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2014年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年广东，理1，5分】已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =（ ）（A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2}- （D ）{0,1} 【答案】B【解析】{1,0,1,2}M N =-，故选B ． （2）【2014年广东，理2，5分】已知复数z 满足(34i)25z +=，则z =（ ）（A ）34i - （B ）34i + （C ）34i -- （D ）34i -+ 【答案】A【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z --===-++-，故选A ． （3）【2014年广东，理3，5分】若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】C 【解析】画出可行域，易知在点(2,1)与(1,1)--处目标函数分别取得最大值3M =，与最小值3m =-，6M m ∴-=，故选C ．（4）【2014年广东，理4，5分】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ） （A ）离心率相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）实半轴长相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】09k <<，90k ∴->，250k ->，从而两曲线均为双曲线，又25(9)34(25)9k k k +-=-=-+，两双曲线的焦距相等，故选D ．（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是（ ）（A ）()1,1,0- （B ）()1,1,0- （C ）()0,1,1- （D ）()1,0,1- 【答案】B 【解析】222222(1,0,1)(1,1,0)1210(1)1(1)0-⋅-=++-⋅+-+，即这两向量的夹角余弦值为12，从而夹角为060，故选A ． （6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）（A ）200,20 （B ）100,20 （C ）200,10 （D ）100,10 【答案】A【解析】样本容量为(350045002000)2%200++⋅=，抽取的高中生近视人数为：20002%50%20⋅⋅=，故选A ．（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥则下列结论一定正确的是（ ）（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）14,l l 既不垂直也不平行 （D ）14,l l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】平面中的四条直线，14l l ⊥，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D ．（8）【2014年广东，理8，5分】设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）（A ）60 （B ）90 （C ）120 （D ）130 【答案】D【解析】12345x x x x x ++++可取1,2,3，和为1的元素个数为：1125C 10C =；和为2的元素个数为：122255C 40C A +=；和为3的元素个数为：1311225254C C C 80C C +=，故满足条件的元素总的个数为104080130++=，故选D ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13） （9）【2014年广东，理9，5分】不等式125x x -++≥的解集为 ． 【答案】(][),32,-∞-+∞【解析】数轴上到1与2-距离之和为5的数为3-和2，故该不等式的解集为：(][),32,-∞-+∞．（10）【2014年广东，理10，5分】曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 ． 【答案】530x y +-= 【解析】'55x y e -=-，'5x y =∴=-，∴所求切线方程为35y x -=-，即530x y +-=．（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．【答案】16【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为3671016C C =． （12）【2014年广东，理12，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab= ． 【答案】2【解析】解法一：由射影定理知cos cos b C c B a +=，从而2a b =，2ab∴=．解法二：由上弦定理得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B ∴=，即2a b =，2ab∴=．解法三：由余弦定理得：222222222a b c a c b b b ab ac +-+-⋅+=，即224a ab =，2a b ∴=，即2ab=．（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122a a a a e +=,则1220ln ln ln a a a +++= ． 【答案】50【解析】1011912a a a a =，51011a a e ∴=，设1220ln ln ln S a a a =+++，则20191ln ln ln S a a a =+++，51201011220ln 20ln 20ln 100S a a a a e ∴====，50S ∴=．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,1)【解析】1C 即2(sin )cos ρθρθ=，故其直角坐标方程为：2y x =，2C 的直角坐标系方程为：1y =，1C ∴与2C 的交点的直角坐标为(1,1)．（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点，则CDF AEF ∆=∆的面积的面积．【答案】9【解析】显然CDF AEF ∆∆，∴22()()9CDF CD EB AE AEF AE AE∆+===∆的面积的面积．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，理16，12分】已知函数()sin(),4f x A x x R π=+∈，且53()122f π=．（1）求A 的值；（2）若3()()2f f θθ+-=，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-．解：（1）5523()sin()sin1212432f A A ππππ=+==，32A ∴==．