下载文档原格式
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
高等数学教学教案1. 简介本教案旨在设计一套高等数学教学计划，帮助学生系统学习和掌握高等数学的基本概念和方法。
通过理论讲解、示例分析和数学推导等教学活动的组织，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
2. 教学目标•掌握高等数学的基本概念和定义•理解高等数学中的重要定理和定律•学会运用高等数学的方法解决问题•培养数学思维和思维习惯3. 教学内容3.1 第一章：函数与极限•函数的概念与性质•极限的概念与计算方法•连续与可导3.2 第二章：一元函数微分学•导数的概念与应用•函数的极值与最值•曲线的凹凸性和拐点3.3 第三章：一元函数积分学•不定积分的概念和性质•定积分的概念和性质•微积分基本定理和换元积分法4. 教学方法•讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生理解高等数学的基本概念和方法。
•实例分析法：通过对一些具体实例的分析，引导学生运用所学的数学知识解决实际问题。
•讨论与合作学习：鼓励学生参与讨论和合作学习，提高学生的思维能力和团队合作能力。
•练习与应用：通过大量的练习和应用题，巩固所学知识并培养学生的解题能力。
5. 教学评估•课堂表现：针对学生的表现和参与程度进行评价，包括课堂讨论、练习与应用等活动。
•作业评估：对学生的作业进行评估，包括完成题量、正确率和解题思路等方面。
•考试评估：定期进行考试，对学生的掌握情况进行评估。
6. 教学资源•教材：选择一本适合的高等数学教材作为教学参考。
•多媒体设备：使用投影仪、电脑等多媒体设备辅助教学。
•教学案例和习题集：提供典型的教学案例和习题集，帮助学生巩固和应用所学知识。
7. 教学计划教学周数教学内容教学活动第1-2周函数与极限- 介绍函数的概念与性质- 讲解极限的概念与计算方法- 分析连续与可导等概念第3-4周一元函数微分学- 导数的概念与应用- 计算函数的极值与最值- 分析曲线的凹凸性和拐点第5-6周一元函数积分学- 讲解不定积分的概念和性质- 研究定积分的概念和性质- 介绍微积分基本定理和换元积分法第7-8周复习与总结- 综合复习所学内容- 解析学生问题和困惑- 总结高等数学的重点与难点8. 教学反思通过本次高等数学教学，学生对高等数学的基本概念和方法有了初步的了解，并在课堂讨论、实例分析和练习应用中提高了问题解决能力。
高等数学课程教案一、课程概述1.1 课程定位高等数学是工科、理科及其他相关专业的基础课程，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，为后续专业课程的学习奠定基础。
1.2 课程目标通过本课程的学习，使学生掌握极限、导数、微分、积分、级数等基本概念、理论和方法，具备运用高等数学知识分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容2.1 极限与连续2.1.1 极限的概念与性质2.1.2 无穷小与无穷大2.1.3 函数的连续性2.2 导数与微分2.2.1 导数的概念与计算2.2.2 微分的概念与计算2.2.3 微分中值定理与导数的应用2.3 积分与不定积分2.3.1 积分的概念与计算2.3.2 不定积分的概念与计算2.3.3 定积分的应用2.4 级数2.4.1 数项级数的概念与判别法2.4.2 幂级数的概念与展开2.4.3 傅里叶级数的概念与应用三、教学方法与手段3.1 教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
3.2 教学手段利用多媒体课件、板书、教材、网络资源等多种教学手段，提高教学效果。
四、教学评价4.1 过程评价通过课堂提问、作业、小测验等方式，了解学生对课程内容的掌握情况。
4.2 结果评价期末考试对学生学习成果进行全面评价，考察学生对课程知识的运用能力。
五、教学安排5.1 课时安排本课程共计64课时，包括32课时课堂讲授、20课时实践操作、12课时讨论与交流。
5.2 教学进度安排按照教材和教学大纲，合理分配每个章节的教学课时，确保教学内容的完整性。
六、教学活动设计6.1 课堂讲授教师通过讲解、示例、互动等方式，引导学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法。
6.2 实践操作学生通过上机实验、数学软件操作等实践活动，加深对高等数学知识的理解和应用。
6.3 讨论与交流学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法，提高沟通与协作能力。
七、作业与练习7.1 作业布置教师根据教学内容，布置适量作业，巩固学生对知识的理解和运用。
高数教学设计〔共8篇〕第1篇：高数教案设计教案设计教材：《高等数学》〔第三版〕上册，第一章函数与极限，第三节函数的极限。
一、方案学时本小节分为两个局部，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进展教学。
第一学时：自变量趋于有限值时函数的极限。
第二学时：自变量趋于无穷大时函数的极限。
〔本次教案主要说明第一学时的内容。
〕二、教材处理通过第一节关于函数根本知识的学习，以及高中时已经对函数极限有过一定的学习理解与铺垫，所以就要通过一些根本的例如，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。
来扩展同学们的知识面，并易于承受新内容。
三、教学目的知识和才能目的：1、通过教学过程培养学生的思维才能、运算才能、以及数学创新意识。
让你给同学们积极考虑、敢于提出自己的想法。
2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。
3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维才能，进步学习的兴趣和才能。
传达出数学的人文价值。
四、教学难点和重点1、如何让学生较快的承受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。
2、让学生们纯熟的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。
五、教学设计1、总体思路先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。
然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢理解步骤的方法技巧。
最后，就是先要学生们自己总结本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。
2、教学过程〔1〕先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的理解。
〔4分钟〕设计说明：通过让同学们进展自主学习，对本小节内容有大志的理解，以便于学生更易于承受新知识。
〔2〕通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。
如：问题：当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值。
