浙江专版2018高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量及其分布列

第八节离散型随机变量的均值与方差————————————————————————————————[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题．1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为(1)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．n(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其(2)方差：称D(X)＝∑i＝1均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．(教材改编)已知X 的分布列为设Y ＝A.73 B ．4 C ．－1D ．1A [E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，则E (Y )＝2E (X )＋3＝3－23＝73.]3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．8B ．5C ．10D ．12A [∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________. 【导学号：51062371】32 [同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34. 又X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴成功次数X 的均值E (X )＝2×34＝32.]5．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)＝________. 31 024[∵E (X )＝np ＝6， D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3×2－10＝31 024.](2017·绍兴诊断)某人在如图9­8­1所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：图9­8­1(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[解] (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，4分选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种.4分故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29.6分 (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)， P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可.9分记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)， 则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P (X ＝k )＝n k N得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415， P (X ＝3)＝615＝25， P (X ＝4)＝315＝15.12分故所求Y 的分布列为14分所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.15分[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．2．注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )的应用．[变式训练1] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图9­8­2所示．图9­8­2将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X ). 【导学号：51062372】【解】 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.2分因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.7分(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，10分分布列为分因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.15分品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．[解](1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.3分因为P(A1)＝410＝25，P(A2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.6分 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.9分(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125.12分 故X 的分布列为13分X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.随机变量X 的方差D (X )＝3×15⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝1225.15分[规律方法] 1.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )．同样还可求出D (a ξ＋b )．[变式训练2] (2017·台州诊断)甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．[解] (1)依题意得，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.1分设此数列为{a n }，易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n 10n ＋702.令n 10n ＋702＝300，3分解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，所以总决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14.6分(2)随机变量X 可能的取值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490，P (X ＝220)＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝300)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14， P (X ＝390)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516，P (X ＝490)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝516，9分 所以X 的分布列为12分所以X 的均值为E (X )＝220×18＋300×14＋390×516＋490×516＝377.5(万元).15分其中X [解] 由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.又D (X 甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，D (X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)＜D (X 乙)，故甲种棉花的质量较好． [规律方法] 1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差． 2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．[变式训练3] 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【导学号：51062373】[解] 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为2分所以E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元).4分若按“项目二”投资，设获利X 2万元，则X 2的分布列为6分所以E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元).8分D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.12分所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.15分[思想与方法]求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．[易错与防范]1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)易错易混．3．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．课时分层训练(五十九)离散型随机变量的均值与方差A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知某一随机变量X 的分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )A.5 C ．7D ．8C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4， ∴E (X )＝4×0.5＋a ·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7.]2．