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§2.1 分离变量法求解偏微分方程

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第二章 分离变量

第二章 分离变量

解 这里所考虑的方程仍是（2.1） ，所不同的只是在 x＝l 这一端的边 界条件不是第一类齐次边界条件 u
u 件 x
x l
x l
0 ，而是第二类齐次边界条
0 。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与
T (t ) a2T (t ) 0 ， X ( x) X ( x) 0 ，但条件（2.6）应 （2.5）
代入条件（2.6）′得
A 0 B cos l 0
由于B≠0，故cosβl＝0，即
(2n 1) (n 0,1, 2,3,) 2l
从而求得了一系列特征值与特征函数。
(2n 1)2 2 n 4l 2
(2n 1) X n ( x) Bn sin x(n 0,1, 2,3,) 2l
的解。这时 l＝10，并给定 a2 10000 （这个数字与 弦的材料，张力有关） 。
直接应用已经得到的结果公式：
得到
Bn 0
0, n为偶数 1 10 n 2 An x(10 x)sin xdx 3 3 (1 cos n ) 4 5000 0 10 5n 5n3 3 ，当n为奇数
因此，所求的解为
1 (2n 1) x u ( x, t ) 3 sin cos10(2n 1) t 3 5 n0 (2n 1) 10 4

例2 解定解问题
2u 2u a2 2 , 0 x l, t 0 t 2 x u u x 0 0, x l 0, t 0 x u 2 u t 0 x 2lx, t t 0 0, 0 x l
n=1的驻波除两端x=0和x=l外没有其它节点，它的波长2l在所有 本征振动中是最长的；相应地，它的频率a/2l在所有本征振动中 是最低的。这个驻波叫作基波。n>1的各个驻波分别叫作n次谐波 n次谐波的波长2l/n是基波的1/n，频率na/2l则是基波的n倍。

微分方程的求解方法例题

微分方程的求解方法例题

微分方程的求解方法例题1. 基础概念简介在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。

它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。

求解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。

常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。

常微分方程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。

2. 常见的求解方法2.1 分离变量法分离变量法适用于一阶常微分方程。

它的基本思想是将未知函数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。

例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为y dy = x dx。

将两边同时积分得到：∫y dy = ∫x dx解这两个积分后得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中C为常数。

2.2 变量替换法变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。

它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。

例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。

我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。

2.3 特征方程法特征方程法适用于线性常系数常微分方程。

它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。

例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y= e^(rx)，其中 r 是未知常数。

将这个假设带入原方程得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。

解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。

因此，通解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。

2.4 数值方法数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。

线性偏微分方程的解法-分离变量法

线性偏微分方程的解法-分离变量法

由 2.1.1 中 例 题 （ 1 ） 可 知 ， 当 f (x,t ) ≡ 0 时 ， 定 解 问 题 的 本 征 函 数 族 为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发 或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数

偏微分方程的几种解法

偏微分方程的几种解法

偏微分方程的几种解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

解决PDEs的问题是科学研究和工程实践中的一个关键任务。

本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。

一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。

其基本思想是将未知函数表示为一系列互相独立的分离变量的乘积，然后将方程两边同时关于这些变量积分。

这样就可以得到一系列常微分方程，然后通过求解这些常微分方程得到原偏微分方程的解。

例如，对于二维的泊松方程（Poisson Equation）∇²u = f，可以假设u(x, y) = X(x)Y(y)，将其代入方程后得到两个常微分方程，然后分别求解这两个常微分方程，最后将其合并即可得到泊松方程的解。

分离变量法的优点是简单易行，适用于一些特定的偏微分方程。

但也存在一些限制，例如只适用于线性齐次方程、边界条件满足一定条件等。

二、变量替换法变量替换法是另一种常见的解偏微分方程的方法。

通过合适的变量替换，可以将原方程转化为一些形式简单的方程，从而更容易求解。

例如，对于热传导方程（Heat Equation）∂u/∂t = α∇²u，可以通过变量替换u(x, t) = v(x, t)exp(-αt)将其转化为∂v/∂t = α∇²v，然后再利用分离变量法或其他方法求解新方程。

