【高考数学专题复习】专题10.1 随机时间与概率(解析版)

随机事件的概率及其计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A. B. C. D.2.北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A，B两队报名参加，A，B两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一个年级的概率是A. B. C. D.3.梅森素数是指形如2 p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天、乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A. B. C. D.5.下列命题中正确的是（）A. 事件A发生的概率P（A）等于事件A发生的频率f n（A）B. 一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点C. 掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“第一枚正面朝上，第二枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则P（A）=2P（B）D. 对于两个事件A、B，若P（A∪B）=P（A）+P（B），则事件A与事件B互斥6.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2-2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是( )A. B. C. D.7.袋子中有9个材质与大小都相同的小球,其中6个白球,3个红球.每次从袋子中随机摸出1个球且不放回,则两次都摸到白球的概率是( )A. B. C. D.8.从幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x-1中任意选取2个函数，其中一个函数是奇函数、另一个函数是增函数的概率等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。

第十章概率第一节随机事件的概率A级·基础过关|固根基|1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对解析：选A 由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级)的概率为( ) A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是( )A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，所以任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1 解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.故选C.5．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A ，B ，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 互斥C ．P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D ．P (A ＋B )＝1解析：选C 根据互斥事件的定义可知，A 与B ，A 与B 都有可能同时发生，所以A 与B 互斥，A 与B 互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A 与B 既不一定互斥，也不一定对立，所以P (A ＋B )＝1是不正确的．6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：07．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果：解析：由表格中的数据可知，该猕猴桃种子的发芽率约为80%. 答案：80%8．已知随机事件A ，B 发生的概率满足条件P (A ∪B )＝34，某人猜测事件A ∩B 发生，则此人猜测正确的概率为________．解析：事件A ∩B 与事件A ∪B 是对立事件，则P (A ∩B )＝1－P (A ∪B )＝1－34＝14.答案：149．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区(1)(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.10．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.故所求概率为502 000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722 000＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率. B 级·素养提升|练能力|11.掷一个骰子，事件A 为“出现的点数为偶数”，事件B 为“出现的点数小于6”，记事件A ，B 的对立事件为A ，B ，则P (A ＋B )＝( )A.56B.23C.12D.16解析：选B 因为P (A )＝36＝12，P (B )＝56，所以P (A )＝1－12＝12，P (B )＝1－56＝16，事件A 为“出现的点数为奇数”，B 为“出现的点数为6”，显然A 与B 互斥，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.12．已知随机事件A ，B 互斥，其发生的概率均不等于0，P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值X 围为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<3a －4<1，2－a ＋（3a －4）≤1，解得43<a ≤32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤43，3213.如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知得共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为P＝44100＝0.44.(2)由题意知选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为121212选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因为P(B1)<P(B2)，所以乙应选择L2.14．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110. 所以P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2) ＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.。

10.1 随机事件与概率(精讲)思维导图考法一 有限样本空间与随机事件【例1-1】(2021·全国高一)给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x 为某一实数时，可使x 2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；对于②，x =0时x 2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误； 对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C ．【例1-2】(2020·全国高一)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.(1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间；(2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】m 表示第一次摸出球的编号，用n 表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(),m n ，{},1,2,3,4m n ∈表示.(1)若第一次摸出的球不放回，则m n ≠，此时的样本空间可表示为()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，共有12个样本点.(2)若第一次摸出的球放回，则m ，n 可以相同.此时试验的样本空间可表示为(){}{},,1,2,3,4m n m n Ω=∈，常见考法共有16个样本点.【举一反三】1．(2021·全国高一课时练习)下列事件中，随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件故选：B2．(多选)(2020·全国高一单元测试)下列事件中，是随机事件的是( )A ．2021年8月18日，北京市不下雨B ．在标准大气压下，水在4C 时结冰C ．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签D ．