1.3 轴对称

青岛版八年级数学上册重难点青岛版数学八年级上册重难点汇总第一章全等三角形1.1全等三角形教学重点：全等三角形的性质。

教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。

1.2如何确定三角形的同余教学重点：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。

教学难点：探究满足“两边一角”对应相等的两个三角形是否全等，如何画出相应的图形。

1.3直尺和量规图纸教学重点：轴对称与轴对称图形的概念及识别。

教学难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系。

第二章图形的轴对称性2.2轴对称的基本性质教学重点：了解轴对称的基本性质，绘制轴对称图形，以及关于坐标轴对称点的坐标。

教学难点：在直接坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标。

2.3轴对称图形教学重点：理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。

教学难点：能够使用轴对称特性制作对称点、对称图形、对称轴等。

2.4线段的垂直平分线教学重点：掌握直线段垂直平分线的性质。

能够利用直线段垂直平分线的性质来解决简单的实际问题。

教学难点：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。

能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。

2.5角平分线的性质教学重点：重点是角平分线的性质。

教学难点：角平分线性质的由来与应用。

2.6等腰三角形教学重点：掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质。

教学难点：等腰三角形性质的探索。

第三章分数3.1分式的基本性质教学重点：分数的定义。

教学难点：分式有意义、值为零的条件的应用。

3.2减少分数教学重点：找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分。

教学难点：分子、分母是多项式的分式的约分。

3.3分数的乘法和除法教学重点：探索分式的乘除法的法则。

教学难点：多项式分子或分母分数的乘法和除法及应用问题。

3.4分式的通分教学重点：确定最简单的公分母。

教学难点：分母是多项式的分式的通分。

3.5分数的加减法教学重点：同分母分数的加减法的法则，进行异分母分式的加减运算。

高考函数对称轴对称中心压轴题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考函数压轴题专题1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． （2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． ⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． （3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+； 改编：若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有f(a+x)+f(b-x)=c 则函数)(x f 的对称轴中心为________⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.例1 2016 (12) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m例 2 （2016年全国II 高考）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 例3（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1例4【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【命题意图探究】本题主要考查函数的单调性、对称性，是中档题. 【答案】C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．例5 【2018全国卷Ⅱ】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)++f f f (50)++=fA ．50-B ．0C ．2D ．50例6 【2015高考新课标1，文12】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) （A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4例7【2015高考湖南，文14】若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 .例8 【2015高考福建，文15】若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．例9 【2015高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.例10 （2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ． 例11 (2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= A ．−2 B ．−1C ．0D ．2D 【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=， 所以(6)2f =，故选D ．2018高考函数专题(2018全国卷 理数-1)5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． (2018全国卷 理数-2)3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为6．在ABC △中，5cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．2B ．30C 29 D ．2510．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50(2018 全国卷 理数-3) 4．若1sin 3α=，则cos2α=A．89B．79C．79-D．89-12.(2018鄂尔多斯市模拟卷）若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当xє(0,1]时，f(x)=1-x,则方程()1[7,1]xf x e=--在区间上的实数根的数为( )A.7B.6C.5D.4。