（2）由（1）得：())4f x x π+，()()))44f f ππθθθθ∴+-=+-+3coscos sin ))cos cos()sin )sin 444442πππππθθθθθθ=+-+-==，cos θ∴=，(0,)2πθ∈，sin θ∴33()sin())444f πππθθπθθ∴--+-===． （17）【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] 1n 1f(45,50]2n 2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率． 解：（1）17n =，22n =，170.2825f ==，220.0825f ==． （2）频率分布直方图如下所示：（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间(]30,35的概率为0.2，设日加工零件数落在区间(]30,35的人数为随机变量ξ，则(4,0.2)B ξ，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率为：00441(0.2)(0.8)10.40960.5904C -=-=．（18）【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠︒＝，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E ． （1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E －－的余弦值．解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =， AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，AD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF AD ∴⊥，又 AF PC ⊥，CF AF ∴⊥，,AD AF ⊂平面ADF ，AD AF A =，CF ∴⊥平面ADF ． （2）解法一：过E 作//EG CF 交DF 于G ，CF ⊥平面ADF ，EG ∴⊥平面ADF ，过G 作GH AF ⊥于H ，连EH则EHG ∠为二面角D AF E --的平面角，设2CD =，030DPC ∠=，030CDF ∴∠=，从而1==12CF CD ， 4CP =，EF DC ∥，DE CF DP CP ∴=，即12=223DE ，32DE ∴=，还易求得32EF =，3DF =，从而 3332243DE EF EG DF ⋅⋅===，易得192AE =，7AF =，32EF =，19331922747AE EF EH AF ⋅⋅∴===， 故22319363()()44747HG =-=，6347257cos 1947319GH EHG EH ∴∠==⋅=．解法二：分别以DP ，DC ，DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2DC =，则(0,0,2)A ，(0,2,0)C ，(23,0,0)P ，设CF CP λ=，则(23,22,0)F λλ-，DF CF ⊥，可得14λ=，从而33(,,0)22F ，易得3(,0,0)2E ，取面ADF 的一个法向量为11(3,1,0)2n CP ==-，设面AEF 的一个法向量为2(,,)n x y z =，利用20n AE ⋅=，且20n AF ⋅=，得2n 可以是(4,0,3)，从而二面角的余弦值为12124325719||||219n n n n ⋅==⋅⨯． （19）【2014年广东，理19，14分】设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =．（1）求123,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式．解：（1）211222314127a S a a ==-⨯-⨯=- ①2122331212+=432424()204(15)20a a S a S a a a a =-⨯-⨯=---=---，12+8a a ∴= ②联立①②解得1235a a =⎧⎨=⎩，33121587a S a a ∴=--=-=，综上13a =，25a =，37a =．（2）21234n n S na n n +=-- ③ ∴当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=----- ④-③④并整理得：1216122n n n n a a n n+-+=+，由（1）猜想21n a n =+，以下用数学归纳法证明： （ⅰ）由（1）知，当1n =时，13211a ==⨯+，猜想成立；（ⅱ）假设当n k =时，猜想成立，即21k a k =+，则当1n k =+时，212161211411(21)33232(1)1222222k k k k k k a a k k k k k k k k k+-+--=+=⋅+++=++=+=++，这就是说1n k =+时，猜想也成立，从而对一切n N *∈，21n a n =+．（20）【2014年广东，理20，14分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）cc e a ==3a ∴=，222954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194x y +=． （2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们的坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程22194x y +=中并整理得：2220000(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=， 即22220000(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即22004()4(94)0y kx k --+=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=，两切线相互垂直，121k k ∴=-，即2020419y x -=--，220013x y ∴+=， 显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．（21）【2014年广东，理21，14分】设函数()f x =2k <-．（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．