变量替换法的优点是可以将一些复杂的偏微分方程转化为简单的形式，便于求解。

但需要根据具体问题选择合适的变量替换，有时可能会引入新的困难。

三、特征线法特征线法是解一阶偏微分方程的一种有效方法。

通过寻找方程的特征线，可以将方程转化为常微分方程，从而更容易求解。

例如，对于一维线性对流方程（Linear Convection Equation）∂u/∂t + c∂u/∂x = 0，其中c为常数，可以通过特征线法将其转化为沿着特征线的常微分方程du/dt = 0，然后求解得到解。

偏微分方程理论与实际问题求解方法研究

偏微分方程理论与实际问题求解方法研究

偏微分方程理论与实际问题求解方法研究导言：偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然现象中变化与发展过程的数学模型，被广泛应用于物理、工程、金融等领域。

解决实际问题涉及到偏微分方程的求解方法研究，既需要深入理解偏微分方程的理论基础，又需要掌握有效的数值计算方法。

本文将对偏微分方程理论与实际问题求解方法展开研究讨论。

1. 偏微分方程的基本理论：1.1 偏微分方程的分类：偏微分方程可分为椭圆型、双曲型和抛物型三种类型。

椭圆型方程描述的是静态问题，如静电场的分布；双曲型方程描述的是波动问题，如声波传播；抛物型方程描述的是扩散和传热问题，如热传导方程。

1.2 解的存在性和唯一性：对于某些偏微分方程，解的存在性和唯一性是一个重要的问题。

根据边界条件、初值条件等给定条件，可以证明方程的解是存在且唯一的。

这为实际问题的数学建模提供了基础。

2. 偏微分方程的求解方法：2.1 分离变量法：对于某些特殊形式的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。

该方法通过假设方程的解可以分解为若干个单变量的函数，将偏微分方程转化为一系列常微分方程，并通过求解常微分方程得到解。

2.2 特征线法：双曲型和抛物型偏微分方程常常可以利用特征线法求解。

该方法通过沿着特征线方向引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解。

2.3 变换法：某些偏微分方程可以通过变换法将其转化为简化形式。

常见的变换包括小量变换、相似变量变换、齐次化变换等。

通过变换后的方程求解，可以获得原方程的解。

2.4 数值计算方法：对于复杂的偏微分方程，常常无法得到解析解。

此时需要借助数值计算方法进行求解。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法等。

这些方法将偏微分方程离散化，通过数值近似求解。

3. 实际问题求解方法：3.1 实例1：扩散方程的数值求解扩散方程是描述物质扩散过程的重要方程。

偏微分方程的变量分离法

偏微分方程的变量分离法

偏微分方程的变量分离法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域的建模与分析中。

其中，变量分离法（Separation of Variables）是一种常见且有效的解PDE的方法。

本文将详细介绍偏微分方程的变量分离法及其应用。

一、变量分离法概述偏微分方程是含有多个独立变量和它们的偏导数的方程。

变量分离法的基本思想是将这些变量进行合理的分离，得到多个单变量的常微分方程，再对这些方程进行求解。

通常情况下，变量分离法适用于具有线性的PDE，它将PDE的解转化为一系列的常微分方程的解，通过求解这些常微分方程来得到PDE的解。

二、一维变量分离法案例以一维波动方程为例，来说明一维变量分离法的应用过程。

波动方程是描述波动现象的重要方程，在物理学中有着广泛的应用。

一维波动方程的数学表达式为：∂²u/∂t² = v² ∂²u/∂x²其中，u(x,t)是表示波动的函数，v是波速。

为了使用变量分离法解这个一维波动方程，我们假设u(x,t)可以被分解为两个互不相依的函数U(x)和T(t)的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)将此形式的解代入波动方程，可以得到两个常微分方程：[T''(t)/T(t)] = (v²X''(x)/X(x)) = -λ²其中λ²是常数。