解析：问题可转化成|f(x)-1|最小取值，因为|f(x)-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值就是0.〔5分钟〕设计说明：通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维才能以及发撒思维才能。
《高等数学》-授课教案第一讲 高等数学学习介绍、函数一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”] 二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。
(2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。
例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。
例如：熟悉基本初等函数的图像。
3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。
例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。
分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。
例2、作函数⎩⎨⎧≥<=0,20,)(2x x x x x f 的图像？例3、求函数⎩⎨⎧-<≥=?)1(),0(),1(010)(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，，四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。
《高等数学》课程教案一、课程简介《高等数学》是工科、理科以及部分经济管理科学专业的一门基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握数学分析、线性代数、概率论等基本理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 理解并掌握高等数学的基本概念、原理和方法。
2. 能够熟练运用高等数学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
三、教学内容第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质2. 函数的连续性3. 极限的运算法则4. 无穷小与无穷大5. 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念2. 基本导数公式3. 导数的运算法则4. 高阶导数5. 微分第三章：积分与不定积分1. 积分概念2. 基本积分公式3. 积分的运算法则4. 不定积分5. 定积分第四章：级数1. 数项级数概念2. 收敛性与发散性3. 级数的运算法则4. 幂级数5. 傅里叶级数第五章：常微分方程1. 微分方程的概念2. 一阶微分方程的解法3. 高阶微分方程4. 线性微分方程5. 微分方程的应用四、教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的方法，引导学生主动探索、积极参与，培养学生的动手能力和创新能力。
五、教学评价1. 平时成绩：包括作业、小测、课堂表现等，占总评的40%。
2. 期中考试：测试学生对高等数学知识的掌握程度，占总评的30%。
3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，占总评的30%。
六、多元函数微分学1. 多元函数的概念2. 多元函数的求导法则3. 偏导数4. 全微分5. 多元函数微分学在实际问题中的应用七、重积分1. 二重积分概念及性质2. 二重积分的计算3. 三重积分概念及性质4. 三重积分的计算5. 重积分的应用八、向量分析1. 空间解析几何基础2. 向量的概念及运算3. 空间向量的线性运算4. 空间向量的数量积与角积5. 空间向量的坐标运算及其应用九、常微分方程初步1. 微分方程的概念与分类2. 常微分方程的解法3. 常微分方程的数值解法4. 常微分方程的应用5. 常微分方程在工程与科学计算中的重要性十、线性代数的应用1. 线性方程组及其解法2. 矩阵的概念与运算3. 特征值与特征向量4. 二次型及其判定5. 线性代数在实际问题中的应用十一、概率论与数理统计1. 随机事件及其概率2. 随机变量及其分布3. 数学期望与方差4. 大数定律与中心极限定理5. 数理统计的基本方法十二、数学软件与应用1. MATLAB软件简介2. MATLAB在高等数学中的应用3. Mathematica软件简介4. Mathematica在高等数学中的应用5. 数学软件在实际问题中的应用教学方法：1. 通过案例分析、实际应用问题引导学生理解和掌握理论知识。
《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。
《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
>函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。
(2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。
例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。
例如：熟悉基本初等函数的图像。
3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。
例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。
分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。
例2、作函数⎩⎨⎧≥<=0,20,)(2x x x x x f 的图像？例3、求函数⎩⎨⎧-<≥=?)1(),0(),1(010)(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，，四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。
(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。
如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。
(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。
(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。
例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+=五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一个表达式所表示。
1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。
