吉林省松原市扶余县重点中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高一上学期9月月考数学试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。

第I 卷注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。

请认真核准考号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3．本试卷共 12小题，每小题 5分，共 60 分。

在每小题 给出的四个选项中，只有一项符合要求。

一、选择题：（ 本大题共12小题，每小题 5分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}{}{}3,2,1,0,2,1,0,3,2,1,0,1,2==--=N M U ，则N M C U )(=A.{}2,1,0B.{}3,12--，C.{}3,0D.{}3 2.设集合A ＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B 的个数是A ．1B ．3C ．4D ．83.设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：12-→x x 是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是A ． {0,2,3}B ．{1,2,3}C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}4. 已知函数)(x f =bx ax +2是定义在[a a 2,1-]上的偶函数，那么b a +的值是 A ．31-B ．31C ．21D ．21- 5. 设32)32(=a ，31)32(=b ，32)52(=c ，则c b a ,,的大小关系是A ．a c b >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >> 6. 已知31.2lg =a ，31.1lg =b ，则ab=A ．1001 B ．101C ．10D ．100 7. 已知0< a <1，b <－1，则函数b a y x +=的图象必定不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6)(2()6(5)(x x f x x x f ，则)(x f 为( )A ．3B ．2C ．4D ．5 9.设函数)(x f 是（－∞，+∞）上的减函数，若R a ∈，则A ．)2()(a f a f >B ．)()(2a f a f <C ．)()(2a f a a f <+D ．)()1(2a f a f <+ 10. 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于A ．－10B ．－18C ．－26D ．1011. 已知函数)(x f 在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，满足)1()3(-<-f f ，则下列不等式一定成立的是A ．)3()1(f f <-B ．)3()2(f f <C ．)5()3(f f <-D ．)1()0(f f >12. 已知函数)(x f ＝|x|＋，则函数y ＝)(x f 的大致图像为第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13.若{}0|2＜a x x -∉，则实数a 的取值集合是 .1x14. 已知)(x f 满足)(x f +)(y f =)(xy f ,且m f =)5(，n f =)7(，即 )175(f =____。

吉林省松原市扶余一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x2+1 B．y=2x C．y=x+D．y=﹣x2+12．（5分）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线都与直线l异面B．α内不存在与直线l平行的直线C．α内存在唯一的直线与直线l平行D．α内存在唯一的直线与直线l平行3．（5分）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中的正确的是（）A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若α⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β4．（5分）函数f（x）=x2+lnx﹣4的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．（5分）已知直线l：x+2y+k+1=0被圆C：x2+y2=4所截得的弦长为4，则k是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．26．（5分）直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（）A．y﹣4=﹣（x+3）B．y﹣4=（x+3） C．y+4=﹣（x﹣3）D．y+4=（x ﹣3）7．（5分）如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台9．（5分）已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是（）A．32π B．192πC．48πD．无法确定10．（5分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD的底面面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A． B． C．D．12．（5分）点M（x0，y）在圆x2+y2=R2外，则直线xx+yy=R2与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是．14．（5分）直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于．15．（5分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为．16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=，则PA与底面ABC所成角为．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．18．（12分）求经过点P（6，﹣4）且被定圆O：x2+y2=20截得的弦长为6的直线AB的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：BC⊥DE．20．（12分）已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．求证：（1）平面BDD1⊥平面PAC；（2）直线PB1⊥平面PAC．22．（12分）已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形．（1）证明：PD⊥平面PAB；（2）求二面角P﹣CB﹣A的余弦值．吉林省松原市扶余一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x2+1 B．y=2x C．y=x+D．y=﹣x2+1【解答】解：对于A，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于B，函数不是偶函数，不合题意；对于C，函数不是偶函数，不合题意；对于D，函数是偶函数，在区间[0，+∞）上单调递减，不符合题意；故选：A．2．（5分）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线都与直线l异面B．α内不存在与直线l平行的直线C．α内存在唯一的直线与直线l平行D．α内存在唯一的直线与直线l平行【解答】解：∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴直线l与平面α相交，∴α内不存在与直线l平行的直线．故选：B．3．（5分）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中的正确的是（）A．若α∥β，m∥α，则m∥βB．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若α⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β【解答】解：A不正确，因为α∥β，m∥α的条件下，m∥β或m⊂β；B不正确，因为若n⊂α时，亦有m∥α，m⊥n；C不正确，因为α⊥β，m⊥β可得出m∥αm⊂α；D正确，由m⊥α，m⊥β可得出α∥β故选D4．（5分）函数f（x）=x2+lnx﹣4的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：∵连续函数f（x）=x2+lnx﹣4，f（1）=﹣3＜0，f（2）=ln2＞0，∴函数f（x）=x2+lnx﹣4的零点所在的区间是（1，2）．故选B．5．（5分）已知直线l：x+2y+k+1=0被圆C：x2+y2=4所截得的弦长为4，则k是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2【解答】解：设圆心（0，0）到直线l：x+2y+k+1=0的距离为 d，则由点到直线的距离公式得d==|k+1|，再由4=2=2，k=﹣1，故选A．6．（5分）直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（）A．y﹣4=﹣（x+3）B．y﹣4=（x+3） C．y+4=﹣（x﹣3）D．y+4=（x ﹣3）【解答】解：显然点（﹣3，4）在圆x2+y2=25上，设切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣4=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣4=0，∴圆心（0，0）到直线的距离d==5，解得k=，则切线方程为y﹣4=（x+3）．故选：B．7．（5分）如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．【解答】解：根据该几何体的直观图、正视图和俯视图，可得它的侧视图为直角三角形PAD及其PA边上的中线，故选：B．8．（5分）下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【解答】解：在A中，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；在B中，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；在C中，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．9．（5分）已知正方体的体积是64，则其外接球的表面积是（）A．32π B．192πC．48πD．无法确定【解答】解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴正方体的外接球的半径R=2，∴正方体的外接球的表面积S=4πR2=48π，故选：C．10．（5分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD的底面面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结OP，则OP⊥平面ABCD，∵正四棱锥P﹣ABCD的底面面积为3，体积为，∴AB=，OA===，==，解得OP=，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），E（﹣，0，），=（，0，﹣），=（﹣，﹣，），设PA与BE所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴PA与BE所成的角为60°．故选：C．11．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A． B． C．D．【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k==，即为的最大值．故选：C．12．（5分）点M（x0，y）在圆x2+y2=R2外，则直线xx+yy=R2与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵点M（x0，y）在圆x2+y2=R2外，∴x02+y2＞R2，∴圆心（0，0）到直线x0x+yy=R2的距离：d=＜R，∴直线x0x+yy=R2与圆相交．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是π．【解答】解：直线x+y﹣3=0 即 y=﹣x+，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，则 0≤α＜π，且tanα=﹣，故α=，故答案为：．14．（5分）直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于﹣．【解答】解：直线y=kx与直线y=2x+1垂直，∴2k=﹣1，解得k=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为2x+3y﹣8=0 ．【解答】解：设直线l的方程上的点P（x，y），则P关于直线x=1对称的点P′为（2﹣x，y），P′在直线2x﹣3y+4=0上，∴2（2﹣x）﹣3y+4=0，即2x+3y﹣8=0，故答案为2x+3y﹣8=0．16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=，则PA与底面ABC所成角为．【解答】解：∵PA=PB=PC，∴P在底面的射影E是△ABC的外心，又故E是BC的中点，所以PA与底面ABC所成角为∠PAE，等边三角形PBC中，PE=，直角三角形ABC中，AE=BC=，又PA=1，∴三角形PAE中，tan∠PAE==∴∠PAE=，则PA与底面ABC所成角为．