2020-2021广东实验中学高一数学上期末试卷含答案

广东实验中学2020-2021学年（上）高一级模块2考试英语命题:翁晓君审定:莫影春校对：钟小凤试卷共12页，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

第一部分听力（共三节，满分15分）第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.When is the woman too busy to meet the man?A.On Monday.B.On Tuesday.C.On Wednesday.2.What does the woman want to do well in?A.Plan making.B.Public speaking.C.Face-to-face conversations.3.How does the man feel about the grade?A.Amazed.B.Disappointed.C.Confused.4.What can the website help people find?A.Part-time jobs.B.Cute pet photos.C.Animals to care for.5.Where might the speakers be?A.At a concert hall.B.At a ticket office.C.At a bank.第二节听下面2段对话或独白。

'x 'y 'A 'O'B广东省高一数学上册期末模拟试卷（含答案）一、选择题（单选题，每小题5分，共60分，请将答案填在答题卷上） 1．设集合12345{,,,,}U =，123{,,}A =，234{,,}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．145{,,}B ．23{,}C ．45{,}D ．15{,}2．下列各式正确的是（ ）A ．3334<B . 6log 4log 5.05.0<C . 33) 21() 21 (>-D .4.1lg 6.1lg <3．在空间直角坐标系中，点(2,1,5)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,5)-- B ．(2,1,5)--- C ．(2,1,5)- D ．(2,1,5)-4．如图所示的直观图中，''''2O A O B ==，则其平面图形的面积是（ ） Ａ ４ Ｂ 42 Ｃ 22 Ｄ ８5．圆0144:0882:222221=---+=-+++y x y x C y x y x C 与圆的位置关系是（ ） A 外离B 外切C 相交D 内含6．如图，正方体111ABCD AB C D -中，异面直线11BD 与A D 所成角等于（ ） A ．030 B ．045 C ．060 D ．0907．下列命题中正确的是（ ）A ．过三点确定一个平面B ．四边形是平面图形C ．三条直线两两相交则确定一个平面D ．两个相交平面把空间分成四个区域8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是（ ）9.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A.①②B.②④C.①③D.①④10．若偶函数)(x f 在[)1,+∞上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)1()23()2(-<-<f f fB ． )2()1()23(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)2()23()1(f f f <-<-11．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A 17B 32C 19D 512．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ） A ．20πB ．10πC ．5πD ．55π二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷上）13．已知函数22233x x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()()ln () 2 ，则))2((-f f = ．14．函数()f x 是3x y =的反函数，则函数()1f =_____ ___．15．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直，则a = .16．如图，在正方形1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，① 四边形1BFD E 一定是平行四边形 ② 四边形1BFD E 有可能是正方形③ 四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，请将答案填在答题卷上）17．（本小题满分10分）已知集合A 是函数()()12log 1f x x =-的定义域，集合B 是函数()[]2,1,2x g x x =∈-的值域． （1）求集合A ； （2）求集合B ．EPDCBA18．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线0243:1=-+y x l 与022:2=++y x l 的交点P ，且垂直于直线012:3=--y x l ． （1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面,2,ABE AE EB BC ===F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，BD （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥E ADC -的体积．20．（本小题满分12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上。

令 h(t) 3t 2 ,t [1,0) ， h(t) 2 6 当且仅当 t 6 时取等号，∴ k 2 6
t
3
t∈(0,4]时，不等式（*）等价于 k 3t 2 恒成立， t
10 分
令(t) 3t 2 ,t (0,4]，(t) 2 6当且仅当t 6 时取等号，k 2 6
t
17.解：（1）原式＝
﹣1﹣
+ ＝ ﹣1﹣ + ＝ ．
（2）原式＝3+2lg5+2lg2+2＝5+2（lg5+lg2）＝5+2＝7．
评分标准:每一个问 5 分.每个数计算正确各给 1 分,最后结果 1 分
18.解：（1）∵函数是幂函数，
∴m2+2m﹣2＝1，即 m2+2m﹣3＝0，解得 m＝1 或 m＝﹣3，
＝ t ＞ ， ＞ 与 ൌ t ݊ o o t可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式； （2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份．（参考数据：lg2 ≈0.3010，lg3≈0.4711）．
21．(本题满分 12 分)
已知定义域为
的函数
f
（2）若 t 在 ，5 上单调，求 的最大值． 18 36
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广东实验中学 2020—2021 学年（上）高一级期末考试 数学
答案及说明
题号 1
23
4
5 6 78 9
10 11 12
答案 C A D C A D C B BC ABC CD BC
13.
2、 -
5 12
k , 12
12
63
2
25

广东实验中学2021—2021学年（上）高一级模块考试数 学第一部份 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.直线0x a ++=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 2.右图是水平放置的ABC ∆的直观图，''//'A B y 轴，''''A B A C =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：直观图为斜二测画法，原图090的画为045，因此原ABC ∆为直角三角形. 考点：斜二测画法. 3.给出以下命题:(1) 垂直于同一直线的两直线平行. (2) 同平行于一平面的两直线平行. (3) 同平行于一直线的两直线平行. (4) 平面内不相交的两直线平行. 其中正确的命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44.三棱锥的高为3，侧．棱长均相等且为 ）A ．274 B ．94C D【答案】D 【解析】试题分析：由题意知为正三棱锥，高为3，侧棱长为3，因此该三棱锥的体积为211393333344V Sh ==⨯⨯⨯=.考点：空间几何体的体积、空间想象能力. 5.给岀四个命题：(1) 假设一个角的两边别离平行于另一个角的两边，那么这两个角相等； (2) ， 为两个不同平面，直线a ，直线b ，且a ∥ ，b ∥ , 那么 ∥ ; (3) ， 为两个不同平面，直线m ⊥，m ⊥ 那么 ∥ ;(4)， 为两个不同平面，直线m ∥ ，m ∥ , 那么 ∥ .其中正确的选项是（ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为 （ ）A ．30B ．45C ．60D ．90 【答案】C 【解析】试题分析： 如图，连接1A B 、DB ，异面直线1A D 与1D C 所成的角即为1BA D ∠，由正方体可知11A B DB A D ==，因此 0160BA D ∠=.考点：异面直线所成的角.7.直线20x y m ++=和20x y n ++=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确信8.如右图将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与CD 所成的角为60°；④AB 与平面BCD 所成的角为60°． 其中错误．．的结论是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 考点：直线与平面的位置关系、空间想象能力.二、填空题：本大题共4小题，每题6分，共24分．9.过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线方程是 . 【答案】052=-+y x 【解析】试题分析：与直线210x y +-=平行的直线方程可设为20x y λ++=，把点（1，2）代入，求得5λ=-，因此直线方程为052=-+y x . 考点：直线方程、两直线的位置关系.10.已知直线,a b 和平面α，且,a b a α⊥⊥，那么b 与α的位置关系是 .12.如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水假设放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，那么Rr=____________.【答案】3:2 【解析】试题分析：由题知半径为r 的实心铁球的体积和水面上升的体积相等，即3243r R rππ=⨯，因此3R r=. 