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椭圆,双曲线,抛物线性质

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椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义 到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距222122()F F c c a b ==-离心率22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<<准线方程2a x c=±2a y c=±焦半径0,0()M x y左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-焦点三角形面积12212tan()2MF F S b F MF θθ∆==∠通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：ab HM 22=（焦点）弦长公式1,12,2(),()A x y B x y ，2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=【说明】：方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F ，21,F F 的位置(焦点跟着分母大的走)，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零， 其中a 最大且a 2=b 2+c2(即a,b,c 为直角三角形的三边，a 为斜边)1.方程C By Ax =+22表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。

当A ＞B 时，焦点在y 轴上，当A ＜B 时，焦点在x 轴上。

（根据焦点跟着系数小的走）(三)焦点三角形 1.面积公式：122tan 2PF F S b θ∆=如图：椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，则由第一定义和余弦定理有θcos 12221+=⋅b PF PF （重点使用）其面积为2tan cos 1sin 2221θθθb b S PF F =+=∆（重点使用） 且焦点三角形面积最大值bc S PF F =∆212.焦点三角形中的恒等式若()o o y x p ,，∠12F PF θ=。

则o PF F y c b b S ⋅==+=∆2tan cos 1sin 2221θθθ 3.焦点三角形的离心率e 问题由第一定义和正弦定理有1221212121sin sin sin F PF F PF PF F PF PF F F e ∠+∠∠=+=由第一定义和余弦弦定理及均值不等式有22212212cos 12a PF PF b PF PF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+=⋅θ 可得221cos e -≥θ（ 利用张角大小变化易得有12sin<≤e θ）（重点使用）（四）焦半径问题：由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率e 因此可得 )(01a x a ex a PF o ≤≤-+=左 )(02a x a ex a PF o ≤≤--=右 )(02a y a ey a PF o ≤≤--=上 )(01a y a ey a PF o ≤≤-+=下 负“+”正“-”所以 （1）焦半径的最大值c a PF +=max ，c a PF -=min（2）焦点在x 轴上时：两焦半径乘积)(,)(2221a x a ex a PF PF o o ≤≤--=⋅（三）和（四）的图1.显然当0=o x 时有最大值2max 21)(a PF PF =⋅2.显然当a x o ±=时有最小值2min 21)(b PF PF =⋅同理，焦点在y 轴上时：两焦半径乘积)(,)(2221a y a ey a PF PF o o ≤≤--=⋅ 1.显然当0=o y 时有最大值2max 21)(a PF PF =⋅2.显然当a y o ±=时有最小值1(PF PF ⋅(五)通径如图：通径长 椭圆标准方程:122=+by a x )0(>>b a ，(六)点与椭圆的位置关系：(可用于解决过定点的动直线与椭圆位置关系)（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（过该定点的直线与椭圆“相离或相交或相切”）（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（过该定点的直线与椭圆“相交或相切”）（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<（过该定点的直线与椭圆“相交”）(七)直线与椭圆的位置关系：设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆12222=+by a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； （2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；备注： 若直线为过定点的动直线则可以用知识点（六）来解决“位置关系”(八)弦长公式：若直线AB:y kx b =+与椭圆标准方程:12222=+b y a x )0(>>b a 相交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程12222=+by a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。

弦长公式：① 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21（含x 的方程） ②2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=（含y 的方程） （应用于能解出具体坐标 ） （应用于带有参数的大题 ） （a 是一元二次方程中的，此公式用于计算）x（九）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

设()()2211,,,y x B y x A 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上不重合的两点，直线AB 的斜率AB k ，点()o o y x M ,是线段（弦）AB 的中点坐标，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(1)1(1222222221221b y a x by a x 由（1）-（2）化简可得 2121222121y y x x a b x x y y ++-=--又由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x o o 所以o o y x a b x x y y 222121-=--即oo AB y x a b k 22-=（焦点在x 轴） 同理焦点在y 轴上时有ooAB y x b a k 22-=（十）椭圆、双曲线、圆同型系数设法（此类设法用于过曲线两点求方程） 1.椭圆：)0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+且 2.双曲线：)0(122<⋅=+n m ny mx 3.圆：)0(122>==+n m ny mx（十一）焦点弦三角形1．过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆右焦点，则2ABF ∆的周长为（ ） A 、8 B、、4 D、2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F，离心率为3，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点．若△1AF B的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 3．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 第一定义 到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(1)MFe e d=> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,a A -、()20,a A轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距222122()F F c c a b ==+离心率22222221(1)c c a b b e e a a a a+====+>准线方程2a x c=±2a y c=±渐近线方程 b y x a=±a y x b=±焦半径0,0()M x yoo ex a ex a -+右焦：左焦：oo ey a ey a -+上焦：下焦：焦点三角形面积12212cot()2MF F S b F MF θθ∆==∠通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：ab HM 22=常用的一些结论：1、焦点跟着系数正的走。

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圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线、抛物线知识点汇总一、椭圆（Ellipse）1. 定义：椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。

2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)其中，\(a\) 是椭圆的长半轴，\(b\) 是短半轴。

3. 性质：- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个大于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。

- 椭圆的长轴和短轴互相垂直。

- 椭圆的面积 \(A = \pi a b\)。

4. 焦点性质：- 椭圆上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。

5. 椭圆的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) 是焦点到中心的距离。

二、双曲线（Hyperbola）1. 定义：双曲线是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。

2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为右开口双曲线；\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) 为上开口双曲线。

3. 性质：- 焦点：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个小于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。

- 双曲线的两个分支分别位于中心点的两侧。

- 双曲线的面积无限大。

4. 焦点性质：- 双曲线上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 - PF_2 = 2a\)。

5. 双曲线的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 是焦点到中心的距离，且 \(e > 1\)。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。

1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。

对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。

2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。

3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。

二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。

2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。

3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。

三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。

2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。

3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。

四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。

2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。

3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。

五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。