解这两个方程得到：T''(t)/T(t) = -λ²X''(x)/X(x) = -λ²/v²这两个常微分方程的解分别为：T(t) = A*cos(λvt) + B*sin(λv t)X(x) = C*cos(λx) + D*sin(λx)其中A、B、C、D为待定常数。

将这两个解合并，可以得到原偏微分方程的解：u(x,t) = [A*cos(λvt) + B*sin(λvt)] * [C*cos(λx) + D*sin(λx)]三、二维变量分离法案例除了一维波动方程，变量分离法也可以应用于二维偏微分方程的求解。

第二章 分离变量法

为加深理解，下面扼要分析一下级数形式解（2.11）得物理意义。先 分析一下级数中每一项 的物理意义。分析的方法时：先固定时间t，看看在任一指定时刻波是 什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。
把括号内的式子改变一下形式，可得 其中，，。
当时间t取定值t0时，得 其中是一个定值。这表示再任一时刻，波的形状都是一些正弦曲线，只 是它的振幅随时间的改变而改变。
如果将初始条件（2.3）代之以，则相应的定解问题的解为 当时，它平均收敛于（2.11）所给的形式解u(x,t)。由于Sn(x,t)既满足方 程（2.1）及边界条件（2.2），有近似地满足初始条件（2.3），所以， 当n很大时，可以把Sn(x,t)看成是原问题的近似解。所谓近似平均收敛的 极限u(x,t)，具有实际意义。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解，它的主要步骤大体为：
一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程
的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。
二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以
确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界
条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非
需要指出的是，当φ(x),ψ(x)不满足这里所述的条件时，由 （2.11～2.12）所确定的函数u(x,t)不具备古典解的要求，它只能是原定 解问题的一个形式解。由实变函数的理论可知，只要φ(x),ψ(x)在 [0,l]上是L2可积的，函数列 分别平均收敛[即按L2中的“距离”（范数）收敛]于φ(x),ψ(x)，其 中Ck，Dk由（2.12）确定。
从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步 骤是确定特征函数与运动叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因

偏微分方程的解法

10
只表示P(x)一个确定的函数.
3、一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法
由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为
y C ( x )e
P ( x ) dx
(5)
对（5）式求导得 P ( x ) dx P ( x ) dx dy C ( x )e P ( x )C ( x )e . (6) dx 将(5)和(6)代入方程(3)并整理得
化简，得
10x 10 y C
(其中C C1 ln10)
把初始条件 y x1 0 代入上式 ，得 C 11．
于是所求微分方程的特解为
10x 10 y 11．
5
二、齐次型微分方程
1. 定义 形如
dy y f( ) dx x ( 2)
的微分方程， 称为齐次型微分方程．
x
用常数变易法，设非齐次方程的通解为
1 y C ( x) 2 x
则 1 2 y C ( x ) 2 3 C ( x ) x x
把 y 和 y 代入原方程并化简 ， 得 C ( x) x 1.
1 2 C( x) x x C 两边积分，得 2 1 1 C 因此，非齐次方程的通解为 y 2 2 x x 1 将 初 始 条 件y x 1 0 代 入 上 式 ， 得C . 故所求微分方程的特解为 2
2
3．步骤
(1)分离变量，得 dy f ( x )dx g( y ) (2) 两边积分，得
( g ( y ) 0)

(3) 求得积分，得
dy f ( x )dx g( y )
G( y ) F ( x ) C
1 其 中G( y ), F ( x )分 别 是 , f ( x )的 原 函 数 ． g( y )

