《概率论与数理统计》课程综合复习资料
一、单选题
1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率
为()。
a∙ Φ3Φ7
B. ⅛φ3×(∣)7
C∙ cioψ7×(∣)3
d∙ ⅛3
答案：B
2.设X∣, X2, . X〃为来自总体X的一个样本，区为样本均值，EX未知，则总体方差OX的
无偏估计量为()。
A.--∑(X∕-X)2
“Ti=I
1 n _ o
8. 1 X(Xz-X)2 ni=∖
1 « 0
C∙ -∑(X，•一 EX)
1 〃 o D∙ --∑(Xi-EX)2
〃-
答案：A
3.设X” X2,…，X〃为来自总体N(〃，/)的一个样本，区为样本均值，已知，记
S12=-∑(Xz-X)2, 5^=1 X(Xz-X)2,则服从自由度为〃-1的f分布统计量是()。
〃一 IT ni=∖
MT=Sl/3
S2 / 4n
S) ∕√n
答案：D
4 .设总体X〜/HO),O为未知参数，X1, X2,. -, X“为*的一个样本, 0(X1, X2,--,.Xn), 0(X1, X2,∙∙∙, XZJ)为两个统计量,包力为。的置信度为的置信区间, 则应有()。
A. P{Θ
B. P{Θ
C. P[Θ
D. P[Θ
答案：D
5 .某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率()。
A. ⅛3
6,设X和Y均服从正态分布X〜N(μ工),Y ~ N(μ32),记P] = P{X
A.对任何实数〃都有p∣ >〃2
B.对任何实数〃都有p∣ <〃2
C.仅对〃的个别值有Pl =p2
D.对任何实数〃都有p∣ 二〃2
答案：D
7.设A和B为任意两个事件，且Au3, P(B)>0,则必有()。
A. P(A)
B. P(A)NP(AIB)
C. P(A)>P(A∖B)
D. P(A)≤P(A∖B)
答案：D
8.已知事件48相互独立，P(B) >0,则下列说法不正确的是()。
概率论与数理统计第六章
一、估计及其性质
“估计”在中文里既可以作名词，也可以作动词。用英文的话，可以表示成不同的单词：
estimate：所谓的“估计”（动词）就是根据样本预测总体分布中的未知参数。例如，已知总体服从正态分布 [公式] ，但总体均值 [公式] 未知，我们通过某个函数“估计”总体均值， [公式] 。
estimator：“估计量”（名词） [公式] 实际上是一个统计量，它是通过一个不含未知参数的样本函数计算出来的结果。一般使用 [公式]
表示总体的参数，[公式] 表示参数的估计量。
estimation：“估计法”（名词）表示寻找函数 [公式] 的过程，可以理解为一种估计方法。例如：Maximum Likelihood Estimation，最大似然估计法。
随着样本不同，同一估计法得到的结果可能是不一样的，因此“估计量”也是一个随机变量。对于同一个参数，有不同的估计方法，而且看起来都是合理的。如何比较它们的优劣呢？
（1）均方误差 MSE Mean Square Error
评价一个估计量的好坏，很自然地会想到：衡量“估计量”与“真实值”之间的距离，距离越小表示估计量的性能越好。也就是所谓的“均方误差”函数：
[公式] 也就是距离平方的期望值，如果将其进一步展开：
[公式]
注意： [公式] 和 [公式] 均为数值， [公式] 表示参数的真实值，
[公式] 表示估计量的数学期望。
由此看见，均方误差由两部分组成：一是估计量的方差（Variances） ，即 [公式] ；二是估计量的系统偏差（Bias）的平方，即 [公式] 。
从“马同学”处借来此图，它可以帮助理解“方差”与“偏差”：
备注：靶心表示“真实值”，红叉表示“估计值”
“方差”衡量估计值的分散程度，“偏差”衡量估计值的期望与真实
值的距离。
左上图：估计值落在靶心四周，此时“方差”较大但“偏差”较小；
右上图：估计值落在靶心邻近，此时“方差”、“偏差”均较小；
《概率论》习题
一．填空题
1．已知41)(AP,31)(ABP,21)(BAP,则)(BAP ；
2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为 ；
3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X的概率分布为 ；
4．设随机变量X的密度函数为1,01,)(2xxxcxp ，则常数c ，X的分布函数)(xF ；
5．设随机变量X的密度函数为其他
,010,2)(xxxpX ，则随机变量2XY的密度函数)(ypY ；
6．设)2,1(~NX，)4,3(~NY，且X和Y相互独立，则YXZ2的密度函数)(zpZ
；
7．)5.0,9,4,0,1(~),(NYX，则~Y ，])[(2YXE ；
8．设随机变量nXXX,,21独立同分布, 1EX, 81DX,记niinXnY11，则用切比雪夫不等式估计)2(nYP ；
二．分析判断题
1．设随机变量X的分布函数为)(xF，ba，则)(bXaP)()(aFbF。
2．若随机变量X和Y不相关，则)()(XDYXD。
三．计算题
1．进行4次独立试验，在每次试验中A出现的概率均为3.0。如果A不出现，则B也不出现；如果A出现一次，则B出现的概率为6.0；如果A出现不少于两次，则B出现的概率为1。试求：
（1）4次独立试验中A出现 i 次的概率)40(i；
（2）B出现的概率；
（3）在B出现的情况下，A出现一次的概率。
记X为4次独立试验中A出现的次数，
第 1 页 共 4 页 《概率论与数理统计》第六、七章（点估计）复习题解答
1. 设来自总体X的一个样本为)4,3,1,4,4,1,3,2,1,2(),,,(1021xxx, (1) 求X, 2S, 2B; (2) 求经验分布函数)(*10XF并作图; (3) 求总体期望)(XE, 方差2)(XD的矩估计值.
2. 设21,XX是总体)2,1(~NX的样本，求概率)408.0)((221XXP.
3. 设521,,,XXX是总体),0(~2NX的样本，证明: )1(~3254321tXXXXXY.
4. 设随机变量),(~nmFF, (1) 求)12,10(01.0F,)12,10(99.0F; (2) 当10nm时, 求常数c, 使概率05.0)(cFP, 并把c用上分位点记号表示出来; (3) 当20,15nm时, 求概率)84.1(FP.
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5. 设总体)2,5(~2NX, (1) 从中随机抽取容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率; (2)
样本容量n取多大时, 可使95.0)8.5(XP?
6. 设1021,,,XXX是总体)4,(~2NX的样本，2S是样本方差, 且1.0)(2aSP, 求常数a.
7．设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布，即0,)(~EXPX，未知. 现从中随机抽取5只进行测试，得到它们的寿命（单位：小时）如下：518 612 713 388 434. 试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.
8．设总体X的一个样本为),,,(21nXXX，X的分布密度为elsexxxf ,0 0 ,2)(2, 参数0，未知. (1) 求的矩估计量; (2) 求矩估计量的方差; (3) 求的最大似然估计量.