专题1.3 轴对称章末重难点题型【人教版】【考点1 轴对称图形的识别】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【例1】（2020春•岳阳期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）A．协和医院B．湘雅医院C．齐鲁医院D．华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【变式1-1】（2020春•青岛期末）下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答．【解答】解：第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【变式1-2】（2020春•陈仓区期末）下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．【解答】解：第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．【变式1-3】（2020春•揭阳期末）下列图形中，是轴对称图形的有（）个．①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形．故轴对称图形有6个．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．【考点2 生活中的轴对称现象】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握镜面对称原理及反射角与入射角的定义.【例2】（2020春•玉门市期末）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：做轴对称图形得：|630085，故答案是：630085．【点评】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5．【变式2-1】（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40．故选：B．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．【变式2-2】（2019秋•润州区校级月考）如图是一个经过改造的规则为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是4号袋，故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．【变式2-3】（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律以及生活中的轴对称现象，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．【考点3 轴对称的性质与运用】【方法点拨】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【例3】（2020春•青川县期末）如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△PMN的周长．【解答】解：如图所示：∵P与P1关于OA对称，∴OA为线段PP1的垂直平分线．∴MP＝MP1．同理可得：NP＝NP2．∵P1P2＝5cm，∴△PMN的周长＝MP+MN+NP＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm．故答案为5cm．【点评】本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键．【变式3-1】（2020•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝．【分析】要求∠EPF的度数，要在△EPF中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与∠MPN 的关系，利用已知∠AOB＝40°可求出∠EPF，答案可得．【解答】解：如图，∵点M、N分别是点P关于直线0A、OB的对称点，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴ME＝PE，PF＝NF，∴∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N，∵∠PRE＝∠PTF＝90°，∴在四边形OTPR中，∴∠MPN+∠AOB＝180°，∵∠EPF+2∠M+2∠N＝180°，即∠MPN+∠M+∠N＝180°，∴∠M+∠N＝∠AOB＝40°∴∠EPF＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为100°．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论．【变式3-2】（2020春•长春期末）如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P 关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM ＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为．【分析】由轴对称的性质可知：PM＝MQ，PN＝RN，先求得QN的长度，然后根据QR＝QN+NR即可求得QR的长度．【解答】解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．故答案为：4.5cm．【点评】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．【变式3-3】（2020春•竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°，故答案为：120°．②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α．（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝4，故答案为：4【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【考点4 线段垂直平分线的应用】【方法点拨】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键【例4】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC 的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．【解答】解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．故选：D．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【变式4-1】（2020春•郫都区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠F AC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+F A＝20，由（2）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+F A＝20．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式4-2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．（1）说明BE ＝CF 的理由；（2）如果AB ＝5，AC ＝3，求AE 、BE 的长．【分析】（1）连接BD ，CD ，由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质，即可得DE ＝DF ，又由DG ⊥BC 且平分BC ，根据线段垂直平分线的性质，可得BD ＝CD ，继而可证得Rt △BED ≌Rt △CFD ，则可得BE ＝CF ；（2）首先证得△AED ≌△AFD ，即可得AE ＝AF ，然后设BE ＝x ，由AB ﹣BE ＝AC +CF ，即可得方程5﹣x ＝3+x ，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 与Rt △CFD 中，{BD =CD DE =DF， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD （HL ），∴BE ＝CF ；（2）解：在△AED 和△AFD 中，{∠AED =∠AFD =90°∠EAD =∠FAD AD =AD，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．【变式4-3】（2020春•萍乡期末）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD ⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，{BP =CP DP =EP， ∴Rt △BDP ≌Rt △CEP （HL ），∴BD ＝CE ；（2）解：在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，{AP =AP DP =EP， ∴Rt △ADP ≌Rt △AEP （HL ），∴AD ＝AE ，∵AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，∴6+AD ＝10﹣AE ，即6+AD ＝10﹣AD ，解得AD ＝2cm ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【考点5 关于坐标轴对称的点的坐标】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握：关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【例5】（2019秋•邛崃市期末）在平面直角坐标系中，点P 与点M 关于y 轴对称，点N 与点M 关于x 轴对称，若点P 的坐标为（﹣2，3），则点N 的坐标为（ ）A ．（﹣3，2）B ．（2，3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，﹣3）【分析】作出相关对称后可得点P 与点N 关于原点对称，那么依据点P 的坐标为（﹣2，3），可得点N 的坐标．【解答】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点N的坐标为（2，﹣3），故选：C．【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律，用到的知识点为：两点是关于一次x轴对称，又关于y轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．【变式5-1】（2019秋•潮州期末）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，解得：a＝﹣1，故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．【变式5-2】（2019秋•河东区期末）小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a）；则A，B两点原来的位置关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．A和B重合D．以上都不对【分析】根据题意表示出A、B的正确坐标，再根据坐标的关系确定A，B两点原来的位置关系．【解答】解：∵小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A（a，b），∴A点的正确坐标为（b，a），∵另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B（﹣b，﹣a），∴B点的正确坐标为（b，﹣a），∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称，故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是掌握：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．【变式5-3】（2019秋•阳信县期末）已知点P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点和点Q（3，b）关于y轴的对称点相同，则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（1，5）C．（﹣1，5）D．（﹣1，﹣5）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）∴P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b），因而就得到关于a，b的方程，从而得到a，b的值．则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标就可以得到．【解答】解：∵P（﹣1﹣2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣1﹣2a，﹣5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，b）；∴﹣1﹣2a＝﹣3，b＝﹣5；∴a＝1，∴点A的坐标是（1，﹣5）；∴A关于x轴对称的点的坐标为（1，5）；故选：B．【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．【考点6 轴对称变换（点的坐标规律）】【例6】（2019秋•长白县期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣a，b）B．（﹣a，﹣b）C．（a，﹣b）D．（a，b）【分析】图观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．【变式6-1】（2020•盐城模拟）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（）A．（﹣2018，﹣3）B．（﹣2018，3）C．（﹣2016，﹣3）D．（﹣2016，3）【分析】根据正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），可得AB＝BC＝2，C（3，3），先求出前几次变换后C点的坐标，发现2019次变换后的正方形在x轴下方，进而可求出结果．【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），∴AB＝BC＝2，∴C（3，3），一次变换后，点C1的坐标为（2，﹣3），二次变换后，点C2的坐标为（1，3），三次变换后，点C3的坐标为（0，﹣3），…，∵2019次变换后的正方形在x轴下方，∴点C2019的纵坐标为﹣3，其横坐标为3﹣2019×1＝﹣2016．∴经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（﹣2016，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称、规律型﹣点的坐标、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移旋转．【变式6-2】（2020春•岳阳期末）如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C 的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．【解答】解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣3），当n为偶数时为（2+n，3）是解此题的关键．【变式6-3】（2020•九江模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进行，则经过第2018次变换后，平行四边形顶点A 的坐标为（）A．（﹣0.4，1.2）B．（﹣0.4，﹣1.2）C．（1.2，﹣0.4）D．（﹣1.2，﹣0.4）【分析】先求得A的坐标，然后根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”以及“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求得每一次轴对称变换A的坐标，得出每4次轴对称变换重复一轮的规律，即可得出经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标．【解答】解：∵平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），C（1.6，0.8）．∴A（0.4，1.2），将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换，A（﹣0.4，1.2），所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，A（﹣0.4，﹣1.2），第三次轴对称变换，A（0.4，﹣1.2），第四次轴对称变换，A（0.4，1.2），即A点回到原处，即每4次轴对称变换重复一轮，∵2018÷4＝54…2，∴经过第2018次变换后，平行四边形顶点A的坐标为（﹣0.4，﹣1.2）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图象变换﹣对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数以及关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出每一次的坐标，得出规律是解题的关键．【考点7 轴对称变换（作图）】【例7】（2020春•贵港期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A，B1与B对应．（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为．（3）若△ABC平移后得△A2B2C2，点A的对应点A2的坐标为（﹣1，﹣1），请在平面直角坐标系中画出△A2B2C2．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；（3）利用点A和点A2的坐标变换确定平移的规律，然后写出B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A1B1C1内部的对应点P'的坐标为（﹣x，y）；故答案为（﹣x，y），（3）如图，△A2B2C2为所作．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．【变式7-1】（2020秋•锦江区校级月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（3）点P 在直线MN 上，当△P AC 周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC 关于直线MN 对称的图形△A 'B 'C '；（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC 的面积；（3）根据两点之间线段最短，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小．【解答】解：（1）如图，△A 'B 'C '即为所求；（2）△ABC 的面积为：12×3×2＝3； （3）因为点A 关于MN 的对称点为A ′，连接A ′C 交直线MN 于点P ，此时△P AC 周长最小． 所以点P 即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．【变式7-2】（2020春•文圣区期末）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、M 、N 都在格点上．（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的△A 1B 1C 1．（2）在直线MN 上找点P ，使|PB ﹣P A |最大，在图形上画出点P 的位置，并直接写出|PB ﹣P A |的最大值．【分析】（1）利用网格特点，分别画出A、B、C关于直线的对称点A1、B1、C1即可；（2）由于P A＝P A1，则|PB﹣P A|＝|PB﹣P A1|，而|PB﹣P A1|≤A1B，当点P、A1、B共线时取等号，从而得到|PB﹣P A|的最大值．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，点P为所作，|PB﹣P A|的最大值为3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，【变式7-3】（2020春•五华区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点A′的坐标，根据平移的性质可得点C′的坐标；（2）根据题意可得△ABC关于y轴对称的图形即为△DEF；（3）根据全等三角形的判定即可得点P．【解答】解：（1）∵A（﹣4，3），C（﹣2，5），∴A′（﹣4，﹣3），C'（1，3）；故答案为：﹣4，﹣3；1，3；（2）如图所示：即为所求；（3）△ABC与△PBC全等，这样的P点有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定、作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称和平移的性质以及全等三角形的判定定理．【考点8 设计轴对称图案】【方法点拨】轴对称设计图案的关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【例8】（2020春•抚州期末）如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图，共有10种符合条件的添法，故选：D．【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．【变式8-1】（2020•宁波模拟）请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四个图不能重复）【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．【变式8-2】（2020春•禅城区期末）观察设计：（1）观察如图①、②中阴影部分构成的图案，请写出这2个图案都具有的2个共同特征；（2）借助后面的空白网格，请设计2个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的2个共同特征．（注意：新图案与已有的2个图案不能重合）【分析】（1）根据轴对称图形的定义以及图形的面积解答即可．（2）根据条件画出图形即可．【解答】解：（1）都是轴对称图形，面积都是4个小正方形的面积和．（2）符合题意他图案如图所示：【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式8-3】（2020春•兰州期末）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）。