分离变量法解偏微分方程


•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
l n at n at Tn (t ) C 'n cos D 'n sin (n 1, 2,3, ) l l n a n a n un ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) sin x (n 1, 2,3, ) l l l
T ''n (t )
令
u( x, t ) X ( x)T (t )
带入方程： X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) X ''( x) T ''(t ) 令 2 X ( x) a T (t ) X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a2T (t ) 0 带入边界条件
2 2u u 4 0 x 10, t 0 t 2 10 x 2 , t 0 u (0, t ) u (10, t ) 0, x(10 x) u ( x,0) u ( x,0) 1000 , t 0, 0 x 10 解： u( x, t ) X ( x)T (t ) X (0) 0 u(0, t ) X (0)T (t ) 0 XT 104 X T u(10, t ) X (10)T (t ) 0 X (10) 0 X 1 T 4 X X 0, 0 x 10 X 10 T X (10) 0 X (0) 0, X X 0

分离变量法总结——从理论到实践的偏微分方程定解方法


(7)
a
则称 f (x) 是归一化的. 而若对于函数集合 {fi}, 恒有
b
(fi, fj) ≡ fi∗(x)fj(x)dx = δij,
(8)
a
则称此函数集合是正交归一的. √
Example 18.6 函数集合 einx/ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · 在 [−π, π] 上是正交归一的
b
cα = fα∗(x)f (x)dx = (fα, f ).
(11)
a
6
4. 因为
b
n
2
f (x) − cαi fαi (x) dx
a
i=1
n
=(f, f ) − c∗αi (fαi , f )
i=1
n
n
− cαi (f, fαi ) + |cαi |2
i=1
i=1
n
=(f, f ) − |cαi |2,
存在. Proof 由于
b
f1∗(x)f2(x)dx
a
|f1(x)|2 + |f2(x)|2 − 2|f1(x)| · |f2(x)| = |f1(x)| − |f2(x)| 2 ≥ 0
3
因此 所以, 积分 存在. 于是 也存在.
|f1∗(x)f2(x)| = |f1(x)| · |f2(x)| ≤
正交归一 若对于所有的 i 和 j,
(xi, xj ) = δij
则称矢量组 {x1, x2, · · · } 是正交归一的.
正交归一的矢量一定线性无关. 任何一组线性无关的矢量都可以正交归一化.
Schmidt 正交化 任何一组线性无关的矢量 y1, y2, y3, ...
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1
⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ 直角坐标系与球坐标系的关系： ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos ϕ ⎩
利用微分计算，可以得到球坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u =0 ⎜r ⎟+ ⎜ sin θ ⎟+ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
边界条件 确定本征值、 本征函数
初始条件 确定待定系数
§2.1 分离变量法求解偏微分方程
一、拉普拉斯（Laplace）方程： ∇ u = 0
2
1、球坐标系 (r , θ , ϕ ) 下拉普拉斯方程的分离变量解法 直角坐标系下拉普拉斯方程：
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
⇒
ρ d ⎛ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 1 d 2Φ ⎜ ⎟ + = − = m2 ρ ⎜ ⎟ 2 2 Φ dϕ R dρ ⎝ dρ ⎠ Z dz