解：（1）222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，则221x x k ++> ① 或 223x x k ++<- ② 由①得：2210x x k ++->，144(1)4(2)0k k ∆=--=->(2)k <-，∴方程2210x x k ++-=的解为1-∴由2210x x k ++->得1x <-1x >-， 由②得2230x x k +++<，方程2230x x k +++=的判别式244(3)4(2)0k k ∆=-+=-->(2)k <-， ∴该方程的解为1-2230x x k +++<得11x --<-+2k <-，1121112k ∴------<-+-<-+ (,1(12,12)(12,)D k k k ∴=-∞------+---+-+∞． （2）设0u ，则3'221()2(2)(22)2(22)2f x u x x k x x -⎡⎤=-⋅⋅++⋅+++⎣⎦ 3222(1)(21)u x x x k -=-+⋅+++， （ⅰ）当(,1x ∈-∞--时，10x +<，221110x x k +++>+>，'()0f x ∴>；（ⅱ）当(11)x ∈--时，10x +<，221310x x k +++<-+<，'()0f x ∴<； （ⅲ）当(1,1x ∈--+时，10x +>，221310x x k +++<-+<，'()0f x ∴>； （ⅳ）当(1)x ∈-+∞时，10x +>，221110x x k +++>+>，'()0f x ∴<． 综上，()f x 在D 上的单调增区间为：(,11,1-∞----+， ()f x 在D 上的单调减区间为：(11),(1)----++∞． （3）设222(x)(2)2(2)3g x x k x x k =+++++-，由（1）知，当x D ∈时，()0g x >； 又2(1)(3)2(3)3(6)(2)g k k k k =+++-=++，显然，当6k <-时，(1)0g >， 从而不等式()(1)()(1)f x f g x g >⇔<，2222()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3]g x g xx k x xk k -=+++++--+++-22222[(2)(3k)]2[(2)(3)](3)(1)(225)x x k x x k k x x x x k =++-++++-+=+-+++，6k<-，11131111∴----<<-+--+（ⅰ）当1x<-(3)(1)0x x +->，∴欲使()(1)f x f >，即()(1)g x g <，亦即22250x x k +++<，即11x -<<-11x ∴-<-；（ⅱ）13x -<-时，(3)(1)0x x +->，22225(2)(5)3(5)0x x k x x k k k +++=++++<-++<， 此时()(1)g x g <，即()(1)f x f >；（ⅲ）31x -<<时，(3)(1)0x x +-<，22253(5)0x x k k +++<-++<()(1)g x g ∴>不合题意；（ⅳ）11x <<-(3)(1)0x x +->，22253(5)0x x k k +++<-++<，()(1)g x g ∴<， 不合题意；（ⅴ）1x >-时，(3)(1)0x x +->，∴欲使()(1)g x g <，则22250x x k +++<，即11x -<-+，从而11x -<-综上所述，()(1)f x f >的解集为：(()()(1112,31,1212,1k kk --------+---+--+．。

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2014广东高考理科数学试题及答案

2014广东高考理科数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1} 2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130小学 初中高中 年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年高考理数真题试卷(广东卷)及解析

2014年高考理数真题试卷(广东卷)及解析

第1页，总12页2014年高考理数真题试卷（广东卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（ ） A.{0，1}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2}D.{﹣1，0，1}2.若变量x ，y 满足约束条件 {y ≤xx +y ≤1y ≥−1，且z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m ﹣n=（ ） A.5 B.6 C.7 D.83.已知向量 a → =（1，0，﹣1），则下列向量中与 a →成60°夹角的是（ ） A.（﹣1，1，0） B.（1，﹣1，0） C.（0，﹣1，1） D.（﹣1，0，1）4.设集合A={（x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5）|x i ∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为（ ） A.60 B.90 C.120 D.130第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）的解集为 ．6.曲线y=e ﹣5x +2在点（0，3）处的切线方程为 ．7.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．答案第2页，总12页○…………外…………○…………○…………线※答※※题※※○…………内…………○…………○…………线8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则ab= ．9.若等比数列{an }的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20= ．10.（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．11.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积= ．三、解答题（题型注释）25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，（1）确定样本频率分布表中n1， n2， f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．13.如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．第3页，总12页14.设数列{a n }的前n 项和为S n ， 满足S n =2na n+1﹣3n 2﹣4n ，n∈N * ， 且S 3=15． （1）求a 1 ， a 2 ， a 3的值； （2）求数列{a n }的通项公式． 15.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的右焦点为（ √5 ，0），离心率为 √53 ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P （x 0 ， y 0）为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 16.设函数f （x ）=√(x 2+2x+k)+2(x 2+2x+k)−3，其中k ＜﹣2．（1）求函数f （x ）的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数f （x ）在D 上的单调性；（3）若k ＜﹣6，求D 上满足条件f （x ）＞f （1）的x 的集合（用区间表示）．