如何轻松讲解轴对称图形教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解轴对称图形的概念。

培养学生观察、分析和描述轴对称图形的能力。

引导学生运用对称性质解决实际问题。

1.2 教学内容轴对称图形的定义与特点。

轴对称图形的性质。

轴对称图形在实际中的应用。

1.3 教学方法采用问题驱动的教学方式，引导学生主动探究。

利用多媒体演示和实物模型，增强学生的直观感受。

分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。

第二章：轴对称图形的定义与特点2.1 教学目标让学生理解轴对称图形的定义。

培养学生识别轴对称图形的能力。

2.2 教学内容轴对称图形的定义。

轴对称图形的特点。

2.3 教学方法采用讲解和示例相结合的方式，让学生清晰地理解轴对称图形的定义。

引导学生通过观察和分析，发现轴对称图形的特点。

第三章：轴对称图形的性质3.1 教学目标让学生掌握轴对称图形的性质。

培养学生运用性质解决实际问题的能力。

3.2 教学内容轴对称图形的性质。

3.3 教学方法通过讲解和示例，让学生理解和掌握轴对称图形的性质。

设计练习题，让学生运用性质解决实际问题。

第四章：轴对称图形在实际中的应用4.1 教学目标让学生了解轴对称图形在实际中的应用。

培养学生运用对称性质解决实际问题的能力。

4.2 教学内容轴对称图形在实际中的应用。

4.3 教学方法通过实例讲解，让学生了解轴对称图形在实际中的应用。

设计实践题目，让学生运用对称性质解决实际问题。

第五章：总结与评价5.1 教学目标让学生回顾和总结轴对称图形的知识。

评价学生对轴对称图形的理解和应用能力。

5.2 教学内容总结轴对称图形的定义、性质和应用。

评价学生的学习成果。

5.3 教学方法通过问答和讨论，让学生回顾和总结轴对称图形的知识。

设计评价题目，评价学生对轴对称图形的理解和应用能力。

第六章：轴对称图形的绘制与展示6.1 教学目标让学生学会如何绘制和展示轴对称图形。

培养学生运用对称性质进行创作的能力。

6.2 教学内容轴对称图形的绘制方法。

【答案：CD A B C DA DCBE4.将轴对称图形折叠后会是什么样子？（）【答案： D 】C形的对称轴方格中的图案（）（填“是”或“不是”【答案：不是】一、选择正确的答案填在括号里。

1.根据轴对称的意义，判断基本图形中的轴对称图形 1.1 下面不是轴对称图形的是（ B ）A B C D1.3 下面不是轴对称图形的是（ C D ）1.4 下面是轴对称图形的是（ A B ）1.5 下面是轴对称图形的是（ A C ）2、根据轴对称的意义判断生活中的轴对称图形（B2） 2.1下面图形中是轴对称图形的是（ C D ）2.2下面图形中不是轴对称图形的是（A B E ）；A DC BA DC BA B C DA DCBE2.3下面图形中是轴对称图形的是（ A B C ）2.4下面图形中不是轴对称图形的是（D ）；2.5下面图形中不是轴对称图形的是（A B ）；3、根据轴对称图形特点找对称轴（C2）3.1有（ A ）条对称轴。

A. 2 B. 4 C. 8 D.无数 3.2下图中有两条对称轴的是（ A B）A DCBA DCBA DC B EA DC BA. 0B. 1C. 2D.33.4 有（ B ）条对称轴。

A. 2B. 4C. 8D.无数A ）条对称轴。

A. 0B. 2C. 4D.无数4.能根据轴对称图形的形状辨别对称后的形状4.1将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ D ）4.2将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ C ）4.3将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ B ）4.5将轴对称图形折叠后会是什么样子？（ C ）5.判断基本图形中的轴对称图形（B1）5.1正方形（ B ）是轴对称图形。

A.可能B.一定C.不可能5.2平行四边形（ C ）是轴对称图形。

A.可能B.一定C.不可能5.3三角形( A )是轴对称图形。

A.可能B.一定C.不可能5.4梯形( A )是轴对称图形。

A.可能B.一定C.不可能5.5圆（ B ）是轴对称图形。

浅谈多重积分中的对称性问题【摘要】在求解多重积分的问题的时候,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,然而这些替米可以通过很特殊的对称性问题得以简便得解决,既方便又准确无误,本文将就多重积分求解中的对称性问题做一简短的总结归纳。

【关键词】二重积分三重积分对称性奇偶性1.二重积分中的对称性问题。

在计算二重积分的问题的时候,往往有些题目是通过一般方法无法解决的,而这些题目中会有一些题目是很特殊的对称性问题,通过使用固定的方法就能够迅速准确地算出答案,节省了时间,提高了效率和准确度。

1.1 积分域关于轴的对称。

1.1.1 关于x轴对称。

设D关于x轴对称()其中,1.1.2 关于y轴对称。

与关于x轴对称相似。

例1.1.1 计算:,解:添,分域为1.2 积分域关于原点对称。

与关于x轴对称相似。

1.3 积分域关于直线y=x对称(即轮换对称性)设D关于y=x对称,()例1.3.1 D:D1是D在x≥0部分,则(B)A.B.C.D.解:A.=0,C.,D.B.评注:D关于y=x对称。

