立方求和公式推导过程

二级等差数列求和公式就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和?

二级等差数列求和公式

就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和?

a2-a1=k

a3-a2=k+d

a4-a3=k+2d

……

an-a(n-1)=k+(n-2)d

相加 an-a1=(n-1)k+[1+2+……+(n-2)]d=(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2

所以an=a1+(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2

二阶等差数列怎样求和

a1=1

an-a(n-1)=2n-1

Sn=?

a1 = 1

a2 - a1 = 2*2 -1 a3 - a2 = 2*3 -1

a4 - a3 = 2*4 -1

……

an - a(n-1) = 2*n - 1

以上等式相加后,得到通项公式

an = 1 + 2(2+3+4+……+n)

- 1-1-1- …… -1

=2(1+2+3+……+n) - n

=n(n+1) - n

=n^2 检验:

a2 - a1 = 4 - 1 = 2*2 - 1

a3 - a2 = 9 - 4 = 2*3 - 1

a4 - a3 = 16 -9 = 2*4 - 1

成立

下面求 Sn = 1^2 + 2^2 +

3^2 + …… + n^2

(n+1)^3 - n^3 = (n^3 +

3n^2 + 3n + 1) - n^3 =

3*n^2 + 3n + 1

利用上面这个式子有： 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 +

1

3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 +

1

4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 +

1

5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 +

1

……

(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n

+ 1 把上述各等式左右分别相加 得到：

(n+1)^3 - 1^3 =

3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2)

推导自然数立方和公式两种方法

自然数立方和公式是指1³+2³+3³+.+n³的公式，下面我将介绍两种推导方法。

第一种方法是利用数学归纳法来证明。

第一步，当n=1时，1³=1，所以等式成立。

第二步，假设当n=k时，公式成立，即1³+2³+3³+.+k³=k²(k+1)²/4。

第三步，当n=k+1时，(k+1)³=k³+3k²+3k+1，所以(k+1)³+1³=(k+1)³-k³=3k²+4k+1=(k+1)²(k+2)/4。因此当n=k+1时，公式也成立。

第四步，根据数学归纳法，我们可以得出1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4对所有正整数n都成立。

第二种方法是利用排列组合的知识来证明。

第一步，考虑从n个不同的自然数中任取3个数的组合数。这些组合数可以表示为C(n,3)，即从n个不同元素中取出3个元素的组合数。

第二步，根据排列组合的知识，C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。因此，对于任意的n，我们有C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。

第三步，利用上述公式，我们可以得到1³+2³+3³+.+n³=C(1,3)+C(2,3)+C(3,3)+.+C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + . + n(n-1)(n-2)/6 =n²(n+1)²/4。

因此，我们得到了自然数立方和公式为1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4，并且利用两种不同的方法证明了该公式的正确性。

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

即：

(1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

(2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

推导过程如下：

一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

证明如下：

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

第 1 页 共 2 页 推导213)1(21nnknk的两种方法

通化市第一中学校 刘天云 邮编 134001

方法一：拆项累加相消求和

已知：)12)(1(6112nnnknk

而)]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(kkkkkkkkkkk

则：nknnnnkkk1)3)(2)(1(41)]2)(1([

所以：nknknknkkkkkkk11121323)]2)(1([

)1(212)12)(1(613)3)(2)(1(41nnnnnnnnn

2)1(21nn

另外：nknnnnkkk1)3)(2)(1(41)]2)(1([还可以作如下证明：

)2)(1(432321nnn

)(6323433nCCC)3)(2)(1(41643nnnnCn

方法二：构造群数列推导

构造奇数列，并按第n群中含有个奇数的方式分群，即

1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / ……

我们用两种方法研究前n群的所有数的和.

1、第n群最末一个数是数列的第)1(21nn项，而且该项为

11)1(2122)1(21nnnnann 第 2 页 共 2 页 那么，第n群最初一个数是数列的第1)1(21nn项，而且该项为

111)1(21221)1(21nnnnann

所以，第n群的n个数的和为：322)]1()1[(21nnnnnn.

则前n群的所有数的和可记作nkk13.

2、前n群所有数的和为该奇数列的前)1(21nn项的和，即2)1(21nn

因此：213)1(21nnknk