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．【解答】解：由得B（﹣4，0），设AC边上的高为BD，由BD⊥CA，可知 BD的斜率等于=，用点斜式写出AC边上的高所在的直线方程为 y﹣0=（x+4 ），即 x﹣2y+4=0．18．（12分）求经过点P（6，﹣4）且被定圆O：x2+y2=20截得的弦长为6的直线AB的方程．【解答】解：由题意知，直线AB的斜率存在，且|AB|=6，OA=2，作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，|OC|==．设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y+4=k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣4=0．∵圆心到直线的距离为，∴=，即17k2+24k+7=0，∴k=﹣1或k=﹣．故所求直线的方程为x+y﹣2=0或7x+17y+26=0．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：BC⊥DE．【解答】证明：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO．…（2分）∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO …（4分）而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB …（6分）（2）∵PD⊥底面ABCD且BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC ①又∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC ②其中PD∩DC=D∴BC⊥平面PDC．…（10分）又∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．…（12分）20．（12分）已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．【解答】解：（1）曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，则5﹣m＞0，解得：m＜5．（2）直线x+2y﹣4=0与圆：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0的交点为M（x1，y1）N（x2，y2）．则：，整理得：5y2﹣16y+8+m=0，则：，，且OM⊥ON（O为坐标原点），则：x1x2+y1y2=0，x 1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，则（4﹣2y1）（4﹣2y2）+y1y2=0．解得：m=，故m的值为．21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．求证：（1）平面BDD1⊥平面PAC；（2）直线PB1⊥平面PAC．【解答】证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1．又BD∩DD1=D，BD⊂平面BDD1，DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1．（2）∵PC2=2，PB12=3，B1C2=5，∴PC2+PB12=B1C2，△PB1C是直角三角形，PB1⊥PC．同理PB1⊥PA，又PA∩PC=P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴直线PB⊥平面PAC．122．（12分）已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形．（1）证明：PD⊥平面PAB；（2）求二面角P﹣CB﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：取AB得中点E，连接PE，DE．∵AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形∴AE⊥AB，AE=，BE=CD，EB∥CD∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE=CB=2，DE∥CD∴AB⊥ED，∴AB⊥面PED⇒AB⊥PDDE2=PD2+AE2，∴PD⊥AE，∴PD⊥面PAB（2）解：由（1）得面PAD⊥面ABCD，过P作PO⊥ED于O，则PO⊥面ABCD，过O作OH⊥CB于H，连接PH，则∠PHO为二面角P﹣CB﹣A的平面角．在Rt△PED中，PO•ED=PE•PD，可得PO=在Rt△PED中，OH=1，PH=，=∴二面角P﹣CB﹣A的余弦值为。

2014-2015学年吉林省松原市扶余一中高一（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④【答案】D【解析】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选D．利用旋转体的概念直接进行判断．本题考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A.∅B.{x|x＜0}C.{x|x＜1}D.{x|0＜x＜1}【答案】D【解析】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．本题考查利用指数函数的单调性解指数不等式、考查利用交集的定义求两个集合的交集．3.f（x）=的定义域是（）A.（1，+∞）B.（2，+∞）C.（-∞，2）D.（1，2]【答案】D【解析】解：要使函数f（x）=的解析式有意义，自变量x须满足：＞即0＜x-1≤1解得1＜x≤2故函数f（x）=的定义域是（1，2]故选D．要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：被开方数大于等于0，真数大于0，由此构造关于x的不等式组，解不等式组，即可得到函数f（x）=的定义域．本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，对数函数的定义域，其中根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量x的不等式组，是解答本题的关键．4.下列函数中有两个不同零点的是（）A.y=lgxB.y=2xC.y=x2D.y=|x|-1【答案】D【解析】解：A、y=lgx是定义域内的单调函数，由图象知，只有一个零点．B、y=2x是定义域内的单调函数，由图象知，没有零点．C、y=x2是二次函数，图象是抛物线，和x轴仅有一个交点．D、y=|x|-1的图象是把y=|x|的图象上各点向下平移了1个单位得到的，故y=|x|-1的图象和x轴有2个交点（-1，0）、（1，0）．故选D．分析各个选项中的函数与x轴的交点的个数，把与x轴的交点的个数等于2的找出来．函数的零点个数，就是函数与横轴的交点个数，结合函数的单调性及图象判断函数的零点个数．5.已知定义在R上的偶函数f（x）的单调递减区间为[0，+∞），则使f（x）＜f（2）成立的x取值范围是（）A.（-∞，2）B.（2，+∞）C.（-2，2）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）【答案】D【解析】解：由于定义在R上的偶函数f（x）的单调递减区间为[0，+∞），则f（x）=f（|x|），则f（x）＜f（2）即为f（|x|）＜f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜-2．故选D．由偶函数可得f（x）=f（|x|），则f（x）＜f（2）即为f（|x|）＜f（2），再由单调性，得到|x|＞2，解得即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．6.如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）【答案】D【解析】解：第一个正方体已知1，2，3第二个正方体已知1，3，4第三个正方体已知2，3，5且不同的面上写的数字各不相同，则可知1对面标的是5，2对面标的是4，3对面标的是6故选D．本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的数字，即可求得结果．本题考查了正方体相对两个面上的数字问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，本题是一个基础题．7.函数f（x）=lgx-的零点所在的区间是（）A.（0，1]B.（1，10]C.（10，100]D.（100，+∞）【答案】B【解析】解：由于f（1）f（10）=（0-）（1-）=（-1）×＜0，根据二分法，得函数在区间（1，10]内存在零点．故选B．先求出f（1）f（10）＜0，再由二分法进行判断．本题考查函数的零点问题，解题时要注意二分法的合理运用．x）A.（-1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）【答案】C【解析】解：令f（x）=e x-x-2，由图表知，f（1）=2.72-3=-0.28＜0，f（2）=7.39-4=3.39＞0，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2），故选C．令f（x）=e x-x-2，方程e x-x-2=0的根即函数f（x）=e x-x-2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为（1，2）．本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．9.已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A′B′C′的高为=，∴△A′B′C′的面积S==．故选D．由正△ABC的边长为a，知正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，故△A′B′C′的高为=，由此能求出△A′B′C′的面积．本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10.半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A.πR3B.πR3C.πR3D.πR3【答案】A【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力．11.某商品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y=0.1x2-11x+3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于（）A.55台B.120台C.150台D.180台【答案】D【解析】解：当产量为x台时，产品的销售收入为25x万元由商品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y=0.1x2-11x+3000得生产者的利润f（x）=25x-（0.1x2-11x+3000）=-0.1x2+36x-3000由二次函数的图象和性质可得当x==180台时生产者的利润取最大值故选D由已知中某商品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y=0.1x2-11x+3000，每台产品的售价为25万元，可由利润=销售收入-成本得到利润的表达式，进而根据二次函数的图象和性质得到答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知得到利润的表达式是解答的关键．12.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（）A.12πB.C.D.8π【答案】B【解析】解：由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为2，半径为∴三棱锥的外接球体积为πR3=4π故选B由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论．本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是______ cm2．【答案】12π【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故答案为：12π．由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．本题是基础题，考查正方体的外接球的表面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．14.某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为______ ．【答案】-1【解析】解：设当年1月份利润为a，该商店去年每月利润的平均增长率为x．则a（1+x）11=ka，∴x=-1．故答案为：-1．设当年1月份利润为a，该商店去年每月利润的平均增长率为x．可得a（1+x）11=ka，解出即可．本题考查了增长率问题、根式的运算性质，属于基础题．15.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是______ ．【答案】12π【解析】解：几何体的表面积是2π•22+π•22=12π．故答案为：12π．三视图复原几何体是一个半球，求出底面积和半球面积即可．本题考查三视图求面积，空集计算能力，是基础题．16.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______ ．【答案】【解析】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为．