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《线性代数》(甲)期中练习试卷

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《线性代数》期中练习试卷
学号 专业班级 姓名 得分
（注：本试卷的题量比正常考试的题量多一点）
一、 填空题（每空格3分，共36分）
1．设，记100220333A ⎡⎤
⎢=⎢
⎢⎥⎣⎦⎥⎥A 的伴随矩阵为，则*A *1()A −= 。

2．4阶行列式D=
32
020
10
210075
3
4
−−1, 则第四行各元素的代数余子式之和是 _______________。

3．n 阶行列式00000||00000
00x y y x D y x y x
=""""""""""的值为 。

4．设11
(1,2,3),(1,,),23
T A αβα===β，则= ,
A n A = 。

5．设矩阵20
00061
0010200
003A −⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥−−⎢
⎥⎣⎦
，则1A −= 。

6．设矩阵1224311A t −5⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，若存在非零矩阵32B ×使得AB O =，
则 t =。

7．设A 为三阶方阵，12()2,,r A αα=为三元列向量，且是非齐次方程组互异的解向量，则的通解是 AX b
=AX b =。

1231231230,
0,0,
x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
++=⎪⎨ 8．已知齐次线性方程组++=⎩只有零解，则λ 。

9．设阶方阵n ,A B 满足关系式1
(2
)A B E =
+，且 则2,A A =2B = 。

10．设A 是4矩阵，且3×()2r A =，而
102020103B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥−⎣⎦
则 ()r AB =。

11．设矩阵A 为3阶矩阵，||2,A =则1*1
|()3|__________12
A A −−=。

（其中是A 的伴随矩阵）
*A 二、 选择题（每小题3分，共15分。

每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设A, B 均为n(n>1)阶方阵，则下述命题正确的是
（A ）||||A A −=− (B) 22()AB A B =2)(C) 22()(B A B A B A −=−+
(D) 若A 可逆，且则可逆，且0,k ≠kA 11()kA k A 1−−−=
【 】
2．设A 为n 阶方阵，若()1r A n =−，则为 *()r A （A ） (B) (C) 1 (D) 0
n 1n −【 】
3．已知1112
132122
233132
33
0a a a a a a d a a a =≠，则11111213
2121222331
3132
33
34682234a a a a a a a a a a a a −−−−=−− (A) 3d (B) 6d (C) –3d (D)-6d 【 】
4．设线性方程组，则
1m n n m A Z b ×××=1(A) m>n 时必有解 （B ）m=n 时必有唯一解 (C) m<n 时齐次方程组10m n n A Z ××=必有非零解 (D) m=n 时齐次方程组10m n n A Z ××=有唯一零解
【 】
5．设向量组I:12,,,r ααα"可由向量组II:12,,,s ββ"β线性表示，则下列说法正确的是 【 】 (A) 当时，向量组II 必线性相关；
r s <
(B) 当时，向量组II 必线性相关； r s >(C) 当时，向量组I 必线性相关； r s <(D) 当时，向量组I 必线性相关. r s >
三、（12分）设有两组向量123(1,0,2),(1,1,0),(1,2,1)T T αααλT ==−=+和
123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1).T T βββ==−=−T (1) 求实数λ, 使12,,3ααα为3R 中的一组基,并求基123,,βββ到基123
,,ααα的过渡矩阵M;
(2) 已知ξ在基123,,ααα下的坐标为(1, 求,1,0)T ξ在基123,,βββ下的坐标; (3) 取0λ=,求在基123,,ααα与基123,,βββ下有相同坐标的所有非零向量.
姓名
12()四、（7分）设XB A C −=−，其中,,A B C 均为3阶方阵，且满足,2,AB E BC E ==若
246468008C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，求X 。

五、（10分）设线性方程组
12341234
123412342302643276x x x x x x x x x x ax x 11x x x x k
+−+=⎧⎪+−+=−⎪⎨
+++=−⎪⎪−−−=⎩ 问方程组什么时候有解？什么时候无解？有解时，是有唯一解，还是有无穷
多解？写出一般解的表达式。

六、（9分）已知, 问
123(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,1,),(3,10,,4)T T T a b αααβ===−=T (1) 取何值时, ,a b β不能由123,,ααα线性表示?
(2) 取何值时, ,a b β可由123,,ααα线性表示? 写出此表示式.
七、（6分）设三阶矩阵
200023,012A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
矩阵B 满足求矩阵
12A BA A BA −=+,.B
姓名
八. 证明题: (本题5分)
设A 是矩阵, B 是n 矩阵, E 是阶单位矩阵, m n ×m ×m AB E =. 求证: B 的列向量是线性无关的.。

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线代期中(A类)试卷及答案 (2)

线代期中(A类)试卷及答案 (2)

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

线代期中试题A

线代期中试题A

线性代数期中考试试卷A班级 学号 姓名 成绩 一、判断下列各题是否正确(每小题3分共15分)1．若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。

（ ） 2．矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。

（ ） 3．设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝I ，则BCA ＝I 。

（ ） 4．设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。

（ ） 5．齐次线性方程组AX O =的系数行列式||0A =，则此方程只有零解 （ ）二、选择题（单选，每小题3分共15分）1．若方程组12323237890 20 20x x x x x x tx ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩存在非零解，则常数t = [ ]。

（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －42．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ ]。

(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B | 3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ ]。