⎧ d 2Φ 2 ⎪ 2 +m Φ =0 ⎪ dϕ ⎨ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 2 ⎪ρ d ⎛ ⎜ ⎟ ρ ⎟ + Z dz 2 − m = 0 ⎪ R dρ ⎜ d ρ ⎝ ⎠ ⎩ (17) (18)
Φ (ϕ ) 应满足自然边界条件 Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π )
所以， m 必须为整数，即 m = 0,1,2, L 综上
Φ(ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
3 、方程（8）的求解 ○ 令 x = cos θ ,
(m = 0,1,2,L)
（13）
y ( x ) = Θ(θ )
（1）
方程（1）为偏微分方程， u 具有多个自变量，无法直接进行求解，我们利用分离变量法 将球坐标系下拉普拉斯偏微分方程分解成为多个常微分方程，然后进行求解。 设 u (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ) ，代入（1）式
Y d ⎛ 2 dR ⎞ R R ∂ ⎛ ∂Y ⎞ ∂ 2Y r + sin θ + =0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 dr ⎝ dr ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
⎧ x = ρ cos ϕ ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ ⎪z = z ⎩
柱坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2 u ∂ 2 u ⎜ρ ⎟ + 2 =0 ⎟+ 2 2 ρ ∂ρ ⎜ ∂z ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂ϕ
利用分离变量法，令 u (ρ , θ , z ) = R(ρ )Φ (ϕ )Z ( z ) 代入（16）式中
d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⎟ − l (l + 1)R = 0 展开 dr ⎝ dr ⎠ r2 d 2R dR + 2r − l (l + 1)R = 0 2 dr dr t = ln r
（10） （9）
设r = e ,
t
dR dR dt 1 dR 1 dR = = = dr dt dr r dt e t dt d 2R d ⎛ dR ⎞ d ⎛ 1 dR ⎞ d dt ⎛ 1 dR ⎞ = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= 2 dr ⎝ dr ⎠ dr ⎝ e t dt ⎠ dt dr ⎝ e t dt ⎠ dr = 1 d 2 R 1 dR − e 2t dt 2 e 2t dt
[
]
一旦得到三个常微分方程（6） 、 （7 ） 、 （8）的解 R (r )、Θ(θ )、Φ (ϕ ) ，球坐标系下拉普拉斯 偏微分方程的解即可得到： u (r , θ , ϕ ) = R (r )Θ(θ )Φ (ϕ ) 下面，我们将分别求解上述三个常微分方程。 1 、欧拉方程（6）的求解 ○ 将方程
第二章 线性偏微分方程和特殊函数的推导
第一章我们推导了如下三个常见的偏微分方程：
⎧ ∂ 2u = a 2∇ 2u ⎪ 2 ⎪ ∂t ⎨ 2 ⎪ ∂ u = a 2 ∇ 2 u + f ( x, y , z , t ) ⎪ ⎩ ∂t 2
⎧ ∂u = a 2∇ 2u ⎪ ⎪ ∂t ⎨ ⎪ ∂u = a 2 ∇ 2 u + f ( x, y, z , t ) ⎪ ⎩ ∂t
(
)
（15）
其中， l 为本征值，由 x = ±1 的自然边界条件确定， l = 0,1,2,3L ，其本征函数为 l 阶勒让 德多项式 Pl ( x ) 。综上，
l 阶连带勒让德方程对应的解为 l 阶连带勒让德多项式 Pl m (x ) ； l 阶勒让德方程对应的解为 l 阶勒让德多项式 Pl (x ) 。
特征值 x1 = l , x 2 = −(l + 1)
R(t ) = Ce lt + De − (l +1)t
将 t = ln r 代入上式，得到
R(r ) = Ce l ln r + De −(l +1) ln r = Cr l +
D r l +1
当 l = 0 时，特征值 x1 = 0, x 2 = −1