结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.若函数f（x）=mx2-2x+3只有一个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）当m=0时，f（x）=-2x+3与x轴只有一个交点，此时函数f（x）只有一个零点．（2）当m≠0时，要使得f（x）=mx2-2x+3只有一个零点，则要△=（-2）2-4×3×m=0，此时m=．综上所述，当m=0或m=时，函数f（x）=mx2-2x+3只有一个零点．由题意，讨论函数f（x）=mx2-2x+3是一次函数还是二次函数，从而求解．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．18.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．【答案】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===【解析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．本题是基础题，考查旋转体的表面积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．19.若方程x2+（k-2）x+2k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．【答案】解：设f（x）=x2+（k-2）x+2k-1，∵f（x）=0的两根中，一根在（0，1）内，一根在（1，2）内，∴＞＜＞，求得＜k＜．【解析】设f（x）=x2+（k-2）x+2k-1，由题意可得＞＜＞，由此求得k的范围．学思想，属于基础题．20.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】解：设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为480-40（x-1）=520-40x＞0，所以0＜x＜13，则利润y=（520-40x）x-200=-40x2+520x-200=-40（x-6.5）2+1490，其中0＜x＜13，所以当x=6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．【解析】利用表格数据，可得涨价x元后，日销售的桶数，利用销售收入减去固定成本，即可得到利润函数，利用配方法，即可得到最大利润．本题考查函数的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数模型．21.已知函数f（x）=（）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f2（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由，，，已知，，设f（x）=t，则g（x）=y=t2-2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：①当时，g（x）的最小值h（a）=，②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12-6a，综上所述，h（a）=，，＜＜，；（2）当a≥3时，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数，所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]．由题意，则⇒，两式相减得6n-6m=n2-m2，又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值．【解析】（1）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；（2）由（1）可知a≥3时，h（a）为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可．本题主要考查一次二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，“定轴动区间”、“定区间动轴”．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB=a且PD=a，PA=PC=a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径．（提示：PD是四棱锥P-ABCD的高）【答案】解：设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大．连接SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面．由体积关系，得V P-ABCD=（S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S正方形ABCD）==，∵V P-ABCD=正方形=，∴=，解得R=．∴球的最大半径是．【解析】些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面．由体积关系，得V P-ABCD=（S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S正方形ABCD）即可得出．本题考查了三棱锥的体积计算公式、求相切问题，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2013-2014学年吉林省吉林市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4.00分）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x≥0}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}2．（4.00分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）3．（4.00分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域是（）A．{x|x≠﹣1}B．（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）4．（4.00分）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（4.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=56．（4.00分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（4.00分）设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]8．（4.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．arccos B．C．arccos D．9．（4.00分）过圆x2+y2=4上的一点（1，）的圆的切线方程是（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．x+y=0 D．x﹣y﹣4=010．（4.00分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=2，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣3）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+（y+2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+3）2=211．（4.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则一定有（）A．B．≥f（a4+a2+1）C．D．≤f（a4+a2+1）12．（4.00分）在直角坐标系xOy中，设A（2，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是（）A． B．6 C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是．14．（4.00分）已知f（x）=，若f（x）=10，则x=．15．（4.00分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则直线m的斜率可以是：①；②；③1；④；⑤其中正确答案的序号是．16．（4.00分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AE ⊥BC，④平面AEF⊥平面PBC，⑤△AFE是直角三角形，其中正确的命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知△ABC的三个顶点为A（0，3），B（1，5），C（3，﹣5）．（Ⅰ）求边AB所在的直线方程；（Ⅱ）求中线AD所在直线的方程．18．（10.00分）如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD．19．（12.00分）设y1=log a（3x+1），y2=log a（﹣3x），其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范围．20．（12.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD 把这个长方体截成两个几何体：（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值；（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P﹣QR﹣C的正切值．21．（12.00分）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．2013-2014学年吉林省吉林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4.00分）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x≥0}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|x＞﹣2}．故选：A．2．（4.00分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=13，所以此圆的圆心坐标为（2，﹣3）．故选：D．3．（4.00分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域是（）A．{x|x≠﹣1}B．（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：要使函数有意义，则x+1＞0，即x＞﹣1，∴函数的定义域为（﹣1，+∞）．故选：C．4．（4.00分）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选：A．5．（4.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5【解答】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，∴垂直平分线的斜率k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，故选：B．6．（4.00分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：m∥α，n∥α，时，m与n可能平行、可能异面也可能相交，故①错误；m∥α，n⊥α时，存在直线l⊂α，使m∥l，则n⊥l，也必有n⊥m，故②正确；m⊥α，m∥β时，直线l⊂β，使l∥m，则n⊥β，则α⊥β，故③正确；故选：C．7．（4.00分）设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]【解答】解：∵f（﹣1）=3﹣1﹣（﹣1）2=﹣1=﹣＜0，f（0）=30﹣02=1＞0，∴f（﹣1）•f（0）＜0，∴有零点的区间是[﹣1，0]．【答案】D8．（4.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．arccos B．C．arccos D．【解答】解：连接B1G，EG，由于E、G分别是DD1和CC1的中点，∴EG∥C1D1，而C1D∥A1B1，∴EG∥A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连接B1F，则FG=，B1G=，B1F=，由FG2+B1G2=B1F2，∴∠B1GF=即异面直线A1E与GF所成的角为．故选：D．9．（4.00分）过圆x2+y2=4上的一点（1，）的圆的切线方程是（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．x+y=0 D．x﹣y﹣4=0【解答】解：∵过（0，0）与（1，）直线斜率为，∴过（1，）切线方程的斜率为﹣，则所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．故选：A．10．（4.00分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=2，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣3）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+（y+2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+3）2=2【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=2上，∴有（y+1+2）2+（x﹣1﹣2）2=2，即（x﹣3）2+（y+3）2=2，∴圆C2的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=2．