习题集

一、选择题1、建筑是建筑物和构筑物的总称，下列全属于建筑物的是_______ 。

A 学校堤坝B 住宅电塔C 工厂商场D 烟囱水塔2、建筑物的设计使用年限为50年，适用 _______ 。

A 临时性结构B 易于替换的结构构件C 普通房屋和构筑物D 纪念性建筑和特别重要的建筑结构3、房屋抗震设防的重点在_______度地区。

A 6-9B 5-10C 8-9D 7-104、楼梯平台下净高度不小于_______ 。

A 2000mmB 2100mmC 2200㎜D 2400㎜5、建筑物的层高是指﹝﹞。

A 房屋吊顶到地面的垂直距离B 建筑物上下两层楼面之间的垂直距离C 楼地面到结构下边缘的垂直距离D 上层板底到下层楼地面的垂直距离6、建筑立面的重点处理常采用﹝﹞手法。

A 对比B 均衡C 韵律D 统一7、地基土质分布均匀时，基础应尽量浅埋，但不能低于﹝﹞。

A 100mmB 150mmC 500mmD 1000mm8、基础应埋在冰冻线﹝﹞。

A以下200 mm B以上200 mm C以下300 mm D以上300 mm9、圈梁与洞口中断，所设的附加圈梁与原圈梁的搭接长度应满足﹝﹞。

A≤2h且≤1000mm B ≥2h且≥1000mm C ≤4h且≤1500mm D≥4h且≥1500mm10、预制板在梁上的搁置长度不小于﹝﹞。

A 50 mmB 80 mmC 100 mm D150 mm11、空心板在安装前，孔的两端常用混凝土或碎砖块堵严，其目的是﹝﹞。

A 增加保温性B避免板端滑移 C 增强整体性 D避免板端被压坏12、在门窗的开启方式中，虚线表示______A 向外开B 向内开C 内外开D 封闭13、混凝土刚性防水屋面中，为减少结构变形对防水层的不利影响，常在防水层与结构层之间设置﹝﹞。

A 隔蒸汽层B 隔离层C 隔热层D 隔声层14、单层厂房非承重山墙处横向定位轴线应﹝﹞。

A 自墙内缘内移600mmB 与山墙内缘重合C 距山墙内缘为半砖或半砖的倍数或墙厚的一半D 自墙内缘外移600mm15、当门窗洞口上部有较大集中荷载作用时，其过梁可选用 _______ 。

[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CB CB ．()()A B A CC ．()()A B B CD ．()A B C4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个二、填空题A BC1．用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数）（3{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 。

3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________．4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。

高一数学经典习题集（内附带三角函数公式）集合1.设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和__________2.集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则AB = ．3.已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}， B ＝{0,7, 2a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值______4.已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个A 到B 上的一一映射. 5.已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围_______6.已知设数集3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合MN 的长度的最小值是______________．7.已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）（A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2 8.已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于 （ ）A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C. {1,2}D.{}2≤y y9.定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为 （ ）.A ．9 B. 14 C.18 D.21 10.如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．B ．C ．D ．11．定义集合A 与集合B 的“差集”为：}|{B x A x x B A ∉∈=-且，则 )(B A A --总等于（ ）（A ）A ； （B ）B ；（C ）B A ⋂；（D ）B A ⋃12．已知集合，，若，求实数的取值范围.函数1.、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；2..函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 3..已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-， 。

马克思主义基本原理习题集第一章马克思主义哲学是科学的世界观和方法（一）单项选择题• 1 哲学的基本问题是（）• A 物质和运动的关系问题• B 主体与客体的关系问题• C 思维和存在的关系问题• D 社会和自然的关系问题•2世界上唯一不变的是变。

