2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (62)

2020高考数学模拟试题（理科）1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，（0，1），则||的最大值为．13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．714．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A．B．C．2p D．16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB＝2，AD＝2，P A＝2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）•．（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，答案{5}．2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，则|z|．答案：13．3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，答案：π6．4．依题意，第1天“日取其半”后a1；第2天“日取其半”后a2；第3天“日取其半”后a3；、……∴第n天“日取其半”后a n，答案：．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，，所以．答案：6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×22×22＝3216．答案：16+322．7．∵4x1，x，y∈R+，∴，即，当且仅当“”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，累加可得：a n＝1，则a n＝1．答案：54．答案．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，∴m答案：11．由y＝f（x）=π1+π2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．答案：．12．∵（t﹣1），∴，则，∴，设A（x A，y A），P（x P，y P），∴（x A，y A）＝t（x P，y P），则，即，将点（）代入双曲线中得：，∴①，∵•60，∴||•||＝|t|•60…②，由①②得60＝|t|•|t|•，∴|y A|≤8，∴||＝|y A|≤8．则||的最大值为8．答案：8．13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，令n，可得n，∴当r＝2时，n取得最小值为5，答案：B．14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．答案：C．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则．答案：D．16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故①正确；a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B．17．（1）∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥P A．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而P A、AD是平面P AD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△P AD中，AD＝2，P A＝2，∴PD2．∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴（1，，1），（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ，∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△P AC中，PC4．∴AE PC＝2，∵在△AEF中，EF BC，AF PB∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．18．（1），∴，∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；（2）由（1）得，∵，∴，由0＜A＜π得，，∴，解得，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n），n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），所以第n个月的当月利润率为g（n）；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，g（33），g（34），因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，所以椭圆的方程为：；（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），由OM⊥ON，所以，，故△OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，，，所以|AB|，则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），故M（﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f（x）具有性质P（），设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f （x0+m），若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。

2020年高考理科数学新课标必刷试卷六（含解析）2020年高考必刷卷（新课标卷）06 数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合. 【详解】，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设，则A． B． C． D．【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解：，则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．若向量，，若，则A． B．12 C． D．3 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则有，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，向量，，若，则有，解得；故选：．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题． 4．设等差数列的前项和为，若，则等于 A．18 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前项和公式求得的值. 【详解】由于数列是等差数列，所以由得，即，而.故选：C. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前项和公式的基本量计算，属于基础题. 5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【解析】【分析】令代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为,结合两个系数比即可求得的值,进而根据二项展开式的通项求得的系数即可. 【详解】令,代入可得各项系数和为展开式的各项的二项式系数和为由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64 所以解方程可得则二项式的展开式的通项公式为令解得所以的系数为故选:C 【点睛】本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 6．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D 【解析】【分析】设椭圆的焦距为，利用向量数量积的坐标运算得出，可得出，等式两边同时除以可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可. 【详解】设椭圆的焦距为，离心率为，则点、、，所以，，，则，即，即，等式两边同时除以得，，解得，因此，该椭圆的离心率为. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于、、的齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题. 7．在满足不等式组的平面内随机取一点，设事件A＝“”，那么事件A发生的概率是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率. 【详解】如下图，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），易知，，，该区域面积为. 事件A＝“”，表示的区域为阴影部分AOC，其面积为. 所以事件A发生的概率是.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题. 8．函数在区间上的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】 . 故选:B 【点睛】本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题. 9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的的值为35，则输入的的值为( ) A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】A 【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A. 10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C 【解析】【分析】根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体F－AMCD的体积，即可求出概率. 【详解】由三视图可知：底面三角形ADF是腰长为a的等腰直角三角形，几何体ADF－BCE是侧棱为a的直三棱柱，由题图可知VF－AMCD＝×S梯形AMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为. 故选：C 【点睛】此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积. 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

2020⾼考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）2020⾼考数学模拟试题（理科）⼀、单项选择题：本题共8⼩題，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合題⽬要求的。

1.⼰知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离⼼率为，则其渐近线⽅程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的⼤⼩关系为A.aB. aC. bD. b5.为弘扬我国古代的“六艺⽂化”，某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周⼀门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第⼀周，课程“御”不排在最后⼀周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最⼩值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若⽅程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]满意不满意⼆、多项选择题：本題共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

在每⼩题给出的选项中，有多项符合題⽬要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.某⼤学为了解学⽣对学校⾷堂服务的满意度，随机调査了50名男⽣和50名⼥⽣，每位学⽣对⾷堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所⽰的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出A. 该学校男⽣对⾷堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显⽰，该学校男⽣⽐⼥⽣对⾷堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最⼩值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平⾯A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异⾯直线AP 与A 1D 所成⾓的取值范⽤是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平⾯A 1C 1D 所成⾓的正弦值的最⼤值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. 设M （O,1）,则|PM|+|PP 1|≥D. 过点M （0,1）与抛物线C 有且只有⼀个公共点的直线⾄多有2条三、填空題：本題共4⼩題，每⼩题5分，共20分。

