2020届高三数学一轮复习强化训练精品――几何证明选讲

14 分
因此∠ ACC′= 180 30 =75°, 2
A =90-75=15 ， Ω =90，因此， P〔D〕= 15 = 1 . 90 6
例 5 甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去. 求两人能会面的概率 .
解 以 x 轴和 y 轴分不表示甲、 乙两人到达约定地点的时刻， 那么两人能够会面的充要条件是 | x- y| ≤15. 在如下图平面直
1 000
记事件 B：〝取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子〞 .
9分
那么 P〔 B〕= 30 =0.03 ，即取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为 1 000
0.03.
例 4 在 Rt△ ABC中，∠ A=30°，过直角顶点 C 作射线 CM交线段 AB于 M，求使 | AM| ＞| AC| 的概率 . 解 设事件 D〝作射线 CM，使 | AM| ＞| AC| 〞. 在 AB上取点 C′使 | AC′|=| AC| ，因为△ ACC′是等腰三角形，
的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，那么落入 E 中的概率为
.
2 的点构成的区域， E 是到原点
答案 16
3. 如下图，有一杯 2 升的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水，求小杯水中含有那个细菌的概率 .
解 记〝小杯水中含有那个细菌〞为事件 A，那么事件 A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件
角坐标系下，〔x, y〕的所有可能结果是边长为 60 的正方形区域，而事件 A〝两人能够会面〞的可能结果由图中的阴影部
分表示 . 由几何概型的概率公式得：
P〔A〕 = SA = 602 452 = 3 600 2 025 = 7 .

4×(3＋2＋4)＝36， ∴PA＝6.
题型分类·深度剖析
题型二
圆的切割线定理的应用
【例 2】 如图所示，已知 PA 与 解析
答案 思维升华
⊙O 相切，A 为切点，PBC 为 在与圆有关的问题中，或在特殊的几
割线，D 为⊙O 上一点，AD， 何图形中，常利用“四定理”及三角形
BC 相交于点 E.
相似等知识来证明线段相等或线段
【例 1】 如图，△ABC 中，D
解析
答案 思维升华
是 AC 的中点，E 是 BC 延长 利用平行线分线段成比例定理
线上一点，过 A 作 AH∥BE. 及推论证明比例式应注意：
连接 ED 并延长交 AB 于 F， (1)作出图形，观察图形及已知条 交 AH 与 H.如果 AB＝4AF， 件，寻找合适的比例关系；
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
6．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ． 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 ． 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 ． (2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的 切线 ．
成比例等问题．
一般地，涉及圆内的两条相交弦时首
先考虑相交弦定理，涉及两条割线时
若 F 为 CE 上 一 点 且 使 得 要想到割线定理，涉及切线和割线时
∠EDF＝∠P，已知 EF＝1， 要注意应用切割线定理，要注意相交
EB＝2，PB＝4，则 PA 的长为 弦定理中线段之间的关系与切割线
__6______．
题型分类·深度剖析
题型三
圆的有关性质的综合应用
解析
答案 思维升华

选修4－1几何证明选讲A第1讲相似三角形的判定及有关性质[最新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.诊断自测1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案3 22.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC 等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴BC EF ＝3 2.又EF＝8，∴BC＝12.答案123. (2018·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC ＝________.解析 在Rt △ADB 中， DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3.答案 1∶ 35. (2018·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________.解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BFFC ＝12.答案 12考点一 平行截割定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3， 又AD AB ＝23，∴AB ＝92.答案 92规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析 如图，延长AD ，BC 交于一点O ，作OH ⊥AB 于点H . ∴x x ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二 相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点， ED 、CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等． 【训练2】 (2018·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.解析∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠为公共角，所以△PDE∽△PEA，PD PE＝PEP A，即PE2＝PD·P A＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD 交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，∴AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝______，BC＝______.解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ，△DAB 中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ，再结合第(1)问结论得证． 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 综合(1)的结论知，AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD ∽△ABD ，从而无法解答．(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立． 2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用． 【自主体验】(2018·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明 连接OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以AD AC ＝OD BC . 又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD .第2讲直线与圆[最新考纲]1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知识梳理1．圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．与圆有关的比例线段基本图形条件结论应用P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC(2)应用相似求AC、BDP A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)已知P A、PB、PC知一(2)求解AB、ACP A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P(2)求角(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．诊断自测1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．解析连接CP.由推论2知∠CP A＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42.如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝______.