这一论断的含义是( )• A 变是世界的本源• B 世界上只有变，没有不变• C 变是绝对的，不变是相对的• D 变与不变是绝对对立的• 3 唯物主义和唯心主义的根本区别在于（）• A 前者是劳动人民和先进阶级的哲学 ,后者是统治阶级的哲学• B 前者重视实践，后者不重视实践• C 前者认为存在决定思维，后者认为思维决定存在• D 前者主张从自然界出发，后者主张从人出发• 4 哲学史就是一部唯物主义和唯心主义斗争的历史，这是一种（）• A 简单化的形而上学的观点• B 符合历史实际的观点• C 历史唯物主义的观点• D 不符和历史实际的观点• 5 马克思主义哲学与旧唯物主义的根本区别在于（）• A 前者是理论化的世界观，后者不是理论化的世界观• B 前者吸取了具体科学的成果，后者没有吸取具体科学的成果• C 前者是科学，后者是非科学• D 前者以实践为出发点和归宿，后者不懂得实践的意义• 6 马克思主义哲学的首要的基本的观点是（）• A 联系和发展的观点• B 革命的批判的观点• C 实践的观点• D 人民群众的观点•7 马克思主义哲学的创立（）• A 表明人类发现了绝对真理• B 表明哲学由此成为科学的哲学• C 为人类揭示了永恒的真理• D 为人类认识真理开辟了广阔的道路•8 马克思在哲学上的伟大贡献是（）• A 创立了唯物史观• B 建立了革命的人道主义• C 使哲学成为实证的科学• D 创立了辩证思维方法•9 马克思主义哲学的显著特点是（）• A 批判性和实践性• B 革命性和否定性• C 系统性和完备性• D 实践性和阶级性•10 马克思主义哲学创立之后，开始出现了（）• A 唯物论与唯心论的对立• B 可知论与不可知论的对立• C 辩证法与形而上学的对立• D 唯物史观与唯心史观的对立•11 马克思主义哲学的根本使命是（）• A 科学地认识世界• B 正确地解释世界• C 如实地反应世界• D 指导实践能动地改造世界•12 广大农民在致富奔小康的过程中深切体会到：“要富口袋，先富脑袋”。

《汽车理论》习题集一一、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中，只有一项是最符合题目要求的,请将其代码写在该小题后的括号内）1、评价汽车动力性的指标是（ A ）A．汽车的最高车速、加速时间和汽车能爬上的最大坡度B．汽车的最高车速、加速时间和传动系最大传动比C．汽车的最高车速、加速时间和传动系最小传动比D．汽车的最高车速、加速时间和最大驱动力2、汽车行驶速度( B ）A．与发动机转速、车轮半径和传动系传动比成正比B．与发动机转速和车轮半径成正比，与传动系传动比成反比C．与发动机转速和传动系传动比成正比，与车轮半径成反比D．与发动机转速成正比，与车轮半径和传动系传动比成反比3、汽车在水平路面上加速行驶时，其行驶阻力包括（ D )。

A. 滚动阻力、空气阻力、坡度阻力B．滚动阻力、空气阻力、加速阻力C．空气阻力、坡度阻力、加速阻力D。

滚动阻力、空气阻力、坡度阻力、加速阻力4、汽车等速上坡行驶时，其行驶阻力包括（ A ）。

A. 滚动阻力、空气阻力、坡度阻力B．滚动阻力、空气阻力、加速阻力C．空气阻力、坡度阻力、加速阻力D。

滚动阻力、空气阻力、坡度阻力、加速阻力5、汽车加速上坡行驶时，其行驶阻力包括（ D ）.A。

滚动阻力、空气阻力、坡度阻力B．滚动阻力、空气阻力、加速阻力C．空气阻力、坡度阻力、加速阻力D。

滚动阻力、空气阻力、坡度阻力、加速阻力6、汽车行驶时的空气阻力包括（ D )。

A．摩擦阻力和形状阻力B。

摩擦阻力和干扰阻力C．形状阻力和干扰阻力D。

摩擦阻力和压力阻力7、汽车行驶时的空气阻力( B )。

A。

与车速成正比B。

与车速的平方成正比C. 与车速的3次方成正比D. 与车速的4次方成正比8、汽车行驶时的空气阻力( C ）.A. 与迎风面积和车速成正比B. 与迎风面积的平方和车速成正比C. 与迎风面积和车速的平方成正比D. 与迎风面积的平方和车速的平方成正比9、同一辆汽车，其行驶车速提高1倍，空气阻力增大（ C ）。

