方差

《方差》第一课时教学设计丁彩霞 2011/9/23 13:20:47 石嘴山市第八中学 44 1

一、教材分析

《数据的分析》是初中阶段统计教学的最后一章。本节课是在研究了平均数、中位数、众数、极差等统计量之后，进一步研究另外一种分析数据的方法——方差。以平均数为基础上的

“方差”作为衡量一组数据波动大小的统计量，不仅成为信息社会人们制定决策的重要依据，同时也是学生进入高中学习统计知识的基础，更是培养学生统计观念的必备知识。

对于八年级的学生来说，虽然具备了一定的数据处理能力，但要根据实际情况选择合适的统计量进行数据分析进而作出判断，还是比较困难的。

二、教学目标

（一）知识与技能目标

1、理解方差概念的产生和形成过程。

2、掌握方差的计算公式并学会初步运用方差来比较两组数据的波动大小。

（二）过程与方法目标

1、让学生经历探索方差的产生、形成过程，发展合情推理能力。

2、掌握衡量一组数据波动大小的方法和规律，发展应用意识。

（三）情感态度与价值观目标

1、培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度。

2、培养学生团结协作的意识和交流信息的能力。

3、体会统计思想对决策的影响。

三、教学重点、难点

重点：方差概念及意义。

难点：探究方差概念产生的必要性及其算法的合理性。

四、教学方法

1、采用自主发现法与教师启发引导相结合。让学生在教师的引导启发下对问题进行分析，然后组织学生自主交流讨论，探究方差概念的产生和形成过程。

2、利用用多媒体辅助教学。

五、教学环节

设置情境引新知→提出问题探新知→归纳提升得新知→回归生活用新知→总结反思品新知

六、具体教学过程

(一)设置情境引新知

1、冠军风采（首先出示一组奥运冠军领奖图片，激发学生的兴趣，培养学生的民族自豪感。指出冠军背后还有优秀的教练，从而引入射击冠军杜丽及队友的选拔赛成绩，引导学生分析。）

matlab求⽅差，均值，均⽅差，协⽅差的函数

1、 均值

数学定义：Matlab函数：mean

>>X=[1,2,3]

>>mean(X)=2

如果X是⼀个矩阵，则其均值是⼀个向量组。mean(X,1)为列向量的均值，mean(X,2)为⾏向量的均值。>>X=[1 2 3

4 5 6]

>>mean(X,1)=[2.5, 3.5, 4.5]

>>mean(X,2)=[25]

若要求整个矩阵的均值，则为mean(mean(X))。>>mean(mean(X))=3.5

也可使⽤mean2函数：>>mean2(X)=3.5

median，求⼀组数据的中值，⽤法与mean相同。

>>X=[1,2,9]

>>mean(X)=4

>>median(X)=2

2、 ⽅差

数学定义：

均⽅差：Matlab 函数：var

要注意的是var函数所采⽤公式中，分母不是 ，⽽是 。这是因为var函数实际上求的并不是⽅差，⽽是误差理论中“有限次测量数据的标准偏差的估计值”。>>X=[1,2,3,4]

>>var(X)=1.6667

>> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500

>> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667

var没有求矩阵的⽅差功能，可使⽤std先求均⽅差，再平⽅得到⽅差。

std，均⽅差，std(X,0,1)求列向量⽅差，std(X,0,2)求⾏向量⽅差。

>>X=[1 2

3 4]

>>std(X,0,1)=1.4142 1.4142

>>std(X,0,2)=0.7071

0.7071

若要求整个矩阵所有元素的均⽅差，则要使⽤std2函数：>>std2(X)=1.2910

4、协⽅差矩阵

A=[61.45,55.9,61.95,59,58.14,53.61,55.48,54.21,61.52,54.92];B=[40.36,39.8,49.2,48,51.5,49.39,51.13,58.06,61,62.35];C=[8.61,8.91,10.43,13.32,13.48,15.75,18.14,19.95,21.95,23.53];D=[14.31,14.72,15.28,15.91,14.67,15,15.86,15.16,13.72,12.94];E=[7.67,7.75,8.15,9.24,10.68,10.58,10.31,10,8.91,8.51];>> q=[A',B',C',D',E'];>> w=cov(q)w =10.3710 -4.7446 -6.6023 -0.1873 -1.8881-4.7446 59.1503 38.7606 -3.0743 3.0982-6.6023 38.7606 28.6966 -2.0199 2.4166-0.1873 -3.0743 -2.0199 0.8474 0.3936-1.8881 3.0982 2.4166 0.3936 1.3412

方差（一）

教学目标:

了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差．

教学重点和难点:

重点：方差、标准差的概念和计算．

难点：方差的概念．

教学过程设计:

(一)复习

1．什么叫一组数据的平均数,众数和中位数？计算一组数据的平均数有哪些方法？

2．以上三种数的共同之处是要显示这组数据的什么特征？(以不同的角度描述这组数据的集中趋势.其中,又以平均数的应用最广泛)

(二)新课

在很多实际问题中,对于一组数据，只知道一组数据的平均数是不够的，我们除了关心它的集中趋势外，还关心它的波动大小．本节课我们就来学习一下如何了解数据的波动大小？

例 A,B两种空调的使用寿命如下表（各抽取10台）：

寿命 A B

9年 3 1

8年 1

7年 1

6年 1 1

5年 2 2

4年 1 1

3年 3

2年 3

1年

A、B两种空调的平均寿命一样，都是5.3年，但仔细分析不难看出，B空调寿命比较整齐，而A空调一部分虽然有着很高的寿命，但A空调的却有着相当一部分的空调寿命很低，也就是说A空调的寿命波动性较大．两种空调的平均寿命虽然相同，但实际上两人的质量稳定情况是不一样的．

在评价一种产品各项指标的好坏时，除了考虑产品某项指标的平均水平以外，还特别关心产品的该项指标是否具有稳定性．即考虑到波动性的大小．这种问题归结起来，就是要估

计总体的波动大小，即偏离其平均数的大小，采用的办法是以样本的波动大小去估计总体的波动大小．

方差这个概念，正是刻画总体和样本的波动大小的一个重要的特征数字．

方差的定义：

例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：

机床甲 40 39.8 40.1 40.2 39.9

40 40.2 39.8 40.2

39.8

机床乙 40 40 39.9 40 39.9 40.2 40 40.1 40

39.9

样本方差与总体方差的区别

之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了“样本”两个字，而且公式中除数是N-1，而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。

总体方差：

也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。如“果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量10次，测量值和期望值之间是独立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）^2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X-期望）的方差，减去（X-期望）的平方。” 所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。

样本方差：

无偏估计、无偏方差（unbiased variance）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本，这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐，水的沸点未知了，那我该怎么办？ 我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。 同样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。 设想一下（Xi-均值）的方差，它不在等于Xi的方差， 而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就是那个"偏"的由来

证明：

证毕～～