第62讲隐圆问题必考题型全归纳题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC ===，且2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC = ，则2||BM的最大值为（）A B C ．434D ．494【答案】D【解析】由题||||||DA DB DC ==，则D 到A ，B ，C 三点的距离相等，所以D 是ABC 的外心.又2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，变形可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以DB AC ⊥，同理可得DA BC ⊥，DC AB ⊥，所以D 是ABC 的垂心，所以ABC 的外心与垂心重合，所以ABC 是正三角形，且D 是ABC 的中心；由1||||cos ||||()22DA DB DA DB ADB DA DB ⋅=∠=⋅-=- ，解得||2DA = ，所以ABC 的边长为如图所示，以A 为坐标原点建立直角坐标系，则(3,B ，C =，(2,0)D ，||1AP =，可设(cos ,sin )P θθ，其中[0θ∈，2]π，而PM MC =，即M 是PC的中点，则3cos sin (,)22M θθ++，2223712sin()cos 33712496||()2444BM πθθ+--+=+== ，当23θπ=时，2||BM 取得最大值为494．故选：D ．例2．（2024·全国·高一阶段练习）已知,a b 是单位向量，0a b ⋅= ，若向量c满足||1c a b -+= ，则||c b -的取值范围是（）A．1]+B．1]+C ．[0,2]D．1]-【答案】D【解析】单位向量,a b 满足0a b ⋅= ，即a b ⊥，作,OA a OB b == ，以射线OA ，OB 分别作为x 、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，(1,0),(0,1)a b == ，设(,)c x y = ，则(1,1)c a b x y -+=-+ ，由||1c a b -+=得：22(1)(1)1x y -++=，令1cos (02π)1sin x y θθθ=+⎧≤<⎨=-+⎩，即(1cos ,1sin )c θθ=+-+，||c b -==其中锐角ϕ满足sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，当sin()1θϕ-=-时，max ||1c b -==，当sin()1θϕ-=时，min ||1c b -=-，所以||c b -的取值范围是1].故选：D例3．（2024·全国·高三专题练习）已知单位向量a 与向量()0,2b = 垂直，若向量c满足1a b c ++=，则c r 的取值范围为（）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．⎣⎦C ．1⎤-+⎦D ．⎤⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意不妨设()1,0a = ，设(),c x y = ，则()()()()1,00,2,1,2a b c x y x y ++=++=++．∵1a b c ++= ，∴()()22121x y +++=，即表示圆心为()1,2--，半径为1的圆，设圆心为P ，∴OP =．∵c r P 11c ≤= ，∴c r的取值范围为1⎤-⎦，故选：C ．变式1．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆22()()8x a y a -+-=a 的取值范围是（）A ．()3,3-B ．(1,1)-C ．(3,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 【答案】D【解析】问题可转化为圆22:()()8O x a y a -+-=和圆221:2O x y +=相交，两圆圆心距d ||a ，由1||R r OO R r -<<+得||a <，解得1||3a <<，即(3,1)(1,3)a ∈--⋃.故选：D变式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圆（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．()(0-⋃B ．(-C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣1，1）【答案】A【解析】∵圆（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O ：x 2+y 2＝4与圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1相交，∵|OC |=由R ﹣r ＜|OC |＜R +r 得：13，∴0a ＜＜∴﹣a ＜0或0＜a ＜．故选A ．变式3．（2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC === ，0DA BC DB AC DC AB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值为．【答案】494【解析】平面内，||||||2DA DB DC === ，0DA BC DB AC DC AB ⋅=⋅=⋅=，∴DA BC ⊥，⊥DB AC ，DC AB ⊥ ，可设(0,0)D ，(2,0)A ，(B -，(1,C -，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，可设(2cos ,sin )P θθ+，1cos (2M θ+，∴3cos (2BM θ+=，∴2223712sin()3cos 496(244BM πθθ+-+=+ ，当且仅当sin()16πθ-=时取等号，2||BM ∴ 的最大值为494．故答案为：494．变式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点D 与A 、B 、C 满足||||||DA DB DC == ，8DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=- ，动点P 、M 满足2AP = ，PM MC=，则2||BM 的最大值为．【答案】49【解析】由||||||DA DB DC ==，可得D 为ABC 的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0DB DA DC ⋅-= ，()0DC DB DA ⋅-= ，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有⊥DB AC ，DC AB ⊥，可得D 为ABC 的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC 为正三角形，由8DA DB ⋅=-,即有||||cos1208DA DB ︒⋅=- ,解得||||4DA BD ==，ABC 的边长为24cos30⨯⨯= 由PM MC =，可得M 为PC 中点，22211||()()24BM BP BC AP AB BC =+=-+ ()22212224AP AB BC AP AB AP BC AB BC =++-⋅+⋅-⋅，设,AP AB α〈〉= ，则2,3AP BC πα〈〉=- ，2,3AB BC π<>= ,2122||[4484822222433BM ππαα⎛⎫=++-⋅⋅+⋅⋅--⋅ ⎪⎝⎭ 2125cos()]1237cos )32πααααα=---+=-+-3712cos 6πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当5(0,)6παπ=∈时，最大值为49,故答案为：49题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值例4．（2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，(22),(4,0)P Q -，为两个定点，动点M 在直线=1x -上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为．