例1.3.2 求其中解:区域D关于x,y轴均对称,对x,y均为偶函数。

,其中再用变量轮换对称性(把x与y互换,区域D1不变),于是因此,I=评注:D1关于y=x对称,于是。

例1.3.3 计算,其中S是球面在第一卦限中的部分。

解:直接化为二重积分计算。

由于所以记,则评注:本题使用了轮换对称性。

例1.3.4 计算,其中曲面S:, ; 是S向上的法向量。

解:由于,所以根据曲面S关于坐标面的对称性,得再由S关于x,y的轮换对称性,得因此I=0。

2.三重积分中的对称性问题。

三重积分往往相对较麻烦,和二重积分一样,一些特殊的有关对称性的问题可以通过一些特殊的方法迎刃而解,方便迅速又准确无误。

2.1 积分域关于面的对称。

2.1.1 积分域关于xoy面对称。

设Ω是空间中的有界闭区域,在Ω上可积。

若Ω关于xoy平面对称,则其中例2.1.1 ,解:Ω关于xoy面对称,关于z轴为奇函数,I=0。

知新篇一.轴对称的性质及其应用（1）轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴 。

②对应 相等，对应 相等。

（2）如图是一个轴对称图形，直线AO 是对称轴， 则相等的线段有： = ， = 。

线段CD 被直线AO 。

量得30B∠，则∠E= 。

（3）设A 、B 两点关于直线MN 对称，则_____垂直平分______。

（4）等腰三角形是轴对称图形，它的底边被对称轴_________。

提醒：（1）对称轴上的点即是对应点所连线段的垂直平分线. （2）找准对应线段和对应角。

二.轴对称在实际中的应用 1.按边分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 2.按角分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 三.三角形的三边关系1.AB+AC BC, AB-AC BC.2.结论：三角形两边的和______第三边．三角形两边的差____第三边．【典例】【思路分析】判断三条线段能否组成三角形可根据三角形三边关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断.最简单方法是：看较短两边的和是否大于最长边. 【解析】【点睛】在判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：（1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边，（2）如果选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边.三角形三边关系靓题拾贝三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边．（2）三角形任意两边之差小于第三边．注意：这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值． 一、 判断三条已知线段能否组成三角形【例1】已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 （ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10解：选C ．对于A ，1+2=3，所以A 不能，对于B ，2+5＜8，所以B 不能，对于D ，4+5＜10，所以D 不能． 二、已知三角形的周长，判断三边能否组成等腰三角形【例2】将长度为12m 的一根铁丝，截成三段，能围成等腰三角形的是 （ ） A.8m ，2m ，2m B.7m ，2.5m ，2.5m C.6m ，3m ，3m D.1m ，5.5m ，5.5m 解：选D ．根据三边关系，三个选项A 、B 、C 均有两边之和小于或等于第三边． 三、已知三角形的两边长，求第三边取值的个数【例3】已知三角形的三边长分别是3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个解：选D ．根据三角形三边关系有：8-3＜x ＜8+3即5＜x ＜11，若x 为偶数，则x=6，8，10.1.探新知 预习乐园提素能 自测自评A B ECD O214版北师七上学案教用P12左上T22.如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ） A ．30B ．50C ．90D 100．3.下列图形中，哪一幅成轴对称（ ）4.已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取 了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）A.5mB.15mC.20mD.28m6.一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为______．7.如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为 cm ．8.两根木棒的长分别是8cm ，10cm ，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x 的取值范围是________.9.如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC ，AC 上的两点，连结BE ，AD 交于F ，（1）图中有几个三角形?并表示出来;（2）△BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么? （3）AB 边是哪些三角形的边? （4）F 点是哪些三角形的顶点?10.一个等腰三角形的周长是36 cm ．（1）已知腰长是底边长的2倍,求各边的长； （2）已知其中一边长8cm ，求另外两边的长．11.已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ．（1）求第三边的取值范围； （2）已知第三边长是偶数，求第三边长；（3）求周长的取值范围．12.（全家总动员）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？答案探新知，预习乐园:一、1.互相重合 对称轴2.（1）（2）（4）（5）是轴对称图形，都有2条对称轴，（3）是轴对称图形，有无数条对称轴。

苏科版八上1.3《设计轴对称图案》教案
【百度搜索】双鱼吻莲①
【百度搜索】喜鹊登梅②
【百度搜索】双鱼枕③
问题：这两幅图形有什么共同特征？（它们都是轴对称图形）
你还见过哪些轴对称图形？
这些图形帖近生活，又给人以美的享受，人们常常利用轴对称设计
′
准备一组徽标、标志的轴对称图案，
让学生欣赏，同时提供设计素材。

要求贴近学生生活，突出运动主题，是轴对称图案。

小组合作，于下周一前各小组上交一份完成好的作
轴对称图形欣赏
【百度搜索】轴对称图形㈠。

义务教育基础课程初中教学资料第一章轴对称图形1．1 轴对称和轴对称图形教学目标：1、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念；2、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；3、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系；4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值。

教学重点：正确辨认轴对称图形，画出它们的对称轴；教学难点：设计简单轴对称图案；教学过程：一、创设情境：动手操作：用一张正方形的纸片，二、新课讲解：1、观察、思考：（投影片）P4 4幅图，观察下列四幅图形，你能发现它们有什么共同特征，说出来与同学交流。

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2、动手试一试：观察课本第4页几幅图中，画出它们对称轴。

3、探索思考：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

动手画出第5页几幅图片的对称轴。

说说你所熟悉的图形是否是轴对称图形，对称轴是什么？与同学讨论、交流，同小组互相补充。

轴对称图形：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯级、等腰三角形、角、线段等。

学生口述对称轴的位置。

4、讨论、交流：轴对称与轴对称图形的区别与联系。

区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分能完全重合。

联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

5、观察、思考：镜像特征：哪些字母在镜中的像与原字母一样？哪些发生了改变？说说它们的对称轴；手在镜中的像有什么变化？说说生活中的轴对称和轴对称图形。

6、欣赏大自然风景（倒影）并说说它们的对称轴的位置。

三、课堂练习：1、P1 22、动手制作一轴对称标志（校运会）四、本节课的收获：1、什么是轴对称和轴对称图形；2、如何画出对称轴、如何找对称点？3、生活中的轴对称和轴对称图形。