答案第4页，总12页………○…………装…………○…………订……………………线…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………装…………○…………订……………………线…参数答案1.B【解析】1.解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}， ∴M∪N={﹣1，0，1，2}， 故选：B 【考点精析】认真审题，首先需要了解集合的并集运算(并集的性质：（1）A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则AB ，反之也成立)．2.B【解析】2.解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y ，得y=﹣2x+z ，平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A ， 直线y=﹣2x+z 的截距最小，此时z 最小，由 {y =−1y =x ，解得 {x =−1y =−1，即A （﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点B ， 直线y=﹣2x+z 的截距最大，此时z 最大， 由 {y =−1y +x =1，解得 {x =2y =−1 ，即B （2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m ﹣n=3﹣（﹣3）=6， 故选：B ．3.B【解析】3.解：不妨设向量为 b →=（x ，y ，z ）， A ．若 b →=（﹣1，1，0），则cosθ= a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√2×√2=−12≠12 ，不满足条件．第5页，总12页订…………○…………线…………○…考号：___________订…………○…………线…………○…B ．若 b →=（1，﹣1，0），则cosθ= a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√2×√2= 12 ，满足条件． C ．若 b →=（0，﹣1，1），则cosθ= a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√2×√2=−12≠12 ，不满足条件． D ．若 b →=（﹣1，0，1），则cosθ= a →⋅b→|a →|⋅|b →|=√2×√2=−1≠12 ，不满足条件．故选：B【考点精析】解答此题的关键在于理解数量积表示两个向量的夹角的相关知识，掌握设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．4.D【解析】4.解：由于|x i |只能取0或1，且“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i 中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数： C 52×23； ②x i 中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数： C 53×22； ③x i 中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数： C 54×2 ． ∴总共方法数是 C 52×23+ C 53×22+ C 54×2 =130． 即元素个数为130． 故选：D ．5.（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）【解析】5.解：由不等式|x ﹣1|+|x+2|≥5，可得 {x ＜−2−2x −1≥5①，或 {−2≤x ＜13≥5②，或 {x ≥12x +1≥5③．解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2． 综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）， 所以答案是：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．答案第6页，总12页○…………外…………○………装…………○…………订…※※请※※※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※○…………内…………○………装…………○…………订…6.y=﹣5x+3【解析】6.解；y′=﹣5e ﹣5x ， ∴k=﹣5，∴曲线y=e ﹣5x +2在点（0，3）处的切线方程为y ﹣3=﹣5x ，即y=﹣5x+3． 所以答案是：y=﹣5x+3 7.16【解析】7.解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C 107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C 63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P= C 63C 107 = 16 ，所以答案是： 16 ．8.2【解析】8.解：将bcosC+ccosB=2b ，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB ， 即sin （B+C ）=2sinB ， ∵sin（B+C ）=sinA ， ∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b ， 则 ab =2．所以答案是：2【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义，需要了解正弦定理:才能得出正确答案．9.50【解析】9.解：∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11+a 9a 12=2e 5 ， ∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5 ， 则a 10a 11=e 5 ，∴lna 1+lna 2+…lna 20= ln(a 1a 2⋯a 20)=ln(a 10a 11)10=ln （e 5）10=lne 50=50． 所以答案是：50．【考点精析】本题主要考查了对数的运算性质和等比数列的基本性质的相关知识点，需要掌握①加法：②减法：③数乘：④⑤；{a n}为等比数列，第7页，总12页………○…………装………学校:___________姓名：_______………○…………装………则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {a n}是各项不为零的常数列才能正确解答此题． 10.（1，1）【解析】10.解：曲线C 1：ρsin 2θ=cosθ，即为ρ2sin 2θ=ρcosθ， 化为普通方程为：y 2=x ，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立 {y 2=x y =1，即交点的直角坐标为（1，1）． 所以答案是：（1，1）． 11.9【解析】11.