【答案】5【解析】设点(,)N x y ，由2216NO NQ +=得：2222(4)16x y x y ++++=，即2240x y x ++=，即22(2)4x y ++=，N ∴在以OQ 为直径的圆上，不妨设(2cos 2,2sin )N θθ-，(1,)M m -，则(3,2)PM m =--，(2cos 4,2sin 2)PN θθ=--，∴(2cos 7,2sin 4)PM PN m θθ+=-+-，2222||(2cos 7)(2sin 4)8694[(4)sin 7cos ]PM PN m m m m θθθθ∴+=-++-=-++--2(4)53)m θϕ=-++-，其中ϕ为辅助角，t ，sin()a θϕ-=，则7t ≥，11a -≤≤．22||44PM PN t at ∴+=++，令222()44(2)44f t t at t a a =++=++-，7t ≥，11a -≤≤，()f t ∴在[7，)∞+上单调递增，故当7t =时，()f t 取得最小值5328a +，再令()5328g a a =+，11a -≤≤，显然()g a 在[1-，1]上单调递增，故1a =-时，()g a 取得最小值532825-=，综上，当7t =，1a =-时，2||PM PN + 取得最小值25．故||PM PN +的最小值为5,故答案为：5．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA=，则||BD 的最大值为．【答案】10【解析】设AC m =，由题意可得：3,DC m AB =，则：22228cos 22AC BC AB m C AC BC m+--==⨯，ABC 构成三角形，则：2{2m m +>-，解得：24m <<，由余弦定理：BD =当4m =时，BD取得最大值为10.例6．（2024·浙江金华·高二校联考期末）已知圆()()22:121C x y ++-=，点()10A -，，()10.B ，设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．【答案】14-【解析】设()00,P x y ，()222001PA x y =++，()222001PB x y =-+，()()222222000011PA PB x y x y +=-++++22220000002121x x y x x y =-++++++2200222x y =++()220022x y =++，当OP 取得最小值时，22PA PB +取得最小值，由圆()()22:121C x y ++-=，则圆心()1,2C -，半径1r =，易知min 11OP OC r =-==，则)2min 212d =+14=-故答案为：14-.变式5．（2024·高二课时练习）正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222PA PB PC +=，则PD 的取值范围为.【答案】22⎡+⎣【解析】如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，设点(),P x y ，则由222PA PB PC +=，得()()()222222111x y x y x y ++-+=-+-，整理得()2212x y ++=，即点P 的轨迹是以点()0,1M -圆心M 到点D 的距离为2DM =，所以min max 22PD PD ==所以PD 的取值范围是22⎡+⎣.故答案为：22⎡+⎣.变式6．（2024·上海闵行·高二校考期末）如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +uu r uu r 2||PC a +=uu u r （a 为常数），满足条件的点P 有无数个，则实数a 的取值范围是．【答案】1a >【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系，如图所示：则11(,0),(,0),222A B C -设(,),P x y 则22222222211||(,||(,||()222PA x y PB x y PC x y =+-=++=-+ 222||||||PA PB PC a++=22222211:(()()22x y x y x y a +++++-+=化简得225330,4x y a +-+-=即221((1).3x y a +=-当1a <时，点(,)P x y 不存在；当1a =时，点(,)P x y 只有一个；当1a >时，点(,)P x y 的轨迹是一个圆形，有无数个；故答案为：1a >变式7．（2024·全国·高三专题练习）如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，点P 在ABC ∆所在的平面内，且222||||PA PB PC a ++= （a 为常数），下列结论中正确的是A ．当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B ．当1a =时，满足条件的点P 有三个C ．当1a >时，满足条件的点P 有无数个D ．当a 为任意正实数时，满足条件的点总是有限个【答案】C【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则0,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，102B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设(),P x y，可得222PA x y ⎛=+- ⎝⎭，22212PB x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，22212PC x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，∵222||||||PA PB PC a ++=，∴22222211222x y x y x y a ⎛⎛⎫⎛⎫+-++++-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：2253304x y a ++-=，即2205132a x y +-+-=，配方，得()221163x y a ⎛⎫+- =⎪ ⎪⎝⎭…（1）当1a <时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当1a =时，方程（1）的右边为0，表示点06⎛ ⎝⎭，，恰好是正三角形的重心；当1a >时，方程（1）的右边大于0，表示以06⎛ ⎝⎭，为圆心，半径为r =的圆，由此对照各个选项，可得只有C 项符合题意.故选：C ．题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°例7．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知圆22:(1)(3)10C x y -+-=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点,A B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是．【答案】15t ≤≤【解析】对于5x =上任意一点M ，当,AM B M '均为圆的切线时AMB ∠'最大，由题意，90AMB '∠=︒，即MA MB '⊥，此时M 为满足题设条件的临界点，如上图，若B '与B 重合，则MA MB ⊥，,AM BM 为圆的切线，此时||||2AC CM =，综上，M 在临界点之间移动过程中，有||||2AC CM ≥2≥，解得2(3)4t -≤，可得15t ≤≤.故答案为：15t ≤≤例8．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是【答案】[2，6]【解析】因为点M 在圆C 外，当AM ，BM 与圆C 相切时，∠AMB 最大，要使在圆C 上存在两点A 和B ，使得MA ⊥MB ，只需当AM ，BM 与圆C 相切时，∠AMB ≥90°，即∠AMC ≥45°，则sin ∠AMC≥2，解得2≤t ≤6.故答案为：[2，6].例9．（2024·高二课时练习）设m R ∈，过定点A 的动直线0mx y -=和过定点B 的动直线430x my m +--=交于点P ，则PA PB +的取值范围是（）A ．B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎣D ．