力矩与转动惯量
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车轮转动惯量力矩
“车轮转动惯量力矩”是描述车轮转动时的惯性特性的物理量。
转动惯量是物体在转动中保持其运动状态的惯性量，而力矩则是描述力对物体转动效果的物理量。
当车轮转动时，它具有保持其转动状态的惯性，这个惯性可以用转动惯量来描述。
转动惯量与车轮的质量分布和几何形状有关。
同时，当施加外力或力矩作用于车轮时，会改变车轮的转动状态。
力矩的大小和方向决定了车轮转动状态的变化。
在车辆工程和机械系统中，了解车轮的转动惯量力矩对于设计和分析车辆的动力性能、稳定性以及控制系统等方面非常重要。
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
R
R
T
m1
m2
h
Mf
T
mg
yLeabharlann h第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 已知：R 50cm h 2.0m
T
m1 8.0kg m2 4.0kg
Mf C
求：J
t2 25s
t1 16s
Mf
m1 g T1 m1a1
a1 T1 R M f J R
1 m1 m2 m r 2
m1 m2 gt
1 m1 m2 m r 2
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 例 如图所示, A、B 为两个相同的定滑轮, A 滑 A 轮挂一质量为M的物体, B 滑轮受力F = Mg, 设 A、B 两滑轮的角加速度分别为 M αA和αB ,不计轴的摩擦,这两 个滑轮的角加速度的 大小关系为:
垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
方向垂直于轴，其效果是改变轴 的方位，在定轴问题中，与轴承 受到的约束力矩平衡。 第二项 M z r F 方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动 状态，称为力对轴的矩，表为代数量：
第一项 M r F 1 z
1.06103 kg m2
m1 g T1 m1a1 m2 g T2 m2a2
a1 T1 R M f J R a2 T2 R M f J R
2
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 例.长为L质量为m的匀质细杆，在水平粗糙桌面上 绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。 解1):
N
+
大学物理 力矩 转动定律 转动惯量
2
第四章 刚体的转动
A mA
FT1
C mC FT2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0，可得
mB B
FT1
FT2
mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
dz
3
r
z
oR
J z2dm R z2 m (R2 z2 )dz
R 4 R3
3
3m 4
R z2 (
R R
z4 R3 )dz
1 mR2 5
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
精品课件！
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
精品课件！
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
z
Fej
O
rj
m
j
外力矩
内力矩
Fij
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
Mej Mij mjrj2α
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r 2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
19
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
mA
FN
mA FT1
PA
O
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
第四章 刚体转动与流体运动
20
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动与流体运动
1
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F
Fz
F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
第四章 刚体转动与流体运动
4
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
4-2-力矩-转动定律-转动惯量jm
方向: 服从右手螺旋法则
2、刚体的定 轴 转动定律
M J
d: 力臂
Z
R Om
40
二 转动惯量
➢ 离散质点系 J miri2 ➢ 连续质点系 J r 2dm
* r: 质点到转轴的垂直距离
➢ 平行轴定理 J Jc md 2
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
7
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
刚体对转轴的合内力矩为零。
Mij 0
Z
M
O
rj
i
j F
d ri F
M
Mij M M Fd Fd 0
8
5、求合力矩
M rF
M Frsin Fd
R+ T
r
R
T1
T2
对转轴：M TR 转对轴：M T2R T1r
9
FT1
2L
o d
26
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同
27
例: 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，一轻绳
两边分别系 m1 和 m2 两物体挂于滑轮上，绳不伸
长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角 速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
圆环：J mR 2 更稳定ຫໍສະໝຸດ 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
定轴转动定理
M J
M / J
25
定轴转动定理 M J
细棒绕其一端 J 1 mL2
竿 子
3
长
大学物理-力矩、转动定律、转动惯量
gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz
力矩转动定律转动惯量ppt
物理学教程 （第二版）
* 例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
且在转动平面内,
矢.
r
为由点O 到力的作用点 P 的径 M
F
对转轴Z
的力矩
M rF
M Frsin Fd
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕
通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?
