概率密度函数的性质

A
由P(B )=1, 不能推出 B = S 称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
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p (x) 要注意的是: 密度函数
p(x) 在某点处 a的高度
1
0
x p(a) 并不是 X a 的概率.
但是这个高度越大，则X取a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线
的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
lim P( x X x x)
x0
x
x x
lim x p(t)dt
x0
x
p(x)
故X 的密度 p(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落在
区间 ( x, x x] 的概率与区间长度x 之比的极限.
这里，如果把概率理解为质量，p(x) 相当于线密度.
p(x) 不是概率. p(x)d x 在连续型随机变量理论中
0 x1 x2 x
பைடு நூலகம்
px lim Px X x x
x0
x
若不计高阶无穷小，有： Px X x x px x
这表示X落在小区间[x,x+Δx] 上的概率近似地等于pxx.
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对 p(x) 的进一步理解:
若 x 是 p(x) 的连续点，则：
x
面积为1
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例1 设有函数
sin x 0 x
F(x)
0 其它
试说明 Fx 能否是某个随机变量的分布函数.
由上述性质可知，对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
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若已知连续型随机变量 X 的密度函数为px，
则X 在任意区间D（D可以是开区间, 也可以是 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间）上取值的概率为，
PX D pxdx
所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型随机变量
理论中所起的作用相类似.
6
（5） 对任意实数a，则 PX a 0
这是因为
P( X a) lim P(a x X a) x0
a
lim x0
p(x)dx
ax
0
可见， 由P(A )=0, 不能推出
X的密度函数的充要条件。
p (x) 面积为1
1
0
x
4
3 P(x1 X x2 )＝ x2 p(t) d t x1
x1 x2
密度函数的几何意义
p (x)
即X落在[x1, x2 ]上的概率 [x1, x2 ]
上曲线 y px 之下的曲边
梯形的面积。
（4）若 px 在点x 处连续，则有
D
对连续型随机变量X, 有
P(a X b) P(a X b)
P(a X b) P(a X b)
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例1 某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
px 0k x2
x 100 other
求 1、常数 k .
2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。
p (x)
所以若已知密度函数，
该连续型随机变量 0
的概率分布规律就得到了全面描述.
xx
3
二、 概率 密度函数的性质
(1) 非负性 px 0 x ,
(2) 归一性
p(x)dx＝1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
这两条性质是判定一个函数 p(x) 是否为某随机变量
第五节
第二章
连续性随机变量
一 、概率密度函数的概念 二、概率密度函数的性质 三、连续型随机变量的分布函数
1
一、概率密度函数的概念 离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但
另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个， 其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X 的 取值及其概率。因此通过所谓概率密度来描述这类随机 变量的统计规律性。
3 81
11
三、连续性随机变量的分布函数
对于连续性随机变量X，存在密度函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
F (x)＝P( X x)＝ x p(t)dt
则称F(x) 为连续型随机变量X的分布函数，
由于连续型随机变量的分布
函数唯一被它的密度函数所 确定. 所以若已知密度函数， 该连续型随机变量的概率 分布规律就得到了全面描述。
p (x)
F ( x)
0x
x
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连续性随机变量分布函数的性质
(1) Fx是连续的单增函数
0 Fx 1 x ,
F(x)＝ x p(t)dt px 0

F ( x)
p (x)
F ( x)
1
0x
x
0
x
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（2）若 px在点x 处连续，则有 F(x) px
p x lim F x x F x
x0
x
P x X x x
lim
x0
x
(3) F () lim F (x)＝0. x F () lim F (x) x p(x)dx＝1.
p(x)
1
0
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其 导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。
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定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
P( X x)＝ x p(t)dt
则称X为连续型随机变量， p x为X的概率密度函数，
简称密度函数或密度.
3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i 1, 2, 3, 4. 10
P Ai

PX
150

1 3
由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为
P(A1 U A2 U A3 U A4 ) 1 P(A1 U A2 U A3 U A4 )
1 P( A1)P( A2 )P( A3)P( A4 ) 1 ( 2)4 65
3、一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150h后，
至少有1只失效的概率。
解 1、 1 k x2d x k 1 k k 100
100
x 100 100
2. PX 150 100 150 x2d x 100( 1 1 ) 1
100
100 150 3