解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°， ∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交 于点P .若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD 的值为________．解析 ∵ABCD 为圆内接四边形，∴∠PBC ＝∠ADP ，又∠P ＝∠P ，∴△BCP ∽△DAP ，∴BC AD ＝PB PD ＝13. 答案 134. (2018·广州调研)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析 连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°. 答案 125°5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径r＝________.解析设⊙O的半径为r(r＞0)，∵P A＝1，AB＝2，∴PB＝P A＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，P A·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝ 6.答案 6考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC ＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求∠DAC的度数；(2)求线段AE的长．解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(1)(2)法一连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.法二连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，(2)又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角．所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AEAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.考点二 与圆有关的比例线段【例2】 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1)AD ＝AE ； (2)AD 2＝DB ·EC .证明 (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ， ∠ADE ＝∠APD ＋∠P AB .因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD . 又P A 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠P AB . 所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE .(2)⎭⎬⎫∠PCE ＝∠P AD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△P AD ⇒EC AD ＝PCP A ；⎭⎬⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△P AE ∽△PBD ⇒AE DB ＝P APB .又P A 是切线，PBC 是割线⇒P A 2＝PB ·PC ⇒P A PB ＝PCP A . 故EC AD ＝AEDB ，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB ·EC .规律方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【训练2】(2018·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB ＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形．所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以CACB＝CF CA，CF＝CA2CB＝83.答案83考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】(2018·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练3】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°，∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.关于圆的综合应用【典例】如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC 相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．[审题视点](1)连接AB，在⊙O1中使用弦切角定理，在⊙O2中使用圆周角定理，即可证明∠D＝∠E；(2)根据切割线定理，只要求出BE的长度即可，在⊙O2中根据相交弦定理可得BP·PE，根据(1)中△ADP∽△CEP，又可得BP，PE的一个方程，解方程组求出BP ，PE 的长度即可． (1)证明 连接AB ，如图所示．∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E .∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC . (2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ， ∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12.① ∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ， ∴DP EP ＝APCP ，即9＋x y ＝62，②由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1.(负值舍去)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.[反思感悟] 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把⊙O 2中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【自主体验】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明 ∵BE 切⊙O 于B ， ∴∠ABE ＝∠ACB .又AD ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABC ， ∴△EAB ∽△ABC ， ∴AE AB ＝AB BC . ∴AB 2＝AE ·BC .(2)解 由(1)△EAB ∽△ABC ，∴BE AC ＝AB BC . 又AE ∥BC ，∴EF AF ＝BE AC ，∴AB BC ＝EF AF. 又AD ∥BC ，∴，∴AB ＝CD ，∴CD BC ＝EF AF ，∴58＝EF6， ∴EF ＝308＝154.。

【走向高考】2020年高考数学总复习 13-1几何证明选讲课后作业北师大版一、选择题1．(2020·北京理，5)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长A F与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②A F·AG＝AD·AE；③△A F B∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③[答案] A[解析]本题主要考查了圆的切线及有关定理．依题意：①正确，由圆的切线可知：BC＝B F＋F C＝BD＋CE，∴AD＋AE＝AB＋BC＋CA.②正确，∵A F·AG＝AD2且AD＝AE，∴A F·AG＝AD·AE.③错误．若△A F B∽△ADG，则ABAG＝A FAD，即A F·AG＝AB·AD.这与A F·AG＝AD2矛盾，故选A.2．自圆O外一点P引圆的切线，切点为A，M为PA的中点，过M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BM P＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小为( )A．10°B．20°C．30°D．40°[答案] B[解析]因为PA与圆相切于点A，所以AM2＝MB·MC.而M为PA的中点，所以PM＝MA，则PM2＝MB·MC，∴PMMC ＝MB PM.又∠BMP＝∠PMC，所以ΔBMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，在△PMC中，由∠CMP＋∠MPC ＋∠MCP＝180°，即∠CMP＋∠BPC＋2∠MPB＝180°，所以100°＋40°＋2∠MPB＝180°，从而∠MPB＝20°.二、填空题3．