高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 选修系列(第3部分几何证明选讲)

逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
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几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释

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4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的 比例中项 .
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问题探究2：射影定理的应用条件是什么？ 提示：必须在直角三角形内.
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5.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的 一半 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等 . 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角 所对的弦是 直径 .
答案：A
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2．如图所示，已知圆 O 的直径 AB＝ 6，C 为圆 O 上一点， 且 BC＝ 2，过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D，则 DA 等于( )
A．1 B．2 C. 6 D．3
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解析：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，又 AB＝ 6，BC＝ 2， 得 AC＝2.BD 是圆 O 的切线，则 AB⊥BD，由射影定理得 BC2＝ AC·CD.故 CD＝1，所以 AD＝2＋1＝3.故选 D.
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(2)相似三角形的性质 性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于 相似比 ； ②相似三角形周长的比等于 相似比 ； ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似 比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 .
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7.圆的切线的性质及判定定理
(1)性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 . 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 .

考向一坐标系与参数方程1.讲高考【考纲要求】（1）坐标系①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变换情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形的方程。

通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标中的方程，理解用方程表示平面图片时选择适当坐标系的意义.⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.（2）参数方程①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆与圆锥曲线的参数方程.③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.【命题规律】综观各种类型的高考试卷，独立考查坐标系、参数方程有之，也有二者综合考查的题目，较多的是考查极坐标、参数方程与普通方程的互化，转化成普通方程下曲线位置关系的研究，预测2017年不会有太大的变化.例1【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1例2【2016高考新课标2文数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（为参数）,与C 交于,A B 两点，||AB =，求的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=2.讲基础一、平面直角坐标系下的伸缩变换设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x， λ＞0 ，y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x， λ>0 y′＝μ·y， μ>0 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆． 二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x≠0 (θ与(x ，y)所在象限一致)．三、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g(t)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t就是曲线的参数方程．2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px(p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．四、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM|＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB|＝|t 2－t 1|； (4)|PA|·|PB|＝|t 1·t 2|.3.讲典例【例1】(选修4～4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P （1,2）,设圆C 与直线l 交于点A ，B ．求∣PA ∣+∣PB ∣的最小值．【答案】（I ）22(3)9x y +-=;（Ⅱ） 【解析】【趁热打铁】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 : 2sin ρθ=,C 3: ρθ= (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值． 【答案】(1)3)2(2)4 【解析】(1)3)2(2) 1:(,0,0)C R θαρρθπ=∈≠≤<(2sin ,),,)A B αααα|2sin |4|sin()|3AB πααα=-=-当56πα=时，max ||4AB = 【例2】极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 【答案】（1）()()22112x y -+-=（2【趁热打铁】已知在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 33，（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ． （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线的距离d 的取值范围．【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为：0333=+-y x ，曲线C 的直角坐标方程为：1)2(22=+-y x ；（Ⅱ）[1,1]22-+4.讲方法(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k∈Z)表示同一点的坐标．(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．(5)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x ，y)到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M|＝|t|. (6)极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．（7）在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．5.讲易错【题目】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (为参数) ，与C 相交于A B 两点，则||AB = . 【错因】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错. 【正解】因为(sin 3cos )0ρθθ-=，所以θρθρcos 3sin -，所以03=-x y ，即x y 3=；由1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去得422=-x y .