初二数学（八上）创新教育实验手册参考答案（苏科版）第一章轴对称图形1. 1 轴对称与轴对称图形【实践与探索】例1 请观察26个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母．解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形．例2 国旗是一个国家的象征，观察图1.1.1中的国旗，说说哪些是轴对称图形，并找出它们的对称轴．（略）【训练与提高】一、选择题：1．A2．D3．B4．A5．A二、填空题：6．（1）（2）（5）（6）7．2，3，1，4 8．10∶21三、解答题：9．如图：10．长方形、正方形、正五边形【拓展与延伸】1．（3）比较独特，有无数条对称轴ABCD 1D 2B 1CBAC 1A 1图1.2.12．1.2 轴对称的性质（1）【实践与探索】例1 已知△ABC 和△A 1B 1C 1是轴对称图形，画出它们的对称轴．解： 连接AA 1，画出AA 1的垂直平分线L ，直线L 就是△ABC 和△A 1B 1C 1的对称轴．回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴．例2 如图1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于L 对称的两个图案，并从中找出两对对称点、两条对称线段．解：可标注不同的对称点．例如：A 与A '是对称点，B 与B '是对称点． 对称线段有AB 与A 'B '，CD 与C 'D '等．回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质． 【训练与提高】 一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．A 二、填空题：5．轴对称，3条 6．略 7．810076 8．AB ＝CD BE ＝DE ∠B ＝∠D 三、解答题：9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在对称轴上 【拓展与延伸】 1．如图：图1.2.2图1.2.３（1） （2）图1．2．4 图1．2．52．如图：1.2轴对称的性质（2）【实践与探索】例1 画出图1.2.3中△ABC 关于直线L 的对称图形．解： 在图1.2.3（1）和图1.2.3（2）中，先分别画出点A 、B 、C 关于直线L 的对称点1A 、1B 和1C ，然后连接11B A 、11C B 、11A C ，则△111C B A 就是△ABC 关于直线L 对称的图形．回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形； （2）对称轴上的点（如图1.2.3（1）中的点B ），其对称点就是它本身．例2 问题1：如图1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点A 和B ，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A 和B 两地的居民走的路最短？问题2：如图1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点A 和B ，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到A 和B 两地的总长最短？①②③④图1.2.4 问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？ 探索：对问题1，显然只要连接AB ，AB 与a 的交点就是所要找的点． 对问题2，即要在直线a 上找一点C ，使AC ＋BC 最小． 分析： 我们用“翻折”———轴对称的方法．画点C ：（1）作点A 关于直线a 的对称点A '；（2）连结A 'B 交a 于点C ，点C 就是所求作的点．理由：如图1.2.4，如果C '是直线a 上异于点C 的任意一点，连A C '、B C '、A ' C '，则由于A 、A '关于直线a 对称，所以有'''',C A AC C A AC ==．所以 '''''BC C A BC AC +=+＞BC AC BC C A B A +=+=''． 这说明，只有C 点能使AC ＋BC 最小．【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．A 二、填空题：5．（1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等边三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圆 6．不对称、不对称 7．5个 三、解答题： 8．略 9．略10．画图略 11．如图：12．画出点A 关于直线L 的对称点A '，连结A 'B 与直线L 的交点即为所求停靠点．【拓展与延伸】图1.3.11．图略2．图略1.3设计轴对称图形【实践与探索】例1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手学一学：观察一下，图1.3.1中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？例2 如图1.3.2，以直线L为对称轴，画出图形的另一半．图1.4.1【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．B 二、填空题： 3．M 、P 、N 、Q 三、解答题： 4．如图：5．略 6．如日本、韩国 、等 7．略 8．图略 【拓展与延伸】 1．图略2．图略，答案不唯一1.4 线段、角的轴对称性(1)【实践与探索】例1 如图1.4.1，在△ABC 中，已知边AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ． (1)你知道点P 与△ABC 的三顶点有什么关系？ (2)当你再作出AC 的垂直平分线时，你发现了什么？解：(1)点P 与△ABC 的三顶点距离相等，即P A ＝PB ＝PC ． (2)如图，AC 的垂直平分线也经过P 点．即三角形的三条中垂线交于一点． 例2 如图1.4.2，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，交AC 于E ．已知△BCE 周长为8，且AB －BC ＝2，求AB 、BC 的长．分析：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE＝BE，因此△BCE的周长就转化为AC＋BC，问题即可解决．解：因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE＝BE，则△BCE的周长＝BE＋CE＋BC－AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8．又因为AB－BC＝2，AB＝AC，所以AC－BC＝2.由上可解得AC＝5，BC＝3．回顾与反思(1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE＝BE”，从而实现了“线段BE"的转移，这是我们常用的方法；(2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等．【训练与提高】一、选择题：1．C2．D3．D4．A二、填空题：5．无数个6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm三、解答题：9．24010．连结AB，作AB的中垂线交直线L于P，点P即为所求作的点11．24 cm 12．(1) 35 0（2）55 0【拓展与延伸】1．图略（1）只要任意找一个以A为顶点的格点正方形，过点Ａ的对角线或其延长线与BＣ的交点就是点Ｐ（2）找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点．2．9 cm1.4 线段、角的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O．请问：(1)你知道点O与△ABC的三边之间有什么关系吗？图1.4.３(2)当你再作出∠A的平分线时，你发现了什么？解：(1)点O到△ABC的三边的距离相等；(2)如图1.4.3，∠A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点．例2 已知：如图1.4.4，AD∥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．问：AD、BC与AB之间有何关系？试说明之．分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试（包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法．图1.4.4 (1)将“AE平分∠BAD"与“DE⊥AD"结合在一起考虑，可以联想到，若作EF⊥AB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF＝AD．(2)再结合“点E是DC的中点”，可得：ED＝EF＝EC．于是连接BE，可证BF＝BC．这样，AD＋BC＝AF＋BF＝AB．解：AD、BC与AB之间关系：AD＋BC＝AB．证明思路简记如下：作EF⊥AB，连接BE，易证△ADE≌△AFE( AAS)，∴AD＝AF．再由EF＝ED，EF＝EC，可得△BFE≌△BCE( HL)，∴BF＝BC，AD＋BC＝AB．回顾与反思(1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等；(2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法．【训练与提高】一、选择题：1．A2．B3．A4．C二、填空题：5．线段的垂直平分线、角平分线6．3 7．900三、解答题：8．略9．过P点分别作垂线10．作图略11．作MN的中垂线，∠AOB 的平分线交点即是12．6 cm【拓展与延伸】图1.5.1BE D CFA1．600 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(1)【实践与探索】例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数； (2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数．分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的角一定是这个三角形的顶角；(2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况． 解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为21(1800 － 1000)＝400． (2)①底角为800时，另外两角分别为800和200；②顶角为800时，另外两角分别为500和500．回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论；(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？例2 如图1.5.1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，垂足为E ， DF ⊥AC ，垂足为F ．试说明DE ＝DF 的道理． 分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 DE ＝DF ．也可以利用△ADB 和△ACD 面积相等来说明DE ＝DF ， 或用全等来说明．【训练与提高】 一、选择题：1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 二、填空题：图1．5．2图1.5.36．5 cm 7．6 cm ，2 cm ，或4 cm ，4 cm8．（1）12.5 （2）3>a ，120<<b 9．3，3，4或4，4，2 三、解答题：10．（1）700、400 或 550，550 （2） 300，300 11．750，750，300 12．33 cm 13．1080 14．