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋aA [E (y )＝E (x )＋a ＝1＋a ，D (y )＝D (x )＝4.]3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，则E (2X ＋1)＝( ) 【导学号：51062374】 A.54 B.52 C ．3D.72D [因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54，则E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72.] 4．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1B [由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，D (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4.]5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( )A.125B.2425C.85D.265B [因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35， ∴D (X )＝4×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.]二、填空题6．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________. 【导学号：51062375】13 [由E (X )＝30，D (X )＝20， 可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np 1－p ＝20，解得p ＝13.]7．(2017·舟山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的均值E (ξ)＝________(结果用最简分数表示)．47[随机变量ξ只能取0,1,2三个数， 因为P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.故E (ξ)＝1×1021＋2×121＝47.]8．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的均值E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________．80243 [由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得 np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.]三、解答题9．(2017·温州模拟)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．当供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：件，n ∈N *)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件，n ∈N *)，列表如下：求该商品一天的利润X 的分布列及均值. 【导学号：51062376】[解] (1)当1≤n ≤10时，y ＝50n ＋(10－n )×(－10)＝60n －100；2分 当n >10时，y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60n －100，1≤n ≤10，n ∈N *，30n ＋200，n >10，n ∈N *.7分(2)由(1)知日需求量为8件、9件、10件、11件、12件的利润分别为380元、440元、500元、530元、560元.9分∴利润X 的分布列为12分利润X 的均值为E (X )＝380×950＋440×1150＋500×310＋530×15＋560×110＝2 3865(元).15分10．(2017·嘉兴质检)某校高二年级开设a ，b ，c ，d ，e 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a 课程，不选b 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中c 课程且乙同学未选中c 课程的概率；(2)用X 表示甲、乙、丙选中c 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． [解] (1)设“甲同学选中c 课程”为事件A ，“乙同学选中c 课程”为事件B ，依题意P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.3分因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中c 课程且乙同学未选中c 课程的概率为P (A B －)＝P (A )P (B －)＝P (A )[1－P (B )]＝23×25＝415.6分(2)设事件C 为“丙同学选中c 课程”．则P (C )＝C 24C 35＝35.7分X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475， P (X ＝1)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075＝415， P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375＝1125， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875＝625，12分随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×475＋1×15＋2×25＋3×25＝15.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( )A.85 B.65 C.45D.25B [由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3. 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2.则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.] 2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.25[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.]3．(2017·浙江名校模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 【导学号：51062377】[解] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”.3分 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.6分(2)法一：设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，得分为Y 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，累计得分为Y 2，则Y 1＝2X 1，Y 2＝3X 2.由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，9分 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，因此E (Y 1)＝2E (X 1)＝83，E (Y 2)＝3E (X 2)＝125.12分因为E (2X 1)＞E (3X 2)，即E (Y 1)>E (Y 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.15分 法二：依题意，累计得分Y 1，Y 2的分布列为：所以E (Y 1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E (Y 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.13分因为E (Y 1)>E (Y 2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大.15分。

第四节 随机事件的概率1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系 若事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A(或A ⊆B )相等关系 若B ⊇A ，且A ⊇B ，那么称事件A 与事件B 相等 A ＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B(或A ＋B )交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B(或AB )互斥事件 若A ∩B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥 A ∩B ＝∅ 对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝∅且A ∪B ＝Ω3.概率的几个基本性质(1)概率的取值X 围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( )(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( )(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )(4)6X 奖券中只有一X 有奖，甲、乙先后各抽取一X ，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．②C ．③D ．④B [至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25 C.16D.13A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.] 4．