若x ∈R ，则20x ≥【答案】AC【解析】A 选项与C 选项为随机事件，B 为不可能事件，D 为必然事件．故选：AC ．3．(2020·全国高一课时练习)写出下列各随机试验的样本空间：(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO 血型；(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；(5)射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析(4)详见解析(5)详见解析【解析】解：(1)一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；(2)一名同学的血型有四种可能结果：A 型、B 型、AB 型、O 型.故该试验的样本空间可表示为{},,,A B AB O Ω=；(3)每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}；(4)每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；(5)射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =.4．(2021·全国高一)写出下列试验的样本空间：(1)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，记录取球的次数；(2)甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果.【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】(1)从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，则取球次数为{}4,5,6,7,8,9,10N =；(2)由抽签确定演讲的顺序，抽签的结果即样本空间可表示为{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)}.考法二 事件的关系与运算【例2-1】(2020·全国高一课时练习)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件A =“1个红球和2个白球”，事件B =“2个红球和1个白球”，事件C =“至少有1个红球”，事件D“既有红球又有白球”，则：(1)事件D 与事件,A B 是什么关系？(2)事件C 与事件A 的交事件与事件A 是什么关系？【答案】(1)D A B =⋃.(2)事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【解析】(1)对于事件D ,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故D A B =⋃.(2)对于事件C ,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故C A A ⋂=,所以事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【例2-2】(2021·全国高一)掷一枚骰子，给出下列事件：A =“出现奇数点”，B =“出现偶数点”，C =“出现的点数小于3”. 求：(1)A B ，B C ⋂；(2)A B ，B C ⋃.【答案】(1)A B =∅，B C ⋂=“出现2点”. (2)A B =“出现1，2，3，4，5或6点”，B C =∪“出现1，2，4或6点”.【解析】由题意知：A =“出现奇数点”{}1,3,5=，B =“出现偶数点”{}2,4,6=，C =“出现的点数小于3”{}1,2=，(1)AB =∅，{}2BC ⋂==出现2点”； (2){}1,2,3,4,5,6A B ==“出现1，2，3，4，5或6点”，{}1,2,4,6B C ⋃==“出现1，2，4或6点”.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A =“三个圆的颜色全不相同”，事件B =“三个圆的颜色不全相同”，事件C =“其中两个圆的颜色相同”，事件D“三个圆的颜色全相同”.(1)写出试验的样本空间.(2)用集合的形式表示事件,,,A B C D .(3)事件B 与事件C 有什么关系？事件A 和B 的交事件与事件D 有什么关系？并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)事件B 包含事件C ，事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}.(2)A ={(红,黄,蓝)} B ={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}C ={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)}.D {(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.(3)由(2)可知事件B 包含事件C ,事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.2．(2021·全国高一)记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A ，B ，C ，D ，指出下列事件的含义：(1)A B C ；(2)B C ∩；(3)B C D ∪∪.【答案】(1)射中10环或9环或8环.(2)射中9环.(3)射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】(1)A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环. (2)C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.(3)B C D=∪∪射中9环或8环或7环，则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.3．(2021·全国高一)在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：(1)甲未中靶；(2)甲中靶而乙未中靶；(3)三人中只有丙未中靶；(4)三人中至少有一人中靶；(5)三人中恰有两人中靶.【答案】(1)A(2)AB(3)ABC(4)ABC(5)()()() ABC ABC ABC【解析】(1)甲未中靶：A.(2)甲中靶而乙未中靶：A B⋂,即AB.(3)三人中只有丙未中靶：A B C,即ABC.(4)三人中至少有一人中靶ABC.(5)三人中恰有两人中靶()()()ABC ABC ABC.考法三互斥与对立【例3】(多选)(2020·全国高一课时练习)袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是( )A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B 中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B 成立；在C 中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C 不成立；在D 中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D 成立；故选：BD.【举一反三】1．(多选)(2020·全国高一课时练习)一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是( )A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误 对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确故选：BD2．(多选)(2020·全国高一课时练习)下面结论正确的是( )A ．若()()1P A PB +=，则事件A 与B 是互为对立事件B ．若()()()P AB P A P B =，则事件A 与B 是相互独立事件C ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件D ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件【答案】BD【解析】对于A 选项，要使,A B 为对立事件，除()()1P A P B +=还需满足()0P AB =，也即,A B 不能同时发生，所以A 选项错误.对于C 选项，A 包含于B ，所以A 与B 不是互斥事件，所以C 选项错误.对于B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确.对于D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确.故选：BD3．(2020·全国高一课时练习)在试验E “连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j ，事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，(1)试用样本点表示事件A B 与A B ；(2)试判断事件A 与B ，A 与C ，B 与C 是否为互斥事件；(3)试用事件j A 表示随机事件A .