故选：D．11．（4.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则一定有（）A．B．≥f（a4+a2+1）C．D．≤f（a4+a2+1）【解答】解；∵a4+a2+1=（a2+）2+，∴a4+a2+1=（a2+）2+，∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（a4+a2+1）＞f（），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（a4+a2+1）＞f（）=f（﹣），即，故选：C．12．（4.00分）在直角坐标系xOy中，设A（2，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是（）A． B．6 C．D．【解答】解：A（2，2），B（﹣2，﹣3），作AC垂直y轴，BD垂直y轴，AM平行等于CD，连接AB，MC，则|CD|=5，|BD|=2，|AC|=2，∵BD⊥y轴，MD⊥y轴（AC∥MD），∴∠ACM就是二面角的平面角，即∠BDM=120°∴|AM|=5，∵|BM|==∴|AB|==．故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是4π．【解答】解：∵正方体的内切球的球心O到正方体各面的距离等于半径，∴2R=2，即球半径R=1，∴内切球的表面积是4π．故答案为：4π；14．（4.00分）已知f（x）=，若f（x）=10，则x=﹣3或5．【解答】解：当x≤10时，由x2+1=10，x=﹣3．当x＞0时，由2x=10，得x=5，故答案为：﹣3或5．15．（4.00分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则直线m的斜率可以是：①；②；③1；④；⑤其中正确答案的序号是①⑤．【解答】解：两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0的距离为=，斜率为1，∵直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，∴直线m与两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0的夹角均为30°，设直线m的斜率为k，则，∴k=或．故答案为：①⑤．16．（4.00分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AE ⊥BC，④平面AEF⊥平面PBC，⑤△AFE是直角三角形，其中正确的命题的序号是①②④⑤．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥⊙O所在平面内的所有直线，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，∵F是点A在PC上的射影，∴AF⊥PC，∵AF∩PC=F，∴PC⊥面PAC，∴AF⊥BC，又AF⊥PC，∴AF⊥面PBC，∴AF⊥PB，∴①正确；∵AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥面PBC，∴AF⊥EF，即△AFE是直角三角形，∴⑤正确．∵AF⊥PB，AE⊥PB，AF∩AE=A，∴PB⊥面AEF，∴EF⊥PB，∴②正确．∵AF⊥面PBC，∴若AE⊥BC，则AE⊥面PBC，此时E，F重合，与已知矛盾．∴③错误；∵AF⊥面PBC，AF⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，∴④正确．故答案是：①②④⑤三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知△ABC的三个顶点为A（0，3），B（1，5），C（3，﹣5）．（Ⅰ）求边AB所在的直线方程；（Ⅱ）求中线AD所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，3），B（1，5），由直线方程的两点式可得过AB的直线方程为：．整理得：2x﹣y+3=0；（Ⅱ）由B（1，5）、C（3，﹣5），得，∴BC的中点为D（2，0）．由截距式得中线AD所在的直线的方程为：，即3x+2y﹣6=0．18．（10.00分）如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD．【解答】解：证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE．∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO．∵E为PC的中点，∴EO∥PA．∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．19．（12.00分）设y1=log a（3x+1），y2=log a（﹣3x），其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵y1=y2，即log a（3x+1）=log a（﹣3x），∴3x+1=﹣3x，解得，经检验3x+1＞0，﹣3x＞0，所以，x=﹣是所求的值．（2）当0＜a＜1时，∵y1＞y2，即log a（3x+1）＞log a（﹣3x），∴解得．当a＞1时，∵y1＞y2，即log a（3x+1）＞log a（﹣3x），∴解得．综上，当0＜a＜1时，；当a＞1时，．20．（12.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD 把这个长方体截成两个几何体：（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值；（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P﹣QR﹣C的正切值．【解答】解：（I）设BC=a，则AB=2a，BB1=a，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，因为PC⊥面CQR，QR⊂面CQR，所以PC⊥QR．因为PC∩CH=C，所以QR⊥面PCH，又因为PH⊂面PCH，所以QR⊥PH，所以∠PHC是二面角P﹣QR﹣C的平面角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）而所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12.00分）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则解得D=﹣6，E=4，F=4∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），则由得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=，∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，∴得x1x2+y1y2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴，即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣赠送—高中数学知识点【 1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

2013-2014学年吉林省吉林市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4.00分）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x≥0}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}2．（4.00分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）3．（4.00分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域是（）A．{x|x≠﹣1}B．（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）4．（4.00分）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（4.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=56．（4.00分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（4.00分）设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]8．（4.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．arccos B．C．arccos D．9．（4.00分）过圆x2+y2=4上的一点（1，）的圆的切线方程是（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．x+y=0 D．x﹣y﹣4=010．（4.00分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=2，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣3）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+（y+2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+3）2=211．（4.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则一定有（）A．B．≥f（a4+a2+1）C．D．≤f（a4+a2+1）12．（4.00分）在直角坐标系xOy中，设A（2，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是（）A． B．6 C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是．14．（4.00分）已知f（x）=，若f（x）=10，则x=．15．（4.00分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则直线m的斜率可以是：①；②；③1；④；⑤其中正确答案的序号是．16．（4.00分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AE ⊥BC，④平面AEF⊥平面PBC，⑤△AFE是直角三角形，其中正确的命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知△ABC的三个顶点为A（0，3），B（1，5），C（3，﹣5）．（Ⅰ）求边AB所在的直线方程；（Ⅱ）求中线AD所在直线的方程．18．（10.00分）如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD．19．（12.00分）设y1=log a（3x+1），y2=log a（﹣3x），其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范围．20．（12.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD 把这个长方体截成两个几何体：（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值；（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P﹣QR﹣C的正切值．21．（12.00分）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．2013-2014学年吉林省吉林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4.00分）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x≥0}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|x＞﹣2}．故选：A．2．（4.00分）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=13，所以此圆的圆心坐标为（2，﹣3）．故选：D．3．（4.00分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域是（）A．{x|x≠﹣1}B．（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：要使函数有意义，则x+1＞0，即x＞﹣1，∴函数的定义域为（﹣1，+∞）．故选：C．4．（4.00分）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选：A．5．（4.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5【解答】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，∴垂直平分线的斜率k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，故选：B．6．（4.00分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：m∥α，n∥α，时，m与n可能平行、可能异面也可能相交，故①错误；m∥α，n⊥α时，存在直线l⊂α，使m∥l，则n⊥l，也必有n⊥m，故②正确；m⊥α，m∥β时，直线l⊂β，使l∥m，则n⊥β，则α⊥β，故③正确；故选：C．