BD ＝CE . 理由：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ．∴∠ADB ＝∠AEC ．∴ΔABD ≌ΔACE ．∴BD ＝CE【拓展与延伸】 1．1000 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.5.2，在△ABC 中，已知∠A ＝360，∠C ＝720， BD 平分∠ABC ，问图中共有几个等腰三角形？为什么？ 解：图中共有3个等腰三角形． ∵∠A ＝360，∠C ＝720，∴∠ABC ＝1800一（∠A ＋∠C ）＝1800－ (360＋720) ＝720＝∠C ， ∴△ABC 是等腰三角形．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝21∠ABC ＝360， ∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝360＋360＝720， 即有∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ．∴△ABD 和△BCD 都是等腰三角形． ∴图1.5.2中共有3个等腰三角形．例2 如图1.5.3所示，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝ 900．，M 、N 分别是AC . BD 的中点，试说明： (1)DM ＝BM ； (2)MN ⊥BD ．图1.5.4解： (1) ∵点M 是Rt △ABC 斜边的中点，∴BM ＝21AC ， 同理DM ＝21AC ，∴BM ＝BM ； (2) ∵N 是BD 的中点，又BM ＝DM ，∴MN ⊥BD ． 回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系；(2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这是我们常用的思维方式之一． 【训练与提高】 一、选择题：1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空题：5．等腰 6．8 7．350 ， 218．（1）ΔBDE 或ΔADE （2）ΔBCE（3）ΔAGF 三、解答题：9．等腰三角形 10．ΔABC ，ΔAEF ，ΔEBO ，ΔFCO ，ΔOBC BE ＝CF ＝21EF 11．平行 12．10 cm 【拓展与延伸】1．延长AE 交BC 延长线于F 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(3)【实践与探索】例1 如图1.5.4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝ 1200，点D 、E 在BC 上，且BD ＝AD ，CE ＝AE ．判断△ADE 的形 状，并说明理由．解： △ADE 是等边三角形．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120．，∴∠B＝∠C＝300．∵BD＝AD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD＝300，∠C＝∠CAE＝300，∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED ＝600.∴△ADE是等边三角形．例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3 cm，则腰长为( ) A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D．以上都不对分析可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm．因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm ＋2 cm ＜5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm．解：选B．回顾与反思涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况．这样的“解”需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系．【训练与提高】一、选择题：1．D2．D3．C4．A5．C二、填空题：6．等边、等边7．150 8．1200三、解答题：9．cm1010、略11．（1）EC＝BD（2）添加条件：AB＝AC，是轴对称图形，此时，∠BOC＝1200，12．过D点作AC平行线【拓展与延伸】1．添辅助线，通过ΔACD≌ΔBCE来说明2．略1.6 等腰梯形的轴对称性(1)图1.6.1图1.6.2【实践与探索】例1 如图1.6.1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB ＝CD ， 点E 在BC 上，DE ∥AB 且平分∠ADC ，△CDE 是什么三角形？ 请说明理由．解： △CDE 是等边三角形．因为AD ∥BC ， AB ＝CD ，所以∠B ＝∠C ．理由：“等腰梯形在同一底上的两个角相等”又因为AD ∥BC ，所以∠ADE ＝∠CED ．由DE 平分∠ADC ，可得∠ADE ＝∠CDE ， 于是∠CED ＝∠CDE .又因为AB ∥DE ，所以∠B ＝∠CED ，从而有∠C ＝∠CED ＝∠CDE ，所以△CDE 是等边三角形．回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系．在研究等腰梯形时，要联想到等腰三角形中的知识．例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B ＝600， AB ＝2，BC ＝6．将纸片折叠，使得点B 与点D 恰好重合，折痕为AE ，求AE 和CE 的长． 解 ∵点B 与点D 沿折痕AE 折叠后重合，∴△ABE ≌△ADE ， ∴ ∠1 ＝ ∠B ＝600， ∠3 ＝∠4. ∵AD ∥BC ， ∴∠1 ＝ ∠2＝600.而∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4＝ 1800， ∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝1200， ∴ ∠3 ＝∠4＝600，而∠B ＝600，∴∠5 ＝600，因此，△ABE 是等边三角形． ∴AE － BE ＝AB ＝2， ∴CE ＝BC － BE ＝4.回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用． 【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．C 3．B图1.6.3BCFADE二、填空题：4．1080，1080，720 5．27 6．①②③④ 7．1 cm 8．150 三、解答题：9．∠A ＝∠E 10．72 0 、72 0 、108 0、108 0，11．成立 【拓展与延伸】 1．CE ＝21（AB ＋BC ） 过点C 作CF ∥DB ，交AB 的延长线于点F ，先证：ΔDCB ≌ΔFBC ，则CF ＝DB ，又四边形ABCD 是等腰梯形，则AC ＝DB ，故AC ＝CF ， 易证：∠AOB ＝∠ACF ，所以ΔACF 为等腰直角三角形． 又因为CE ⊥AB ，易证：CE ＝AE ＝EF ＝2BCAB ． 2．4，61.6等腰梯形的轴对称性（2）【实践与探索】例1 如图1.6.3，△ABC 中，∠ACB ＝900，D 是AB 的中点，DE ∥AC ，且DE ＝AC 21，点F 在AC 延长线上，且CF ＝AC 21，请说明四边形AFED 是等腰梯形．略证：先说明四边形CFED 是平行四边形．由CD ∥EF ，∠F ＝∠ACD ，且CD 是RT △ABC 斜边上的中线 得∠A ＝∠F ，证得四边形AFED 是等腰梯形回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等．例2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题．已知在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ≠BC .则四边形ABCD 是等腰梯形．你能说明理由吗？分析：要证明四边形ABCD 是等腰梯形，因为AB ＝DC ，所以只需证四边形ABCD(1)(2)(3)(4)图1.6.4是梯形即可；又因为AD ≠BC ，故只需证AD ∥BC ．现有如图1.6.4所示的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明．友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成．回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来． 【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 二、填空题：6．24 7．50 0 、50 0 、130 0、130 0， 8．是 9．80 0 、80 0 、100 0， 等腰 三、解答题：10．略 11．ΔABC ≌ΔDCB12．是，理由：∵∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACE ∴∠E ＝∠DAC ∵AD ＝BE ，∴ΔABE ≌ΔCDA ∴AB ＝CD ∴梯形ABCD 是等腰梯形．13．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝∠CDB ＝900，BC ＝BC ∴ΔBEC ≌ΔCDB ．∴BE ＝CD ∴AE ＝AD ．∴AED ＝∠ADE ＝21800A ∠-．∵∠ABC ＝∠ACB ＝21800A∠-，∴∠AED ＝∠ABC .∴ED ∥BC .∵BE 与CD 相交于点A ，∴BE 与CD 不平行．∴四边形BCDE 是梯形．∵∠EBC ＝∠DCB ，∴梯形BCDE 是等腰梯形．M NF DCBA E 【拓展与延伸】 1．26，322．解：设经过x 秒后梯形MBND 是等腰梯形， ∵作ME ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．∴BE ＝FN ＝AM ＝x ．∴EF ＝MD ＝21－x ，CN ＝2x ，BN ＝24－2x ． ∴BN ＝2AM ＋MD ．即24－2x ＝2x ＋21－x ，∴x ＝1．第一章复习题A 组：1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．、18或21，22 7．35 0 、35 0 ；40 0、100 0或700、700 8．3 cm 或7 cm 9．7，10或8.5， 8.5 10．（1）300， （2）19 11．1000 12．（1）400，（2）350，（3）360 13．450 1350 等腰 14．等腰梯形 15．3 B 组：16．略 17．略 18．27 300 19．提示：先证：ΔADE ≌ΔADC ，则DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠DCE ，又EF ∥BC ，所以∠DCE ＝∠FEC ，则∠FEC ＝∠DEC 20．51221．略 22．提示：连结CR 、BP ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第二章 勾股定理与平方根答案2.1 平方根⑴例1解： ⑴∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10，即10100±=±；⑵∵(±1.3)2＝1.69，∴1.69的平方根是±1.3，即3.169.1±=±； ⑶∵49412= ，(±23)2＝49，∴49的平方根是±23，即23412±=±；⑷∵02＝0，∴0的平方根是0，即00=.回顾与反思：⑴正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根是10的错误；⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根； ⑶ 0的平方根只有一个，就是0，负数没有平方根. 