考点：空间几何体的体积.三、解答题：本大题共3小题，每项小题12分，共36分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．13.如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 别离是AB 和CB 上的点，,G H 别离是CD 和AD 上的点，且1,2AE CF AH CGEB FB HD GD== ==，求证：,,EH BD FG 三条直线相交于同一点. 14.求通过点(2,2)A -而且和x 轴的正半轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程. 【答案】直线方程为:220l x y +-= 【解析】试题分析：先依照已知设直线方程为:2(2)l y k x -=+，又因为122)1,(22)(12k S k k ∆+=+-=所以，解得：2k =-（舍去），12k =-，因此直线方程为:220l x y +-=.试题解析：因为直线的斜率存在，因此设直线方程为:2(2)l y k x -=+， 即22y kx k =++ ……………………………2分 令220,22,0,k x y k y x k+==+==-得令得 ……………………………6分 由22220,010k k k k++>->-<<，得： ……………………………8分 因为122)1,(22)(12k S k k∆+=+-=所以，解得：12,2k k =-=-…………10分因为110,2k -<<所以，k=-……………………………11分 因此直线方程为:220l x y +-= ……………………………12分 考点：直线方程、三角形面积公式.15.如图,已知点M 、N 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两棱A 1A 与A 1B 1的中点，P 是正方形ABCD 的中心， （1)求证：//MN 平面1PB C . （2)求证：1D B ⊥平面1PB C【答案】（1)（2)证明进程详见试题解析.因为M N 、为中点，因此1//MN ABN MB 1C 1A 1DABCD 1P因为1111,,//MN PB C AB PB C MN PB C ⊄⊂面面所以 ……………………5分 第二部份 能力检测(共50分)四、选择题：本大题共2小题，每题5分，共10分． 16.假设直线a 不平行于平面α，那么以下结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线都与直线a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内的直线都与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点 【答案】D 【解析】试题分析：直线a 不平行于平面α,那么a 与平面α相交或a α⊂，因此D 正确. 考点：直线与平面的位置关系.17.如图，正四面体ABCD 的极点,,A B C 别离在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上，那么在以下命题中，错误的为（ ）A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线//OB 平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45︒D ．二面角D OB A --为45︒五、解答题：本大题共3小题，共40分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．18.(本小题总分值13分)已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 别离是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. 求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 和PBC 的面积.【答案】四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6，PBC 的面积为3. 【解析】试题分析：由题知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ，过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，那么F 为AB 中点，连接PF ，别离求出AB PF 、的长即可求出侧面PAB 的面积；依题意得32PC BC ==,，即可求出PBC 的面积.19.（本小题总分值13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为︒45？【答案】（1）证明进程详见试题解析；（2）2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为45︒． 【解析】试题分析：（1）要证11D E A D⊥，先证明1A D ⊥面1AD B，而1D E ⊂面1AD B，因此11D E A D⊥；（2）由题意可证1DFD ∠为二面角1D EC D--的平面角，再依照112DEC S DC BC ∆==列方程，可解得2AE =.试题解析：故2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为45︒．………………………… 13分 考点：空间直线与平面的位置关系、二面角的求法. 20．如图，棱柱111C B A ABC -中，四边形B B AA 11是菱形，四边形11B BCC 是矩形，60,2,1,1=∠==⊥AB A AB CB BC AB .（1）求证：平面111ABB A B CA 平面⊥； （2）求点1C 到平面CB A 1的距离；（3） 求直线C A 1与平面11B BCC 所成角的正切值.试题解析：（1）111111CB ABCB A ABB CB BB ABB CB CA B AB BB B ⊥⎫⊥⎫⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭11面面CA B 面A 面……………4分（2）解：11111111////B C BCB C A BC B C BC A BC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭面面面1A BC ，因此点11,C B 到面1A CB 的距离相等，………6分设点1B 到面1A CB 的距离相等，那么11113B A CB A BC V S d -=∵160A AB ∠=︒，∴1A AB ∆为正三角形，1112,211,2A BC AB S ∴===1113B A CB V d -∴=………7分又1111111333B A CBC A B B A B B V V S BC --===………8分∴3d =，∴3d =，点1C 到平面CB A 1 ………9分 （3）解：过1A 作11A E B B ⊥，垂足为E ………10分111111A E A E BB A E A ABB ⊥⎫⎪⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⊂⎭111111111面A ABB 面BB C C面A ABB 面BB C C=BB 面面11C CBB ………12分。

2021-2022学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A=(−∞,1)，B=(−1,3)，它们的关系如图(Venn图)所示，则阴影部分表示的集合为()A. {x|−1≤x<3}B. {x|−1<x<3}C. {x|1≤x<3}D. {x|1<x<3}2.tan240°=()A. −√33B. √33C. −√3D. √33.关于三个数(−2)3，2sin2，ln10的大小，下面结论正确的是()A. 2sin2<ln10<(−2)3B. 2sin2<(−2)3<ln10C. (−2)3<ln10<2sin2D. (−2)3<2sin2<ln104.函数y=|x|x+x的图象是()A. B. C. D.5.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A. y=e xB. y=ln2+x2−xC. y=−x3−xD. y=tanx6.若tan(α+π4)=5，则3sinα−cosαsinα+3cosα值为()A. 111B. 311C. −311D. 77.在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座.已知A为锐角△ABC的内角，满足sinA−2cosA+tanA=1，则A∈()A. (0,π6) B. (π6,π4) C. (π4,π3) D. (π3,π2)8.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)且tanα=1+sinβcosβ，则()A. 2α−β=0B. 2α+β=π2C. 2α+β=0 D. 2α−β=π2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列运算中，结果是1的是()A. sin(3π2) B. tan5π4√3−tan15°1+√3tan15∘D. 4sin165°sin75°10.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是()A. y1=1xB. y2=0.4xC. y1+y2有最小值4D. y1−y2无最小值11.关于函数f(x)=sin(4x+7π3 )sin(2x+2π3)，下列判断正确的是()A. f(x)的图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)B. 函数f(x)的最小正周期为πC. f(x)在(−π3,π8)上存在单调递减区间D. f(x)有最大值2和最小值−212.已知f(x)是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，函数g(x)=f(x)+1x，f(1)=−1.当x2>x1>0时，x1x2f(x1)−x1>x1x2f(x2)−x2恒成立，则()A. f(3)+f(−2)<log642B. 不等式g(x)>0的解集为(−1,0)∪(0,1)C. g(x)在(0,+∞)上单调递增D. g(x)的图象与x轴有2个交点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数y=f(x)的图象过(8,2)，则f(27)=______．14.计算：tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=．15.“12<cosθ<1”是“0<θ<π3”的______条件．(请从“充分不必要”，“必要16.设函数f(x)=|ln(x+2)|−2ax−1(a∈R)，若其定义域内不存在实数x，使得f(x)≤0，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)若sinα是5x2−7x−6=0的根，求sin(α−3π2)⋅sin(3π2−α)⋅tan2(2π−α)cos(π2−α)⋅cos(π2+α)⋅sin(π+α)的值；(2)若cos2α=35，sin(β−α)=−513，且α∈[0,π2]，β∈[π,5π4]，求sin(α+β)的值．