[]5,10【答案】C【解析】由已知可得动直线0mx y -=经过定点()0,0A ，动直线430x my m +--=经过定点()3,4B ，且两条直线互相垂直，且相交于点P ，所以PA PB ⊥，即22225PA PB AB +==，由基本不等式可得()()222222PA PB PA PB PA PB +≤+≤+，即()22550PA PB ≤+≤，可得5PA PB ≤+≤故选：C.变式8．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A B C ．5D ．10【答案】C 【解析】显然0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可化成(1)3y m x =-+，则经过定点()1,3B ，根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1(1)0m m ⨯+⨯-=，于是直线0x my +=和直线30mx y m --+=垂直，又P 为两条直线的交点，则PA PB ⊥，又AB ==222102PA PB AB PA PB +==≥⋅，则5PA PB ⋅≤，当PA PB =PA PB ⋅的最大值是5.故选：C变式9．（2024·高二课时练习）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则22||||PA PB +的值为（）A ．5B ．10CD【答案】B【解析】由题意，动直线0x my +=经过定点()0,0，则()0,0A ，动直线30mx y m --+=变形得()()130m x y -+-=，则()1,3B ，由030x my mx y m +=⎧⎨--+=⎩得22233,11m m m P m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∴22||||PA PB +222223311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22222331311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222222333131mm m m m m m -+-++++=+()432224322269696161m m m m m m m m m m m-++-+++++++=+()4222102010101m m m++==+，故选：B ．变式10．（2024·全国·高三校联考阶段练习）设m R ∈，动直线1l ：0x my +=过定点A ，动直线2l ：30mx y m --+=过定点B ，且1l ，2l 交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是（）AB．C ．5D ．10【答案】B【解析】根据方程推出12l l ⊥，可得1l ，2l 的交点(),P x y 在以AB 为直径的圆上，可得222||||||10PA PB AB +==，再根据不等式知识可求得结果.动直线1l ：0x my +=过定点A (0,0)，动直线2l ：30mx y m --+=过定点B (1,3)，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以1l ，2l 的交点(),P x y 在以AB 为直径的圆上，所以22212||||||1310PA PB AB +==+=，设PA PB +t =||AB ≥=，则222||||2||||PA PB PA PB t ++=，所以22||||10PA PB t =-，因为22||||2||||PA PB PA PB +≥，当且仅当||||PA PB =时等号成立，所以21010t ≥-，即220t ≤t ≤≤.||||PA PB ≤+≤所以PA PB +的最大值是故选：B变式11．（2024·全国·高三专题练习）设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅= ，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（）A ．12B ．12C D ．1【答案】B【解析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c的坐标为(),x y ，因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,02222x y x y ⎛⎫⎫--⋅---= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2214x y ⎛+= ⎝⎭，表示以⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，则||c的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，12，故选：B变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点(1,0)A m -，(1,0)B m +，若圆C ：2288310x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】根据题意，圆C ：x 2+y 2-8x-8y+31=0，即（x-4）2+（y-4）2=1；其圆心为（4，4），半径r=1，设AB 的中点为M ，又由点A （1-m ，0），B （1+m ，0），则M （1，0），|AB|=2|m|，以AB 为直径的圆为（x-1）2+y 2=m 2，若圆C ：x 2+y 2-8x-8y+31=0上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有|m|-1≤5且|m|+1≥5，解可得：4≤|m|≤6，即-6≤m≤-4或4≤m≤6，即实数m 的最大值是6；故选C ．变式13．（2024·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()(2)0a c b c -⋅-= ，则c r 的最大值是（）AB ．2C D【答案】C【解析】如图，设OA a = ，OB b = ，2OE b = ，OC c =，则a c CA -= ，2b c CE -= ，因为()(2)0a c b c -⋅-= ，故0CA CE ⋅= ，故CA CE ⊥ ，所以C 在以AE 为直径的圆上，故c r的最大值为圆的直径AE =故选：C.变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0a c b c --=，则c r 的最大值是（）A ．1B ．2C D ．2【答案】C【解析】设OA OB ⊥，且OA a,OB b,OC c === ，D 为线段AB 的中点，因为1a b == ，所以2AB AD =，则2221()()02a c b c CA CB CD DA CD --=⋅=-=-= ，所以2CD = ，所以点C 在以D 为圆心，半径为2的圆，所以c r 的最大值即为该圆的直径，所以c r 故选：C.变式15．（2024·湖北武汉·高二校联考期中）已知a 和b 是平面内两个单位向量，且,3a b π= ，若向量c满足()()0a c b c -⋅-= ，则c r 的最大值是（）A 1+B C D 【答案】B【解析】如图所示：设OA a = ，OB b = ，OC c =，则CA a c =- ，CB b c =- ，因为()()0a c b c -⋅-= ，所以0CA CB ⋅= ，即CA CB ⊥ .所以C 在以AB 为直径的圆上.设AB 的中点为D ，因为a 和b 是平面内两个单位向量，且,3a b π= ，所以1AB =，OD =所以max1122cOD =+=.故选：B变式16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量a ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()20a c b c -⋅-= ，则c 的最大值是（）A BC ．2D 【答案】B【解析】因为a ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故可设()1,0a = ，()0,1b = ，(),c x y =，则()1,a c x y -=-- ，()22,12b c x y -=--，因为()()20a c b c -⋅-= ，所以()()()()12120x x y y --+--=，整理得到22102x y x y +--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故c r，故选：B.