【答案】(1)详见解析(2)事件A 与事件B ，事件A 与事件C 不是互斥事件，事件B 与事件C 是互斥事件.(3)123456A A A A A A A =【解析】由题意可知试验E 的样本空间为Ω=()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,()()()()()()}6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6. (1)因为事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,即()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A =.因为事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,即()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1B =.所以(){}1,5A B =,()()()()()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,3,3,4,2,5,1A B =.(2)因为事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以()()(){}1,4,2,5,3,6C =.因为(){}1,5A B =≠∅,(){}1,4A C =≠∅,B C =∅,所以事件A 与事件B ,事件A 与事件C 不是互斥事件,事件B 与事件C 是互斥事件.(3)因为事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j ”,所以(){}(){}(){}(){}(){}(){}1234561,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A A A A A A ======, 所以123456A A A A A A A =.考法四 古典概型【例4】(2020·全国高一课时练习)在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是5，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的概率为( )A ．0.18B ．0.2C ．0.28D ．0.32 【答案】C【解析】用(),x y 表示两位老师的打分，则(),x y 的所有可能情况有1010100⨯=种.当50x =时，y 可取50，51，共2种；当51x =，52，53，54，55，56，57，58时，y 的取值均有3种；当59x =时，y 可取58，59，共2种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的情况有28种，由古典概型的概率公式可得所求概率280.28100P ==故选：C. 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为( )A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】D【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个，其中符合条件的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)共4个，所求概率为4263P ==.故选：D 2．(2021·全国高一)把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为( )A ．23B ．13C ．35D ．14【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4，()12,4,3，()3,12,4，()4,12,3，()3,4,12，()4,3,12，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4，()4,23,1，()23,1,4，()23,4,1，()1,4,23，()4,1,23，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34，()2,1,34，()34,1,2，()34,2,1，()1,34,2，()2,34,1，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为61183P ==. 故选：B .3．(2021·全国高一)为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取100名新兵，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]进行整理，如下表所示：组号分组 频数 第1组 [160,165)5 第2组[165,170) 35 第3组 [170,175)30 第4组 [175,180)20 第5组 [180,185]10 合计 100(1)在下面的图纸中，画出频率分布直方图；(2)若在第4，5两组中，用分层抽样的方法抽取6名新兵，再从这6名新兵中随机抽取2名新兵进行体能测试，求这2名新兵来自不同组的概率．【答案】(1)直方图见解析；(2)815.【解析】(1)频率分布直方图如下图所示：（2）因为第4，5组共有30名新兵，所以利用分层抽样从中抽取6名，每组应抽取的人数分别为：4组：206430⨯=名，第5组：106230⨯=名，设第4组抽取的4名新兵分别为1A，2A，3A，4A，第5组抽取的2名新兵分别为1B，2B．从这6名新兵中随机抽取2名新兵，有以下15种情况：12{,}A A，13{,}A A，14{,}A A，11{,}A B，12{,}A B，23{,}A A，24{,}A A，21{,}A B，22{,}A B，34{,}A A，31{,}A B，32{,}A B，41{,}A B，42{,}A B，12{,}B B，这2名新兵来自不同组的情况有以下8种：11{,}A B，12{,}A B，21{,}A B，22{,}A B，31{,}A B，32{,}A B，41{,}A B，42{,}A B，故所求的概率P=815．考法五概率的基本性质【例5-1】(2020·全国高一课时练习)老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指( )A ．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B ．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道C ．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D ．以上解释都不对 【答案】C【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C 【例5-2】(2020·全国高一课时练习)在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别(M (男)、F (女))及年级(1G (高一)、2G (高二)、3G (高三))分类统计的人数如下表：1G2G3GM 18 20 14 F17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P MF =____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P M G =____________，()3P FG =____________【答案】0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 【解析】()()123182014520.52100100100100P M P MG MG MG ==++==； ()()10.48P F P M =-=； ()1P MF =；()()0P MF P =∅=；()()11118170.35100100P G P MG FG ==+=； ()()()()2220.520.440.200.76P MG P M P G P MG =+-=+-=；()370.07100P FG == 故答案为：(1)0.52；(2)0.48；(3)1；(4)0；(5)0.35；(6)0.76；(7)0.07 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是( ) A ．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次 B ．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖 C ．某顾客消费210元，一定不能中奖 D ．某顾客消费1000元，至少能中奖1次 【答案】B 【解析】中奖概率110表示每一次抽奖中奖的可能性都是110，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖， 故选：B.2．(2020·全国高一课时练习)某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率； (1)命中10环；(2)命中的环数大于8环； (3)命中的环数小于9环； (4)命中的环数不超过5环.