18.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)+a．(1)求函数f(x)的对称轴和单调减区间；(2)当x∈[0,5π12]时，函数y=f(x)的最大值与最小值的和为2，求a．19.给出以下四个式子：①sin28°+cos222°−sin8°cos22°；②sin215°+cos215°−sin15°cos15°；③sin216°+cos214°−sin16°cos14°；④sin2(−5)°+cos235°−sin(−5)°cos35°．(1)已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；(2)分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明．20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？21.已知f(x)=2+sinx−cos2x−(sin x2−cos x2)2．(1)若函数f(x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；(2)若ℎ(x)=g(x)−λf(x)+1在[−π2,π2]上是增函数，求实数λ的取值范围．22.已知函数f(x)=log2(x+1)．(1)若f(x)+f(x−1)>0成立，求x的取值范围；(2)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=−g(x)，且当0≤x≤1时，g(x)=f(x)，求g(x)在[−3,−1]的解析式，并写出g(x)在[−3,3]的单调区间(不必证明)．(3)对于(2)中的g(x)，若关于x的不等式g(t−2x8+2x+3)≥g(−12)在R上恒成立，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由图可得阴影部分表示的是B∩(∁U A)，而由已知可得∁U A=[1,+∞)，所以B∩(∁U A)=[1,3)，故选：C．由图可得阴影部分表示的是B∩(∁U A)，然后求出集合A的补集，再根据交集的定义即可求解．本题考查了集合的运算关系，涉及到韦恩图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=√3故选：D．利用诱导公式tan(π+α)=tanα，将所求三角值转化为特殊角三角函数值，求值即可本题考查了诱导公式的运用，特殊角三角函数值，熟练的运用诱导公式转化三角函数值是解决本题的关键3.【答案】D=2，ln10>ln9>lne2=2，【解析】解：(−2)3=−8，0<2sin2<2sinπ2∴(−2)3<2sin2<ln10．故选：D．根据每个数与0，2的大小关系即可判断．本题考查了不等式的大小比较，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：函数y=|x|x +x={x+1,x>0x−1,x<0．所以函数的图象是C．故选：C．通过函数的解析式的变形，得到分段函数，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的图象的判断，分段函数的应用，是基础题．5.【答案】B【解析】解：A选项：定义域为R，f(−x)≠−f(x)；B选项：2+x2−x >0，解得−2<x<2，f(−x)=ln2+x2−x=ln12+x2−x=−f(x)，f(x)=ln(−1+42−x)，y=42−x在定义域为增函数，所以f(x)在定义域为增函数．C选项：定义域为R，是奇函数，求导y′=−3x2−1<0，即在定义域上单调递减；D选项：定义域为x≠π2+kπ2+x2−x>0，虽然f(−x)=−f(x)，但是函数在整个定义域不具有单调性；故选：B．先判断定义域，再根据奇函数的定义判断是否为奇函数，再通过求导或者分析法判断单调性．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，函数单调性的性质与判断，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为tan(α+π4)=5，所以tanα+11−tanα=5，可得tanα=23，则3sinα−cosαsinα+3cosα=3tanα−1tanα+3=3×23−123+3=311．故选：B．由已知利用两角和的正切公式可求得tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查角的取值范围的求法，考查二分法的应用、零点存在定理等基础知识，属于基础题．设f(A)=sinA−2cosA+tanA−1，由f(π4)=−√22，f(π3)=3√3−42，得f(π4)f(π3)<0，由此得到A∈(π4,π3 ).【解答】解：A为锐角△ABC的内角，满足sinA−2cosA+tanA=1，设f(A)=sinA−2cosA+tanA−1，在(0,π2)中取A=π4，得f(π4)=sinπ4−2cosπ4+tanπ4−1=−√22，在(0,π4)中取A=π6，得f(π6)=sinπ6−2cosπ6+tanπ6−1=−12，f(0)=sin0−2cos0+tan0−1=−3，f(π3)=sinπ3−2cosπ3+tanπ3−1=3√3−42，∵f(π4)f(π3)<0，∴A∈(π4,π3).故答案选：C．8.【答案】D【解析】解：因为tanα=1+sinβcosβ=sinαcosα，可得sinαcosβ−cosαsinβ=cosα，即sin(α−β)=cosα，又因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，可得α−β=π2−α，即2α−β=π2．利用同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式化简已知等式可得sin(α−β)=cosα，结合角的范围可求得α−β=π2−α，即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．9.【答案】BCD【解析】解：sin3π2=−1，不符合题意；tan5π4=tanπ4=1，符合题意；√3−tan15°1+√3tan15∘=tan60°−tan15°1+tan60∘tan15∘=tan(60°−15°)=tan45°=1，符合题意；4sin165°sin75°=4sin15°cos15°=2sin30°=1，符合题意．故选：BCD．结合诱导公式，和差角公式，二倍角公式及特殊角的三角函数值检验各选项即可判断、本题主要考查了诱导公式，和差角公式，二倍角公式在三角化解求值中的应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】【分析】依题意设y1=k1x，y2=k2x(k1≠0,k2≠0)，(x>0)，利用待定系数法求出y1和y2关于x的函数解析式，进而判断选项AB的正误，再利用基本不等式可判定选项C的正误，利用y1−y2在(0,+∞)上的单调性可判定选项D的正误．本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．【解答】解：依题意设y1=k1x，y2=k2x(k1≠0,k2≠0)，(x>0)，∵在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，∴k110=1，10k2=4，解得：k1=10，k2=0.4，∴y1=10x，y2=0.4x，(x>0)，∴y1+y2=10x +0.4x≥2√10x⋅0.4x=4，当且仅当10x=0.4x即x=5时，等号成立，所以选项B，C正确，选项A错误，∵y1−y2=10x−0.4x在(0,+∞)上单调递减，∴y1−y2无最小值，选项D正确，故选：BCD．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=sin(4x+7π3)sin(2x+2π3)=sin(4x+π3)sin(2x+2π3)=2sin(2x+π6)cos(2x+π6)sin(2x+2π3)=2sin(2x+π6)且sin(2x+2π3)≠0，对于A：令2x+π6=kπ，可得x=12kπ−π12，∴f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)(k∈Z)，正确；对于B，函数f(x)的最小正周期为2π2=π，正确；对于C：令π2≤2x+π6≤3π2，可得π6≤x≤2π3，∴f(x)在(−π3,π8)上不存在单调递减区间，错误；对于D：f(x)=2sin(2x+π6)存在最大值和不存在最小值，错误；故选：AB．利用三角函数公式化简，结合函数的性质即可判断．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．12.【答案】AD【解析】解：因为当x2>x1>0时，x1x2f(x1)−x1>x1x2f(x2)−x2恒成立，即f(x1)−1x2>f(x2)−1x1恒成立，所以f(x1)+1x1>f(x2)+1x2在x2>x1>0时恒成立，即g(x)=f(x)+1x在(0,+∞)上单调递减，C错误；得g(x)也为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，且g(1)=f(1)+1=0，所以g(−1)=−g(1)=0，g(x)的图形与x轴有2个交点，D正确；由g(3)<g(2)得f(3)+13<f(2)+12，所以f(3)+f(−2)=f(3)−f(2)<16=log642，A正确；由g(x)在(0,+∞)上单调递减且g(x)为奇函数，g(1)=g(−1)=0，则g(x)>0得x<−1或0<x<1，B错误．故选：AD．f(x1)+1x1>f(x2)+1x2在x2>x1>0时恒成立，然后结合单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．本题考查了函数单调性，奇偶性的定义及性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：由题意令y=f(x)=x a，由于图象过点(8,2)，得2=8a，a=13∴y=f(x)=x13∴f(27)=2713=3．故答案为：3．先由幂函数的定义设f(x)=x a，代入点的坐标，求出a得出幂函数的解析式，再求f(27)的值．本题考查幂函数的单调性、幂函数的概念、解析式、定义域、值域等基本知识，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．14.【答案】−√3【解析】【分析】本题考查两角和与差的正切函数，逆用两角和的正切是解决问题的关键，考查分析转化与运算能力，属于中档题．逆用两角和的正切tan20°+tan40°=tan(20°+40°)(1−tan20°⋅tan40°)，代入所求关系式即可．【解答】解：∵tan20°+tan40°=tan(20°+40°)(1−tan20°⋅tan40°)，∴tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=tan(20°+40°)(1−tan20°⋅tan40°)+tan120°tan20°tan40°=√3−√3tan20°tan40°+tan120°tan20°tan40°=√3−√3tan20°tan40°−√3 tan20°tan40°=−√3．