题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值例10．（2024·全国·高一专题练习）设向量,,a b c 满足=1a b = ，12a b ⋅=- ，,60a c b c ︒--=，则||c的最大值等于.【答案】2【解析】由题设，1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，而,[0,]a b π<>∈ ，则2,3a b π<>= ，令,,a OA b OB c OC === ，则,a c CA b c CB -=-= ，又,60a c b c ︒--=，如下图示：所以23AOB π∠=，3ACB π∠=，则AOB ACB π∠+∠=，故,,,A O B C 共圆，而2222||()23AB b a b a b a =-=-⋅+=，即||AB =22sin 3R ==，对于||c，当OC 为直径时最大，即max ||2c = .故答案为：2.例11．（2024·全国·高三专题练习）在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围为.【答案】(1,8)-【解析】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤，∴(,2)PN x =- ，(8,4)PM x =-，∴288PM PN x x ⋅=-+ ，∵08x ≤≤，∴88PM PN -≤⋅≤．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解；（2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤，∴(0,2)PN y =- ，(8,4)PM y =-，∴268PM PN y y ⋅=-+，∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解；（3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤，∴(,6)PN x =-- ，(8,4)PM x =--，∴2824PM PN x x ⋅=-+，∵08x <≤，∴824PM PN ≤⋅≤．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解；（4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<，∴(8,2)PN y =-- ，(0,4)PM y =-，∴268PM PN y y ⋅=-+，∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解，综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r成立，那么m 的取值范围是(1,8)-，故答案为：(1,8)-．例12．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，=90BDC ∠︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为（）A ．27B ．16C ．10D ．25【答案】A【解析】以D 为坐标原点，DB ,DC 分别为x ,y 轴建立如图所示直角坐标系，则(0,0),(16,0),(0,9)D B C ,因为4sin 5A =，||16BD =，所以由平面几何知识得A 点轨迹为圆弧（因为为平面四边形ABCD ，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E ,则由正弦定理可得圆半径为1||11610(8,6)42sin 25BD E A ⨯=⨯=∴-，因此对角线AC 的最大值为22||108(69)1027,CE +=+--+=故选：A变式17．（2024·全国·高考真题）设向量,,a b c 满足2a b == ，2a b ⋅=- ，,60a c b c --=︒ ，则c v 的最大值等于A ．4B ．2CD ．1【答案】A【解析】因为2a b == ，2a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒ .如图所以，设,,OA a OB b OC c === ，则CA a c =- , C B b c=-, 120AOB ∠=︒.所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆.不妨设为圆M ，因为AB b a =- ,所以222212AB a a b b =-+=.所以AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c取得最大值4.故选A.变式18．（2024·全国·高三专题练习）在平面内,设A 、B 为两个不同的定点,动点P 满足:2PA PB k ⋅=(k 为实常数)，则动点P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．不能确定【答案】A【解析】设2AB a =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：则(,0),(,0)A a B a -设(,)P x y 2222(,)(,)PA PB a x y a x y x y a k ⋅=-----=+-=即2222x y a k +=+，表示圆故选：A变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，4CD =，BC AD =E 和F 分别为AD 与BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ的取值范围是A ．59(,420--B ．511(,)44--C ．111(,44-D ．91(,)204--【答案】D【解析】以DC 所在直线为x 轴，DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，2=,∴A (−1,2),B (1,2),C (2,0),D (−2,0),∴33,1,,122E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1)当P 在DC 上时,设P (x ,0)(−2⩽x ⩽2),则33,1,,122PE x PF ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.于是23351224PE PF x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当54λ=-时,方程有一解,当51144λ-<时，λ有两解；(2)当P 在AB 上时,设P (x ,2)(−1⩽x ⩽1),则33,1,,122PE x PF ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴23351224PE PF x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当54λ=-时,方程有一解,当5144λ-<-时，λ有两解；(3)当P 在AD 上时，直线AD 方程为y =2x +4，设P (x ,2x +4)(−2<x <−1),则33,23,,2322PE x x PF x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是()22332723512224PE PF x x x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+--=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当920λ=-或1944λ-<<时,方程有一解,当91204λ-<<-时，方程有两解；(4)当P 在CD 上时,由对称性可知当209λ=-或1944λ-<<时，方程有一解，当91204λ-<<-时，方程有两解；综上,若使梯形上有8个不同的点P 满足PE PF λ⋅=成立，则λ的取值范围是511519120191,,,,,444420494204⎛⎤⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋂--⋂--⋂--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择D 选项.