7．（4.00分）设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]【解答】解：∵f（﹣1）=3﹣1﹣（﹣1）2=﹣1=﹣＜0，f（0）=30﹣02=1＞0，∴f（﹣1）•f（0）＜0，∴有零点的区间是[﹣1，0]．【答案】D8．（4.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．arccos B．C．arccos D．【解答】解：连接B1G，EG，由于E、G分别是DD1和CC1的中点，∴EG∥C1D1，而C1D∥A1B1，∴EG∥A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连接B1F，则FG=，B1G=，B1F=，由FG2+B1G2=B1F2，∴∠B1GF=即异面直线A1E与GF所成的角为．故选：D．9．（4.00分）过圆x2+y2=4上的一点（1，）的圆的切线方程是（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．x+y=0 D．x﹣y﹣4=0【解答】解：∵过（0，0）与（1，）直线斜率为，∴过（1，）切线方程的斜率为﹣，则所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣4=0．故选：A．10．（4.00分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=2，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣3）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣2）2+（y+2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+3）2=2【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=2上，∴有（y+1+2）2+（x﹣1﹣2）2=2，即（x﹣3）2+（y+3）2=2，∴圆C2的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=2．故选：D．11．（4.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则一定有（）A．B．≥f（a4+a2+1）C．D．≤f（a4+a2+1）【解答】解；∵a4+a2+1=（a2+）2+，∴a4+a2+1=（a2+）2+，∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（a4+a2+1）＞f（），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（a4+a2+1）＞f（）=f（﹣），即，故选：C．12．（4.00分）在直角坐标系xOy中，设A（2，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长是（）A． B．6 C．D．【解答】解：A（2，2），B（﹣2，﹣3），作AC垂直y轴，BD垂直y轴，AM平行等于CD，连接AB，MC，则|CD|=5，|BD|=2，|AC|=2，∵BD⊥y轴，MD⊥y轴（AC∥MD），∴∠ACM就是二面角的平面角，即∠BDM=120°∴|AM|=5，∵|BM|==∴|AB|==．故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是4π．【解答】解：∵正方体的内切球的球心O到正方体各面的距离等于半径，∴2R=2，即球半径R=1，∴内切球的表面积是4π．故答案为：4π；14．（4.00分）已知f（x）=，若f（x）=10，则x=﹣3或5．【解答】解：当x≤10时，由x2+1=10，x=﹣3．当x＞0时，由2x=10，得x=5，故答案为：﹣3或5．15．（4.00分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则直线m的斜率可以是：①；②；③1；④；⑤其中正确答案的序号是①⑤．【解答】解：两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0的距离为=，斜率为1，∵直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，∴直线m与两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0的夹角均为30°，设直线m的斜率为k，则，∴k=或．故答案为：①⑤．16．（4.00分）如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AE ⊥BC，④平面AEF⊥平面PBC，⑤△AFE是直角三角形，其中正确的命题的序号是①②④⑤．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥⊙O所在平面内的所有直线，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，∵F是点A在PC上的射影，∴AF⊥PC，∵AF∩PC=F，∴PC⊥面PAC，∴AF⊥BC，又AF⊥PC，∴AF⊥面PBC，∴AF⊥PB，∴①正确；∵AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥面PBC，∴AF⊥EF，即△AFE是直角三角形，∴⑤正确．∵AF⊥PB，AE⊥PB，AF∩AE=A，∴PB⊥面AEF，∴EF⊥PB，∴②正确．∵AF⊥面PBC，∴若AE⊥BC，则AE⊥面PBC，此时E，F重合，与已知矛盾．∴③错误；∵AF⊥面PBC，AF⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，∴④正确．故答案是：①②④⑤三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知△ABC的三个顶点为A（0，3），B（1，5），C（3，﹣5）．（Ⅰ）求边AB所在的直线方程；（Ⅱ）求中线AD所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，3），B（1，5），由直线方程的两点式可得过AB的直线方程为：．整理得：2x﹣y+3=0；（Ⅱ）由B（1，5）、C（3，﹣5），得，∴BC的中点为D（2，0）．由截距式得中线AD所在的直线的方程为：，即3x+2y﹣6=0．18．（10.00分）如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD．【解答】解：证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE．∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO．∵E为PC的中点，∴EO∥PA．∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．19．（12.00分）设y1=log a（3x+1），y2=log a（﹣3x），其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵y1=y2，即log a（3x+1）=log a（﹣3x），∴3x+1=﹣3x，解得，经检验3x+1＞0，﹣3x＞0，所以，x=﹣是所求的值．（2）当0＜a＜1时，∵y1＞y2，即log a（3x+1）＞log a（﹣3x），∴解得．当a＞1时，∵y1＞y2，即log a（3x+1）＞log a（﹣3x），∴解得．综上，当0＜a＜1时，；当a＞1时，．20．（12.00分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD 把这个长方体截成两个几何体：（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值；（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P﹣QR﹣C的正切值．【解答】解：（I）设BC=a，则AB=2a，BB1=a，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，因为PC⊥面CQR，QR⊂面CQR，所以PC⊥QR．因为PC∩CH=C，所以QR⊥面PCH，又因为PH⊂面PCH，所以QR⊥PH，所以∠PHC是二面角P﹣QR﹣C的平面角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）而所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12.00分）已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则解得D=﹣6，E=4，F=4∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y 2）， 则由得2x 2+2（b ﹣1）x +b 2+4b +4=0（*）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴y 1y 2=（x 1+b ）（x 2+b ）=，∵AB 为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA 2+OB 2=AB 2， ∴得x 1x 2+y 1y 2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） ∴，即b 2+4b +4+b （1﹣b ）+b 2=0，b 2+5b +4=0，∴b=﹣1或b=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．故存在这样的直线l 有两条，其方程是y=x ﹣1或y=x ﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域Rxa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低． 〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2014-2015学年吉林省松原市扶余县重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：1. 设全集U ＝{1, 2, 3, 4}，集合S ＝{1, 3}，T ＝{4}，则(∁U S)∪T 等于（ ） A.{2, 4} B.{4} C.⌀ D.{1, 3, 4}2. 已知点A(x, 1, 2)和点B(2, 3, 4)，且|AB|＝2√6，则实数x 的值是（ ） A.−3或4 B.6或2 C.3或−4 D.6或−23. 函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是( ) A.(−14, 0) B.(0, 14)C.(14, 12)D.(12, 34)4. 已知直线m 、n 与平面α，β，给出下列三个命题： ①若m // α，n // α，则m // n ； ②若m // α，n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α，m // β，则α⊥β． 其中真命题的个数是（ ） A.0 B.1C.2D.35. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( )A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 36. 已知函数f(x)=(12)|x|，设a =f(2−0.3)，b =f(log 20.3)，c =f(ln 10)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a >c >b B.b >a >c C.c >a >b D.a >b >c7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任一点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为（ ） A.30∘ B.60∘ C.90∘ D.120∘8. 两直线3x +y −3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A.4 B.2√1313C.5√1326D.7√10209. M(x 0, y 0)为圆x 2+y 2=a 2(a >0)内异于圆心的一点，则直线x 0x +y 0y =a 2与该圆的位置关系为（ ） A.相切 B.相交C.相离D.相切或相交10. 如图，三棱柱ABC −A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M 是侧棱BB′的中点，则二面角M −AC −B 的大小为（ ） A.30∘ B.45∘C.60∘D.75∘11. 在正方体ABCD −A′B′C′D′中，直线BC′与平面A′BD 所成的角的余弦值等于（ ）A.√24B.√33C.√23D.√3212. 对于函数f(x)=ax 3+bx −cx +d （其中a ，b ，c ∈R ，d ∈Z ），选取a ，b ，c ，d 的一组值计算f(m)和f(−m)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A.3和7B.2和6C.5和11D.−1和4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）若三点A(2, 2)，B(a, 0)，C(0, b)(ab≠0)共线，则1a +1b的值等于________．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y−5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于________．将半径为6的圆形铁皮减去面积为原来的16的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为________．