1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性]3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]一位旅客住在旅馆里，图1—5描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图1—5标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。
P4（A ：2-3）；P7（A ：2-3）课堂练习（初等函数）【A 组】1、求下列函数的定义域？(1)12+=x y (2) x e y = (3) 2log =y (x-1) (4) )4ln(12x x xy -+-=2、判定下列函数的奇偶性？(1) )()(x f x f y -+= (2) x x e e y -+= (3) 为自然数）n x y n (12+= 3、作下列函数的图像？(1) 112--=x x y (2) x e y -= (3) x y sin =4、分解下列复合函数？(1) 12+=x y (2) x e y sin = (3)xy 3sin 11-= (4))(cos ln 2x y = 【B 组】1、证明函数)1ln(2++=x x y 为奇函数。
2、将函数121-+-=x x y 改写为分段函数，并作出函数的图像？3、设)(,1)1(22x f x x x x f 求+=+？4、设)(x f =x1，求)]([x f f ，{})]([x f f f ？初等函数图像认识 1、幂函数：（如32,,x y x y x y ===）2、指数与对数函数：（如x y e y x ln ,==）3、三角函数与反三角函数：（x y x y arccos ,cos ==）4、多项式函数：（33123+--=x x x y ）-4-2246-20-101020y13x 3x 23x 35、分段函数：（x y x y sgn ,==）第二讲导数的概念（一）、极限与导数复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。
>导数的引入（速度问题）—>导数的概念>基本初等函数的导数（定义法）—>例子（简单）授课提要：前言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。
导数是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。
一、理论基础——极限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）（1）若)(xf为多项式，则)()(limxfxfxx=→例1：求下列极限(1))12(lim21-+→xxx(2))12(lim2-+→xxx(3))12(lim22-+→xxx（2）若)()(xgxf为有理分式且0)(≠xg,则)()()()(lim0xgxfxgxfxx=→（代入法）例2：求下列极限(1) 121lim1-+→xxx(2) 322lim220++-→xxxx(3) 11lim21+-→xxx（3）若分式)()(xgxf,当xx→时，0)()(==xgxf，则用约去零因子法求极限例3：求下列极限(1) 11lim 21--→x x x (2) 138lim 1--+→x x x (3) 132lim 21--+→x x x x （4）若分式)()(x g x f ,当∞→x 时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。
例4：求下列极限(1) 121lim 22--∞→x x x (2) 1512lim 22--+∞→x x x x (3) 121lim 2--∞→x x x 3、两个重要极限（1）1sin lim 0=→xxx （2）e x e x x x x x =+=+→∞→10)1(lim )11(lim 或 说明：其中x 可以是)(x u 的形式，且当0→x 时，0)(→x u 。
例5：求下列极限(1)x x x 3sin lim 0→ (2) x x x 5sin 3sin lim 0→ (3) x x x 10)31(lim +→ (4) xx x )31(lim +∞→二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动221gt s =）引例2、切线问题（曲线2x y =）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y 关于自变量x 在某一点0x 处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极就是函数的导数。
1、 自变量x 作微小变化∆x ，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率xyy ∆∆=，作为点0x 处变化率的近似值； 2、 对y 求∆x →0的极限xy x ∆∆∆0lim →，若它存在，这个极限即为点0x 处变化率的精确值。
)(x f y =在0x 点及附近有定义，当x 在0x 点取得增量x ∆时，相应函数取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，若当0→∆x 时，比值xy∆∆的极限存在，则称此极限值为)(x f 在0x 处的导数或微商。
记00)(x x dxdyx f ='或，即xyx x f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00000lim)()(lim )((1)比值xy∆∆是函数)(x f 在],[00x x x ∆+上的平均变化率；而)(0x f '是)(x f 在0x 处的变化率，它反映函数在点0x 随自变量变化的快慢程度；(2)若x y x ∆∆→∆0lim 不存在（包括∞），则称)(x f 在0x 点不可导；(3)若)(x f 在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b ）内可导，记)(x f '，称 为导函数，简称导数。
(4)f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值，f (x )在点0x 处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值。
三、导数与极限的关系导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数- 有极限，反之不成立。
四、基本初等函数的导数（定义）由定义知求函数导数的步骤：（三步骤） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。
例6、由定义求函数C y =的导数？例7、由定义求函数x y sin =的导数？（推导）1、 xxx sin lim +∞→是否存在，为什么？[0]2、若曲线y = 3x 在),(00y x 处切线斜率等于 3 ，求点),(00y x 的坐标。
3、 已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→。
[0]极限法” [近似转化为精确的数学方法]导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。