变式20．（2024·江苏·高一专题练习）已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（）A ．(]0,2B ．()0,2C ．(]0,4D ．()0,4【答案】D 【解析】如图所示,设EF 的中点为O ,则2PE PF PO PE PF FE⎧+=⎨-=⎩,两式平方相减得2244PE PF PO EF ⋅=- ,所以24PE PF PO λ⋅=-= ,即24PO λ=+ ,所以PO = 由对称性可知每个边上存在两个点P ,所以点P 在边的中点和顶点之间,故2<<解得04λ<<,故选:D题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值例13．（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1)MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为1,0,33λ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若点()1,1B ，则3MP MB +的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ ，由1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以PM =||||MQ MP λ=且3λ=3=，整理可得2223148a a x y x +-++=，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以2304118aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =-，所以()3,0Q -，又=3||MQ MP ，所以3||||||||MP MB MQ MB BQ +=+≥，因为(1,1)B ，所以3||||MP MB +的最小值BQ ==当M 在位置1M 或2M 时等号成立.故选：D例14．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=、点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，M 为圆O 上的动点，则2||||MA MB -的最大值为（）A ．52BC ．32D【答案】B【解析】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=，由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(),C m n ，则12MAMC==，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=，即2m =-，0n =，点()2,0C -，当点M 位于图中1M 的位置时，2||||||||MA MB MC MB -=-的值最大，最大为BC =故选：B.例15．（2024·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M 与两定点9,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0B 的距离之比为35时的阿波罗尼斯圆为229x y +=．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆22:4O x y +=上的动点M 和定点()1,0A -，()1,1B ，则2MA MB +的最小值为（）A ．2BC D【答案】C【解析】如图，点M 在圆22:4O x y +=上，取点(4,0)-N ，连接,MO MN ，有||2||4ON OM ==，当点,,O M N 不共线时，||||2||||OM ON OA OM ==，又AOM MON ∠=∠，因此AOM ∽MON △，则有||||2||||MN OM MA OA ==，当点,,O M N 共线时，有||2||MN MA =，则||2||MN MA =，因此2||||||MA MB MN MB BN +=+≥==当且仅当点M 是线段BN 与圆O 的交点时取等号，所以2MA MB +故选：C变式21．（2024·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A 、B ，满足()1PA PBλλ=≠的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A ，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数λ只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知()1,0A ，()4,0B ，()0,3D ，若动点P 满足12PA PB=，则2PD PB +的最小值是．【答案】【解析】由题意知：12PA PB=，即2PB PA =，2222PD PB PD PA AD ∴+=+≥（当且仅当,,A P D 三点按顺序共线时取等号），又AD ==，2PD PB ∴+的最小值为；故答案为：.变式22．（2024·上海·高三校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为【解析】如图，在x 轴上取点()3,0S -，3OM OP OP OS ==，MOP POS ∠=∠，MOP POS ∴，PS ∴=，PN PS PN SN +=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号），)minPNSN ∴+===变式23．（2024·四川广安·高二广安二中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB+的最小值为.【解析】设(),0Q a ，(),M x y，所以=MQ ，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MP =.因为MQ MPλ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以2MP MB MQ MB +=+，因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为==BQ 当且仅当,,Q MB三点共线时取等..变式24．（2024·河北沧州·校考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M 与两定点,A B 的距离之比为(()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P 为圆22:4O x y +=上的动点，()()4,0,3,1M N -，则2PM PN +的最小值为.【答案】【解析】假设存在这样的点(),0Q t ，使得2PM PQ=，则224PM PQ =，设点(),P x y ，则()()222244x y x t y ⎡⎤++=-+⎣⎦，即()()222222228164233884160x y x x y tx t x y t x t +++=+-+⇒+-++-=，该圆对照224x y +=，所以1t =-，所以点()1,0Q -，所以()22222PM PN PQ PN PQ PN QN +=+=+≥=故答案为：变式25．（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(>0,1)k k k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知P 、Q 分别是圆22:(-4)+=8C x y ，圆22:+(-4)=1D x y 上的动点，O 是坐标原点，则||+|2PQ PO 的最小值是．【答案】1【解析】如图所示：取点(2,0)M ，设|||2z PQ PO =+，则min ||1||z PD PO =-，在PMC 和OPC 中，2MC PC PC OC ==，所以PMC 和OPC 相似，且相似比为2，所以OP =，则min ||||1D z P PM +=-，而||||PD PM DM +≥==即||||PD PM +的最小值为所以min 1z -=.故答案为：1-。