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK=32，且圆O与圆K所在的平面所成角为60∘，则球O的表面积等于________．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.在直线l:3x−y−1=0上存在一点P，使得：P点到点A(4, 1)和点B(3, 4)的距离之和最小．求此时的距离之和．在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？为什么？如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B // 平面ADC1．已知圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5, 3)．①求直线l1的方程．②若直线l2:x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．③是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．已知函数f(x)=1+a⋅2x2x+b是奇函数，并且函数f(x)的图象经过点(1, 3)．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)在x<0时的值域．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把这个长方体截成两个几何体：几何体(1)；几何体(2)(I)设几何体(1)、几何体(2)的体积分为是V1、V2，求V1与V2的比值(II)在几何体(2)中，求二面角P−QR−C的正切值．参考答案与试题解析2014-2015学年吉林省松原市扶余县重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题： 1.【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解． 【解答】∵ 全集U ＝{1, 2, 3, 4}，集合S ＝{l, 3}，T ＝{4}， ∴ (∁U S)∪T ＝{2, 4}∪{4}＝{2, 4}． 2.【答案】 D【考点】空间两点间的距离公式 【解析】利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x 的方程，求方程的解即可． 【解答】∵ 点A(x, 1, 2)和点B(2, 3, 4)， |AB|=2√6，∴ √(x −2)2+22+22=2√6， ∴ x 2−4x −12＝0 ∴ x ＝6，x ＝−2 3.【答案】 C【考点】函数零点的判定定理 【解析】确定f(0)=1−3=−2<0，f(12)=√e −1>0，f(14)=√e 4−2=√e 4−√164<0，f(1)=e +4−3=e +1>0，根据零点存在定理，可得结论． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x +4x −3在R 上是增函数， 求解：f(0)=1−3=−2<0， f(12)=√e −1>0，f(14)=√e 4−2=√e 4−√164<0， f(1)=e +4−3=e +1>0，∴ 根据零点存在定理，可得函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是(14, 12). 故选C ． 4.【答案】 C【考点】空间中平面与平面之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系【解析】根据线面平行的性质，线面垂直的性质，面面平行的判定，结合空间点线面之间的关系，我们逐一分析已知中的三个命题即可得到答案． 【解答】解：m // α，n // α，时，m 与n 可能平行、可能异面也可能相交，故①错误；m // α，n ⊥α时，存在直线l ⊂α，使m // l ，则n ⊥l ，也必有n ⊥m ，故②正确； m ⊥α，m // β时，直线l ⊂β，使l // m ，则n ⊥β，则α⊥β，故③正确； 故选C 5. 【答案】 B【考点】由三视图求体积（切割型） 【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴ 该几何体的体积V =6×6×3−13×12×42×3=100．故选B ． 6. 【答案】 D【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】比较2−0.3，log 20.3，ln 10的绝对值的大小，结合指数函数的单调性即可解得此题． 【解答】解：∵ |2−0.3|=2−0.3<1， 1<|log 20.3|=log 2103<2， ln 10>2，∴ |2−0.3|<|log 20.3|<|ln 10|； 又y =(12)x 是减函数，∴ f(2−0.3)>f(log 20.3)>f(ln 10)； 故a >b >c ． 故选：D ． 7.【答案】 C【考点】异面直线及其所成的角 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP 与AM 所成的角的大小． 【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，A 1P =t(0≤t ≤1)， A(2, 0, 0)，M(0, 0, 1) O(1, 1, 0)，P(2, t, 2)，AM →=(−2, 0, 1)，OP →=(1, t −1, 2)， ∴ AM →⋅OP →=−2+0+2=0，∴ 异面直线OP 与AM 所成的角的大小为90∘．故选：C ．8. 【答案】 D【考点】两条平行直线间的距离 【解析】根据两直线平行（与y 轴平行除外）时斜率相等，得到m 的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离． 【解答】解：根据两直线平行得到斜率相等即−3=−6m ，解得m =2，则直线为6x +2y +1=0，取3x +y −3=0上一点(1, 0)求出点到直线的距离即为两平行线间的距离， 所以d =√62+22=7√1020． 故选D 9. 【答案】 C【考点】直线与圆的位置关系 【解析】由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M 为圆内一点，所以M 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离． 【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为(0, 0)，半径r =a ，由M 为圆内一点得到：√x 02+y 02<a ，则圆心到已知直线的距离d =2√x 0+y 0>a 2a=a =r ，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C10.【答案】 A【考点】二面角的平面角及求法 【解析】由已知中三棱柱ABC −A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，易得三棱柱ABC −A′B′C′为直三棱柱，△ABC ，MAC 均是以AC 为底的等腰三角形，取AC 的中点D ，连接BD ，MD ，由二面角的平面角的定义，可得∠MDB 即为二面角M −AC −B 的平面角，解Rt △MBD ，即可求出二面角M −AC −B 的大小． 【解答】解：由已知中三棱柱ABC −A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直， 可得三棱柱ABC −A′B′C′为直三棱柱 取AC 的中点D ，连接BD ，MD ， 则MD ⊥AC ，BD ⊥AC∴ ∠MDB 即为二面角M −AC −B 的平面角， 在Rt △MBD 中，∵ M 是侧棱BB′的中点 ∴ tan ∠MDB =MB BD=√33故∠MDB =30∘即二面角M −AC −B 的大小为30∘ 故选A 11.【答案】 B【考点】直线与平面所成的角 【解析】以A 点为坐标原点，以AB ，AD ，AA′方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BC′的方向向量与平面A′BD 的法向量坐标，代入向量夹角公式，求出直线BC′与平面A′BD 所成的角的正弦值，再由同角三角函数关系即可求出直线BC′与平面A′BD 所成的角的余弦值． 【解答】解：以A 点为坐标原点，以AB ，AD ，AA′方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系 则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C′(1, 1, 1) 则BC′→=(0, 1, 1)由正方体的几何特征易得向量AC′→=(1, 1, 1)为平面A′BD 的一个法向量 设直线BC′与平面A′BD 所成的角为θ 则sin θ=|BC′→⋅AC′→|BC′→|⋅|AC′→||=√63则cos θ=√33故选B 12.【答案】 D【考点】 函数的求值 【解析】在函数解析中分别取x =m 和x =−m ，两式相加后得到d =f(m)+f(−m)2，由d 为整数可得f(m)和f(−m)的和为偶数，由此可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=ax 3+bx −cx +d , ∴ f(m)=am 3+bm −c m+d ，f(−m)=−am 3−bm +c m+d ,f(m)+f(−m)=2d ，即d =f(m)+f(−m)2．因为d 为整数，而选项A 、B 、C 、D 中两个数之和除以2不为整数的是选项D ， 所以正确结果一定不可能的为D ． 故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效） 【答案】12【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 平面向量的坐标运算【解析】三点共线得两向量共线，用两向量共线的坐标公式列方程求解． 【解答】解：AB →=(a −2,−2)，AC →=(−2,b −2)， 依题意知AB → // AC →， 有(a −2)⋅(b −2)−4=0, 即ab −2a −2b =0, 即2(a+b)ab =1,所以1a+1b=12.故答案为：12. 【答案】2√3【考点】直线与圆的位置关系【解析】求出圆心到直线3x+4y−5=0的距离，利用勾股定理，可得结论．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为(0, 0)，半径为2，∵圆心到直线3x+4y−5=0的距离为√9+16=1，∴弦AB的长等于2√4−1=2√3.故答案为：2√3.【答案】25√113π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题意可得剩下的扇形是整个圆的56，设卷成的圆锥的底面半径为r，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积．【解答】解：由题意可得剩下的扇形是整个圆的56，设卷成的圆锥的底面半径为r，根据2πr=56×2π×6，求得r=5，则圆锥的高为ℎ=√62−r2=√11，故圆锥的体积为13⋅πr2⋅ℎ=13×π×25⋅√11=25√113π，故答案为：25√113π．【答案】16π【考点】球的表面积和体积【解析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=√32r，CK=√34r在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即34r2=94+316r2∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.【答案】解：设点B(3, 4)关于直线l:3x−y−1=0的对称点为B′(a, b)，则{b−4a−3×3=−13×a+32−b+42−1=0，解得a=35，b=245，∴B′(35，245)．∴|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|=√(4−35)2+(1−245)2=√26．【考点】点到直线的距离公式【解析】设点B(3, 4)关于直线l:3x−y−1=0的对称点为B′(a, b)，可得{b−4a−3×3=−13×a+32−b+42−1=0，解得a，b，则|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|．【解答】解：设点B(3, 4)关于直线l:3x−y−1=0的对称点为B′(a, b)，则{b−4a−3×3=−13×a+32−b+42−1=0，解得a=35，b=245，∴B′(35，245)．∴|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|=√(4−35)2+(1−245)2=√26．【答案】解：我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=302①轮船航线所在直线l的方程为x70+y40=1，即4x+7y−280=0②如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向．由于圆心O(0, 0)到直线l的距离d=65>30，所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将没有触礁危险，不用改变航向．【考点】解三角形的实际应用【解析】我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．进而可推断出以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船没有触礁危险．【解答】解：我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=302①轮船航线所在直线l的方程为x70+y40=1，即4x+7y−280=0②如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向．