数学分析习题集 武汉科技学院理学院目 录第一章 实数集与函数 3 第二章 数列极限 5 第三章 函数极限 8 第四章 函数的连续性 10 第五章 导数与微分 12 第六章 微分中值定理及其应用 14 第七章 实数的完备性 18 第八章 不定积分 20 第九章 定积分 22 第十章 定积分的应用 25 第十一章 反常积分 26第一章 实数集与函数一：典型习题.1. 设a 为有理数，为无理数. 证明：x xa 为无理数.2. 证明: 对任何有R x ∈4|3||2||1|||≥−+−+−+x x x x .3. 设集合},21|{+∈==N n x x S n . 求的上、下确界，并用确界的定义加以证明.S 4. 证明：若数集E 的上(下)确界存在，则它必唯一存在. 5. 设是非空数集，证明： R B A ⊂, ⑴ B A B B A sup inf inf ≤≤⇒⊂； ⑵ 如果ε<−∈∀∈∀||,,b a B b A a ，则 ε≤−|sup sup |B A ，ε≤−|inf inf |B A . 6. 设在区间f I 上有界. 记)(sup x f M Ix ∈=，)(inf x f m Ix ∈=.证明： m M x f x f Ix x −=′′−′∈′′′|)()(|sup,.7．证明伯努利不等式，nx x n +≥+1)1(1−>x . 8. 设为n 个正实数，证明：n x x x ,,,21")(1111212121n n n nx x x nx x x x x x n+++≤≤+++""".二：考研荟萃.1. (中国人民大学) 设249)3lg(1)(x x x f −+−=，求的定义域和.)(x f )]7([−f f 2.(南京邮电大学，兰州铁道学院) 已知21)(xx x f +=，设=)(x f n(个)，求.]}))(([{""x f f f n f )(x f n 3.(清华大学) 设函数在)(x f ),(+∞−∞上是奇函数，且对任何值均有a f =)1(x )2()()2(f x f x f =−+.⑴试用a 表示与；)2(f )5(f ⑵问a 取何值时，是以2为周期的周期函数. )(x f 4.(北京科技大学) 叙述数集A 的上确界的定义.并证明：对任意有界数列，总有}{},{n n y x }sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+.第二章 数列极限一：典型习题.1. 利用数列极限的定义证明0)sin(lim2=∞→nn n π. 2. 证明：02lim =∞→n n n，02lim 2=∞→n n n ，02lim 3=∞→n n n . 3. 设对于数列，有}{n x a x nn =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，证明.a x n n =∞→lim 4．求下列极限：⑴32221limn n n +++∞→"；⑵)211()211)(211(lim 242nn +++∞→"； ⑶)2122321(lim 2nn n −+++∞→"； ⑷)2(42)12(31lim n n n ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅∞→""； ⑸)cos 1(cos limn n n −+∞→.5. 证明下列各题：⑴若，则0,0>>b a ),max(lim b a b a nn n n =+∞→；⑵若是正实数数列，}{n x 0lim >=∞→a x nn ，则有a x x x nx x x n n n nn ==+++∞→∞→""2121lim lim； ⑶数列不存在极限.}{sin n6. 利用单调有界性证明：⑴若101<<x ，且",2,1),1(1=−=+n x x x n n n ，则；1lim =∞→nn nx ⑵设，且0,011≥=≥=b y a x ",2,1),(21,11=+==++n y x y y x x n n n n n n ， 则n n nn y x ∞→∞→=lim lim .二：考研荟萃.1.(北京大学) 求⑴；⑵2)!(lim −∞→n n n ,1lim n n n a +∞→a 为正实数； ⑶n n n n n n)12()1(1lim −+∞→"". 2.(武汉大学，华中师范大学) 设22,2,10211nn a c a c a c +==<<+，证明：数列收敛，并求其极限.}{n a 3.(北京师范大学) 设}|)(sup{b x a x f ≤≤=α.证明：存在 b x a n ≤≤ 使成立. a x f n n =∞→)(lim 4.(华中师范大学) 求∑=∞→++nk n kn n k12lim .5.(北京航空航天大学) 叙述数列收敛的柯西原理，并证明： 数列∑==nk k n k x 12sin ，为收敛数列.),2,1("+n 6.(华中科技大学)(有界变差数列收敛定理) 若数列满足条件：}{n x M x x x x x x n n n n ≤−++−+−−−−||||||12211"，)3,2("=n ，则称为有界变差数列.试证明：有界变差数列一定收敛.}{n x 7.(四川大学)(压缩变差数列收敛定理) 若数列满足条件：，}{n x ||||211−−−−≤−n n n n x x r x x )10;,4,3(<<=r n "，则称为压缩}{n x变差数列(简称为压缩数列).试证明：任意压缩数列一定收敛.8.(浙江大学) 求)(sin lim 22n n n +∞→π.9.