力矩和惯量的关系
力矩和惯量的关系1. 哎呀，说起力矩和惯量的关系，这可真是个有意思的话题！就像是跳舞时的两个搭档，一个负责使劲，一个负责抗拒，两个人之间的较量可有趣啦！2. 力矩就像是咱们想让物体转动时使的劲儿。
比方说，你要开一扇门，使劲推门把手的时候，这个推力产生的作用就是力矩。
力矩越大，门转得越快。
3. 转动惯量呢，就是物体不愿意改变自己转动状态的"倔脾气"。
就像是个爱赖床的孩子，躺着不想起来，这就是惯量在作怪啦！4. 这两个家伙之间有个有趣的关系，力矩越大，物体转动得越快；但是呢，转动惯量越大，物体越不愿意转动或改变转动状态，就像个犟脾气的老头儿。
5. 打个比方啊，你看杂技演员表演转盘子，开始的时候要使很大的力矩才能让盘子转起来，这时候就是在克服盘子的转动惯量。
盘子一旦转起来，就像上了发条的陀螺，转个不停。
6. 有意思的是，同样的力矩作用在转动惯量不同的物体上，效果可就天差地别啦！就像用同样的力气推动一个轻飘飘的纸扇和一个沉甸甸的铁门，转动的快慢可不一样。
7. 生活中处处都能看到这对"欢喜冤家"。
溜冰的时候，双手展开转圈，手臂收回来转得就快，这就是因为转动惯量变小了。
力矩没变，但转动效果却大不相同。
8. 要是把这个关系写成数学公式，那就是角加速度等于力矩除以转动惯量。
听起来挺吓人，其实就是在说：想转得快，要么加大力气力矩，要么减小阻力转动惯量。
9. 这就像是骑自行车，踩踏板时用力大小是力矩，而车轮的重量就影响着转动惯量。
要是车轮太重，就算你使出吃奶的劲儿，车子也转不快。
10. 在机械设计中，这对关系可重要啦！设计转动部件的时候，得好好考虑力矩和转动惯量的配合。
就像找对象，得门当户对才行！11. 有时候我们还会故意增大转动惯量，比如汽车上的飞轮，就是利用大转动惯量来保持发动机转动的平稳性，就像是给发动机装了个"稳定器"。
12. 所以啊，力矩和惯量的关系就像是跷跷板两端，此消彼长，相辅相成。
§4.2 力矩 转动惯量 转动定律
Fi
3. Mz、J、皆对同一轴而言。
fi
n
ri Fi ri fi ( miri2)
i
i
i 1
o ri
f
i
mi
Fi
n
ri Fi J i1
Mz J ( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 27 / 18 .
1. Mz J 反映了力矩 Mz与角加速度 间的瞬时关系。
P. 29 / 18 .
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。
解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 Mz J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
而 J 1 ml 2 3
0 t
0 t0 0
0
t0
M阻 J
ml 2 3t 0
i 1
二、转动惯量
n
J miri2 i 1
mi
m3
ri
r3
r2
r1 m1
m2
1 2
(
n i1
mi ri2
) 2
Ek
1( 2
n i1
mi ri2
) 2
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 9 / 18 .
n
可知： 一定时， miri2越大，刚体转动动能亦越大。
i 1
n
ri Fi J i1
Mz J
Fi fi
o ri
F ma
f
i
mi
Fi
( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
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力矩与转动惯量
力矩是物体受力后产生的旋转效应，它是描述物体转动能力的物理量。
转动惯量则是物体对转动运动的惯性度量，它和物体的质量分布
和其转动轴的位置有关。
本文将介绍力矩和转动惯量的概念、计算公
式以及影响因素。
一、力矩的概念与计算
力矩是力对物体的转动效应的量度，通常用符号M表示。
在力的
作用下，物体的转动效果取决于力的大小和作用点距离旋转轴的距离。
力矩的计算公式为：
M = F × r × sinθ
其中，F为力的大小，r为作用点距离转动轴的距离，θ为力和转动
轴之间的夹角，sin表示正弦函数。
从公式中可以看出，力矩的大小与
力的大小、作用点距离旋转轴的距离以及两者之间的夹角有关。
二、转动惯量的概念与计算
转动惯量是物体对转动运动的惯性度量，它与物体的质量分布和转
动轴的位置有关。
通常用符号I表示。
对于质点，其转动惯量可以直接通过质量m和离转动轴的距离r计算：
I = m × r²
对于复杂的物体，转动惯量的计算需要考虑物体的形状和质量分布
情况。
例如，对于绕轴旋转的刚体，转动惯量的计算公式为：
I = ∫r² dm
其中，积分符号∫表示对整个物体进行质量分布的积分，r为质量元dm离转动轴的距离。
通过对物体进行积分求和，可以得到物体的总转
动惯量。
三、影响力矩和转动惯量的因素
1. 力的大小：力矩与力的大小成正比。
当施加在物体上的力增大时，力矩也会增大。
2. 作用点距离旋转轴的距离：力矩与作用点距离旋转轴的距离成正比。
当作用点距离旋转轴增大时，力矩也会增大。
3. 夹角θ：力矩与力和旋转轴之间的夹角正弦函数有关。
夹角θ越大，力矩越大。
4. 物体的形状和质量分布：转动惯量的大小与物体的形状和质量分
布有关。
对于不同形状的物体，其转动惯量会有所不同。
综上所述，力矩和转动惯量分别描述了物体受力后的旋转效应和对
转动运动的惯性度量。
力矩的大小与力的大小、作用点距离旋转轴的
距离以及两者之间的夹角有关；转动惯量的计算需要考虑物体的形状
和质量分布情况。
深入理解力矩和转动惯量的概念和计算方法，对于
研究物体的旋转运动具有重要的意义。