数学解题中的构造法思想

数学解题中的构造法思想

数学科 庞春英

我们首先从下面例题的解法开始讨论：

例：解方程组

323232czccyxbzbbyxazaayx

解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。

解法二：把原方程组改写为000232323xcyzccxbyzbbxayzaa 利用方程根的定义，我们把a,b,c看成关于t的三次方程023xytztt的三个根。根据韦达定理得：xabcyacbcabzcba,,，因此原方程组的解为：cbazcabcabyabcx 。

比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“023xytztt”。在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。

在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。

早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数npppp321,,，而构造一个新素数121nppp，从而证明了原命题。另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。

所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样，首先需要感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件；构造法还体现了类比的思想，为了找出解题的途径，很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象；构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加以处理化为已有的认识，就自然形成了构造模型的方法。除此之外，构造法还渗透着猜想、试验、归纳等数学思想。

那么，如何构造呢？关于构造法解题可以概括如下：

1、分析命题的条件与结论。

2、从命题的结构特征联想熟悉的数学问题或者考虑题目本身的意义，如几何意义，公式变形等。

3、构造新的数学模式（方程、函数、图形……）。

4、研究新的数学模型的性质并求解。

5、然后将求解结论转化到原来的命题。

6、作出结论。

构造法的内涵十分丰富，使用时不存在一个完全固定的模式可以套用，尽管如此，关于构造法的解题过程的模式还是可以用下列框图表示：

通过创造 通过推演

思维实现 实现转化

（转化）

构造法在数学领域内有着很普遍的应用，有些数学题目看似困难、繁琐，当搭起构造的“桥”后不仅迎刃而解，而且有时会因构思的奇巧而拍手叫绝，常有一种“柳暗花明又一村”的感觉，因此构造法在许多数学问题的解题过程中显示出令人瞩目的特殊作用。

一、构造法在数学解题中的应用

（一） 优化解题途径

有些数学问题虽不用构造法也可以解，但求解过程繁琐，若用构造法，往往可简化复杂的运算和讨论，使问题简捷获解。

例：使抛物线012aaxy上总有关于直线L：0yx对称的两点，求a的范围

析与解：用辅助点法、参数法等方法求解都很繁琐，若利用L：0yx是第二、四象限角平分线这一特征，构造抛物线12axy关于直线L的对称曲线12ayx，则可简捷求解，假设对称点存在，那么当且仅当上述两抛物线有相异交点，由1122ayxaxy

得))((yxyxayx，注意到0yx且0a，axy1 代入12axy 对题设条件特征分析 方程

函数

构 图形

造 数列

复数等等

所求的

结 论 得0112axax。此方程应有两个不相等的实根，

其充要条件为0)11(41aa，解之得：43a 。

（二）显露隐含条件

运用构造思想分析题目的结构特征或数量关系，有助于挖掘含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。

例：已知244xxxf ，求100110001001210011fff。

析与解：将待求式看作一个整体，其数字特征提示我们研究)1(xfxf与之间的关系，从而发现

隐含条件124244244244244244)1()(11xxxxxxxxxxfxf

构造整体)10011000()10012()10011(fffS，

亦有)10011()1001999()10011000(fffS

将上述两式对应项相加得10002S

500)10011000()10012()10011(fff

（三） 沟通条件和结论的关系

许多问题仅利用已知条件难于直接求解，需要按一定目标构造某种数学模型（如式、线、形、体等等）作为桥梁，沟通条件与结论之间的逻辑关系，才能求得结论。

例：设Rba,，并且方程01234axbxaxx至少有一个实数解，试求22ba的最小值。

解：设0x是方程的一个实根，

则00x代入方程可得01200020xxabaxx，

构造直线和圆（ba,作变量），

011202000xxbaxx，222Rba，

依题意直线和圆必有公共点， 因此，圆心到直线的距离小于（或等于）半径，从而有

Rxxxx1112002020 即2202022020311Rxxxx，

454321131112202020202xxxxR，

时等号成立，即，当且仅当1154020202xxxR，

并代入方程得542222baba 和

542222baab ，

解之即可知，当52,54ba 时，5422最小ba 。

（四） 促进数学相关知识的转化

解综合题时，经常用到的构造图形解代数题，构造方程解几何题，构造函数求线段长或几何图形的最大值、最小值等方法，都能促进数学相关知识的相互转化。

例：设cbdadcba且0 求证cbda。

证明：利用条件cbda构造如图的两个ADCRtABCRt与使它们的斜边重合。记dABcADbDCaBC,,,

DACBACrAC,,，

则450 ，

452rSinCosSinrda，

452rSinCosSinrcb，

9045450，

4545SinSin ，cbda。

（五） 加强数学思想的运用 ADBCβ α

诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等，分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现，可见，运用构造思想能强化基本数学思想方法的运用。

例：求函数321)(2xxxf的值域。

解：构造函数3212xy通过平方变形为方程)0(1312122yyx，

此方程表示：中心在原点的椭圆的上半部分，

并与x轴交于0220,22，，BA两点，

设byx它表示斜率为－1的动直线，显然，当它过第一象限与曲线相切时，

b取得最大值，当它过A点时，b取得最小值，

由13222yxbyx 得0136522bbxx，

由01354622bb，得),65(65舍bb ，

将点），（－022A坐标代入byx得22b，

函数3212xxxf的值域为65,22。

综上所述，构造法不仅可以拓宽思路，创设出新的情境，提高分析问题和解决问题的能力，而且还能丰富我们的想象力，优化整体意识和创造思维。不仅如此，构造法内涵丰富、形式多样，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。因此，我们还是可以从所构造的对象进行分类，使特点更为突出，规律更为明显。

二、从所构造的对象不同进行分类

（一） 构造命题

1、构造等价（或接近）命题

如果遇到的数学问题直接证明（或求解）较困难时，可以构造其等价（或接近）命题，并通过证明其等价（或接近）命题成立，从而使原命题成立。

例：求证：面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖。

分析：我们将命题译成数学语言：“若2,1ABCDPQRSS，则PQR不在四边形ABCD内部。

此题若直接证明，不易找出它的证题思路，若转化为它的等价命题，问题就简化了。

其等价命题是：若PQR在四边形ABCD内部，则ABCDPQRSS21。

证明：如图，只要过P作MN∥AB，

ABMNABMNPQEPQEhMNShPES,21，

∵ ，ABMNPQEhh，

∴ABMNPQESS21，

同理DCMNPRESS21，

所以等价命题得证，从而原命题得证。

2、构造辅助命题

在解答数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么，我们可以证明了辅助命题是真命题，原命题就迎刃而解了。

例：正数a为何值时，函数xxay632的最大值为210？

分析：在中学数学中，没有定理可以直接对例题作出回答，

我们注意到在已知函数式中，有06,02,03,0xxa，

且86222xx（定值），于是构造一个辅助问题：设ba,都是正数，变量0,0vu且mvu22（定值），求函数bvauy①的最大值。

解：将①式两边平方可得

22222222avbumbaavbuvubay，显然，

当0avbu时，2y 取最大值为mbay22max2，注意到0y这时，

y取最大值为mbay22max②，

由此可得辅助命题：设ba,都是正数，变量mvuvu220,0且（定值），则函数bvauy的最大值为mbay22max，

根据辅助命题，只需令8,3,210maxmby代入②，解得4a，这就是例题的解。

（二） 构造数学关系

有些问题可由题设给的数量关系，构造一种新的函数、方程和辅助式等具体ADBCQPRMNE MNPE