(清华大学) 设R 中数列满足}{},{n n b a ",2,1,1=−=+n qa b a n n n ， 其中.证明：⑴若有界，则有界； 10<<q }{n b }{n a ⑵若收敛，则收敛. }{n b }{n a第三章 函数极限一：典型习题.1. 用定义证明：⑴19167lim21=−→x x ；⑵2312lim 22=−+∞→x x x . 2. 求极限：⑴)211(lim 23x x x x x −−+++∞→；⑵xx x x n n x ∆−∆++∞→)(lim ；⑶2tan )1(lim 1x x x π−→； ⑷⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 1lim 0； ⑸1,0,111lim1≠>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+∞→a a a a x xxx . 3. 讨论下列函数的极限是否存在，若存在，则求出其极限： ⑴||sin 12)(41x xee xf xx+++=，当时；0→x ⑵axx x g cos 1)(−=，π<<||0a ，当时.0→x 4. 若0)(6sin lim 30=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→xx xf x x ，求3)(6lim xx f x +→. 5. 求xx xx x x sin cos sin 1lim−+→.6. 设,sin 2sin sin )(21nx a x a x a x f n +++="其中是常数，且 n a a a ,,,21" ，有，证明：R x ∈∀|sin ||)(|x x f ≤1|2|21≤+++n na a a ".7. 求xxn xxx n a a a 1210lim ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++→".8. 已知51lim231=−++→x bax x x ，求的值. b a ,9. 设当时，0→x 1)1(312−+ax 与1cos −x 是等价无穷小，求常数. a二：考研荟萃.1.(武汉大学) 求极限20)1ln(limx x xe x x +−→. 2.(厦门大学) 求极限1tan 1tan 1lim 0−−−+→x x e xx .3.(中国科技大学) 求极限22116sin 41limxxx −−→π.4.(湖北大学，天津大学) 设函数在)(x f ),0(+∞上满足)()2(x f x f =，且.证明：A x f x =+∞→)(lim ),0(,)(+∞∈≡x A x f .5.(复旦大学) ⑴求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−→xx x x e x x x csc 22023sin sin lim ； ⑵当时，求是多少阶无穷小量(0→x )1ln()cos(sin 12x x ++−αα为参数).第四章 函数的连续性一：典型习题.1. 设函数对一切)(x f I x x ∈21,，满足等式)()()(2121x f x f x x f +=+，且)(x f 在连续，证明：在任意0=x )(x f I x ∈连续.2. 设函数在连续，且)(x f 0=x 0)0(=f ，已知|)(||)(|x f x g ≤，证明：函数在也连续．)(x g 0=x 3. 证明：若在内连续，且 存在，则 在内必有界.)(x f ),(+∞−∞)(lim x f x ∞→)(x f ),(+∞−∞4. 设对任意，有，且在和连续，证明：在)(x f ),(+∞−∞∈x )()(2x f x f =)(x f 0=x 1=x )(x f ),(+∞−∞为常数.5. 确定的值，使b a ,)1)(()(−−−=x a x be xf x 有无穷间断点0=x 和可去间断点.1=x 6. 设函数在上连续，且)(x f ]2,0[a )2()0(a f f =，证明：在上至少存在一点],0[a ξ，使)()(a x f f +=ξ.7. 证明：若函数在上连续，)(x f ],[b a b x x x a n <<<<<"21，则在上必有一点],[1n x x ξ，使nx f x f x f f n )()()()(21+++="ξ .8. 设函数在内一致连续，证明：)(x f ),(b a ⑴0>∃δ，使，当0x ∀),(),(00δδ+−∩∈x x b a x 时，； 1|)(||)(|0+≤x f x f ⑵在内有界. )(x f ),(b a9. 函数在区间)(x f I 上一致连续的充要条件是：I y x n n ⊂∀}{},{，当 0)(lim =−∞→n n n y x 时，有0)]()([lim =−∞→n n n y f x f .10. 证明：若函数在)(x f R 上连续，R y x ∈∀,，有10|,||)()(|<<−≤−k y x k y f x f ，则在)(x f R 上有唯一的不动点，即a a a f =)(.二：考研荟萃.1.(南开大学) ⑴叙述函数在区间)(x f I 上一致连续的定义； ⑵设，都在区间)(x f )(x g I 上一致连续且有界，证明：也在区间)()()(x g x f x F =I 上一致连续.2.(长沙铁道学院) 函数在上连续且恒大于零，按)(x f ],[b a δε−定义证明：)(1x f 也在上连续. ],[b a 3.(武汉大学) 证明：x y sin =在),0(+∞上一致连续.4.