(2017·某某调研)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________. 【导学号：51062340】13[从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况， 其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)， 故所求事件的概率P ＝26＝13.]5．(2017·某某模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．1735 [由题意知，所求概率P ＝17＋1235＝1735.]随机事件间的关系从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A．①B．②④C．③D．①③C[从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．][规律方法] 1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．[变式训练1] 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.【导学号：51062341】①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④[当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E 为必然事件，④正确．由于B≠C，故P(B)≠P(C)，所以⑤不正确．]随机事件的频率与概率某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a(1) (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解] (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为分(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为分 (3)由所给数据得分调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .15分[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．[变式训练2] 随机抽取一个年份，对某某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)某某市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解] (1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分以频率估计概率，在4月份任选一天，某某市不下雨的概率为2630＝1315.6分(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f ＝1416＝78.13分以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.15分互斥事件与对立事件的概率某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至 4件5至 8件 9至 12件 13至 16件17件及 以上 顾客数(人) x30 25 y10 结算时间 (分钟/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋y ＋10＝100×55%，x ＋30＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝20.2分该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．又x ＝1×15＋1.5×30＋2×25＋20×2.5＋10×3100＝1.9，∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.6分(2)设B ，C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”8分将频率视为概率，得P (B )＝20100＝15， P (C )＝10100＝110.∵B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ，∴P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝15＋110＝310，13分因此P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710，∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为分[规律方法] 1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误． 2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．[变式训练3] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，2分 P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.5分 (2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，8分故1X 奖券的中奖概率约为611 000.9分(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000，故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.15分[思想与方法]1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生． 3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)．[易错与防X]1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． 2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．课时分层训练(五十五) 随机事件的概率A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对A [由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．]2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3C [∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.]3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )【导学号：51062342】A.17B.1235C.1735D ．1C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，故P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.]4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536C [设a ，b 分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有n ＝6×6＝36种不同结果，满足a ＝b 的基本事件共有6种，所以摸出编号不同的概率P ＝1－636＝56.]5．(2017·某某二中月考)同时掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A.118B.112C.19D.16C [同时抛掷两个骰子，向上的点数共有36个结果，其中点数之差的绝对值为4的结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)，共4个，所求概率为436＝19，故选C.]二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．0 [①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]7．(2017·某某调研)已知盒中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率等于________．1115[从袋中任取两球的所有结果共有15种，而取出两球颜色不同的结果有11种，故所求概率为1115.]8．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________. 【导学号：51062343】23 [将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”．则C ，D 互斥， 且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.]三、解答题9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．[解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为2001 000＝分(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝分10．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y ，z 的值． [解] 记事件“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则事件A k 彼此互斥.1分 (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56， 解得x ＝分(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝分由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝0.44， 即y ＋0.2＋0.04＝0.44， 解得y ＝分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56C [掷一个骰子的试验有6种可能结果． 依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.]2．某城市2017年的空气质量状况如表所示：100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________. 【导学号：51062344】35 [由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.] 3．(2017·某某质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率. 【导学号：51062345】[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝分由表格知，赔付金额大于投保金额即事件A＋B发生，且A，B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27，故赔付金额大于投保金额的概率为分(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，12分所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，因此，由频率估计概率得P(C)＝分。