例2解： ⑴∵－64＜0，∴－64没有平方根；⑵∵(－4)2＝16＞0； ∴(－4)2有两个平方根，即416)4(2±=±=-±； ⑶∵－52＝－25＜0， ∴－52没有平方根；⑷∵81表示81的正的平方根是9，∵9＞0， ∴81的平方根有两个是±3.回顾与反思：象(－4)2、81这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的数的平方根.例3解：⑴ ∵1962=x ，∴x 是196的平方根，即14196±=±=x ；⑵ ∵01052=-x ，∴22=x ，x 是2的平方根，即2±=x ；⑶ ∵()0253362=--x ， ∴()362532=-x ， ∴()3-x 是3625的平方根，即653±=-x ； ∴6231=x ，6132=x【训练与提高】1. B ； 2D ； 3B . 4.3； 5.±17；±4； 6.±15；54-； 7.－1； 49； 8.9；81； 9.0. 10．⑴－8；⑵±1.3；⑶35-；⑷－9；11.⑴±5；⑵±9；⑶21±；⑷3，－1；12.25； 13．±4.【拓展与延伸】1. ±9；2.±3. 2.1 平方根⑵例1分析：10000表示10000的_________根； 225121-表示225121的算术平方根的相反数； 8149±表示8149的__________根.解 ⑴100100100002==； ⑵ 1511)1511(2251212-=-=-； ⑶ 97)97(81492±=±=±. 回顾与反思：10000表示10000的算术平方根，要防止出现10000＝±100的错误.探索：⑴发现： 当0≥a 时，a a =2)(.⑵发现：当0>a 时，a a =2， 当0<a 时， a a -=2；当0=a 时， 02=a .即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a .例2解： ⑴ 2)3(-＝3； ⑵2)3(-＝3；⑶ 当x ＞0时，x x =2)(； ⑷当0<a 时，03<a ，a a a a 3|3|)3(922-===.回顾与反思：等式)0(2≥=a a a 和⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a ，是算术平方根的两个重要性质.以后经常会用到它们. 【训练与提高】1.B ；2.A ；3.B4.D ；5.D ；6.C .7.⑴±15，15；⑵127± ， 127；⑶±0.1，0.1；⑷17,17±.⑸±2，2；8.169；3± 9.0≥a ，2；10.9=x ；11.－1； 12.－3，互为相反数. 13.⑴ 1；⑵65-； ⑶136±；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺954.⑻152.【拓展与延伸】1. ±5，±1 ；12. 5. 2.2立方根例1分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根，也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.例1解 ⑴∵278)32(3=，∴322783=； ⑵∵278)32(3-=-，∴322783-=-；⑶、⑷、⑸略.例2解 ⑴34)34(2764271023333-==-=--； ⑵52)52(125812583333===--. ⑶略.回顾与反思：⑴当被开方数带“－”号时，可把“－”提取到根号外后再计算； ⑵当被开方数是带分数时，应先化成假分数； ⑶当被开方数没化简时，应先化简后再求值.例3解 ⑴28,8,16233-=-=-=-=3x x x ；⑵略回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：⑴表示的意义不同；⑵a 与3a 中的被开方数a 的取值范围不同，a 中的a 应满足a ≥0，3a 中的a 可为任何数；⑶一个数的平方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方根总有且只有一个；⑷负数没有平方根，但负数有立方根. 【训练与提高】1. B ；2.C ；3.D ；4.B ；5.±8，4，8；6.－1，5，65-，23. 7. 100；±8； 8．7，－3； 9.⑴－10； ⑵45-；⑶72；⑷23；⑸34-；⑹3. ⑺0.3；⑻6. 10.⑴56-.⑵8；⑶－16；⑷－4. 11.⑴5；⑵39；⑶－4；⑷－2. 【拓展与延伸】 1.39； 2. 37.5㎝2.2.3实数⑴例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长是2.这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图2.3.2所示.图2.3.1例2分析 无理数有两个特征：一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟悉的圆周率π就是无理数.解 有理数有－3.1415926，113335， •31.0 ，3625.无理数有π-，39 ，22， 0.1010010001…. 回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定是无限不循环小数.例3解 ⑴ 不正确.如••53.2是无限小数，但它不是无理数； ⑵ 不正确. 如••53.2是有理数，但它是无限小数；⑶ 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数； ⑷ 不正确.如4是有理数. 【训练与提高】1.B ；2. C ；3.C .4.实数；5.25 ，722，0，252252225 ，•64.3； 5.121121121…，2π，18-，32. 6．6；7.±5. 【拓展与延伸】 1. C ； 2. 8. 2.3实数⑵例1分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.解 ⑴ ∵4646433-=-=-，∴364-的相反数是4，绝对值是4；π-3的相反数是3-π，∵π-3＜0，∴3|3|-=-ππ.⑵ ∵3|3|=，3|3|=-，∴这个数是±3解 由图可知，,0<a ∴a a -=.∵c b <，∴0>-b c ，∴b c b c -=- ∵0,0<<b a ，∴b a b a --=+，∴c b a b c a b a b c a b a b c a =++-+-=----+-=+--+)()(回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系； ⑵在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.⑶每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.例3解： （1）∵5)5(2= ，425)25(2=，又4255<， ∴ 255<. （2）∵255<，∴2315<-， ∴43215<- 回顾与反思：比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.【训练与提高】1. D ；2.B ；3.⑴2，2；⑵ 312，312；⑶－3，3；⑷25-， 25-. 4． ＜， ＜，＜； 5.－1，0，1； 6.37-； 7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98 ；⑷1.29； 8.⑴－5；⑵－4；⑶535--；⑷－9. 9.b －2 a －2c . 10＜； ＜； ＜； ＞. 【拓展与延伸】1. 2a －b .2. 4－2. 2.3近似数与有效数字例1分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数，有时则无法区分.解 略.例2解 ⑴ 43.8精确到十分位(即精确到0.1)，有3个有效数字， 分别为4、3、8. ⑵ 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字，分别为3、0、8、6. ⑶ 2.40万精确到百位，有3个有效数字，分别为2、4、0.回顾与反思：由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万作为近似数，它们是不一样的.例3解 ⑴3.4802≈3.48 ； ⑵ 3.4802≈3.480； ⑶3.1415926≈3.14； ⑷ 26802≈2.7×104. 回顾与反思：（1）本题⑴、⑵小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不一样的，所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同，你能举例说明吗?（2）第⑷小题中若把结果写成27000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要用科学计数法，把结果写成2.7×104. 【训练与提高】1. D ；2.C ；3.A ；4.略；5. ⑴ 百分位，4个； ⑵ 个位，2个； ⑶ 千分位，3个； ⑷ 个位，5个；⑸ 万分位，3个； ⑹万位，3个； ⑺ 百分位，3个； ⑻百万位，3个.【拓展与延伸】 ⑴1×102；⑵－0.54；⑶－3.64×103；；⑷3.5. 2.4 勾股定理（1）例1解：⑴在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝6，c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝64，∴b ＝8.(b ＝－8舍去) ⑵在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝40， b ＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝1681，∴c ＝41. .(c ＝－41舍去) ⑶在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵b ＝15，c ＝25， ∴a 2＝c 2－b 2＝400， ，∴a ＝20. .(a ＝－20舍去) ⑷在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵3a ＝4b ，∴a ︰b ＝4︰3， ∴设a ＝4k ，b ＝3k ，则c ＝5k .∵c ＝2.5，∴k ＝0.5，∴a ＝2，，b ＝1.5. 回顾与反思：勾股定理反映直角三角形．．．．．中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的三边中已知任意两边就可以求出第三边.例2解 ①∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2112222=+=+BC AC ，②∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°， BC ＝1，AB ＝2，∴AC ＝3122222=-=-BC AB回顾与反思：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理． 【训练与提高】1.D ；2.A ；3. 13，60；4. 225，39， 225；5. 5，76.5；7. 49；8.13；9. a 3【拓展与延伸】4. 2.4 勾股定理（2）例1略例2解：由题意得∠AOB ＝90°，AO ＝30，BO ＝40.5040302222=+=+=BO AO AB (海里)答：1小时后两舰相距50海里例3分析 此题首先要解决△ABC 的面积，为此，可考虑作AD ⊥BC 于D .解 过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2. 设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，∴132―x 2＝152―(14－x )2， ∴x ＝5即BD ＝5，∴AD 2＝144.∴AD ＝12，S △ABC ＝21BC ·AD ＝84m 2. ∴费用84×50＝4200元. 