(吉林大学)(利普希次条件) 若函数在区间)(x f I 上满足利普希次条件：I x x x x L x f x f ∈∀−≤−212121,|,||)()(|，则在f I 上一致连续. 5.(北京大学) 设在)(x f ]2,[b a a +上连续，证明：存在，使得],[b a a x +∈)]()2([21)()(a f b a f x f b x f −+=−+.第五章 导数与微分一：典型习题.1. 证明：偶函数的导数是奇函数；奇函数的导数是偶函数.2. 设)(x ϕ在a x =连续，问：下列函数在a x =是否可导？ ⑴);()()(x a x x f ϕ−= )(||)(x a x x g ϕ−=.3. 设在上有定义，且f ),0(+∞),0(,+∞∈∀y x ，都有，已知存在，求.)()()(y f x f xy f +=)1(f ′)(x f ′4. 已知存在，且)(a f ′0)(≠a f ，求极限nn n a f a f ⎦⎤⎢⎣⎡+∞→)((lim 1\，. +∈N n 5. 求下列函数的导数： ⑴；⑵xx x y =3)2)(1(32+++=x x x y ； ⑶x e x x y −=1sin . 6. 设满足)(x f xx f x f 312)(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，求)(x f ′.7. 设)1()1(31lim )(−−∞→+++=x p x p x e b ax e x x f (为不等于零的常数)，问为何值时，连续且可导.p b a ,)(x f 8. 设周期的函数在4=T ),(+∞−∞内可导，且12)1()1(lim−=−−→xx f f x .求曲线在点处的切线方程和法线方程. )(x f y =))5(,5(f 9. 设函数由方程确定，求)(x f y =4ln 22=+x y x y dxdy . 10. 设t y t x −=+=1,1确定函数)(x f y =，证明：3222,ydx yd y x dx dy −=−=.11. 求对数螺线在点ϕρe =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2,),(2πϕρπe 处的切线的直角坐标方程.12. 设，可微，求.)]()(sin[22x v x u y +=)(),(x v x u dy 13. 设函数的反函数及，都存在，且)(y f )(1x f −)]([1x f f −′)]([1x f f −′′0)]([1≠′−x ff ，证明：311212)]}([{)]([)(x f f x f f dx x f d −−−′′′−=.二：考研荟萃.1.(中国人民大学) 设2111arcsin )1()(xxe x x xf x +−++=−，求. )1(f ′2.(湖北大学) 设为可导函数，证明：若)(x f 1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =. 3.(四川大学) 函数xe y −=，在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？4.(武汉大学) 对于函数3sin )(x x f =，)1,1(−∈x . ⑴证明：)(x f ′′不存在；⑵说明点0=x 是不是)(x f ′′′的可去间断点.5.(厦门大学) 已知，k 为常数，求的反函数二阶导数. x ke x f =′)()(x f6.(浙江大学) 求，其中(当时). )0()(n f 2)(,0)0(,,2,1−−===x e x f f n "0≠x第六章 微分中值定理及其应用一：典型习题.1. 设在内有二阶可导函数，且)(x f )1,0(0)1(=f ，又，证明：在内至少存在一点)()(2x f x x F =)1,0(ξ，使0)(=′′ξF .2. 设在内二阶可微，)(x f )1,0()1()0(),1()0(f f f f ′=′=，证明：存在)1,0(∈ξ使得2)(=′′ξf .3. 设，证明：0,>b a ),(b a ∈∃ξ，使. )()1(a b e be ae a b −−=−ξξ4. 设函数在点的某一邻域内可导，且其导数在处连续，而)(x f 0x x =)(x f ′0x ),2,1(0"=<<n x n n βα，当∞→n 时，00,x x n n →→βα.证明：)()()(lim0x f f f nn n n n ′=−−∞→αβαβ.5. 设函数在的某一邻域内阶可导，且)(x f 0=x n 0)0()0()0()1(===′=−n f f f "，证明：)1,0(,!)()()(∈=θθnn x n x f x f .6. 设函数在内连续且可导，有)(x f )1,0(0)(lim 0=′+→x f x x ，证明：f 在内一致连续. ]1,0(7. 求下列极限：⑴x arc x x cot )1ln(lim 1−+∞→+； ⑵15sin )(lim 2sin 22−−→x x e x x ππ； ⑶a x xa a x a x a x −−→lim ； ⑷xe x e x x x +−+∞→πarctan 2lim ；⑸⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x ； (6)23arctan 2lim x x x ⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→π； ⑺； ⑻10lim −→+xx x x xx x 1arctan 2lim ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→π； ⑼()xx x x x 13lim++∞→； ⑽. )1ln(0tan lim x x x −→+⑾xx nx xx n aa a 1210lim ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++→",其中.0,,0,021>>>n a a a "8. 