第六节离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋p n＝1.3．常见离散型随机变量的分布列两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．()[2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.]3．设随机变量X的分布列如下：A.16 B.13C.14 D.112C[由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1.∴p＝1－34＝14.]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 【导学号：51062354】10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为1 n，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.]5．一试验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________.[5只白鼠任取一只，则每只白鼠被取到的概率为15，∴P(Y＝1)＝15，P(Y＝2)＝15，P(Y＝3)＝25，P(Y＝4)＝15.所以随机变量Y的分布列为][解]由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.4分列表P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.10分因此η＝|X－1|的分布列为分[规律方法] 1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．2．若X是随机变量，则η＝|X一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．[变式训练1]随机变量X的分布列如下：23 [由题意知⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，所以2b ＋b ＝1，则b ＝13，因此a ＋c ＝23. 所以P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝23.]每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望). 【导学号：51062355】[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.5分(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝610＝35.9分 故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.15分 [规律方法] 1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步．2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列、组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用分布列的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．[变式训练2]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. 【导学号：51062356】[解](1)由已知，有P(A)＝C 13C14＋C23 C210＝1 3.所以，事件A发生的概率为13.5分(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.11分所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.15分[思想与方法]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[易错与防范]1．对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋p n＝1及p i≥0(i＝1,2，…，n)，其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．3．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．课时分层训练(五十七)离散型随机变量及其分布列A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．某射手射击所得环数X的分布列为()A．0.28B．0.88C．0.79 D．0.51C[根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.]2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.1 2C.13 D.23C[由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝1 3.]3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于()A.316 B.14C.116 D.516A[∵P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，∴P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝18＋116＝316.]4．(2017·郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于() 【导学号：51062357】A.910 B.710C.35 D.12B[由分布列的性质知，12a＋22a＋32a＋42a＝1，则a＝5，∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝310＋410＝710.]5．设随机变量X的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，则当x(x)等于()A.13 B.16C.12 D.56D[∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.]二、填空题6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________. 16[相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝136＋236＋336＝16.]7．随机变量X的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________. 【导学号：51062358】23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23. 又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23， ∴－13≤d ≤13.]8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．[X 的可能取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为]三、解答题9．(2017·绍兴调测)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X ). 【导学号：51062359】 [解] (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A ，则P (A )＝C 12C 16C 28＝37.6分(2)由题知X 的可能取值为1,2,3,4.则P(X＝1)＝C12C16＋C22C28＝1328，P(X＝2)＝C26C28·C14C12＋C22C26＝928，P(X＝3)＝C26C28·C24C26·C12C12＋C22C24＝528，P(X＝4)＝C26C28·C24C26·C22C24＝128.10分X的分布列为13分E(X)＝1×1328＋2×928＋3×528＋4×128＝2514.15分10．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X).【导学号：51062360】[解](1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.4分(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.9分所以X的分布列为13分则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．若随机变量X的分布列为则当P(X＜aA．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)C[由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]2．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.[η的所有可能值为P(η＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为] 3．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【导学号：51062361】[解] (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.5分所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.6分 (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.10分所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.15分。