故答案为：−√3．15.【答案】必要不充分【解析】解：因为12<cosθ<1，则θ∈(2kπ,2kπ+π3)∪(2kπ−π3,2kπ),k∈Z，当k=0时，θ∈(0,π3)∪(−π3,0)，所以“12<cosθ<1”是“0<θ<π3”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．先求出不等式12<cosθ<1的解集，然后根据四个条件的定义即可判断．本题考查了四个条件的应用，涉及到求解三角不等式的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】[−12,0]【解析】【分析】本题考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键，属于中档题．由题意，对定义域内任意实数x，使得f(x)>0恒成立，由此进行讨论分析可求a的取值范围．【解答】解：由题意，其定义域内任意实数x ，使得f(x)>0，f(x)=|ln(x +2)|−2ax−1，解析式要有意义，则有{x >−2ax −1≠0，①当a =0时，f(x)=|ln(x +2)|+2，定义域为(−2,+∞)，满足f(x)>0恒成立； ②当a =−12时，f(x)=|ln(x +2)|+4x+2，定义域为(−2,+∞)，满足f(x)>0恒成立； ③当a <0时，有−2ax−1>0在(−2,+∞)上恒成立，所以{a <0−2a −1<0，解得−12<a <0；④当a >0时，在x >1a 时，有f(x)<0，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[−12,0]． 故答案为：[−12,0]．17.【答案】解：(1)∵sinα是方程5x 2−7x −6=0的根，∴sinα=−35或sinα=2(舍)．∴原式=cosα⋅(−cosα)⋅tan 2αsinα⋅(−sinα)⋅(−sinα)=−1sinα=53． (2)因为α∈[0,π2]，所以2α∈[0,π]， 又因为cos2α=35，所以sin2α=45， 因为α∈[0,π2]，β∈[π,5π4]，可得π2≤β−α≤5π4，又sin(β−α)=−513，可得cos(β−α)=−1213，而sin(α+β)=sin[2α+(β−α)]=sin2αcos(β−α)+cos2αsin(β−α)=45×(−1213)+35×(−513)=−6365．【解析】(1)把sinα代入到方程中解出即可求出sinα的值，然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简即可求出值．(2)通过角的范围及已知的三角函数值求出sin2α和cos(β−α)，再运用正弦的两角差的公式计算即可．此题要求学生灵活运用诱导公式，两角和的正弦公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式．18.【答案】解：(1)f(x)=cosx(√3sinx−cosx)+a=√32sin2x−1+cos2x2+a=sin(2x−π6)+a−12，由2x−π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ2+π3(k∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+π3(k∈Z)；由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z)所以函数f(x)的单调减区间为[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)；(2)x∈[0,5π12]⇒2x−π6∈[−π6,2π3]⇒sin(2x−π6)∈[−12,1]，f(x)=sin(2x−π6)+a−12∈[a−1,a+12]，由f(x)的最大值与最小值之和为2，得a−1+a+12=2，解得a=54．【解析】(1)利用三角恒等变换，化简得f(x)=sin(2x−π6)+a−12，利用正弦函数的对称性与单调性可求得函数f(x)的对称轴和单调减区间；(2)x∈[0,5π12]⇒2x−π6∈[−π6,2π3]，利用正弦函数的单调性质可求得f(x)的最大值和最小值，再根据最大值与最小值之和为2，求得a的值．本题主要考查三角恒等变换及正弦函数的图象和性质，考查转化与化归思想及运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)sin215°+cos215°−sin15°cos15°=1−12sin30°=34；(2)根据式子特点猜想：(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°−α)−sinα⋅cos(30°−α)=34．证明如下：sin2α+cos2(30°−α)−sinαcos(30°−α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2−sinα(cos30°⋅cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+√32sinαcosα+14sin2α−√32sinαcosα−12sin2α=34sin2α+34cos2α=34．【解析】(1)选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解．(2)发现推广三角恒等式为sin2α+cos2(30°−α)−sinαcos(30°−α)=34，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．20.【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′√x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5√x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.5√20−x(0≤x≤20)，令t=√20−x(0≤t≤√20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21.【答案】解：(1)f(x)=2+sinx−cos2x−(sin x2−cos x2)2=2+sinx−cos2x−(1−2sin12xcos12x)=2+sinx−cos2x−1+sinx=sin2x+2sinx，设f(x)的图象上任一点A(x0,y0)关于原点对称的点B(x,y)，则−x=x0，−y0=y，因为A在y=f(x)上，所以−y=sin2(−x)+2sin(−x)=sin2x−2sinx，所以y=−sin2x+2sinx，即g(x)=−sin2x+2sinx；(2)ℎ(x)=g(x)−λf(x)+1=−(1+λ)sin2x+2(1−λ)sinx+1，令t=sinx(−1≤t≤1)，则ℎ(t)=−(1+λ)t2+2(1−λ)t+1(−1≤t≤1)，当λ=−1时，ℎ(t)=4t+1在[−1,1]上单调递增，符合题意；当λ≠−1时，对称轴t=1−λ1+λ，若λ<−1，则t=1−λ1+λ≤−1，此时λ<−1，若λ>−1，则t=1−λ1+λ≥1，此时−1<λ≤0，综上，λ的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)利用同角平方关系及二倍角公式对已知函数进行化解变形，然后结合对称性可求函数g(x)的解析式；(2)线求出g(x)的解析式，然后利用换元法后转化为二次函数的单调性对对称轴进行分类讨论可求．本题主要考查了利用对称性求解函数解析式，还考查了三角公式的应用，换元法的应用及二次函数单调性的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=log2(x+1)∴f(x−1)=log2x，∴f(x)+f(x−1)=log2(x+1)+log2x=log2[x(x+1)]，若f(x)+f(x −1)>0，则{x >0x +1>0x(x +1)>1，解得：x ∈(√5−12,+∞)，即x 的取值范围为(√5−12,+∞)；( 2 )∵函数g(x)为定义在R 上的奇函数， 故g(0)=0， 又∵当0⩽x ⩽1时， g(x)=f(x)=log 2(x +1)． 当x ∈[−2,−1]时，x +2∈[0,1]， ∴g(x)=−g(x +2)=−log 2(x +3)．当x ∈[−3,−2]时，x +2∈[−1,0]，−(x +2)∈[0,1]，∴g(x)=−g(x +2)=g[−(x +2)]=log 2[−(x +2)+1]=log 2(−x −1)， 故g(x)={log 2(−x −1),x ∈[−3,−2]−log 2(x +3),x ∈[−2,−1]，g(x)在[−3,−1]和[1,3]上递减，在[−1,1]上递增； (3)记u =t−2x8+2x+3=−18+t+18+2x+3， 当t +1⩾0时，u ∈(−18,−18+t+18)=(−18,t8)，由g(t−2x 8+2x+3)⩾g(−12)在R 上恒成立可得： (−18,t8)∈[−12,52]，解得：t ∈[−1,20]． 当t +1<0时，u ∈(−18+t+18,−18)=(t 8,−18)，由g(t−2x8+2x+3)⩾g(−12)在R 上恒成立可得：(t8,−18)∈[−12⋅52]，解得：t ∈[−4,−1)．综上所述实数t 的取值范围为[−4,20]．【解析】(1)由题意，列出不等式组，求得x 的范围即可，(2)利用函数为奇函数，写出g(x)的解析式，并求出单调区间即可， (3)利用换元法解不等式，并求出t 的范围即可．本题考查函数的性质及恒成立问题，考查学生的综合能力，属于难题．。

广东实验中学2020—2021学年（上）高一级期末考试化学命题：林加明左英审定：韩世瑞校对：左英本试卷共6页，满分100分，考试用时75分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

第一部分选择题（共54分）相对原子质量H=1 C=12 O=16 Na=23 N=14 Fe=56单选题（每题3分，共54分）1．分类是科学研究的重要方法，下列物质分类正确的是()A．碱性氧化物：Na2O、Fe2O3、Na2O2B．同素异形体：石墨、C60、金刚石C．非电解质：乙醇、二氧化碳、氯气D．碱：苛性钠、纯碱、一水合氨2．下列反应的离子方程式中，书写正确的是()A．碳酸钙跟盐酸反应：2H+ + CO2－3===H2O+ CO2↑B．铁粉跟稀盐酸反应制备氢气：2Fe+ 6H+===2Fe3+ + 3H2↑C．向双氧水中加入酸性高锰酸钾溶液：5H2O2+2MnO4-=2Mn2++5O2↑+6OH-+2H2OD．钠和冷水反应：2Na+ 2H2O＝2Na+ + 2OH-+ H2↑3．下列能在溶液中大量共存的离子组是()A．Na+、H+、ClO－、Fe2+B．K+、NH4+、NO3－、OH－C．K+、HCO3－、SO42－、OH－D．Al3+、Mg2+、Cl-、SO42-4．一定条件下，卤素互化物碘化砹( AtI )与Zn、NH3发生反应，化学方程式：2AtI+2Zn=ZnI2+ZnAt2、AtI+2NH3 = NH4I+AtNH2。