设41)1ln(lim2=+++∞→cxce x x ，确定c .9. 利用泰勒公式求下列极限：⑴22220sin 112lim x x x x x +−+→； ⑵⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11)2(tan lim 430x x e x x x . 10. 设有二阶导数，且)(x f )]()([21)(h x f h x f x f −++≤，试证：. 0)(≥′′x f 11. 设在)(x f R 上二阶可微，且有N x f M x f ≤′′≤)(,)(0.⑴写出)(),(h x f h x f −+关于的有拉格朗日余项的泰勒公式； h ⑵证明：0>∀h ，有2)(hNh M x f +≤； ⑶证明：MN x f 2)(≤′.12. 设在上连续，在)(x f ),[+∞a ),[+∞a 内可导，且0)(>>′k x f (为常数)，又.证明：k 0)(<a f 0)(=x f 在⎟⎠⎞⎜⎝⎛−k a f a a )(,内有唯一的实根. 13. 设在)(x f ),(+∞−∞内恒满足方程：x e x f x x f x −−=′−+′′−131)]()[1(2)()1(.⑴若在处取得极值，则必为极小值； )(x f )1(≠=a a x ⑵若在处取得极值，是否为极小值？)(x f 1=x14. (詹森不等式)证明；若为上凸函数，f ],[b a 0],,[>∈∀i i b a x λ，),2,1("=i ，且，则：.∑==ni i 11λ∑∑==≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ni i i n i i i x f x f 11)(λλ15. 利用函数的凸性，证明：y x ee e y x y x ≠>++,)(212.二：考研荟萃.1.(华中师范大学) 设在上二阶可导，过点与点)(x f ],[b a ))(,(a f a A ))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相交于，其中.))(,(c f c C b c a <<证明：在中至少存在一点),(b a ξ，使0)(=′′ξf .2.(中国科学院) 设10<<<y x 或y x <<1，则y xxy x y >.3.(厦门大学) 设在)(x f ),0[+∞上具有连续二阶导数，又设， 0)0(>f .则在区间),0[,0)(,0)0(+∞∈<′′<′x x f f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′−)0()0(,0f f 内至少存在一个ξ， 使0)(=ξf .4.(中山大学) 证明：)20(,2tan sin π<<>+x x x x .5.(北京大学) 设在)(x f ),0[+∞上可微，且满足不等式：),0(,112ln)(02+∞∈∀+++≤≤x xx x x f ．试证明：存在一点),0(+∞∈ξ，使得211122)(ξξξ+−+=′f ． ６.(东北师范大学) 若在)(x f ),(+∞a 内可导，且A x f x =′+∞→)(lim ，则A xx f x =+∞→)(lim.7.(华中科技大学) 设在上连续，在内可微，，)(x f ]1,0[)1,0(0)(>′x f 0)0(),10(=<<f x .证明：存在)1,0(,∈µλ，使得µµλλµλ)()(,1f f ′=′=+.8.(浙江大学) 设在上连续，在内可微，且 )(),(x g x f ],[b a )(x g ),(b a 0)(=a g ，若有实数0≠λ，使得),(,)()()()(b a x x g x g x f x g ∈≤′+λ成立， 证明：.0)(≡x g 9.(复旦大学) 设定义在)(x f )(],,0[x f c ′存在且单调下降，.请 0)0(=f 用拉格朗日定理证明：对于c b a b a ≤+≤≤≤0，恒有)()()(b f a f b a f +≤+．10.(北京科技大学) 设在上连续，在内可微.证明：存在)(x f ]2,1[)2,1()2,1(∈ξ，使得)(21)1()2(2ξξf f f ′=−.第七章 实数的完备性一：典型习题.1. 证明：为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.}{n x }{n x 2. 设在内连续，且f ),(b a 0)(lim )(lim ==−+→→x f x f b x a x .证明：在内有最大值或最小值.f ),(b a 3. 设在内连续，又有，使f ],[b a ],[}{b a x n ⊂A x f n n =∞→)(lim .证明：存在，使得.],[0b a x ∈A x f =)(04. 设函数和都在区间f g I 上一致连续.⑴若I 为有限区间，证明g f ⋅在I 上一致连续；⑵若I 为无限区间，举例说明g f ⋅在I 上不一定一致连续. 5. 