【答案】(1)0.2 (2)0.5 (3)0.5 (4)0 【解析】用x 表示命中的环数，由频率表可得. (1)(10)0.2P x ==；(2)(8)P x P >=(9x =或10x =)(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=； (3)(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=； (4)(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.3．(2021·全国高一课时练习)判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例 (1)互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； (2)互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；(3)事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；(4)事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】(1)错误，举例见解析；(2)正确；(3)错误，举例见解析；(4)错误，举例见解析. 【解析】(1)错误；(2)正确；(3)错误：(4)错误. 设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.(1)中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立. (2)由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确(3)中反例，取{1},A B ==∅,则1()()4P A B P A ⋃==1()()()4P AB AB P AB P A ⋃===. (4)中反例，取{1},{1,2}A B ==,则1()()4P AB P A ==,1()()4P AB AB P AB ⋃==.4．(2020·全国高一课时练习)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.【答案】(1)0.72 (2)0.26 (3)0.02 (4)0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立 由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====. (1)AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义 得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯= (2)“恰好有一人中靶” ABAB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()P ABAB P AB P AB=+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=(3)事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅()()10.810.90.02=-⨯-=(4)方法1：事件“至少有一人中靶”AB ABAB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥,所以()P ABAB AB()()()P AB P AB P AB =++ ()()P AB P ABAB =+0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶” 根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=5．(2020·全国高一课时练习)已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如135，256，345等)现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. (2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)不公平，理由见解析.【解析】(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.(2)不公平由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A ，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得13()20A P A ==事件含有的基本事件的个数试验所有基本事件的总数，又A 与B 对立，所以137()1()12020P B P A =-=-=， 所以()()P A P B >.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.。

第十章概率第一节随机事件的概率[考纲传真] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，A∪B(或A＋B)(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1；(2)必然事件的概率P(A)＝1；(3)不可能事件的概率P(A)＝0；(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．[常用结论]1．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生． ()(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶D[“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定B[抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0,1,2，…，10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．]4．(教材改编)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．12[由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约是3366＝1 2.]5．(2019·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．0．35[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]随机事件之间的关系1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡A[至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．]2．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与D B与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，B∩C＝∅，A∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，B 与C，A与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．][规律方法]判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.对立事件是互斥事件的充分不必要条件.(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.随机事件的概率与频率【例1】(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出01234≥5(1)记A P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的 1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆)500130100150120(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率是P(C)＝0.24.互斥事件与对立事件概率公式的应用【例2】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率约为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000， 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.率求和公式计算.(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：派出人数≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或(2)求至少有3人外出家访的概率．[解](1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.。