2020-2021学年广东省实验中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2},{2,3}A B ==，则()UA B =（ ）A ．{}1B ．{0,2,4}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,4}【答案】A 【分析】先计算UB ，再与集合A 进行交集运算即可求解.【详解】因为{0,1,2,3,4}U =，{2,3}B =， 所以{}U0,1,4B =，因为{1,2}A =， 所以(){}U1A B ⋂=，故选：A.2．全称量词命题：21,23x x x ∀≥+=的否定是（ ） A ．21,23x x x ∃<+≠ B ．21,23x x x ∃<+= C ．21,23x x x ∃≥+≠ D ．以上都不正确【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得正确答案. 【详解】命题：21,23x x x ∀≥+=的否定是21,23x x x ∃≥+≠， 故选：C.3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．12y x =与14y x = B ．xy x=与0y x =C ．y x =与yD ．2yx 与2(1)y x =+【答案】B【分析】逐一判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】12y x =与14y x =的定义域相同，但对应关系不一样；xy x=与0y x =的定义域相同，且都可化为1，是同一函数；y x =与y x ==，不是同一函数；2yx 与2(1)y x =+的定义域相同，但对应关系不一样故选：B4．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（ ） A ．32B ．3C ．12D ．4【答案】D【分析】根据幂函数解析式的特点可得k 的值，再将点()2,4代入解析式可得α的值，进而可得k α+的值.【详解】因为(1)y k x α=-是幂函数，所以11k -=可得：2k =， 因为y x α=的图象过点()2,4，所以42α=，解得：2α=， 所以4k α+=， 故选：D.5．设322555111,,225a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】C【分析】利用指数函数的单调性和性质，比较大小. 【详解】根据指数函数12xy ⎛⎫=⎪⎝⎭是单调递减函数，所以3255110122⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <， 25115c -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以a b c <<.故选：C6．函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]2,2-上的最小值为（ ） A ．14B ．34C ．1316D ．13【答案】B【分析】先令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()21g t t t =-+，再根据范围结合二次函数的性质，即可得解.【详解】解：令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则原函数等价于()21g t t t =-+，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 又二次函数g t 的对称轴为11,424t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故最小值是13=24g ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()f x 的最小值为34. 故选：B.【点睛】本题考查了指数函数的性质和二次函数的最值的求法，属于基础题. 7．若函数(42)3,1()2,1xa x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．[2,2)- B ．(2,2)-C ．[1,2)D ．(0,2]【答案】A【分析】首先求出当1≥x 时，()f x 的值域，再根据已知条件可求出1x <时()f x 的范围，得出关于a 的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】当1≥x 时，()2xf x =为单调递增函数，此时()[]2,f x ∈+∞，若函数(42)3,1()2,1xa x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ， 则当1x <时，()(42)3f x a x a =-+的值域应包含(),2-∞， 所以1x <时，()(42)3f x a x a =-+为单调递增函数，且()12f ≥，即42042+32a a a ->⎧⎨-≥⎩解得22a -≤<，所以a 的取值范围是：[2,2)-， 故选：A【点睛】思路点睛：分段函数的值域应为两段值域的并集，根据已知条件转化为1x <时()f x 的范围，根据一次函数性质可得满足条件的不等式组.8．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为2xy =，值域为{1,2,4}的同族函数有（ ）A ．3个B ．4个C ．8个D ．9个【答案】D【分析】先分析出定义域里的可能取值，然后用分步乘法原理即可解决. 【详解】由21x =, 解得0x = 由22x =, 解得1x =± 由24x =, 解得2x =± 下面分三步安排定义域：要使值域里面有1，定义域里面必须有0，有1种安排方法；要使值域里面有2，定义域里面必须有-1或1或者都有，有3种安排方法； 要使值域里面有4，定义域里面必须有-2或2或者都有，有3种安排方法； 所以共有1339⨯⨯= 种取法 故选：D.9．函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多选题10．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．1ab ≤ B 2a b ≤C ．222a b +≥D ．112a b+≥ 【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案． 【详解】解：0a >，0b >，2a b +=，22a b ab ∴+=，1ab ，即1ab ，故A 正确；2()22()4a b a b aba b +=+++=，故2a b +，故B 错误；222()2422a b a b ab +=+--=，故C 正确；1111111()()1()122222b a a b a b a b a b +=++=+++⨯=，故D 正确； 故选：ACD.11．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化､对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B ．3()f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【分析】A ．从圆的直径的角度分析问题；B ．根据sin y x =函数本身的特点进行分析；C ．举例分析；D ．分析函数3y x =与单位圆的关系，得到结论.【详解】A ．任何一个圆都有无数条直径，均可以平分圆的周长和面积，所以“优美函数”有无数个，故A 正确；B ．3y x =的图象关于原点对称，单位圆的图象也关于原点对称，所以3y x =是单位圆的“优美函数”，故B 正确；C.函数()f x 是奇函数，关于原点对称，且经过原点，若圆的圆心在原点，则()f x 与圆的交点关于圆心对称，此时()f x 是圆心在原点的无数个圆的“优美函数”，故C 正确. D ．如图所示：此时()f x 的图象平分圆的周长和面积，但是()f x 的图象不是中心对称图形，所以不是充要条件，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键理解题意，重点理解函数与圆的对称性.12．若实数x ，y 满足5544y x x y -=-，则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．1x y << B ．0y x << C ．01x y <<< D ．x y =【答案】BCD【分析】构造函数()45,()54x xf x xg x x =+=+，得出函数(),()f x g x 都是单调递增函数，结合图象，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，实数,x y 满足5544y xx y -=-，可化为4554x yx y +=+，设()45,()54x xf x xg x x =+=+，由初等函数的性质，可得(),()f x g x 都是单调递增函数， 画出函数(),()f x g x 的图象，如图所示，根据图象可知，当0x =时，()()001f g ==；当1x =时，()()119f g ==， 做一条直线y m =，当9m >时，此时1x y >>，故A 不正确； 当1m <时，此时，0y x <<，故B 正确； 当19m <<时，此时01x y <<<，故C 正确；当1m =或9m =时，此时0x y ==或9x y ==，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过等式变形，根据等式，构造函数()45,()54x x f x x g x x =+=+第二个关键是发现()()001f g ==，()()119f g ==，再根据图象，转化为数形结合分析问题.三、填空题13．已知函数24310()x x f x -++=，则函数()y f x =的定义域为_________. 【答案】[)(]2,00,5-⋃【分析】根据偶次根式非负和0次幂的底数不能为0列不等式组，即可求解.【详解】由题意可得：231000x x x ⎧-++≥⎨≠⎩即231000x x x ⎧--≤⎨≠⎩ 所以()()5200x x x ⎧-+≤⎨≠⎩解得250x x -≤≤⎧⎨≠⎩，所以函数()y f x =的定义域为[)(]2,00,5-⋃， 故答案为：[)(]2,00,5-⋃. 14．函数1()1x f x a +=+(0a >且1a ≠)的图象经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 【答案】()1,2-【分析】根据指数函数图象恒过点()0,1，再根据图象的平移变换即可求解.【详解】因为指数函数x y a =图象恒过点()0,1， 向左平移一个单位可得1x y a+=，此时恒过点()1,1-，再向上平移一个单位可得11x y a+=+，此时恒过点()1,2-，所以这个定点的坐标是()1,2-， 故答案为：()1,2-.15．已知集合{}128|xA x x R =<<∈，，{|3}1B x m x x R =+<<∈，若x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(),1-∞-【分析】先解不等式求出集合A ，再根据x A ∈是x B ∈的充分不必要的条件可得集合A 是集合B 的真子集，即可求解.