设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限f ),(b a ),(b a }{n x )(lim n n x f ∞→都存在，则在上一致连续.f ),(b a 6. 设函数在上连续，且有斜渐近线，即有数和，使得：f ),[+∞a b c 0])([lim =−−+∞→c bx x f x .证明：在上一致连续. f ),[+∞a二：考研荟萃.1.(哈尔滨工业大学) 设在上有定义，且在每一点处极限存在.证明：在上有界.)(x f ],[b a )(x f ],[b a 2.(北京科技大学) 证明：若一组开区间覆盖区间，则存在一正数]1,0[δ，使得中任何两点]1,0[x x ′′′,，满足 δ<′′−′x x 时，必属于某一区间.n I 3.(华中师范大学) 设函数定义在区间)(x f I 上，如果对任何， I x x ∈21, 及)1,0(∈λ，恒有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ−+≤−+. 证明：在区间I 上的任何闭子区间上有界．)(x f ４.(武汉大学) 设函数在区间上无界，试证：在上至少存在一点，使得在此点的邻域无界. )(x f ],[b a )(x f ],[b a )(x f第八章 不定积分一：典型习题.1. 一曲线通过点，且在曲线上任一点处切线的斜率都等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.)3,(2e 2. 证明：[]c x f x f dx x f x f x f x f x f +⎦⎤⎢⎣⎡′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′′−′∫222)()(21)()()()()(. 3. 设的原函数,且)(x f 0)(>x F 1)0(=F .当时,有 0≥x x x F x f 2sin )()(2= 求.)(x f 4. 已知的一个原函数为)(x f xx xsin 1sin +，计算∫′dx x f x f )()(.5. 已知，计算c x dx x f +=∫2)(dx x xf )1(2∫−.6. 计算下列积分： ⑴dx x∫2sin 12； ⑵dx x x ∫+)cos (sin 44；⑶dx x ea e xx x ∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−21； ⑷∫++dx e e x x 113； ⑸∫−+−−+dx x x x x x 221232； (6)dx x x x ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−211； ⑺； ⑻dx x a x )sin(sin +∫∫dx x x x )ln(ln ln 1；⑼dx xxx2211tan ++∫； ⑽∫+−dx x x n n 112； ⑾∫+dx x x xcos sin sin ； ⑿∫+++dx x x x x e x 1)1(ln 22arctan ； ⒀dx xa x ∫−222； ⒁dx xa x ∫+221；⒂dx a x x∫−2221； ⒃dx x ∫++111；⒄dx ee xx ∫−++111； ⒅dx xx x ∫+ln 1ln ；⒆dx x x ∫+)1(128； ⒇∫xdx x arcsin 2. 7. 计算不定积分：[][]∫′′+′′+dx x f x f x f x f x f )()()()(ln )(ln 2. 8. 建立下列不定积分的递推公式：⑴； ⑵xdx x I n n cos ∫=dx x I n n ∫=arcsin . 9. 计算下列不定积分： ⑴()dx x xx ∫+−22223； ⑵()dx xx ∫+2311；⑶()dx x x x∫−+43sin cos 1sin ； ⑷∫++dx x x 1222.二：考研荟萃.1.(北京大学) 试求不定积分()∫−dx x x 44sin cos 与()∫+dx x x 44sin cos ，进而求出不定积分与∫xdx 4cos ∫xdx 4sin .2.(华东师范大学) 计算：dx xxx ∫+23cos 1sin cos ．3.(复旦大学) 求不定积分dx xxx ∫−+11ln. 4.(山东大学) 求积分. dx x ∫4tan 5.(清华大学) 计算∫>−)1(2x dx e xe xx .6.(上海交通大学) 求⑴dx x x x ∫++2211； ⑵∫++dx xxx cos 1sin .第九章 定积分一：典型习题.1. 证明：若函数在上无界，则在上不可积. )(x f ],[b a )(x f ],[b a2. 证明：若函数在上黎曼可积，且，则∃区间 )(x f ],[b a ∫>ba dx x f 0)( ],[],[b a ⊂βα，在[]βα,上.0)(>x f 3. 设函数在上可积，证明：在上可积. )(x f ],[b a )(x f e ],[b a 4. 利用定积分求下列极限：⑴⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++∞→2222212111lim n n n nn "； ⑵⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++∞→nn n n n n 4)1(tan 42tan 4tan 1lim πππ"； ⑶n n n n f n f n f n ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞→"211lim，其中在上连续，且； )(x f ]1,0[0)(>x f ⑷∑=∞→+ni n n i n 1)cos(21sinlim ππ. 5. 