回顾与反思：（1）勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运用勾股定理解决问题.（2）涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得相应的线段，进而求出所需面积. 【训练与提高】1. D ． 2．D . 3．4，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ； 5. 3㎝； 6. 略. 【拓展与延伸】 1.图略； 2. 图略. 2.5 神秘的数组（例1解 ⑴∵22222225625247c b a ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠C ＝90°.⑵∵2222225.225.65.12a c b ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠A ＝90°.⑶∵c ＞ a ， c ＞ b ， 16411452222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b a ，而9253522=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，∴222c b a ≠+，根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形不是直角三角形.回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和，以及最长边的平方，然后看它们是否相等即可.例2解 ∵在△ABD 中，AB 2＋AD 2＝9＋16＝25＝BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.∵在△BCD 中，BD 2＋BC 2＝25＋144＝169＝CD 2， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. ∴这个零件符合要求.回顾与反思：像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a 2＋b 2＝c 2的一组正整数，通常称为勾股数．利用勾股数可以构造直角三角形.例3解 ∵12412)2()1(2422422222++=++-=+-=+n n n n n n n b a .222)1(c n =+=根据直角三角形的判定条件，得∠C ＝90°.【训练与提高】1. B ；2.B ；3.C ；4. C ；5.C ；6. 直角三角，B ；7. 12，13，5；直角三角形；8. 直角三角形，略9. ∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝5，又∵AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD 2.∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD . 10.是，略； 11.连接AC ，∵∠ADC ＝90°，AD ＝4，CD ＝3，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝25，∴AC ＝5，∵AB ＝13，BC ＝12，∴AC 2＋BC 2＝25＋144＝169＝AB 2，∠ACB ＝90°，S ＝30－6＝24. 【拓展与延伸】1. 连结EC ，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，∴BE ＝CE ∵BE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2＝EA 2＋AC 2∴∠A ＝90°.2.略 2.6 勾股定理的应用（1）例1分析 ⑴根据勾股定理，直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位，则斜边长为10个单位，因此，以原点为圆心，10个单位长为半径画圆与数轴的交点表示的数即分别为±10.解：⑴如图图2.6.1①； ⑵如图图2.6.1②例2分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题若设AE ＝x km ，由△DAE 、△EBC 均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程.解：设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x )km. ∵CE ＝DE ，∴CE 2＝DE 2 .由勾股定理得 152＋x 2＝(25－x ) 2＋102解得 x ＝10 . 答：E 站应建在距A 站10km 处.回顾与反思：（1）运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理．（2）勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量关系；【训练与提高】1. B .2.C ；3.34；4. 5，13；5. 24，4.8.6. 2.7. 能，略8. 能，略；9. 略； 10.10；11. 4； 12. 25 . 【拓展与延伸】1. 19.5m ；2. 作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，由题意10―x 2＝172―(x ＋9)2，解得x ＝6.由勾股定理得AD ＝8.2.6 勾股定理的应用⑵例1分析：设EC ＝x ，则DE ＝8－x ，由于折叠长方形的边AD ，且D 落在点F 处，故△AFE 和△ADE 全等，则EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，在Rt △EFC 中，运用勾股定理得到关于x 的方程，可以求出x 的值.解：设EC ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ，∵D 、F 关于AE 对称∴△AFE ≌△ADE ， ∴AF ＝AD ＝BC ＝10，EF ＝ DE ＝8－x .在Rt △ABF 中，6222=-=AB AF BF∴FC ＝BC －BF ＝4.在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -=+ ，解得 x ＝3.答：EC 长为3cm.. 回顾与反思：（1）折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征；（2）从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2＋b 2＝c 2”，看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题的条件转化为解方程.例2分析 求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理，首先要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造直图2.6.1A FECDB图2.6.3角三角形.解 作AE ⊥BC 于E ，则在△ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2； 又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴AE ＝BE ＝CE . ∵BD 2＋CD 2＝(BE －DE )2＋(CE ＋DE )2＝BE 2＋CE 2＋2DE 2＝2AE 2＋2DE 2＝2AD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2. 回顾与反思：（1）在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理. （2）说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定理来解决.【训练与提高】1. 1.5. 2．直角三角形；2.5. 3．不一定，也可能只是a ＝b ； 4.略； 5⑴3，⑵设CD ＝x ，由题意62＋x 2＝ (8－ x )2，解得x ＝47∴CD ＝47. 【拓展与延伸】 1. 2a 2； 2.略.第二章复习题1. ±8；8；4；±5. 2．π,93- . 3．－1，0，1. 4.＜，＞. 5. 32-，32-. 6. ±4. 7. ±1，±2. 8. 12. 9. 2，3. 10. 233+. 11. 0≥x . 任何实数.12. ⑴52. ⑵32，⑶10，24. 13.41. 14. 30. 15. B ． 16.C . 17.B . 18.B . 19.C . 20.C .21.⑴2±.⑵－3.⑶3，－1； 22.直角三角形. 23. 5㎝. 24. 43.4. 25. ±1. 26. 2. 27. 2010.28. x ＝6. 29. 2，74. 30. 3. 31. 132. 32. 2，5，10，17，21n +. 33. 12.34. 102，106. 35. 2n. 36. 6(提示：设CD ＝x ，由勾股定理得x 2＋92＋x 2＋42＝132). 37. 327. 38. ＜，＞.第三章 中心对称图形（一）参考答案3．1 图形的旋转例1 如图3．1．1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上的一点，△ABD 经过旋转后达到△ACE 的位置．⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后点M 转到了什么位置？ ⑷图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？分析 解决本题只需利用旋转的定义及其特征． 解 ⑴旋转中心是点A ； ⑵旋转了60°；⑶点M 转到了AC 的中点位置上；⑷相等的线段有：AB=BC=AC ，AD=AE ，BD=CE ；相等的角有：∠B=∠BCA=∠CAB=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE ，∠BDA=∠CEA ．回顾与反思：本题应用了旋转的定义及特征，知道旋转图形哪些变，哪些不变．本题的难点在于旋转角度，注意图中∠DAC 不是旋转角度．另外，注意到对应线段AB 、AC 所在直线的夹角是60°（旋转角度），那么对应线段BD 、CE 所在直线的夹角呢？由此你想到什么？例2 已知，如图3．1．2，△ABC 中，∠BAC=120°，⑴以点A 为旋转中心，将△BAC 逆时针旋转60°得△ADE ，画出△ADE ；⑵设题⑴中AD 、BC 交于F ，AC 、DE 交于点G ，请你猜想旋转后△ABF 能否与△ADG 重合？为什么？解 ⑴△ADE 如图所示（画法略）；⑵△ABF 能与△ADG 重合，理由如下：∵∠BAC=120°，∠BAD=60°，∴∠DAG=60°=∠BAF ；又由旋转知∠B=∠D ，BA=DA ，∴△ABF ≌△ADG （ASA ）．回顾与反思：观察一下△AFC 与△AGE 是否也具备这样的关系？本题中△ABF 与△ADG 能够重合是由∠BAC 及旋转角的特殊性导致的，如果，将△ADE 再绕点A 逆时针旋转过1°，则∠BAD=59°，∠DAG=61°，结论就不成立．【训练与提高】1．D 2．点A ，逆时针旋转45° 3．⑴点A ，⑵△AEF 是等腰直角三角形，⑶略 4．⑴110°或290°，⑵180° 5．以A 为中心逆时针旋转120°得△AEF ，以C 为中心顺时针旋转120°得△CED ，以AC 中点为中心旋转180°得△ACE 6．417．图略8．图略，用SAS 证△EAC ≌△BAD ，再证BD ⊥EC【拓展与延伸】1．图略．△A′′B′′C′′可由△ABC 绕点P 旋转2∠P 得到 2．图略3．2 中心对称与中心对称图形⑴例1 如图3．2．1，已知△ABC 和点O ，试画出△DEF ，使△DEF 和△ABC 关于点O 成中心对称．解 ①连接AO 并延长AO 到D ，使OD =OA ，得到点A 的对称点D ；②同样方法画出点B 、C 的对称点E 、F ； ③顺次连接DE 、EF 、FD ． 所以，△DEF 即为所求的三角形．回顾与反思：画出一个别图形关于某一点成中心对称图形，关键在图3．1．2GF EDCBA 图3．2．1EB。