由于圆心O(0, 0)到直线l的距离d=65>30，所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将没有触礁危险，不用改变航向．【答案】证明：(1)因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD // A1B.因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B // 平面ADC1.【考点】两条直线垂直的判定两条直线平行的判定平面与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出．（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A1B // OD，进而再利用线面平行的判定定理证得．证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形．进而可得平面A1BD1 // 平面ADC1．再利用线面平行的判定定理即可证得结论．【解答】证明：(1)因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD // A1B.因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B // 平面ADC1.【答案】解：①∵圆C的方程化标准方程为：(x−3)2+(y−2)2=9，∴圆心C(3, 2)，半径r=3．设直线l1的斜率为则k，则k=−1k PC=−112=−2．∴直线l1的方程为：y−3=−2(x−5)即2x+y−13=0．②∵圆的半径r=3，∴要使直线l2与圆C相交则须有：√2<3，∴|5|<3√2于是b的取值范围是：−3√2−5<b<3√2−5．③设直线l2被圆C解得的弦的中点为M(x∘, y∘)，则直线l2与CM垂直，于是有：y∘−2x∘−3=1，整理可得：x∘−y∘−1=0．又∵点M(x∘, y∘)在直线l2上，∴x∘+y∘+b=0∴由{x∘−y∘−1=0x∘+y∘+b=0解得：{x∘=1−b2y∘=−1+b2代入直线l1的方程得：1−b−1+b2−13=0，∴b=−253∈(−3√2−5, 3√2−5)，故存在满足条件的常数b ． 【考点】直线和圆的方程的应用 直线与圆的位置关系 【解析】(1)设直线l 1的斜率为则k ，由题意可得圆心C(3, 2)，又弦的中点为P(5, 3)，可求得k PC =12，由k ⋅k PC =−1可求k ，从而可求直线l 1的方程；(2)若直线l 2:x +y +b =0与圆C 相交，圆心到直线l 2的距离小于半径，从而可求得b 的取值范围；(3)设直线l 2被圆C 解得的弦的中点为M(x ∘, y ∘)，由直线l 2与CM 垂直，可得x ∘−y ∘−1=0，与x ∘+y ∘+b =0联立可求得x 0，y 0，代入直线l 1的方程，求得b ，验证即可． 【解答】解：①∵ 圆C 的方程化标准方程为：(x −3)2+(y −2)2=9， ∴ 圆心C(3, 2)，半径r =3．设直线l 1的斜率为则k ，则 k =−1kPC=−112=−2．∴ 直线l 1的方程为：y −3=−2(x −5)即2x +y −13=0． ②∵ 圆的半径r =3，∴ 要使直线l 2与圆C 相交则须有：2<3，∴ |5|<3√2于是b 的取值范围是：−3√2−5<b <3√2−5．③设直线l 2被圆C 解得的弦的中点为M(x ∘, y ∘)，则直线l 2与CM 垂直，于是有：y ∘−2x ∘−3=1，整理可得：x ∘−y ∘−1=0． 又∵ 点M(x ∘, y ∘)在直线l 2上， ∴ x ∘+y ∘+b =0∴ 由{x ∘−y ∘−1=0x ∘+y ∘+b =0解得：{x ∘=1−b2y ∘=−1+b 2代入直线l 1的方程得：1−b −1+b2−13=0， ∴ b =−253∈(−3√2−5, 3√2−5)，故存在满足条件的常数b ． 【答案】 解：（1）因为函数f(x)的图象经过点(1, 3)， 所以f(1)=3，即1+2a2+b =3，① 因为f(x)=1+a⋅2x 2x +b是奇函数，所以f(−1)=−3，即1+12a12+b=−3，②由①②解得a =1，b =−1，所以实数a ，b 的值为1、−1；（2）由（1）得，f(x)=1+2x2x −1=1+22x −1， 又x <0，则0<2x <1，−1<2x −1<0，所以22x −1<−2，即1+22x −1<−1，故函数f(x)在x <0时的值域为(−∞, −1)．【考点】函数奇偶性的性质 【解析】（1）根据题意和奇函数的性质可得：f(1)=3、f(−1)=−3，列出关于a 、b 的方程组，求出a 、b 的值； （2）由（1）求出f(x)的解析式，由x <0和指数函数的单调性得：0<2x <1，再求出函数f(x)的值域． 【解答】 解：（1）因为函数f(x)的图象经过点(1, 3)， 所以f(1)=3，即1+2a 2+b=3，①因为f(x)=1+a⋅2x 2x +b是奇函数，所以f(−1)=−3，即1+12a12+b=−3，②由①②解得a =1，b =−1， 所以实数a ，b 的值为1、−1；（2）由（1）得，f(x)=1+2x2x −1=1+22x −1， 又x <0，则0<2x <1，−1<2x −1<0，所以22x −1<−2，即1+22x −1<−1，故函数f(x)在x <0时的值域为(−∞, −1)．【答案】解(I)设BC =a ，则AB =2a ，BB 1=a ，所以V ABCD−A 1B 1C 1D 1=2a ×a ×a =2a 3−−−−−−−−− 因为V 2=13S △CQR ×PC =13×12×2a ×a ×a =13a 3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− V 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V 2=2a 3−13a 3=53a 3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−所以V 1V 2=53a 313a 3=5−−−−−−−−−−−−(II)由点C 作CH ⊥QR 于点H ，连结PH ，因为PC ⊥面CQR ，QR ⊂面CQR ，所以PC ⊥QR因为PC ∩CH =C ，所以QR ⊥面PCH ，又因为PH ⊂面PCH ，所以QR ⊥PH ，所以∠PHC 是二面角P −QR −C 的平面角-------------------- 而CH ⋅QR =CQ ⋅CR,CH ×√5a =a ×2a ，CH =√5所以tan ∠PHC =a2a √5=√52−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−【考点】二面角的平面角及求法柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(I)根据空间几何体的形状结合棱锥和棱柱的体积公式即可求几何体(1)、几何体(2)的体积以及求V 1与V 2的比值．(II)求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求出二面角的大小．【解答】解(I)设BC=a，则AB=2a，BB1=a，所以V ABCD−A1B1C1D1=2a×a×a=2a3−−−−−−−−−因为V2=13S△CQR×PC=13×12×2a×a×a=13a3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−V1=V ABCD−A1B1C1D1−V2=2a3−13a3=53a3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−所以V1V2=53a313a3=5−−−−−−−−−−−−(II)由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，因为PC⊥面CQR，QR⊂面CQR，所以PC⊥QR 因为PC∩CH=C，所以QR⊥面PCH，又因为PH⊂面PCH，所以QR⊥PH，所以∠PHC是二面角P−QR−C的平面角--------------------而CH⋅QR=CQ⋅CR,CH×√5a=a×2a，CH=√5所以tan∠PHC=a2a√5=√52−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−。

扶余市第一中学2015-2016学年度上学期期末试题高一数学时间:120分 满分150分本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。

注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。

请认真核准考号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3. 填空题和解答题的答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.第Ⅰ卷一. 选择题(每小题5分,满分60分)1. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度， 则倾斜后水槽中的水形成的几何体是A ．棱柱B ．棱台C ．棱锥D ．不能确定2. 已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m 、n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m 、n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 3. 方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是4.已知M(-2,0),N (1,3)a ,P(0,-1),Q (,2)a a -,若MN⊥PQ，则a =A. 0B.1C.2D.0或15. 已知圆221:2310C x y x y ++++=,圆222:4320C x y x y ++++=,则圆1C 、圆2C 的公切线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 6.直线tan 45ox =的倾斜角为 A.0oB. 45oC.90oD.不存在7. 如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是 A ．BD∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．异面直线AD 与CB 1角为60° D ．AC 1⊥平面CB 1D 1 8. 实数,x y 满足2241y x x =-+，（0≤x ≤1），则22y x --的最大值为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 19.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上,则此圆的方程是 A.22(2)(3)13x y -++= B. 22(2)(3)26x y ++-= C. 22(2)(3)26x y -++= D. 22(2)(3)52x y -++= 10. 如图，在正四棱锥S-ABCD 中，E 、M 、N 分别是BC 、CD 、SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论： ①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD ；④EP⊥平面SAC ． 中恒成立的是A ．①② B．③④ C．①③ D．②③④11. 已知一个多面体的内切球的半径为3，多面体的表面积为15，则此多面体的体积为 A. 45 B.15 C.3π D. 15π若在BC 边上存在点Q(Q 不在端点B 、C 处)，使PQ⊥QD， A.①② B.①②③ C.②④ D.①第Ⅱ卷二.填空题(每小题5分,满分20分)13.若三点(2,2),(0,),(,0)A B m C n 在同一条直线上，且0mn ≠，则11m n+=. 俯视图侧视图正视图14. 直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a= .15. 已知△ABC 中，A(0，3),B(2，-1),P 、Q 分别为AC 、BC 的 中点，则直线PQ 的斜率为 .16. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的侧面积是 .三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17. 一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，求反射光线所在直线的斜率.18. 若圆上点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交截得的弦长为22，求此圆的方程.19. 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是正方体对角线1D B 的中点，点N 在棱1CC 上.(1) 当12||C N NC =时,求MN ; (2) 当点N 在棱1CC 上移动时, 求MN 的最小值并求此时的N 点坐标. 20.已知圆C:22(1)(2)25x y -+-=,直线:(21)(l m x m y m m R+++--=∈ (1) 求证: 无论m 取什么实数，直线l 恒过第一象限； (2) 求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值以及最短长度； (3) 设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程.21. 如图，在三棱锥S-ABC 中，∠ABC=90°，S A⊥平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为E 、D.（1）求证： DE ⊥SC ；（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD 与平面ABC 所成角的余弦值.22.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD,AB=4，BC=CD=2，1AA =2，M 、 N 分别是棱1AA 、AD 的中点,设E 是棱AB 的中点.（1）求证：MN∥平面1CEC ;(2) 求平面11D EC 与平面ABCD 所成角的正切值.SABCEDB 1ABC D A 1 NC 1D 1M E参考答案1—12 ADDDB CCBAC BD13. 1214. 1± 15. -2 16. 17.整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =-。