比较下列定积分的大小：⑴∫+101dx xx和； ∫+10)1ln(dx x ⑵∫和.−π02cos 2xdx ex ∫−π202cos 2xdx e x 6. 设，证明：存在0>x 10<<θ，使，且∫=xx t xe dt e 0θ1lim =+∞→θx .7. 设函数在上非负连续，证明：)(x f ],[b a )(max )(lim x f dx x f bx a nban n ≤≤∞→=∫.8. 设函数在上连续，且单调递增，证明：)(x f ],[b a ∫∫+≥ba badx x f b a dx x xf )(2)(.9. 证明：若函数和在上有相同的单调性，则：)(x f )(x g ]1,0[∫∫∫≤1101)()()()(dx x g x f dx x g dx x f ．10.(赫尔德积分不等式)证明：若函数和在上非负连续，且)(x f )(x g ],[b a 1111,,1=+>>qpq p ，则有不等式： [][]b a q pbab a p dx x g dx x f dx x g x f 11)()()()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∫． 11.(施瓦茨积分不等式)设函数和在上证明：)(x f )(x g ],[b a [][]21212)()(|)()(|⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∫b a bab a dx x g dx x f dx x g x f . 12.(闵可夫斯基积分不等式)证明：若函数和在上非负)(x f )(x g ],[b a 连续，且，则有不等式：1>p [][][]pb a p pb a p pb a p dx x g dx x f dx x g x f 111)()()()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∫∫∫.13.求下列极限:⑴dt e t xe xt xx ∫−∞→0222lim； ⑵dx x nnn ∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∞→111ln 1lim； ⑶∫∫−→x x x dtt t t dtt 0230)sin (lim2.14.确定，使得：c b a ,,()[])0(/1ln sin lim20≠=+−∫→c c tdtt xax xbx .15.求下列函数的导数: ⑴；()d t t xx ∫cos sin 2cos π ⑵，，求du u x t ∫=202sin 4cos t y =dxdy .第十章 定积分的应用1. 求内摆线所围成的图形的面积.)0(sin ,cos 33>==a t a y t a x 2. 求两椭圆12222=+b y a x 与)0,0(12222>>=+b a ay b x 所围公共部分的面积.3. 导出曲边梯形b x a x f y ≤≤≤≤),(0绕轴旋转所得立体的体积公式为 .y ∫=ba dx x xf V )(2π4. 求由平面曲线π20),0)(cos 1(),sin (≤≤>−=−=t a t a y t t a x ，绕轴旋转所围成立体的体积.x 5. 求平面曲线πθθ30),0(3sin 3≤≤>=a a r 的弧长.6. 求的值，使椭圆b a ,t b y t a x sin ,cos ==的周长等于正弦函数在xy sin =π20≤≤x 上一段的长.7. 求平面曲线，绕轴旋转所得旋转曲面的面积.)()(222a r r a y x <≤−+x 8. 设平面光滑曲线由试求方程)0)(],,0[],([),(≥⊂≤≤=θπβαβθαθr r r给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 9. 试求试求曲线(双纽线) 绕极轴旋转所得旋转曲面的面积. )0(2cos 222>=a a r θ第十一章 定积分的应用1. 计算下列非正常积分： ⑴∫+∞++021xx dx； ⑵； ∫+∞∞−−−dx e x x x ||)|(| ⑶∫20sin ln πxdx ； ⑷∫−−101)2(xx dx ；⑸∫−312lndx xπ.2. 证明：∫+∞+01cos dx xx收敛，且11cos 0≤+∫∞+dx xx. 3.讨论下列非正常积分的收敛性： ⑴)0(sin 1>∫+∞p dx x xp ； ⑵)0(112≠⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+∫∞+p dx x p p x x ； ⑶∫； ⑷+∞−>0)0(cos k xdx ekxdx x xm∫∞+02sin . 4. 设在)(x f ),1[+∞上连续，),1[+∞∈∀x ，有，且0)(>x f λ−=+∞→x x f x ln )(ln lim. 证明：若1>λ，则收敛.∫+∞1)(dx x f 5. 设且单调减少，证明：与的敛散性相同.0)(>x f ∫+∞a dx x f )(∫+∞a xdx x f 2sin )(6. 设dt tx f x∫=01cos )(，求)0(f ′.7. 设)(x φ为有界的周期函数，周期为T ，且∫=Tc dx x T)(1φ.证明：c dt t t n nn =∫+∞+∞→2)(lim φ.。