2020高考数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设m ＝（﹣2，2，t ），n ＝（6，﹣4，5）分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则实数t 的值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32.若两个向量)1,2,3(),3,2,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为（ ） A ．（﹣1，2，﹣1） B ．（﹣1，2，1）C ．（1，2，﹣1）D ．（1，2，1）3.如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图可以知道丙、丁两组人数之和为（ ）A.150B.250C. 300D. 4004.盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是514，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（ ）A. 1328B. 57C. 1528D. 375.若向量))(3,0,(R x x a ∈=，则“x =4”5=a 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是( )A ．112B ．16C ．14D ．137.下列命题中正确的是（ ）A ．对于任意两个事件A 和B ，都有P (A +B )= P (A )+ P (B ) B ．若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤ P (A ) ≤1C ．命题“若平面向量b a ,共线，则b a ,方向相同”的逆否命题为真命题D ．命题“若a +b ≥4，则a 、b 中至少有一个大于2”的逆命题是真命题．8.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α B ．若α⊥β，a ∥α，则a ⊥β C ．若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α D ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β9.一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ）A.34 B. 23 C. 12D. 1310.如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ）A ．1000MP = B ．10004MP =C ．1000NP =D ．10004NP =11.已知A 、B 、C 、D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝2，则该球的表面积为（ ） A ．348π B ．332π C ．324π D ．316π12.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱A 1D 1，CD 的中点，若P 在平面ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若5=PM ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．12- B．2 C ．5553- D ．553第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知向量n m ,分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈n m ,〉＝－12，则l与α所成的角为 ．14. 已知5个正整数，它们的平均数是4，众数是3，5，则这5个数的方差为 ． 15.如图，在棱长为1的正四面体PABC 中，点A 在侧面PBC 内的投影为O ，则O 到底面ABC 的距离为_________．16.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直， 动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：实数x 满足（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0，其中a ＞0； 命题q ：实数x 满足（2x ﹣16）（2x ﹣2）≤0．（1）若a ＝1，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）题图第15题图第16一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．19.（本小题满分12分）某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中实数a的值；（2）估计20名学生成绩的平均数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩不都在[60，70）中的概率．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC=AD，点E是PC的中点．（1）求证：P A∥平面BDE；（2）求直线BD与平面PBC所成角的大小．21. （本小题满分12分）2015年12月，华中地区多个城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 2.5PM 的数据如表：（1）由散点图知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（提示数据：711372i ii x y==∑）（2）（I ）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时 2.5PM 的浓度； （II ）规定：当一天内 2.5PM 的浓度平均值在(]0,50内，空气质量等级为优；当一天内2.5PM 的浓度平均值在(]50,100内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆ•n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.22. （本小题满分12分）已知正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是四边形11BB D D 内（含边界）任意一点，Q 是11B C 中点.（1）求证：AC ⊥BP ；（2）当CQ ⊥AP 且AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为73时， 求二面角P -AD -C 的余弦值．答案1-12:C A B A A B B D C B D C13．30° 14．5415．96 16．52 12解：如图，取AD 中点O ，则MO ⊥面ABCD ，即MO ⊥OP ， ∵PM ＝，∴OP ＝＝1，∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面ABCD 内的半圆上．可得O 到BN 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥BN 于H ，△BON 的面积为：S △BON ＝2×2﹣＝， ∴＝＝，解得OH ＝，∴PQ 长度的最小值为：OH ﹣OP ＝＝．故选：C ．17.解：（1）当a ＝1时，（x ﹣1）（x ﹣2）＜0解得1＜x ＜2，………………1分 （2x ﹣16）（2x ﹣2）≤0解得2≤2x ≤16，即1≤x ≤4，………………2分 所以当p ，q 都是真命题时，解得1＜x ＜2，………………4分 故实数x 的取值范围为（1，2）；………………5分（2）命题p ：a ＜x ＜2a ，因为p 是q 的充分不必要条件，所以（a ，2a ）⫋[1，4]，………………7分，解得1≤a ≤2，………………9分故实数a 的取值范围为[1，2]．………………10分18.【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a ，b ，c ）共有27种，而满足a +b ＝c 的（a ，b ，c ）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个， 故“抽取的卡片上的数字满足a +b ＝c ”的概率为＝．………………6分（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 完全相同”的（a ，b ，c ）有： （1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为＝，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣＝．………………12分19.解：（1）由（0.2a+0.3a+0.7a+0.6a+0.2a）×10＝1，解得a＝；………………2分（2）20名学生的平均成绩估计为：（0.2×55+0.3×65+0.7×75+0.6×85+0.2×95）×10×＝76.5分；………………………………………………………………………………………………………………6分（3）成绩在[50，70]内的学生共有（0.2+0.3）×10××20＝5人，设为a、b、C、D、E,其中成绩在[60，70]内的有3人，即C、D、E，………………………………8分从这5人中任选2人，共有（a,b）、（a,C）、（a,D）、（a,E）、（b,C）、（b,D）、（b,E）、（C,D）、（C,E）、（D,E）10种，其中都在[60，70]内的有3种，不都在[60，70]内的有10﹣3＝7种，……………………10分根据古典概型概率公式得：………………………………12分20.解：（1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是矩形，∴O是AC的中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥P A，……………………………2分∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．……………………………4分（2）解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，∴以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝AD＝2，则B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），＝（﹣2，﹣2，0），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2）， (7)分设平面PBC的法向量＝（x，y，z），由0{0n PB n PC ⋅=⋅=u u ur r u u u rr 有2220{220x y z y z +-=-=取()0,1,1n =r ……………………………9分 设直线BD 与平面PBC 所成角为θ，∴·1sin cos ,2BD n BD n BD nθ=〈〉===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，……………………………11分 所以直线BD 与平面PBC 所成角为30° ……………………………12分 21.解(1)由数据可得： ()1123456747x =++++++=……………………………1分 ()128303541495662437y =++++++= ……………………………2分 772111372,140i ii i i x yx ====∑∑，1221137212041ˆ614012ni i i n i i x y nx y b x nx==-⋅-===--∑∑……………………………4分 4ˆˆ34619ay bx =-=-⨯=，（注:用另一个公式求运算量小些）……………………………5分故y 关于的线性回归方程为ˆ619yx =+. ……………………………6分 (2)(ⅰ)当车流量为12万辆时，即12x =时，612199ˆ1y=⨯+=.……………………………8分 故车流量为12万辆时， 2.5PM 的浓度为91微克/立方米.……………………………9分 (ⅱ)根据题意信息得： 619100x +≤，即13.5x ≤， …………………………11分故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.…………………12分22. （1）证明：在正方体中，AC ⊥BD ，DD 1⊥平面ABCD ，则DD 1⊥AC 又BD ∩DD 1=D ，则AC ⊥平面11BB D DBP ⫋11BB D D∴AC ⊥BP ……………………………4分（2）如图以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系 设AB=2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，Q （1,2,2）()2,0,1=设P （x,y,z ），显然x 、y 、z>0则()z y x ,,2-=∵CQ ⊥AP ∴022=+-z x ∴x=2z-2………………5分易知，平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =r………………6分 222·3cos ,7(2)z n AP n AP n x y z AP 〈〉===-++⋅u u u r r u u u r r u u u r r化简得z y 32=，故⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z z AP ,32,2………………8分 设平面PAD 的法向量为(),,m a b c =u r由0{0m AP m DA ⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r 有220{320za zb zc x ++==取()0,3,2m =-u r ………………10分 ·13cos ,213n m n nm m 〈〉===⋅u r r u r r u r r 11分∵二面角P-AD-C为锐二面角，∴二面角P-AD-C．………………12分。

