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第一类换元法求积分

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定积分第一类换元法积分上下限

定积分第一类换元法积分上下限

定积分第一类换元法积分上下限
定积分第一类换元法积分上下限，是指在定积分的过程中使用第
一类换元法时，需要注意换元变量和被积函数的取值范围问题。

第一类换元法是指通过引入变量替换的方法将被积函数进行简化，从而求解定积分的方法。

当进行第一类换元法时，需要确保换元变量
和被积函数的取值范围是一致的，以保证换元的可行性。

在定积分中，上下限是指积分区间的起始点和结束点，用来确定
积分的范围。

换元后的定积分中，上下限也需要进行相应的变换。

具体来说，如果积分区间在原积分中的上下限为a和b，在进行
第一类换元法后，需要确定变量的取值范围来确定新的积分区间。

如
果换元变量记为u，且原积分区间中的a对应u的取值为u=a_1，b对
应的u取值为u=b_1，则新的积分区间的上下限为a_1和b_1。

需要注意的是，在进行第一类换元法时，需要保证换元变量和被
积函数的取值范围是一致的，否则换元后的积分结果可能会发生改变。

综上所述，定积分第一类换元法积分上下限需要根据换元变量和
被积函数的取值范围来确定新的积分区间。

3.3第一类换元积分法

3.3第一类换元积分法

§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。

重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。

而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。

该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。

本节将介绍第一类换元法。

二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。

下面先介绍第一类换元积分法。

定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。

换元积分法3

换元积分法3
解法2 ∫ sin2x dx = 2∫ sin x cos x dx
= 2∫ sin x d(sin x) = sin2 x + C.
解法3 ∫ sin2x dx = 2∫ sin x cos x dx
= −2∫ cos x d(cos x) = −cos2 x + C.
1 1 因为 sin x = −cos x +1 = − cos 2x + ，可知 2 2
1 dx = du， 2
所以有
1 1 ∫ cos 2x dx = ∫ cos u ⋅ 2 du = 2 ∫ cos u du
d 由于 sin u = cos u，即对新的积分变量 而言， u是 u sin du 被积函数cos u的原函数，因此有 1 1 ∫ cosudu = 2sin u + C. 2
定理5.2 设
∫ f (u)du =F(u) + C，
如果 = ϕ(x)具有连续导数，则 u 有
∫ f [ϕ(x)]ϕ' (x)dx = F[ϕ (x)] + C
证
(1)
依题意有 ∫ f (u)du =F(u) + C， d 即有 F(u) = f (u), 又由复合函数微分法可得 dx
d du 令x = ϕ(x) d F[ϕ(x)] F(u) ⋅ du du dx
(2)若 , n为偶数时，用半角公式 m 降幂后再逐项积分 .
例14 求∫ sin4 x cosxdx. 解 ∫ sin4x cos xdx = ∫ sin4 x d(sin x)
1 5 = sin x + C. 5
例15 求 ∫ sin3 x cos4 x dx. 解 ∵sin3 x cos4 x = sin xsin2 x cos4 x

医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法

医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法
第一节 不定积分(之二)
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q

第一换元积分法

第一换元积分法

第一换元积分法
第一类换元法通过配凑导数，将配凑到的导数u'和dx合在一起形成du，构成形如f(u)du的形式求积分，这里的f(u)通常为易求的积分形式
而第二类换元法则是令x=g(t),把dx拆分为g'(t)dt,从而把简单函数变为一个复合函数，高数中常常用三角函数代换分母中的多项式，再利用三角恒等变换使分母简单化从而得解
换句话来说，第一类换元法是先将函数分为两部分，一部分为u',另一部分为f(u),其中u'dx=du,于是待求积分从f(x)dx转化为f(u)du,而第二类换元法是将x用g(t)代换，再将dx拆分为g'(t)dt从而使积分可求，而其不同于第一类换元法表现在其后须使用t=g-(x)将t换掉得到关于x的积分。