课时分层训练(五十二) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为( )A．20 B．25C．32 D．60C[依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.]2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( ) A．9 B．14C．15 D．21B[当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7个．当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y，∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法，因此满足条件的点共有7＋7＝14个．]3．甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有( ) 【导学号：51062324】A．6种B．12种C．24种D．30种C[分步完成，第一步，甲、乙选修同一门课程有4种方法．第二步，甲从剩余的3门课程中选一门有3种方法．第三步，乙从剩余的2门课程中选一门有2种方法．∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24种．]4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种B[赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有C14种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有C 24种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C 14＋C 24＝10种．]5．(2017·绍兴模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 B [0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数有900－648＝252个．]6．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20C [由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同， ∴lg a －lg b 的不同值的个数为A 25－2＝18.]二、填空题7．(2016·杭州模拟)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个. 【导学号：51062325】8 [十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．]8．从8名女生，4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________种. 【导学号：51062326】112 [从男生中抽1人有4种方法，从女生中抽2人有C 28＝28种方法，由分步乘法计数原理，共有28×4＝112种方法．]9．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．75 [由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝75种．]10.如图9­1­4所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________个．图9­1­4420[先染顶点S，有5种染法，再染顶点A，有4种染法，染顶点B，有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420(种)染色方法．]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式( ) A．24 B．14C．10 D．9B[第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式．]2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A．32个B．34个C．36个D．38个A[将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C12＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个．]3．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．12 [当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．]4．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个. 【导学号：51062327】(1)90 (2)9×10n[(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，由分步计数原理，共有9×10n种填法．]。

１．离散型随机变量（１）随机变量特点：随着试验结果的变化而变化的变量．表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．（２）离散型随机变量的特点所有取值可以一一列举出来．２．离散型随机变量的分布列（１）定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x１，x２，…，x i，…，x n，X取每一个值x i（i ＝１，２，…，n）的概率P（X＝x i）＝p i，则下表X x１x２…x i…x nP p１p２…p i…p nP（X＝x i）＝p i，i＝１，２，…，n表示X的分布列．（２）性质：１p i≥0（i＝１，２，…，n）；２错误!p i＝１．３．常见的两类特殊分布列（１）两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X0１P１—p p＝P（X＝１）称为成功概率．（２）超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝错误!，k ＝0，１，２，…，m，即：X0１…mP错误!错误!…错误!其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．（）（２）抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．（）（３）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（）（４）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．（）（５）从４名男演员和３名女演员中选出４人，其中女演员的人数X服从超几何分布．（）（6）由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．（）X２５P0．３0．7答案：（１）√（２）√（３）√（４）√（５）√（6）×（教材习题改编）设随机变量X的分布列如下表所示，则p ４的值是（）X１２３４P错误!错误!错误!p４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由分布列的性质，得错误!＋错误!＋错误!＋p４＝１，所以p４＝错误!.设某项试验的成功率是失败率的２倍，用随机变量X去描述１次试验的成功次数，则P（X＝0）等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C.设X的分布列为X0１P p２p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝１”表示试验成功．由p＋２p＝１，得p＝错误!，故应选Ｃ．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝错误!，k＝１，２，３，４，５，则P错误!＝________．解析：P错误!＝P（X＝１）＋P（X＝２）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!在含有３件次品的１0件产品中任取４件，则取到次品数X的分布列为________．解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝３，n＝４，所以分布列为P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３．答案：P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X0１２３４P0．２0．１0．１0．３m（２）P（１＜X≤４）．【解】由分布列的性质知：0．２＋0．１＋0．１＋0．３＋m＝１，解得m＝0．３．（１）２X＋１的分布列：２X＋１１３５79 P0．２0．１0．１0．３0．３在本例条件下，求|X—１|的分布列．解：|X—１|的分布列：|X—１|0１２３P0．１0．３0．３0．３离散型随机变量分布列的性质的应用（１）利用分布列中各概率之和为１可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；（２）若X为随机变量，则２X＋１仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．