（A ）（2A ）-1= 2 A -1(B) |2A | = 2 | A | (C) ()11*||A AA --= (D) (A -1 )T = ( A T )-1 4．设1234432110125116A =--，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44 = [ ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．已知可逆方阵3712A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1A -＝ [ ]。

（A ）2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （B ）2713⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （D ）3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 三、计算题(每小题10分共50分)1．求行列式011101||110A =的值。

2．计算行列式：00000000000000a b a b a D a b ba=。

线性代数期中考试试卷

线性代数期中考试试卷

线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。

7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。

8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。

9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。

10. 线性变换的像空间是变换的_________。

三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。

12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。

四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。

14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。

五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。

2013线性代数期中试题

2013线性代数期中试题

线性代数期中试题（2013.5）学院 班级 姓名 学号 得分试卷说明： 设A 是矩阵，T A 表示A 的转置矩阵，*A 表示A 的伴随矩阵，||A 表示A 的行列式，E 表示单位矩阵．一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x 21,3421B A ，则BA AB =的充分必要条件是（ ） (A) 1=-y x (B) 1-=-y x (C) y x = (D) y x 2=2．设B A ，是3阶矩阵，若||1,||2A B =-=，则2AA OB =-（ ）(A) 4- (B) 4 (C) 16- (D) 163．设,,A B A B +均为n 阶可逆矩阵，则111()A B ---+＝ ( )．(A) A B + (B)11A B --+ (C) 1()A B -+ (D) 1()A A B B -+4．若向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则（ ）(A) s r < (B) 向量组中任意r 个向量线性无关(C) s r = (D) 向量组中任意1+r 个向量线性相关5．设齐次线性方程组0AX =有非零解，则矩阵A 有可能为 ( )(A) 初等矩阵 (B) 对称矩阵 (C) 单位矩阵 (D)非奇异矩阵6．设123(,,)A ααα=，其中321,,ααα为3 维列向量，则（ ）与||A 的值相等．(A) 112123|,,|αααααα+++ (B) 321|,,|ααα(C) 122331|,,|αααααα+++ (D) 2313|,,|αααα-7．设C B,A,是n 阶矩阵，由AB =AC 能推出B =C ，则A 满足（ ）（A ）A O ≠ （B ）A O = （ C ）|A |≠0 （D ）|AB |≠08．设A 是n m ⨯矩阵，若线性方程组0AX =只有零解，则不一定成立的是（） (A) n m ≥ (B) AX β=有唯一解(C) 矩阵的列向量组线性无关 (D) 矩阵的行向量组的秩为n二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．如果n 阶方阵A 满足,||0T A A E A =<,则||A =_________．2．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111001100110c b d a ．3．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1832A 的伴随矩阵=*A ．4．设矩阵A 的秩为3，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2100720014124221B ，则秩=)(BA ．5．设A 为3阶方阵，|A |=-21，则()1|32|A A -*-= ．6．设0540321k k D -=，若余子式1023-=M ，则=D ．7．设A 为n 阶反对称矩阵，则矩阵1*,,(m A A A m -是正整数）中 一定是反对称矩阵．8．设54431132a a a a a l k 是五阶行列式中带“－”的一项，则l k ,分别为 ．三、 计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1．计算四阶行列式D =5021011321014321---． 2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211,101111010B A ,如果矩阵X 满足等式B AX X +=,求X ．、3．设向量组)1,1,1(),3,4,2(),0,1,1(),2,4,0(4321-=-===αααα，求该向量组的一个极大线性无关组，并用此极大线性无关组表示其余向量．4．已知矩阵12211202312A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求*1||,()A A -． 5．设12341234123422302264126x x x x x x x x x x x x k +-+=⎧⎪+-+=-⎨⎪---=⎩，问k 为何值时方程组有解？并求线性方程组的通解． 四、 证明题（第1题4分，第2题8分，共12分）1．设,A B 为n 阶方阵，且AB A B =－　，证明：AB BA =．2．设向量组12,,,s αααL 线性无关，而12,,,,s αααβL 线性相关，证明：β可以唯一地由向量组12,,,s αααL 线性表示．线性代数期中考试（2013）参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共24分）1． B ２．D 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．B二、填空题（每小题3分，共24分）1．1- 2． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b c a d 3．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2831 4． 3 5．12827- 6．40- 7． 1A - 8．2,5==l k 三、计算题（每小题8分，共40分）1．-24………………..……….. ..………. ..………. ..………. ..……….….....(8分)2．B A E X 1)(--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---372839……..………. ..………. ..………. ..………...(8分)3．21,αα为一个极大线性无关组…. ..………. .. …. ..………. .. …. ..………. ..….(4分)31312412222,αααααα=-=-………. ..………. .. …. ..… ..………. ....(8分)*1()A -=2442240624A ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭.………. ..……….……………..(8分)5．2k =-……. …. ..………. .. …. ..………. .. …. ..………. .. …. ..………. ....(４分)通解2121,,)1,0,1,1()0,1,1,4()0,0,21,1(k k k k T T T --+-+-为任意常数……. ..…(8分)四、证明题（第1题4分，第2题8分，共12分）1．证明：由AB A B =－　得()()()()A E E B E E B A E E BA A B --=⇒--=⇒=- AB BA ⇒=． 2．证明：β可以由向量组12,,,s αααL 线性表示．..…. . .. …. ..………. .. …. ..…（4分）唯一…….. . . .. …. ..…. . .. …. ..…. . .. …. ..…. . .. …. ..…. . .. …. ..……………...（6分） 2020-2-8。