4.2 换元积分法

4.2 换元积分法

解：
(1)
a2
1
x2
dx

1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a

C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx

arcsin
x a

C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分


f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)

dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是

dx x 1


du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x

ln
1
x

C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)

ln x x
dx
解：
(2)

19换元积分法


sec2xdxdtanx;
cs2cxdxdcox;t
1 dx darcsixndarccxo;s 1 x2
1 1x2
dxdarctaxndacrocxt
4、常见的积分类型
①、f(axb)dx型(a , b 均为常数)
方法
f (axb)dx1 a

f(axb)d(axb)
1sin4 xC 4
3、 si2 nxco32sxdx12co3s2xdco2sx
1co4s2xC 8
(ⅱ)、当 m,n均为偶数
方法
利用公式 co2sx1co2sx, sin2x1co2sx
2
2
将原积分降次，直到降为各积分能用
凑微分求的，最后求的结果.
例4 求 sin2xco2sxdx
变量回代 F[(x)]C
3、常用的凑微分形式
dx1 d(ax b)
a
1 dx 2d x; x
xndx 1 d(xn1b)
n1
1 x2
dx

d
1 x
;
1 dx d ln x; x
exdxdex;
s in x d x d c o sx ; c o sx d x d sin x ;
2x 3 3x 6 6x 6 ln 6x (1 ) C
练习
求
1 dx.
x 4 x
解：令4 xt,xt4, 则 dx = 4t3 dt，于是有
换元积分法
一、第一类换元积分法
例 求cos5xdx
cosxdxsinxC
cosudusinuC
解：
1
co5sxdx5
cos 5x d (5 x)

第3-1不定积分的第一类换元积分法


sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx

1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2

高数 换元积分法

公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法) 观察重点不同，所得结论不同.
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例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
2
xd
(2
x)
2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
注: 当
时
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例3. 求
解:
1 a2
dx
1
(
x
a
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 a
du 1 u
2
1 arctan a
uC
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例4. 求 解:
dx a 1 (ax)2
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(6) f (tan x)sec2 xdx
(7) f (ex )exdx
(8)
f (ln x)1dx x
de x dln x
dtan x
例8. 求
解: 原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2 ln x) 1 2ln x
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d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsin u C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)

不定积分的换元积分法4.2


f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x

2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2

2
t
)，
sec
2
a
t 1

a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是

dx x a
2 2

2

a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
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将被积表达式凑成某个函数的微分形式，再利用积分运算与微分运算的互逆性，达到求不定积分的目的。
因此，第一类换元法又俗称为“凑微分法”。
常见凑微分形式有：
（a≠0） （a≠0）
教学过程
主 要 教 学 内 容 及 步 骤
三 课堂作业
1 P149练习1
2填空
（1） （2） （3）
（4）（5）
（6） （7）
板书设计
教学过程
主 要 教 学 内 容 及 步 骤
导入
新课
一、1复合函数的求导法则
2、听写积分基本公式和法则
设 具有原函数， 可导，则有换元积分公式
这个定理表明：欲求不定积分 ，可令 ，则不定积分化为 ，它将原来的积分变量 换成了新的积分变量 ，求出不定积分 之后，再把 代换回去。
二、例题讲解
求下列不定积分：1、
课题序号
16—3
授课班级
0609
授课课时
11，12
授课形式
新授
授课章节
名 称
第一类换元法求积分1
使用教具
投影仪，幻灯片
教学目的
理解第一类换元法意义
教学重点
掌握并理解第一类换元法意义，会用第一类换元法求积分
教学难点
理解第一类换元法意义
更新、补充删节内容
课外作业
P150习题16－3A组 1，2（1）（2）（5）（8）
P150习题16－3A组 1，2（1）（2）（5）（8）
四、小结
掌握好“凑微分法”需要1、熟悉常见的函数微分
2、熟悉几个经典的凑微分过程
2、
3、
解1
令 ， ，
。
解2
令 ， ，
教学过程
主 要 教 学 内 容 及 步 骤
难点突破
解3
令 ， ，
。
由上面的解题可发现，变量 只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变量的做法。
例如：
研究这些解法可观察到一个非常鲜明的特点：