设随机变量X等可能地取１，２，３，…，n，若P（X＜４）＝0．３，则n的值为（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．１0 Ｄ．不确定解析：选Ｃ．“X＜４”的含义为X＝１，２，３，所以P（X＜４）＝错误!＝0．３，所以n＝１0．离散型随机变量的分布列（高频考点）离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：（１）用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；（２）古典概型的离散型随机变量的分布列；（３）与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法．（下一讲内容）角度一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品２0天，获得如下数据：日销售量（件）0１２３频数１５9５结束后检查存货，若发现存量少于２件，则当天进货补充至３件，否则不进货，将频率视为概率．（１）求当天商店不进货的概率；（２）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【解】（１）P（当天商店不进货）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为１件）＝错误!＋错误!＝错误!.（２）由题意知，X的可能取值为２，３．P（X＝２）＝P（当天商品销售量为１件）＝错误!＝错误!；P（X＝３）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为２件）＋P（当天商品销售量为３件）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.所以X的分布列为X２３P错误!错误!（２0１7·高考山东卷节选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A，A２，A３，A４，A５，A6和４名女志愿者B１，B２，B３，B４，从中随机抽取５人接受甲种心理暗示，１另５人接受乙种心理暗示．（１）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的概率；（２）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【解】（１）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的事件为M，则P（M）＝错误!＝错误!.（２）由题意知X可取的值为：0，１，２，３，４，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为X0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!错误!离散型随机变量分布列的求解步骤（１）明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．（２）求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．（３）画表格：按规范要求形式写出分布列．（４）做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友（n>8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出２位校友代表，若选出的２位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．（１）若随机选出的２位校友代表为“最佳组合”的概率不小于错误!，求n的最大值；（２）当n＝１２时，设选出的２位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．解：（１）由题意可知，所选２人为“最佳组合”的概率为错误!＝错误!，则错误!≥错误!，化简得n２—２５n＋１４４≤0，解得9≤n≤１6，故n的最大值为１6．（２）由题意得，X的可能取值为0，１，２，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，X的分布列为X0１２P错误!错误!错误!超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共１0个．已知从袋中任意摸出２个球，至少得到１个白球的概率是错误!.（１）求白球的个数；（２）从袋中任意摸出３个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．【解】（１）记“从袋中任意摸出２个球，至少得到１个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）＝１—错误!＝错误!，得到x＝５．故白球有５个．（２）X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝５，n＝３，P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３．于是可得其分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!超几何分布的特点（１）对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；（２）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．１．从装有３个白球、４个红球的箱子中，随机取出了３个球，恰好是２个白球、１个红球的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝错误!＝错误!.２．第二十八届亚洲男篮锦标赛在长沙举行，为了做好亚锦赛期间的接待服务工作，长沙大学学生实践活动中心从8名学生会干部（其中男生５名，女生３名）中选３名参加亚锦赛的志愿者服务活动．若所选３名学生中的女生人数为X，求X的分布列．解：因为8名学生会干部中有５名男生，３名女生，所以X的分布列服从超几何分布．X的所有可能取值为0，１，２，３，其中P（X＝i）＝错误!（i＝0，１，２，３）．由公式可得P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．易错防范（１）确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．（２）对于分布列易忽视其性质p１＋p２＋…＋p n＝１及p i≥0（i＝１，２，…，n），其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．１．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X0１２P a错误!错误!若F（x）＝P（XＡ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由分布列的性质，得a＋错误!＋错误!＝１，所以a＝错误!.而x∈[１，２），所以F（x）＝P（X≤x）＝错误!＋错误!＝错误!.２．在１５个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选１0个村庄，用X表示这１0个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于错误!的是（）Ａ．P（X＝２）B．P（X≤２）Ｃ．P（X＝４）D．P（X≤４）解析：选Ｃ．X服从超几何分布，P（X＝k）＝错误!，故k＝４，故选Ｃ．３．抛掷２颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P（X≤４）＝________．解析：抛掷２颗骰子有３6个基本事件，其中X＝２对应（１，１）；X＝３对应（１，２），（２，１）；X＝４对应（１，３），（２，２），（３，１）．所以P（X≤４）＝P（X＝２）＋P（X＝３）＋P（X＝４）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!４．已知随机变量ξ只能取三个值：x１，x２，x３，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：设ξ取x１，x２，x３时的概率分别为a—d，a，a＋d，则（a—d）＋a＋（a＋d）＝１，所以a＝错误!，由错误!得—错误!≤d≤错误!.答案：错误!５．抛掷一枚质地均匀的硬币３次．（１）写出正面向上次数X的分布列；（２）求至少出现两次正面向上的概率．解：（１）X的可能取值为0，１，２，３．P（X＝0）＝错误!＝错误!；P（X＝１）＝错误!＝错误!；P（X＝２）＝错误!＝错误!；P（X＝３）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为P错误!错误!错误!错误!P（X≥２）＝P（X＝２）＋P（X＝３）＝错误!＋错误!＝错误!.6．（２0１8·惠州市第三次调研考试）某大学志愿者协会有6名男同学，４名女同学．在这１0名同学中，３名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这１0名同学中随机选取３名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（１）求选出的３名同学是来自互不相同学院的概率；（２）设X为选出的３名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：（１）设“选出的３名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝错误!＝错误!.所以选出的３名同学是来自互不相同学院的概率为错误!.（２）随机变量X的所有可能值为0，１，２，３．P（X＝k）＝错误!（k＝0，１，２，３）．所以随机变量X的分布列是X0１２３P错误!错误!错误!错误!7理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[１00，１１0）间的频数为7，次数在１１0以下（不含１１0）视为不达标，次数在[１１0，１３0）间的视为达标，次数在１３0以上视为优秀．（１）求此次抽样的样本总数为多少人？（２）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？