解：∵ABCD 是平行四边形，点E 在AB 上且EB=2AE ， ∴ CDAE = 31 ，∵ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△CDF∽△AEF， ∴△CDF 的面积△AEF 的面积 =（ CDAE ）2=9．所以答案是：9． 12.（1）解：（40，45]的频数n 1=7，频率f 1=0.28；（45，50]的频数n 2=2，频率f 2=0.08 （2）解：频率分布直方图：（3）解：设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A ，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件 A ¯， 已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为 525=15 ，∴P（A ）= C 40(1−15)4 = 256625 ，答案第8页，总12页∴P（ A ¯）=1﹣P （A ）= 369625 ，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为 369625 ．【解析】12.（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n 1 ， n 2 ， f 1和f 2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布表的相关知识，掌握第一步，求极差；第二步，决定组距与组数；第三步，确定分点，将数据分组；第四步，列频率分布表，以及对频率分布直方图的理解，了解频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息． 13.（1）解：∵PD⊥平面ABCD ，∴PD⊥AD， 又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD ， ∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF ，即CF⊥平面ADF（2）解：设AB=1，在RT△PDC 中，CD=1，∠DPC=30°， ∴PC=2，PD= √3，由（1）知CF⊥DF，∴DF= √32 ，AF= √AD 2+DF 2 = √72，∴CF= √AC 2−AF 2 = 12 ，又FE∥CD，∴ DE PD =CF PC =14 ，∴DE= √34 ，同理可得EF= 34 CD= 34 ， 如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则A （0，0，1），E （ √34 ，0，0），F （ √34 ， 34 ，0），P （ √3 ，0，0），C （0，1，0） 设向量 m →=（x ，y ，z ）为平面AEF 的法向量，则有 m →⊥AE →， m →⊥EF →，∴ {m →⋅AE →=√34x −z =0m →⋅EF →=34y =0，令x=4可得z= √3，∴ m →=（4，0， √3），由（1）知平面ADF 的一个法向量为 PC →=（ −√3 ，1，0）， 设二面角D ﹣AF ﹣E 的平面角为θ，可知θ为锐角， cosθ=|cos＜ m →， PC →＞|= m →⋅PC→|m →|⋅|PC →|=√3√19×2=2√5719∴二面角D ﹣AF ﹣E 的余弦值为：2√5719第9页，总12页……线…………○………线…………○…【解析】13.（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF ，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可． 【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想． 14. （1）解：由S n =2na n+1﹣3n 2﹣4n ，n∈N *，得： S 2=4a 3﹣20 ① 又S 3=S 2+a 3=15 ②联立①②解得：a 3=7．再在S n =2na n+1﹣3n 2﹣4n 中取n=1，得： a 1=2a 2﹣7 ③又S 3=a 1+a 2+7=15 ④联立③④得：a 2=5，a 1=3．∴a 1，a 2，a 3的值分别为3，5，7（2）解：∵a 1=3=2×1+1，a 2=5=2×2+1，a 3=7=2×3+1． 由此猜测a n =2n+1．下面由数学归纳法证明：①当n=1时，a 1=3=2×1+1成立． ②假设n=k 时结论成立，即a k =2k+1． 那么，当n=k+1时，由S n =2na n+1﹣3n 2﹣4n ，得 S k =2ka k+1−3k 2−4k ，S k+1=2(k +1)a k+2−3(k +1)2−4(k +1) ，两式作差得： a k+2=2k+12k+2a k+1+6k+72k+2 ． ∴ a k+1=2k−12ka k +6k+12k= 2k−12k ⋅(2k +1)+6k+12k=4k 2−1+6k+12k=2（k+1）+1．答案第10页，总12页………○………※※请※※………○………综上，当n=k+1时结论成立． ∴a n =2n+1．【解析】14.（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S 3变为S 2+a 3得另一关系式，联立可求a 3 ， 然后把递推式中n 取1，再结合S 3=15联立方程组求得a 1 ， a 2；（2）由（1）中求得的a 1 ， a 2 ， a 3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明． 【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案． 15.（1）解：依题意知 {a 2−b 2=5ca=√5a=√53，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为 x 29 + y 24 =1（2）解：①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A 、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P （x 0，y 0）的切线为y=k （x ﹣x 0）+y 0，x 29 + y 24 = x 29 + [k(x−x 0)+y 0]24=1，整理得（9k 2+4）x 2+18k （y 0﹣kx 0）x+9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0， ∴△=[18k（y 0﹣kx 0）]2﹣4（9k 2+4）×9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0， 整理得（x 02﹣9）k 2﹣2x 0×y 0×k+（y 02﹣4）=0， ∴﹣1=k 1•k 2= y 02−4x2−9 =﹣1，∴x 02+y 02=13．把点（±3，±2）代入亦成立， ∴点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=13【解析】15.（1）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出k 1•k 2 ， 进而取得x 0和y 0的关系式，即P 点的轨迹方程．【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：．