吉林省松原市扶余县第一中学14—15学年上学期高一期中考试数学试题2.已知集合}12|{},1|{>=<=xx N x x M ,则MN =A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x3.函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，4.下列函数中有两个零点的是A ． x y lg =B ．x y 2=C ．2x y = D ．1-=x y5. 已知定义在R 上的偶函数()x f 的单调递减区间为[0，＋∞)，则使()x f ＜()2f 成立的x 取值范围是A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6. 如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l 、2、3对面的数字分别是A ．4、5、6B ．6、4、5C ．5、4、6D ．5、6、4 7.函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是 A ．(0,1] B ．(1,10) C ．(10,100) D ．(100，＋∞) 8．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)9. 已知正ABC △的边长为a ，那么ABC △的平面直观图ABC △'''的面积为2a 2a 2 2 10. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为A 3RB 3RC 3RD 3R 11.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是3000111.02+-=x x y ，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于 A ．55台 B ．120台 C ．150台 D ．180台12. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为A. π34B. π24C.π34D.π24第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是 . 14．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k 倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为________．15.图1-3是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 .图1-316. 如右图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 . 三、解答题：(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 17．（本小题满分10分）若函数()322+-=x mx x f 只有一个零点，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）如右图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，CD =，2AD = 求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 19．（本小题满分12分）若方程012)2(2=-+-+k x k x 有两个实根，其中一个根在0和1之间，另一个根在1和2之间。

吉林省吉林市2014—2015学年度上学期期末考试高一数学I 试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1. 设全集{0,1,2,3,4},{0,3,4},{1,3}U A B ===, 则 A. B. C. D.2. 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 。

其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 函数的定义域、值域分别是 A ．定义域是，值域是 B ．定义域是，值域是 C ．定义域是，值域是 D ．定义域是，值域是 4. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是 A ．30° B ．60° C ． 120° D ．150° 5. 函数的大致图像是 A. B. C. D.6. 已知直线l 1：与l 2：平行，则k 的值是A ．B ．C ．D ． 7. 圆过点的切线方程是A ．B ．C ．D ．8. 如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，异面直线AD 与CB 1所成的角是 A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°9. 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程与时间的函数关系式分别是，，，，如果运动的时间足够 长，则运动在最前面的物体一定是A BC DA B C D 1111A. B. C. D. 10. 直线与圆交于两点，则 A. B. C. D.11. 下表中与数对应的值有且只有一个是错误的，则错误的是 A. B. C. D.12. 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的等边三角形，SC 为球O 的直径，若三棱锥S －ABC 的体积为，则球O 的表面积是 A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 给出两条平行直线12:3410,:3420L x y L x y --=-+=，则这两条直线间的距离是14．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于 . 15. 给出四个区间： ①；②；③；④，则函数的零点所在的区间是这四个区间中的哪一个： （只填序号）16. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是 ． 17. 在平面直角坐标系中，圆C 的方程为， 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是18.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于有下列命题：①的图象关于原点对称；②为偶函数；③的最小值为0； ④在(0，1)上为增函数. 其中正确命题的序号是: .三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题满分10分） 已知在平面直角坐标系中，△三个顶点坐标分别为(1,3),(5,1),(1,1)A B C -- （I ）求边的中线所在的直线方程；（II ）求边的高所在的直线方程 20．（本题满分10分）已知⊥平面,⊥平面,△为等边三角形, ,为的中点.求证: （I ）∥平面.（II ）平面⊥平面.21．（本题满分10分）已知函数在上为增函数，且，试判断在 上的单调性并给出证明过程.x 3 5 6 8 9 12 2714题图正视图俯视图侧视图AB C DEF 16题图A B C A B C EF 11122．（本题满分12分）如图，长方体中，, 点是棱上一点 （I ） 当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由； 若不变，求这个三棱锥的体积（II ） 当点在上移动时，是否始终有，证明你的结论 （III ）若是的中点，求二面角的正切值23. （本题满分12分）已知圆的半径为3， 圆心在轴正半轴上，直线与圆相切 （I ） 求圆的标准方程（II ）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足 ，求直线的方程A BD ECA B D C 1111参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCDBACDBDBCA二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13.; 14． ; 15. ② ; 16. ; 17. ; 18. ②③④ 19．（本题满分10分） 解：（1）BC 中点D 的坐标为， ------------------------------------------2分所以直线AD 方程为：， -----------------------5分（2）因为，,所以 ----------------------------8分 所以直线BH 方程为：， -------------------------10分 20．（本题满分10分）证明:(1)取CE 的中点G ,连接FG ,BG .因为F 为CD 的中点,所以GF ∥DE 且GF=DE. ----2分 因为AB ⊥平面ACD,DE ⊥平面ACD,所以AB ∥DE,所以GF ∥AB.又因为AB=DE,所以GF=AB. --------------------------------------------------2分 所以四边形GFAB 为平行四边形,则AF ∥BG .因为AF ⊄平面BCE,BG 平面BCE, 所以AF ∥平面BCE. --------------------------------------------------5分(2)因为△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点,所以AF ⊥CD,因为DE ⊥平面ACD,AF 平面ACD,所以DE ⊥AF.又CD∩DE=D,故AF ⊥平面CDE. ------------------------8分 因为BG ∥AF,所以BG ⊥平面CDE.因为BG 平面BCE,所以平面BCE ⊥平面CDE. -------------------------------------------10分 21．（本题满分10分）解：F (x )在（0，+∞）上为减函数.证明：任取,∈(0,+∞)，且< -------------------------------------------2分 ∴F ()－F ()=()()()()()()12212111f x f x f x f x f x f x --=. ---------------------------------------------4分 ∵y =f (x )在（0，+∞）上为增函数，且< ∴f ()<f () ∴f ()－f ()＜0. ----------7分而f ()＜0,f ()＜0,∴f ()f ()＞0. -----------------------------------------------------------------9分 ∴F ()－F ()＜0,即F ()>F () ∴F (x )在（0，+∞）上为减函数. -----------------10分 22．（本题满分12分） 解：（I ）三棱锥的体积不变,111211,122DCE S DC AD DD ∆=⨯=⨯⨯== 所以11111111333D D CE D DCEDCE V V S DD --∆==⨯=⨯⨯= ---------------------------------------------4分 （II ）当点在上移动时，始终有，证明：连结,四边形是正方形，所以,因为1111,,AE A D ADD A A D AB ⊥⊆∴⊥11平面ADD A 平面,111111,,,ABAD A AB AD E AD AD E A D AD E =⊆⊆∴⊥平面平面平面1111,D E AD E D E A D ⊆∴⊥平面 ------------------------------------------------------------- 8分（III ）因为E 为AB 中点,所以DE=EC=,而CD=2, 所以所以,双因为1DD ⊥⊆平面ABCD,CE 平面ABCD,所以11111,,,DD DE D DD D DE DE D DE CE D DE =⊆⊆∴⊥平面平面平面111,D E D DE CE D E ⊆∴⊥平面是二面角的平面角11tan D D D ED DE ∠===,是二面角的正切值为 -----12分 23. 解（I3,2,8a ==-因为，所以，所以圆的方程为： ----------------------------------4分（II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：，与圆M 交于此时，满足，所以符合题意 -------------------------6分 当直线L 的斜率存在时，设直线L ：消去y ，得22(2)(3)9,x kx -+-=整理得：22(1)(46)40k x k x +-++= -----------（1）所以121222464,11k x x x x k k ++==++ 由已知得：221212222546254(),()2121k x x x x k k++==⨯++ 整理得：217724170,1,7k k k -+=∴= -----------------------10分把k 值代入到方程（1）中的判别式222(46)16(1)4820k k k k ∆=+-+=+中， 判别式的值都为正数，所以，所以直线L 为：， 即30,177210x y x y --=--=综上：直线L 为：30,177210x y x y --=--=， ------------------------------12分。