭圆与直线只有一个交点，()22289168720m y mny n +++-=令，即①，0∆=22890m n -+=又过，则②，:l x my n =+81,3⎛⎫⎪⎝⎭813m n =+联立①②可得，则，即得点为．39m n =-⎧⎨=⎩:39l x y =+-P ()9,0设原点，由，，O (0,0)1891223OPM S =⨯⨯= 24MPRS = 故，2MPR OPM S S = 从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，R l O l 2R l O 又在椭圆上，从而，关于对称，R M R O 故直线方程为MR 83y x =（3）设，，，则，()11,D x y ()22,E x y DP PE λ=()()11229,9,x y x y λ--=-则①，212199x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩又由，()()22112222289728972x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得②，1212121289721111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-结合①②可得，，254x λλ-+=又，，，，()9,0P F (1,0)()5,0N ()22,E x y 则直线的方程为，NE ()22055y y x x -=--轴，直线与交于，MF x ⊥NE MF Q 则，故，1Q x =221245Q y y y y x λ==-=-故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,DQ y ⊥()11222TQ DF a c =≤+=D 故线段的最大值为.TQ 219．【正确答案】(1)(3)（i ）16；（ii ）2π3【详解】（1）因为直线的标准式方程为，l 112x z-==所以直线的方向向量为，l ()1,2u =又平面的点法式方程可表示为，1αy +-50z +=所以平面的法向量为，1α11)n =-所以，111cos ,u n u n u n ⋅===所以直线与平面所成角的正弦值为l 1α（2）因为平面的点法式方程可表示为，2α2320x y z ++-=所以平面的法向量为，2α(2,3,1)n =设点是平面上一点，则，()000,,Q x y z 2α000232x y z ++=不妨令，则，即点是平面上一点，00x y ==02z =(0,0,2)Q 2α所以，()1,2,1PQ =--所以点到平面的距离P 2α||||PQ n d n ⋅==（3）（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面 ，2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩然后得到几何体为S 因为集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x yz =+≤≤M S 所以几何体为底面为边长为的长方体，S 2所以的体积为.S 2216⨯=（ii ）由（i ）可知，的图像是一个完全对称(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时，0,0,0x y z >>>得，{}(,,)2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面得二面角，2,2x y y z +=+=所以两个平面的法向量分别为，()()231,1,0,0,1,1n n == 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.232312n n n n -=- 2π3。
![2023-2024学年(上)期中学业质量联合调研抽测高二数学试题[含答案]](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/3590ed6fbb1aa8114431b90d6c85ec3a87c28bf8.webp)