2020高考数学模拟试题（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)2.下列命题错误的是( )A．命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。

B．对于命题p：∃x 0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。

C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x －m＝0无实根，则m≤0”。

D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。

3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A． 2 B． 2 C． 12 D．4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－ B． C．1 D．5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（）①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．36.函数cosxxye的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=8．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） A ．3 B ．1 C ．6D ．2 9.已知奇函数在R 上是增函数，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.B.C .D.10.设函数f (x )＝cos(2x ＋ϕ)＋sin(2x ＋ϕ)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A ．103B ．10C ．43 D ．5312．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()41814f x x x =-+-，若函数()()g x f x mx =-有三个零点，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．3,184142⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,18414- C ．()2,3 D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.计算＝________.14．已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x+-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为_________.16．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为_______.三、解答题：（共70分。

2020高考数学模拟试题（理科）第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则A. 1B.C.D.2.已知集合，则A. B. C. D.3.已知单位向量的夹角为，且，若向量m＝2-3，则|m|＝A. 9B. 10C. 3D.4.下列说法正确的是A. 若命题均为真命题，则命题为真命题B. “若，则”的否命题是“若”C. 在，“”是“”的充要条件D. 命题“”的否定为“”5.已知正项等比数列的前项和为，若，则A. B. C. D.6.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是A. B. C. D.7.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 13 8.曲线的一条切线l 与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为 A.B.C.D.9.已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为A. B. C.D.10.定义在R 上的函数()2,10{ ,01x x f x x x -≤<=≤<，且()()()12,2f x f xg x x +==-，则方程()()f x g x =在区间[]5,9-上的所有实数根之和最接近下列哪个数A. 14B. 12C. 11D. 10 11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．505B ．507．5011 D ．501912.()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=，已知当[)0,1x ∈时， ()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于1x =对称B. ()f x 有最大值1C. ()f x 在[]1,3-上有5个零点D. 当[]2,3x ∈时， ()121x f x -=-第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．14.曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.16.已知且,则______。

2020高考数学模拟试题（理科）第I 卷(选择题部分，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

l.己知集合A ＝{x|lnx>0}，集合B ＝{x ∈N|(x －1)(x －5)≤0}，则A ∩B ＝ A.{0，l ，2，3，4，5} B.{l ，2，3，4，5} C.{l ，2，3，4} D.{2，3，4，5}2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是A.y ＝xln|x|B.y ＝xcosxC.y ＝2x －2－x D.y ＝e x ＋e －x 3.设a ∈R ，则“y ＝sinax 周期为2π”是“a ＝1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，3,6c A π==，则B ＝A.6π B.3π C.6π或2π D.3π或23π5.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f'(x)，且函数y ＝(x －l)f'(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)6.已知函数g(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，a ＝g(log 20.2)，b ＝g(20.2)，c ＝g(0.20.3)，则a ，b ，c 的大小关系为A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a 7.若实数a 满足2log 13a<，则a 的取值范围是A.(23，1) B.(0，23)∪(1，＋∞) C.(1，＋∞) D.(23，1)∪(1，＋∞) 8.函数y ＝3|x|sin2x 的图像可能是9.若130,0,cos(),sin()2243422ππππβαβα<<-<<+=-=，则sin()2βα+= A.539-B.33C.539D.33- 10.设x ∈R ，函数f(x)单调递增，且对任意实数x ，有f[f(x)－e 2x ]＝e 2＋1(其中e 为自然对数的底数)，则f(ln2)＝A.e 2＋1B.3C.e 4＋1D.5 11.将函数y ＝cos2x 的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到y ＝f(x)的图象。

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。

2020高考数学模拟试题（理科）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}(){}10,ln A x x x B x y x a =-≤==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ）A.(),0-∞ B (],0-∞ C.()1,+∞ D.[)1,+∞2.已知复数(3)13i z i +=-，i 为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A.i z =|| B.i z = C.12=z D.z 的虚部为i - 3.“0x <”是“ln(1)0x +<”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4.己知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为A ．7-B ．7C ．1D ．1-5.已知定义在[]m m 21,5--上的奇函数)(x f ，满足0>x 时，12)(-=xx f ，则)(m f 的值为（ ） A. -15B. -7C. 3D. 156.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9167.已知23.035.02122log 5log ⎪⎭⎫ ⎝⎛====d c b a 、、、，从这四个数中任取一个数m ，使函数231)(23+++=x mx x x f 有极值点的概率为 ( ) A.41 B.21 C.43D.1 8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( ) A.712612+ B. 926+ C. 910+D.832612+ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值。