(2020·天津理，12)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且D F＝C F＝2，A F:F B:B E＝4:2:1.若CE与圆相切，则线段CE的长为______．[答案]7 2[解析]本题主要考查切割定理及相交弦定理，设每份为a，则A F＝4a，F B＝2a，BE＝a，根据相交弦定理：D F·F C＝A F·F B，则2＝8a2，∴a2＝14，由切割定理：EC2＝BE·AE＝7a2，∴EC2＝74，∴EC＝72.4．(2020·湖南理)如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知PA ＝2，点P 到⊙O的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________．[答案] 6[解析] 根据切线长定理：PT 2＝PA·PB，PB ＝PT 2PA ＝162＝8.所以AB ＝PB －PA ＝8－2＝6.5．(2020·徐州模拟)如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且E F ∥BC，若AD ＝12，BC ＝20，则E F ＝________.[答案] 15[解析] ∵AD∥BC，∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝58， ∵OE∥AD，∴OE AD ＝OB BD ＝58， ∴OE＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得O F ＝38BC ＝38×20＝152，∴E F ＝OE ＋O F ＝15.6．(2020·湘潭模拟)如图，已知⊙O 的直径AB ＝5，C 为圆周上一点，BC ＝4，过点C作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝________.[答案]12 5[解析]易得△BCA为直角三角形，且∠BCA＝90°，∴AC＝AB2－BC2＝52－42＝3.又∠DCA＝∠CBA，∴Rt△BCA∽Rt△CDA，∴BABC＝CACD，∴CD＝CA·BCBA＝3×45＝125.三、解答题7．(2020·江苏，21A) 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB:AC为定值．[解析]证明：连接AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上．故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2.所以BD∥CE，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB:AC 为定值．8．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．[解析] (1)∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC＝∠D，又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.(2)设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA＝6，PC ＝2，∴xy＝12(1)∵AD∥EC，∴PD PE ＝AP PC ，∴9＋x y ＝62(2) 由(1)、(2)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4 (∵x>0，y>0)∴DE＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.一、选择题1．如图，AB 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝( )A ．6 3B ．6C ．8D ．6 2[答案] A[解析]设CB＝AD＝x，则由割线定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12，因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2(勾股定理)∴62＋DE2＝122，∴DE＝6 3.[点评] 本题关键是设出CB＝AD＝x，利用割线定理，通过解一元二次方程求出x.2．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕F G的长为( )A．13 B.63 5C.656D.636[答案] C[解析]过A作AH∥F G交DG于H，则四边形A F GH为平行四边形．∴AH＝F G. ∵折叠后B点与E点重合，折痕为F G，∴B与E关于F G对称．∴BE⊥F G，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴BEAB＝AHAD.∵AB＝12，AD＝10，AE＝12AD＝5，∴BE＝122＋52＝13，∴F G＝AH＝BE·ADAB＝656.二、填空题3．(2020·湖南，11)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则A F的长为________．[答案]23 3[解析]本小题考查内容为几何证明——圆与三角形相似．如图，连结AE，OA，OE，∠AOB＝60°，OA＝2，∴AD＝ 3.又∵△A F E∽△O F B，∴A FF O＝AEBO，AE＝2，BD＝1，∴A F3－A F＝2，∴A F ＝233.4．(2020·北京理)如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD⊥AE，AB ＝4，BC＝2，AD ＝3，则DE ＝______；CE ＝________.[答案] 5 27[解析] 首先由割线定理不难知道AB·AC＝AD·AE，于是AE ＝8，DE ＝5，又BD⊥AE，故BE 为直径，因此∠C＝90°，由勾股定理可知CE 2＝AE 2－AC 2＝28，故CE ＝27.5．(2020·广东文)如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则E F ＝__________.[答案]a 2[解析]本题考查了最常规的平面几何知识，如图连接DE，BE綊CD，∴CDEB为矩形，∴DE⊥AB，DE又为中线，∴AD＝DB＝a，E F为中位线，∴E F＝a2 .6．(文)(2020·广东文，15)如右图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上点，且E F ＝3，E F ∥AB，则梯形AB F E 与梯形E F CD 的面积比为________．[答案] 7∶5[解析] 本题主要考查平面解析几何．利用面积公式．将线段AD 与BC 延长交于点H(如图所示)，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得S △HCD S △HE F ＝49，S △HCD S △HAB ＝416，故梯形AB F E 与梯形E F CD 的面积比为7∶5.(理)(2020·广东理，15)如图，过圆O 外作一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC＝∠APB，则AB ＝________.[答案]35[解析] 本题考查圆、圆的切线、相似三角形等平面几何知识．由圆的切线性质可知∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC，所以△PAB∽△ACB，所以AB BC ＝PB AB ，而BC ＝5，PB ＝7，∴AB 5＝7AB，∴AB 2＝35，AB ＝35.三、解答题7．(2020·新课标理，22)如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C、B、D、E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C、B、D、E所在圆的半径．[解析](1)证明：如图，连接DE，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即ADAC ＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂直，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，H F∥AC.从而H F＝AG＝5，D F＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.8．(2020·辽宁理，22)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB;(2)延长CD到F，延长DC到G，使得E F＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[解析](1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为E F＝EG，故∠E F D＝∠EGC，从而∠F ED＝∠GEC.连结A F，BG，则△E F A≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠A F G＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。