【详解】{}{}{}03||128222|03xx A x x x x =<<=<<=<<，若x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈， 则集合A 是集合B 的真子集， 所以10+<m ， 解得：1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-【点睛】结论点睛：从集合的观点充分不必要条件（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．16．设()f x 是定义域在R 上的偶函数，对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，且当1[]0x ∈-，时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间[]1,3-内关于x 的方程2()(1)0f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】首先结合已知条件，判断函数的周期，由已知可得函数的周期，作出函数的图象，数形结合得答案．【详解】由()()11f x f x -=+，得()()2f x f x -=+，又()1f 是定义域在R 上的偶函数，()()()2f x f x f x ∴+=-=， 可得()f x 是周期为2的周期函数．当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴作出函数()f x 在区间[]1,3-内的图象如图，方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，即()y f x =与()21y a x =-的图象在区间[]1,3-内有4个不同交点．当()21y a x =-过()3,1时，解得14a =， 又随着a 的减小抛物线()21y a x =-的开口变大，可得若在区间[]1,3-内关于x 的方程()()210f x a x --=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦． 故答案为：10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.四、解答题 17．化简下列各式 （1）()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2）)11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）98；（2）ab. 【分析】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简.【详解】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281=⨯--⨯-10872198=---=； （2）原式()1110812232233354331127272333333a b a b ab a b a bab b a a b a b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式. 18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-. （1）求函数()f x 的解析式，并作出函数的大致的简图；(作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑)； （2）根据图象写出函数单调区间；（3）若不等式()21f x m -≥在[1,3]x ∈-上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，简图答案见解析；（2）单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-；（3）1m .【分析】（1）设0x <，则0x ->，利用()f x f x =--（）即可求出0x <时，()f x 的解析式，进而可得函数()f x 的解析式，按步骤列表描点连线即可作出函数图象； （2）根据图象上升和下降趋势即可得单调区间；（3）将原问题转化为max 21m f x ≤-（），利用单调性求出()f x 在区间[1,3]-上的最大值即可求解.【详解】（1）设0x <，则0x ->，因为f x （）是奇函数所以()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦（） 所以222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩（） ， 列表如下： x … 3- 2-1-0 1 2 3 … y…3-11-3…函数图象如图所示：（2）由图知：函数f x （）的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-（3）不等式21f x m -≥（）在1[]3x ∈-，上有解， 等价于在21m f x ≤-（）在1[]3x ∈-，有解.可得max 21m f x ≤-（）， 由（2）可知f x （）在[11-，）上单调递减，在[1]3，上单调递增， 因为()()()211211f -=---⨯-=，()233233f =-⨯=所以()max 3f x =，所以2312m ≤-=，所以1m【点睛】方法点睛：求不等式有解问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.19．目前新冠肺炎疫情肆虐全球.我国一方面要防止境外疫情输入，另一方面要逐步复工复产.某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(0m ≥)满足41kx m =-+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按816xx+来计算) （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）()163601y m m m =--≥+；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【分析】（1）根据不搞促销活动可求得2k =，可得241x m =-+，再根据题意可得利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）根据基本不等式可求得结果.【详解】（1）不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即0m =时，2x =， ∴2401k =-+，解得2k =，∴2401x m =->+， ∴()816 1.581684xy x x m x m x +=⨯-+-=+- ()163601m m m =--≥+，（2）161636371372911y m m m m =--=--+≤-=++（） 当且仅当1611m m =++，即3m =时，等号成立， 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 20．已知函数1(),(,0)21x f x a a R b b =-∈>⋅+（1）求证：不论a 为何实数()f x 总是增函数； （2）当1b =时，确定a 的值，使()f x 为奇函数. （3）当1,2a b ==时，求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）证明见详解；（2）12a =；（3）1010 【分析】（1）根据单调性的定义，作差，定号即可；（2）若函数为奇函数，则()()f x f x -=-，列方程求解即可； （3）求解()()111f f x +-=，赋值即可得结果. 【详解】（1）∵()f x 的定义域为R ，设12x x <，则()()()()()12121212221121212121x x x x x x b f x f x a a b b b b --=--+=⋅+⋅+⋅+⋅+ ∵12x x <，∴12220x x -<，()()2121210,0xxb b b ⋅+⋅+>>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以不论a 为何实数，()f x 总为增函数.（2）当1b =时，1()21xf x a =-+∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即112121x x a a--=-+++，解得：12a =..（3）当1,a b ==时，()2fx = ∵()(1)112122x f x f x ⎛⎫+-=+=-+= ∴123202010102021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题综合考查函数：利用单调性的定义证明函数的单调性，根据函数的奇偶性求解参数值，以及求解函数值的问题，属函数性质综合题.21．已知定义域为R 的函数()y f x =和()y g x =，它们分别满足条件：对mn R ∀∈，，都有()()()f m n f m f n +=+和()()()g m n g m g n +=⋅，且对0,()1x g x ∀>>. （1）求(0),(0)f g 的值；（2）证明函数()y f x =是奇函数；（3）证明0x <时，0()1g x <<，且函数()y g x =在R 上是增函数； （4）试各举出一个符合函数()y f x =和()y g x =的具体函数.【答案】（1）(0)0f =，()0g x =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）()2;()2x f x x g x ==.(只要是正比例函数和指数函数均可).【分析】（1）通过赋值，令0m n ==，求()0f 和()0g 的值；（2）通过赋值，令,==-m x n x ，结合奇函数的定义，即可证明；（3）首先判断0x <时，()01g x <<，0x R g x ∀∈>，（），方法一，利用函数单调性的定义，证明当12x x <时，()()120g x g x -< ；方法二，证明()()121g x g x <， 【详解】解：（1）令0m n ==，则00000f f f f =+⇒=（）（）（）（）00000g g g g =⋅⇒=（）（）（）（）或01g =（）， 若00g =（），则0g x =（），与条件矛盾.故0g x =（）(也可令01a b ==，，则不需要检验)（2）f x （）的定义域为R ，关于数0对称，令m x n x ==-，，则f x f x -=-（）（）.故f x （）为奇函数.（3）当0x <时，01x g x ->->，（），又0101g x g x g g x ⋅-==⇒<<（）（）（）（） 故0x R g x ∀∈>，（） 证法一：设12x x ，为R 上任意两个实数，且12x x <，则120x x -<，121g x x -<（） 121222122[1]0[]g x g x g x x x g x g x x g x -=-+-=--⋅<（）（）（）（）（）（）.故g x （）为R 上的增函数.证法二：设12x x ，为R 上任意两个实数，且12x x <，()()()()()122112221g x x x g x g x x g x g x -+⎡⎤⎣⎦==-<∴g x （）为R 上的增函数.（4）()2;()2xf x xg x ==.