16.（1）解：设t=x 2+2x+k ，则f （x ）等价为y=g （t ）=2 ，要使函数有意义，则t 2+2t ﹣3＞0，解得t ＞1或t ＜﹣3， 即x 2+2x+k ＞1或x 2+2x+k ＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k ，①或（x+1）2＜﹣2﹣k ，②， ∵k＜﹣2，∴2﹣k ＞﹣2﹣k ，第11页，总12页由①解得x+1＞ √2−k 或x+1 ＜−√2−k ，即x ＞ √2−k ﹣1或x ＜−1−√2−k ， 由②解得﹣ √−2−k ＜x+1＜ √−2−k ，即﹣1﹣ √−2−k ＜x ＜﹣1+ √−2−k ， 综上函数的定义域为（ √2−k ﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣ √2−k ）∪（﹣1﹣ √−2−k ，﹣1+ √−2−k ）（2）解：f′（x ）=[2(x 2+2x+k)+2](2x+2)[√(x 2+2x+k)2+2(x 2+2x+k)−3]3 =(x 2+2x+k+1)(2x+2)[√(x 2+2x+k)2+2(x 2+2x+k)−3]3=﹣2(x 2+2x+k+1)(x+1)[√(x 2+2x+k)2+2(x 2+2x+k)−3]3 ，由f'（x ）＞0，即2（x 2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+ √−k ）（x+1﹣ √−k ）（x+1）＜0解得x ＜﹣1﹣ √−k 或﹣1＜x ＜﹣1+ √−k ，结合定义域知，x ＜﹣1﹣ √2−k 或﹣1＜x ＜﹣1+ √−2−k ，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣ √2−k ），（﹣1，﹣1+ √−2−k ）， 同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣ √−2−k ，﹣1），（﹣1+ √2−k ，+∞）（3）解：由f （x ）=f （1）得（x 2+2x+k ）2+2（x 2+2x+k ）﹣3=（3+k ）2+2（3+k ）﹣3， 则[（x 2+2x+k ）2﹣（3+k ）2]+2[（x 2+2x+k ）﹣（3+k ）]=0， ∴（x 2+2x+2k+5）（x 2+2x ﹣3）=0即（x+1+ √−2k −4 ）（x+1﹣ √−2k −4 ）（x+3）（x ﹣1）=0， ∴x=﹣1﹣ √−2k −4 或x=﹣1+ √−2k −4 或x=﹣3或x=1， ∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+ √−2k −4 ），﹣3∈（﹣1﹣ √−2k −4 ，﹣1）， ∵f（﹣3）=f （1）=f （﹣1﹣ √−2k −4 ）=f （﹣1+ √−2k −4 ），且满足﹣1﹣ √−2k −4 ∈（﹣∞，﹣1﹣ √−2−k ），﹣1+ √−4+2k ∈（﹣1+ √2−k ，+∞），由（2）可知函数f （x ）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f （x ）＞ f （1）的集合为：答案第12页，总12页…订…………○…………线※※内※※答※※题※※…订…………○…………线（ −1−√−4−2k,−1−√2−k ）∪（﹣1﹣ √−2−k ，﹣3）∪（1，﹣1+ √−2−k ）∪（﹣1+ √2−k ，﹣1+ √−4−2k ）【解析】16.（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法和函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．。

2014年高考理科数学广东卷及答案

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数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -= ( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 ( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x xi =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3()122f =.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD 于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =. （Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析{1,0,1,2}M N =-在点(1,1)--处目标函数分别取得最小值3n =-，则6m n -=，故选B.【解析】09k <<(9)34k -=-【提示】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及221)(1,1,0)(1)1--+22221)(1,1,0)1(1)0-=+-+221)(0,1,1)1(1)-+-221)(1,0,1)1(1)-+-【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论2000)2%200=20002%50%20=可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图可得出结论，14l l ，的位置关系不确定.。

2014年高考理科数学广东卷答案及解析

2014年高考理科数学广东卷答案及解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A. B. C. D.2．已知复数Z 满足，则Z=A. B. C. D.3．若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足，则曲线与曲线的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D .焦距相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是{1,0,1}M =-{0,1,2}N =M N ={1,0,1}-{1,0,1,2}-{1,0,2}-{0,1}(34)25i z +=34i -34i +34i --34i -+,x y 121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且m n m n -=09k <<221259x y k-=-221259x y k -=-()1,0,1a =-a 60︒1234,,,l l l l 122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定8．设集合，那么集合A 中满足条件“”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式的解集为 。

10．曲线在点处的切线方程为 。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。