（３）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为１５分，达标成绩记为１0分，不达标成绩记为５分，现在从该校高一学生中随机抽取２人，他们的分值和记为X，求X的分布列．解：（１）设样本总数为n，由频率分布直方图可知：次数在[１00，１１0）间的频率为：0．0１４×１0＝0．１４，所以错误!＝0．１４，解得n＝５0．（２）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A.P（C）＝0．006×１0＋0．0１４×１0＝0．２0；P（B）＝0．0２8×１0＋0．0２２×１0＝0．５0；P（A）＝１—P（B）—P（C）＝0．３0．（３）在高一学生中随机抽取２名学生的成绩和X＝１0，１５，２0，２５，３0．P（X＝１0）＝0．２×0．２＝0．0４；P（X＝１５）＝２×0．２×0．５＝0．２；P（X＝２0）＝0．５２＋２×0．２×0．３＝0．３7；P（X＝２５）＝２×0．３×0．５＝0．３；P（X＝３0）＝0．３２＝0．09．X的分布列为X１0１５２0２５３0P 0．0４0．２0．３70．３0．09１．（２0１8·广东省五校协作体第一次诊断考试）下图是某市１１月１日至１４日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于１00表示空气质量优良，空气质量指数大于２00表示空气重度污染，某人随机选择１１月１日至１２日中的某一天到达该市，并停留３天．（１）求此人到达当日空气重度污染的概率；（２）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．解：设A i表示事件“此人于１１月i日到达该市”（i＝１，２，…，１２）．依题意知，P（A i）＝错误!，且A i∩A j＝∅（i≠j）．（１）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A１∪A２∪A３∪A7∪A１２，所以P（B）＝P（A１∪A２∪A３∪A7∪A１２）＝P（A１）＋P（A２）＋P（A３）＋P（A7）＋P（A１２）＝错误!.即此人到达当日空气重度污染的概率为错误!.（２）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，１，２，３，P（ξ＝0）＝P（A４∪A8∪A9）＝P（A４）＋P（A8）＋P（A9）＝错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝P（A２∪A１１）＝P（A２）＋P（A１１）＝错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝P（A１∪A１２）＝P（A１）＋P（A１２）＝错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝１—P（ξ＝0）—P（ξ＝２）—P（ξ＝３）＝１—错误!—错误!—错误!＝错误!.所以ξ的分布列为２．（２0一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了５0人，将调查结果进行整理后制成下表：求恰有２人不赞成的概率；（２）在（１）的条件下，令选中的４人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：（１）由表知，年龄在[１５，２５）内的有５人，不赞成的有１人，年龄在[２５，３５）内的有１0人，不赞成的有４人，恰有２人不赞成的概率为P＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（２）ξ的所有可能取值为0，１，２，３．P（ξ＝0）＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!，所以ξ的分布列是。

2018年高考数学一轮复习 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 课时达标61 离散型随机变量及其分布列 理[解密考纲]离散型随机变量及其分布列在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大．一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)＝( C )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：设X 的分布列为：X 0 1 Pp2p即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p ，∴由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故选C ．2．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于n －m A 2mA 3n的是( D )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)解析：由超几何分布知P (X ＝2)＝n －m A 2mA 3n.3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1P132－3qq 2则q ＝( C ) A ．1 B ．32±336 C ．32－336D ．32＋336解析：由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q ＝32－336.4．随机变量X 的概率分布为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( D ) A ．23 B ．34 C ．45D ．56解析：∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.5．若随机变量X 的分布列为X －2 －1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P (X <a )＝A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]D ．(1,2)解析：由随机变量X 的分布列知：P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．6．已知随机变量X 的概率分布列如下表：X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P23232 233 234 235 236 237 238 239 mA ．239 B ．2310 C ．139 D ．1310 解析：由题易知：P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝10)＝1⇒23＋232＋…＋239＋m ＝1⇒m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋232＋…＋239＝1－2×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1391－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－139＝139，故选C ．二、填空题7．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝512.解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，p (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.8．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替)，其分布列如下：2,5.解析：由于0.20＋0.10＋(0.1·x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01·y )＋0.20＝1，得10x ＋y ＝25，又因为x ，y 为正整数，故两个数据依次是2,5.9．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝13，P (X ＝1)＝13.解析：由离散型随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，解得c ＝13.P (X ＝1)＝3－8×13＝13.三、解答题10．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条：当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解析：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列是11.)：取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出6人中有5人是男生的概率； (2)设拳击社团有X 名女生被抽出，求X 的分布列．解析：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人， ∴628＋m ＝1820＋40＋28＋m，∴m ＝2. 设A 为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”， 则P (A )＝C 528C 12C 630＝48145.(2)由题意可知：X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 628C 630＝92145，P (X ＝1)＝C 528C 12C 630＝48145，P (X ＝2)＝C 428C 22C 630＝5145＝129，X 的分布列为12.分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列． 解析：(1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)∵得分Y ＝5X ＋2(3∵X 的可能取值为0,1,2,3， ∴Y 的可能取值为6,9,12,15，则P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19， P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718，P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19.∴Y 的分布列为。