(只要是正比例函数和1a >的指数函数均可)【点睛】关键点点睛：本题判断奇偶性时，运用赋值法，注意结合奇函数的定义，分别赋值x -和x ，判断奇偶性，判断单调性时，需结合函数值的分布区间，经常类似变形()2211x x x x =-+，再结合已知条件和单调性的定义，证明单调性.22．已知a ，b ，c ，d 是不全为零的实数，函数2()f x bx cx d =++32()g x ax bx cx d =+++()0f x =的实根都是 [()]0g f x =的实根；反之，方程[()]0g f x =的实根都是 ()0f x =的实根．（Ⅰ）求d 的值；（Ⅱ）若0a =，求c 的取值范围；（Ⅲ）若1a =， (1)0f =，求c 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0d =；（Ⅱ）04c ≤<；（Ⅲ）1603c ≤<． 【详解】试题分析：（Ⅰ）比较方便由题意若()0f r =，则[()]0g f r =，即(0)0g d ==；（Ⅱ）关键是分析方程(())0g f x =的解的情况，()()f x x bx c =+，22(())()()g f x c bx c b x bcx c =+++，,b c 中只有一个为0时，两方程解相同，当0bc ≠时，由题意，220b x bcx c ++=无解，由此可得；（Ⅲ）由题意2(())()(()())g f x f x f x cf x c =-+，0c 符合题意，0c ≠时，方程2()()0f x cf x c -+=无实根，在240c c ∆=-<时，方程20t ct c -+=无实根，符合题意，当0∆≥时，方程20t ct c -+=有实根t =，此时要求2()f x x cx =-=无实根，综合以上分析可得c 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设r 是方程()0f x =的一个根，即()0f r =，由题设得[()]0g f r =， 于是(0)[()]0g g f r ==，即(0)0g d ==，即0d =；（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知2()f x bx cx =+，32()g ax cx x bx =++．由0a =得b ，c 是不全为零的实数，且2()()g x bx cx x bx c =+=+， 则22[()]()[()]()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++， 方程()0f x =就是()0x bx c += ①方程[()]0g f x =就是22()()0x bx c b x bcx c +++= ② （1）当0,0c b =≠时，方程①②的根都为0x =，符合题意； （2）当0,0c b ≠=时，方程①②的根都为0x =，符合题意； （3）当0,0c b ≠≠时，方程①的根都为10x =，2cx b=-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程220b x bcx c ++=的实根，由题意，方程220b x bcx c ++=无实根，故22()40bc b c ∆=-<，得04c <<． 综上所述，c 的取值范围是04c ≤<．（Ⅲ）由1a =，(1)0f =，得b c =-，2()(1)f x bx cx cx x =+=-+，2[()]()[()()]g f x f x f x cf x c =-+ ③由()0f x =可以推断出[()]0g f x =，知方程()0f x =的根一定是方程[()]0g f x =的根． 当0c时，符合题意；当0c ≠时，0b ≠，方程()0f x =的根不是方程2()()0f x cf x c -+= ④的根，因此，根据题意，方程④应无实根，那么当2()40c c --<，即04c <<时，2()()0f x cf x c -+>，符合题意；当2()40c c --≥，即0c <或4c ≥时，方程④得2()2c f x cx cx ±=-+=，即20cx cx -+= ⑤，则方程⑤应无实根，所以有2()402c c c +--⨯<且2()402c c c ---⨯<．当0c <时，只需220c --<，解得：1603c <<，矛盾，舍去；当4c ≥时，220c -+<，解得：1603c <<，因此1643c ≤<．综上所述，c 的取值范围是1603c ≤<．【解析】一元二次方程根的判别式．。

广东省实验中学2019-2020学年(上)高一级模块一､四考试数学【高一上学期期末考试】 一､选择题:(每小题5分,共60分) 1.已知集合A ={x |x 2﹣x ≤0},{|22}x B x =≤,则A ∩B =( )A. 1{|1}2x x -≤≤ B. 1{|0}2x x ≤≤C. 1{|0}2x x -≤≤ D.1{|1}2x x ≤≤ 【★答案★】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，集合B ，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合A ={x |x 2﹣x ≤0}{}|01x x =≤≤ ，1{|22}{|}2=≤=≤x B x x x ，所以A ∩B =1{|0}2x x ≤≤.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【★答案★】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.已知tan 3θ=，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 32-B.32C. 0D.23【★答案★】B 【解析】【详解】因为tan θ=3，∴()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 333.cos sin 1tan 132θθθθ---===--- 故选B ．4.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A. 2136c b a =- B. 4133c b a =+ C. 4133c b a =- D. 2136c b a =+ 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求出★答案★.【详解】13c OC OB BC OB AB ==+=+()141333OB OB OA OB OA =+-=-4133b a =-.故选C .【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象关于直线π3x =对称,它的最小正周期为π,则函数()f x 图象的一个对称中心是 （ ） A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B. π,13⎛⎫⎪⎝⎭C. 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭【★答案★】D 【解析】 【分析】 由周期求出2ω=，再由图象关于直线3x π=对称，求得6πϕ=-，得到函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,6x k k π-=π∈Z 求得212k x ππ=+，从而得到图象的一个对称中心.【详解】由2ππω=，解得2ω=，可得()()2f x Asin x ϕ=+， 再由函数图象关于直线3x π=对称，故233f Asin A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故可取6πϕ=-， 故函数()26f x Asin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令2,6x k k π-=π∈Z ， 可得,212k x k Z ππ=+∈，故函数对称中心,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.6.已知平面内一点P 及△ABC ,若PA PB PC BC ++=,则P 与△ABC 的位置关系是( ) A. P 在△ABC 外部 B. P 在线段AB 上 C. P 在线段AC 上 D. P 在线段BC 上【★答案★】B 【解析】 【分析】根据PA PB PC BC ++=，通过加减运算整理为2PA PB =-，再利用共线向量定理判断. 【详解】因为PA PB PC BC ++=， 所以PA PB PC PC PB ++=-， 所以2PA PB =-， 所以P 在线段AB 上. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加减运算和共线向量定理，属于基础题. 7.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2B. 1y lnx= C. y =2|x |D. y =cosx【★答案★】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy = 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2xy =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.8.若510cos(),cos 2,510αβα-==并且,αβαβαβ+均为锐角，且〈，则的值为（ ） A.6πB.4π C.34π D.56π 【★答案★】C 【解析】∵α、β均为锐角且α＜β， ∴ 2π-＜α-β＜0， ∵cos （α-β）=55 ， ∴sin （α-β）=255-∵cos 2α=1010，α为锐角∴sin 2α=31010， ∴cos （α+β）=cos [2α-（α-β）]=cos 2αcos （α-β）+sin 2αsin （α-β） =22-， ∵α+β∈（0，π），∴α+β= 34π． 本题选择C 选项.9.下列给出的关系式中正确的是( ) A. ()()a b c a b c +⋅=+B. 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC. a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a | D. (a b a b +)•(a b a b -)=0【★答案★】D 【解析】 【分析】A. 根据数量积的运算律判断.B. 取0b =判断.C. 根据a ∥b 时，夹角为0或180判断.D. 由数量积的运算判断.【详解】A. 由数量积的运算律得()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ，故A 错误. B. 当0b =时，不成立.故B 错误.C. 当a ∥b 时，夹角为0或180，所以a 在b 上的投影为±a 故C 错误.D. 由数量积的运算得(a b a b +)•(a b a b -)=220⎛⎫⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b a b ，故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算律，投影及基本运算，属于基础题.10.