⎧ d ⎛ 2 dR ⎞ ⎪ dr ⎜ r dr ⎟ − l (l + 1)R = 0 ⎠ ⎪ ⎝ 2 ⎪d Φ 2 ⎨ 2 +m Φ =0 ⎪ dϕ ⎪ d ⎛ dΘ ⎞ 2 2 ⎪sin θ ⎜ sin θ ⎟ + l (l + 1)sin θ − m Θ = 0 dθ ⎝ dθ ⎠ ⎩
(6) (7) (8)
由此偏微分方程（3）又可以分离为如下两个常微分方程：
⎧ d 2Φ 2 ⎪ 2 +m Φ =0 d ϕ ⎪ ⎨ dΘ ⎞ 2 2 ⎪sin θ d ⎛ sin θ ⎜ ⎟ + l (l + 1)sin θ − m Θ = 0 ⎪ d d θ θ ⎝ ⎠ ⎩
(4) (5)
[
]
其中，方程（4） 、 （5）均为常微分方程，可以直接求解。 综上，球坐标系下拉普拉斯偏微1 dR ⎞ 1 ⎛ 1 d 2 R 1 dR ⎞ ⎜ t ⎟= t ⎜ ⎟ − t − t 2 2 ⎜ t r⎜ e dt ⎟ e dt ⎟ ⎝ e dt ⎠ e ⎝ e dt ⎠ (11)
将方程（10） 、 （11）带入方程（9） ，得到
3
d 2 R dR + − l (l + 1) R = 0 dt dt 2
方程两边同乘以
sin 2 θ ΘΦ
2
sin θ d ⎛ ⎜ sin θ Θ dθ ⎝ sin θ d ⎛ ⇒ ⎜ sin θ Θ dθ ⎝
dΘ ⎞ 1 d 2 Φ + l (l + 1)sin 2 θ = 0 ⎟+ 2 dθ ⎠ Φ dϕ dΘ ⎞ 1 d 2Φ 2 = m2 , ⎟ + l (l + 1)sin θ = − 2 dθ ⎠ Φ dϕ m为常数
其解分别为
D ⎧ l (l = 0,1,2,L) ⎪ R(r ) = Cr + r l +1 ⎪ ⎨Φ (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ ⎪ m ⎪Θ(θ ) = Pl (cos θ ) ⎩
所以，球坐标系下拉普拉斯方程通解为：
(m = 0,1,2,L)
D ⎞ ⎛ u (r ,θ , ϕ ) = R(r )Φ (ϕ )Θ(θ ) = ⎜ Cr l + l +1 ⎟( Am cos mϕ + Bm sin mϕ )Pl m (cos θ ) r ⎠ ⎝
（勒让德多项式的求解以及为什么本征值 l 必须为 l = 0,1,2,3L 将在§2.2 节详细讲解）
至此，球坐标系下拉普拉斯方程，经过分离变量，得到三个独立的常微分方程
∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u 1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 θ =0 r + sin + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
(
)
(
)
4
带入方程（8） ，得到 m 阶连带勒让德方程
⎡ d ⎡ m2 ⎤ 2 dy ⎤ ( ) x 1 − + l l + 1 − ⎢ ⎥y = 0 dx ⎢ dx ⎥ 1− x2 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣
(
)
(
)
（14）
当 m = 0 时，方程（14）退化为勒让德方程
d ⎡ dy ⎤ 1− x2 + l (l + 1) y = 0 ⎢ dx ⎣ dx ⎥ ⎦
由此，偏微分方程（1）可得到分离为如下两个方程：
⎧ d ⎛ 2 dR ⎞ ⎪ dr ⎜ r dr ⎟ − l (l + 1)R = 0 ⎠ ⎪ ⎝ ⎨ ∂Y ⎞ 1 ∂ 2Y ⎪ 1 ∂ ⎛ + l (l + 1)Y = 0 ⎜ sin θ ⎟+ ⎪ ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎩ sin θ ∂θ ⎝
(l = 0,1,2,L; m = 0,1,2,L)
尤其，当 m = 0 时，
D ⎞ ⎛ u (r ,θ , ϕ ) = R(r )Φ (ϕ )Θ(θ ) = ⎜ Cr l + l +1 ⎟ Pl (cos θ ) r ⎠ ⎝
5
(l = 0,1,2,L)
2、柱坐标系 (ρ , θ , z ) 下拉普拉斯方程的分离变量解法 柱坐标系与直角坐标系的关系
（16）
ΦZ d ⎛ dR ⎞ RZ d 2 Φ RΦd 2 Z ⎜ρ ⎟ + =0 2 ⎟+ 2 ρ dρ ⎜ dz 2 ⎝ dρ ⎠ ρ dϕ
方程两边同乘以
ρ2
RΦZ
ρ d ⎛ dR ⎞ 1 d 2 Φ ρ 2 d 2 Z ⎜ρ ⎟ + =0 ⎟+ 2 R dρ ⎜ Z dz 2 ⎝ dρ ⎠ Φ dϕ