联立方程组⎩⎨⎧=-=4322x y x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22322y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22322y x ， 即)223,22(A ，)223,22(--B ， 由两点间的距离公式得52)223223()2222(||22=+++=AB .【反思提升】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.考向三不等式选讲1.讲高考（1）考纲要求1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a+b|≤|a|+|b|;②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.2.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义并会证明.①柯西不等式的向量形式：|α|·| β|≥|a·β|.②(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2.③.)()()()()()(231231232232221221yyxxyyxxyyxx-+-≥-+-+-+-(此不等式通常称为平面三角不等式.)（3）会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:（4）会用向量递归方法讨论排序不等式.（5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用故学归纳法证明一些简单问题.（6）会用数学归纳法证明贝努利不等式（1+x）n＞1+nx （x＞-1，x≠0，n为大于1的正整数），了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

选修4－1 几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)178～180页)应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题．① 理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题. ②了解直角三角形的射影定理．1. 如图，△ABC中， DE∥BC, DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，求BF的长．解：DEBC＝AEAC6BC＝35BC＝10，∴ BF＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，求DE与BC的长度比．解：因为DE∥BC，所以DEBC＝ADAB＝46＝23.3. 已知a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c交于点A、B、C和点A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，求A′C′的长．解：∵ AB＝BC，∴由平行线等分线段定理，知B′C′＝A′B′＝32，∴ A′C′＝A′B′＋B′C′＝32＋32＝3.4. 如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F.写出图中所有与△ACE相似的三角形．解：由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各有一个公共锐角，因而它们相似．又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.则图中所有与△ACE相似的三角形有△FCD，△FBE，△ABD.5. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，求AD的长．解：由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝B D·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.∵ AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴ AD＝mcos αsin α.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰．(2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1平行线分线段成比例问题, 1) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴ AD∥EF∥BC.∵ E是AB的中点，∴ F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴ EF是DC的垂直平分线，∴ ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明：∵ AM∥EN，∴ AD∶AB＝NM∶MB，NM∶MC＝AE∶AC.∵ MB＝MC，∴ AD∶AB＝AE∶AC.题型2三角形相似的证明与应用, 2) 已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC 的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：(1) △ABC≌△DCB；(2) DE·DC＝AE·BD.证明：(1) ∵ 四边形ABCD是等腰梯形，∴ AC＝DB.∵ AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD.(2) ∵ △ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵ AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.∵ ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∴△ADE∽△CBD.∴ DE ∶BD ＝AE∶CD， ∴ DE ·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点，垂足为E ，求sin ∠CAD 的值．解：在Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝15，AB ＝15＋9＝2 6.易证得△ABC∽△DBE，∴ BC BE ＝AB DB 36＝26BD ，∴ BD ＝4CD ＝1，AD ＝4，∴ sin ∠CAD ＝CD AD ＝14.题型3 射影定理的应用, 3) 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F.求证：AE·BF ·AB ＝CD 3.证明：∵ ∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴ CD 2＝AD ·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2.又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ，Rt △BDC 中，DF ⊥BC ，∴ AD 2＝AE·AC，BD 2＝BF·BC.∴ CD 4＝AE ·BF ·AC ·BC.∵ AC·BC＝AB·CD，∴ CD 4＝AE·BF ·AB ·CD ，即AE·BF·AB＝CD 3.备选变式（教师专享）如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明：由三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD·BC，即BD AB ＝AB BC.③由①③得DF AF ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.1. 如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，求EF 的长．解：连结DE 和BD.依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴ EBCD 为平行四边形． ∵ CB ⊥AB ，∴ DE ⊥AB.又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a. ∵ E 、F 分别是AD 、AB 的中点，∴ EF ＝12DB ＝12a.2. 如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB ∥CD.证明：由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA， 故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB. 再由△ABC≌△BAD 得∠CAB＝∠DBA. 因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是中位线，BD 交EF 于P ，已知EP∶PF＝1∶2，AD ＝7 cm ，求BC 的长．解：EF 是梯形中位线，得EF∥AD∥BC， ∴ PE AD ＝PE 7＝BE AB ＝12，PF BC ＝FD CD ＝12. ∵ PE ∶PF ＝1∶2, ∴ BC ＝2PF ＝14cm.4. 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM∥AF 交BC 于M ，因为DM∥AF，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF∥DM，所以S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .因为S △BDM ＝12BM ·h ，S △MDC ＝12MC ·h ，BM MC ＝32，所以S △DMC S △BDM ＝23.即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.1. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF∥AD. (1) 求证：OE ＝OF ；(2) 求OE AD ＋OEBC的值；(3) 求证：1AD ＋1BC ＝2EF.(1) 证明：∵ EF∥AD，AD ∥BC ，∴ EF ∥AD∥BC.∵ EF ∥BC ，∴ OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC.∵ EF ∥AD ∥BC ，∴ AE AB ＝DF DC .∴ OE BC ＝OFBC，∴ OE ＝OF.(2) 解：∵ OE∥AD，∴ OE AD ＝BE AB .由(1)知，OE BC ＝AEAB，∴ OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB＝1. (3) 证明：由(2)知OE AD ＋OE BC ＝1，∴ 2OE AD ＋2OEBC ＝2.∵ EF ＝2OE ，∴ EF AD ＋EFBC＝2，∴ 1AD ＋1BC ＝2EF. 2. 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，已知AB BD ＝BC BE ＝AC DE ＝53.(1) 若△ABC 与△DBE 的周长差为10 cm ，求△ABC 的周长；(2) 若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，求△DBE 的面积．解：(1) ∵ AB BD ＝BC BE ＝AC DE ＝53，∴ △ABC ∽△DBE. ∴ △ABC的周长△BED的周长＝53. 设△ABC 的周长为5k cm ，则△BED 的周长为3k cm ， ∵ 5k －3k ＝10，即2k ＝10.∴ k＝5. ∴ △ABC 的周长为25 cm.(2) 由(1)知△ABC∽△DBE，则S △ABC S △BED ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝259.设S △ABC ＝25k cm 2，则S △BED ＝9k cm 2，25k ＋9k ＝170， 解得k ＝5.∴ S △BED ＝45 cm 2.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.证明：连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ，∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC.∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n ， ∴ AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n . 又EG∥BC，FG ∥AD ， ∴ AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即ab＝cd(或a∶b＝c∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位．(2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a是b，c，d的第四比例项，那么应得比例式为bc＝da.请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时圆的进一步认识(对应学生用书(理)181～184页)掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题．① 理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理. ②能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题．1. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P.求BP的长．解：连结CP，由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB，∴ AP ＝3.6，∴ BP＝AB－AP＝6.4.2. 如图，AC为圆O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，求tan∠ACD的值．解：由相交弦定理和垂径定理得BP 2＝PC·PA＝16，BP ＝4.∵ ∠ACD ＝∠ABP，∴ tan ∠ACD ＝tan ∠ABP ＝AP BP ＝84＝2.3. 如图，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，求圆O 的面积．解：(解法1)连结OA 、OB ，则∠AOB＝90°. ∵ AB ＝4，OA ＝OB ，∴ OA ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.(解法2)2R ＝4sin45°＝42R ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.4. 如图，点B 在圆O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，∠BNA ＝45°，若圆O 的半径为2 3，OA ＝3OM ，求MN 的长．解：∵ ∠BNA＝45°，∴ ∠BOA ＝90°.∵ OM ＝2，BO ＝23，∴ BM ＝4.∵ BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，∴ MN ＝2.5. 如图，圆O 中弦AB 、CD 相交于点F ，AB ＝10，AF ＝2，若CF∶DF＝1∶4.求CF 的长．解：∵ CF∶DF＝1∶4，∴ DF ＝4CF. ∵ AB ＝10，AF ＝2，∴ BF ＝8.∵ CF ·DF ＝AF·BF，∴ CF ·4CF ＝2×8，∴ CF ＝2.1. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．(2) 推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．(3) 半圆(或直径)上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径． 2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定① 切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．② 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． ③ 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ④ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等． (2) 弦切角① 弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角．②弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．③推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等．4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．5. 圆内接四边形(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．[备课札记]题型1探求角的关系, 1) 如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.证明： 连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB＝90°. 又EF⊥AB，∠EFA ＝90°，所以A 、D 、E 、F 四点共圆． 所以∠DEA＝∠DFA. 备选变式（教师专享） (2014·常州期末)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE＝∠BAC.证明：∵ ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∴ AD ＝BC.从而AD ︵＝BC ︵. ∴ ∠ACD ＝∠BAC.∵ AE 为圆的切线，∴ ∠EAD ＝∠ACD. ∴ ∠DAE ＝∠BAC.题型2 求线段长度, 2) 如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G.(1) 求证：△DEF∽△EFA； (2) 如果FG ＝1，求EF 的长．(1) 证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED. 又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED. 又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.(2) 解：由(1)得EF FA ＝FD EF，即EF 2＝FA·FD.因为FG 是切线，所以FG 2＝FD·F A ，所以EF＝FG ＝1.变式训练(2014·苏锡常镇二模)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．解：连结EF ，则∠AEF＝90°.∵ ∠ACB ＝90°，∴ B 、C 、F 、E 四点共圆．则∠AFE＝∠B.∵ ∠ADE＝∠AFE，∴ ∠ADE ＝∠B.∴ B 、P 、D 、E 四点共圆． 则AE·AB＝AD·AP.∵ AE ＝EB ＝4，AD ＝5，∴ AP ＝325.题型3 证明线段相等, 3) 如图，在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N.若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM.证明： 在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的角平分线，所以AC BC ＝AMBM.又已知AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM.①又BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线，所以BM·BA＝BN·BC，即BA BC ＝BNBM.②由①②可知，2AM BM ＝BNBM，所以BN ＝2AM.备选变式（教师专享）(2014·南通期末)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.证明：在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的平分线，所以AC BC ＝AM BM.①因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线，所以BM·BA＝BN·BC，即BA BC ＝BNBM.又BN ＝2AM ，所以BA BC ＝2AMBM.②由①②，得AB ＝2AC.题型4 证明线段成比例, 4) 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F.求证：(1) E 是BC 的中点； (2) AD·AC＝AE·AF.证明：(1) 连结BD ，因为AB 为圆O 的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB 切圆O 于点B 且ED 切圆O 于点D ，因此EB ＝ED ，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE ＋∠EDB＝90°＝∠EBD ＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED ＝EC ，因此EB ＝EC ，即E 是BC 的中点．(2) 连结BF ，显然BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有AB AF ＝AEAB，即AB 2＝AE·AF，同理可得AB 2＝AD·AC， 所以AD·AC＝AE·AF. 备选变式（教师专享）(2014·苏州期末)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD＝BC ·DE.证明：由相交弦定理，得AC ·CD ＝MC·NC，BC ·CE ＝MC·NC， ∴ AC ·CD ＝BC·CE.即(AB ＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，即AB·CD＋BC·CD＝BC·CD＋BC·DE， ∴ AB ·CD ＝BC·DE.1. 如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的值．解：依题意易知△ABC∽△CDE，所以AB CD ＝BC DE .又BC ＝CD ，所以BC 2＝AB·DE＝12，从而BC ＝2 3.2. (2014·无锡期末)如图，锐角三角形ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E ，若△ABC 面积S ＝34AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：连结BE ，由AD 是∠BAC 的平分线， ∴ ∠BAE ＝∠CAE.由圆周角结论，得∠AEB＝∠ACB，∴ △ABE ∽△ADC ，∴ AD ·AE ＝AB·AC.∴ S △ABC ＝12AB ·ACsin ∠BAC ＝34AD ·AE ，∴ sin ∠BAC ＝32. ∵ ∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ ∠BAC ＝π3.3. (2014·南通一模)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP∥CA，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE∽△BDE.证明：因为PA 是圆O 在点A 处的切线， 所以∠PAB＝∠ACB.因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB， 所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE. 又∠PEA ＝∠BED，故△PAE∽△BDE.4. 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D.(1) 证明：DB ＝DC ；(2) 设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．(1) 证明：连结DE ，交BC 与点G. 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE. ∵ ∠ABE ＝∠CBE ，∴ ∠CBE ＝∠BCE，∴ BE ＝CE.∵ DB ⊥BE ，∴ DE 是直径，∠DCE ＝90°. 由勾股定理可得DB ＝DC.(2) 解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE，BD ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，∴ BG ＝32. 设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG＝60°， ∠ABE ＝∠BCE＝∠CBE＝30°，∴ CF ⊥BF ，∴ Rt △BCF 的外接圆半径等于32.1. 如图，圆O 与圆O′内切于点T ，点P 为外圆O 上任意一点，PM 与内圆O′切于点M.求证：PM∶PT 为定值．证明：设外圆半径为R ，内圆半径为r ，作两圆的公切线TQ.设PT 交内圆于C ，连结OP ，O ′C ，则PM 2＝PC·PT，所以PM 2PT 2＝PC·PT PT 2＝PC PT. 由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO ′T ＝2∠PTQ， 则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，所以PC PT ＝OO′OT ＝R －r R ，即PM PT ＝R －r R，为定值．2. (2014·苏锡常镇一模)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.证明：连结AC.∵ EA 是圆O 的切线，∴ ∠EAB ＝∠ACB. ∵ AB ＝AD ，∴ ∠ACD ＝∠ACB. ∴ ∠ACD ＝∠EAB.∵ 圆O 是四边形ABCD 的外接圆， ∴ ∠D ＝∠ABE.∴ △CDA ∽△ABE.∴ CD AB ＝DABE .∵ AB ＝AD ，∴ CD AB ＝ABBE.3. 如图，正三角形ABC 外接圆的半径为1，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，延长MN 与△ABC 的外接圆交于点P ，求线段NP 的长．解：设正三角形ABC 的边长为x ，由正弦定理，得xsin60°＝2，所以x ＝ 3.延长PN 交圆于Q ，则NA·NC＝NP·NQ.设NP ＝t ，则t·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.所以t ＝15－34，即NP＝15－34. 4. (2014·泰州期末)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD＝∠DBM；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．证明：(1) ∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.而BN ＝BM △BNM 为等腰三角形BD 为∠NBM 的角平分线∠DBN ＝∠DBM. (2) BM 是圆O 的切线，⎭⎪⎬⎪⎫∠DBM＝∠DAB ∠CBD＝∠CAD ∠DBC＝∠DBM ∠DAB ＝∠DAC AM 是∠CAB 的角平分线．1. 与圆有关的辅助线的五种作法 (1) 有弦，作弦心距；(2) 有直径，作直径所对的圆周角； (3) 有切点，作过切点的半径； (4) 两圆相交，作公共弦； (5) 两圆相切，作公切线．2. 圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．。