幂函数y ax =，当a 取不同的正数时，在区间[]01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点()()A 10B 01，，，，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y y abx x 、==的图像三等分，即有BM MN NA ==，那么1a b-=（ ）A. 0B. 1C.12D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】先根据题意结合图形分别确定M N 、的坐标，然后分别代入y y a bx x 、==中求得b a 、的值，最后再求出1a b-的值，即可得出★答案★． 【详解】因为BM MN NA ==，点()()A 10B 01，，，，所以1221M N 3333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，分别代入y y abx x 、==中，213312log b log 33a ==， 所以2313111log 023log 3a b -=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力，是基础题． 11.将函数()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线g (x )=x ﹣1的所有交点从左到右依次记为A 1,A 2,A 3,A n …,若P 点坐标为(0,1),则12n PA PA PA +++=( )A. 52B. 32C. 2D. 0【★答案★】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5，根据()31,0A 为()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点，得到15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称，再用中点坐标公式得到1234535+=+++PA PA PA PA PA PA 求解.【详解】在同一坐标系中作出()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭和g (x )=x ﹣1的图象，如图所示：所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3， A 4，A 5， 因为()31,0A 是()42f x cos x π⎛⎫=⎪⎝⎭的一个对称点， 所以15,A A 关于()31,0A 对称，24,A A 关于()31,0A 对称， 所以1532432,2==++PA PA PA PA PA PA ， 所以1234535+=+++PA PA PA PA PA PA ， 因为()331,1,2=-=PA PA ，所以1252+++=n PA PA PA .故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和平面向量的运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是( ) 下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】D 【解析】 【分析】①分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况从内到外，利用()1,0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩求值判断.②分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用奇偶性定义判断.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =判断.④分x Q ∈，R x C Q ∈两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断. 【详解】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当Rx C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确. ④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当 R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构成以233为边长的等边三角形，故正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.二､填空题:(每小题5分,共20分)13.已知向量a =(﹣2,3),b =(x ,1),若a ⊥b ,则实数x 的值是_____. 【★答案★】32【解析】【分析】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)，根据a ⊥b ，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】已知向量a =(﹣2，3)，b =(x ，1)， 因为a ⊥b ， 所以230x -⨯+=解得32x =故★答案★为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14.计算102554(1)2100.25log log π-++++=_____.【★答案★】72【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解. 【详解】102554(1)2100.25π-++++log log ，551211000.1254=+++log log ，511252=++log 171222=++=. 故★答案★为：72【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.已知12,1(){32,1x x f x x x -≥=-< ，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为______________． 【★答案★】1 【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且11()22f =-，所以不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于211cos sin 42θλθ+-≥对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设sin ,[0,1]t t θ=∈ ，则2104t t λ--≤ ，当0t =时，R λ∈ ；当(0,1]t ∈ 时max 133(),444t t λλλ≥-=∴≥的最小值为1. 16.如图所示,矩形ABCD 的边AB =2,AD =1,以点C 为圆心,CB 为半径的圆与CD 交于点E ,若点P 是圆弧EB (含端点B ､E )上的一点,则PA PB ⋅的取值范围是_____.【★答案★】222,0⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，再利用数量积的坐标运算得222θθ⋅=++PA PB cos sin 2224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin ，然后利用三角函数的性质求解. 【详解】如图所示：以点C 为原点，以直线EC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:A (﹣2，﹣1)，B (0，﹣1)，设P (cos θ，sin θ)，(32ππθ≤≤)， ∴()2,1PA cos sin θθ=----，(),1PB cos sin θθ=---，∴2222224PA PB cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭，∵32ππθ≤≤， ∴57444πππθ≤+≤， ∴2142sin πθ⎛⎫-≤+≤- ⎪⎝⎭， ∴2220PA PB -≤⋅≤，∴PA PB ⋅的取值范围是222,0⎡⎤-⎣⎦. 故★答案★为：222,0⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三､解答题:(共70分)17.已知非零向量,a b 满足1a =,且()()34a b a b +⋅-=. (1)求b ;(2)当14a b ⋅=-时,求2a b +和向量a 与2a b +的夹角θ的值. 【★答案★】(1)12b =;(2)1，3πθ=.【解析】 【分析】(1) 根据()()34a b a b +⋅-=，得到2234a b -=，再将1a =代入求解.(2)利用求向量模的公式2222||44||+=+⋅+a b a a b b 求解2a b +;利用向量的夹角公式()22θ⋅+=+a a b cos a a b，求θ的值.【详解】(1)∵1a =，且()()34a b a b +⋅-=， ∴2234a b -=，则231||4b -=， ∴12b =; (2)222112||44||144144a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，∴21a b +=;∴()2112221411122a a b a a b cos a a bθ⎛⎫+⨯- ⎪⋅++⋅⎝⎭====⨯+， ∵0≤θ≤π， ∴3πθ=.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合. 【★答案★】(1)最小正周期T =π, 单调递减区间为[8k ππ+,58k ππ+],(k ∈Z ).(2)最大值为2, x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+,k ∈Z }.【解析】 【分析】(1)将()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角和与差的正弦公式转化为：()2f x =sin (2x 4π+)，再利用正弦函数的性质求解.(2)利用正弦函数的性质，当 2242x k πππ+=+，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值求解.【详解】(1)∵函数()2214f x sin x cosx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=22(sinxcos4π+cosxsin 4π)cosx ﹣1 =2sinxcosx +2cos 2x ﹣1 =sin 2x +cos 2x2=sin (2x 4π+)，∴函数f (x )的最小正周期T 22π==π， 由2π+2k 32242x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ， 解得函数f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+]，(k ∈Z ). (2)∵f (x )224sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数f (x )的最大值为2， 取得最大值时x 的取值集合满足:2242x k πππ+=+，k ∈Z .解得x 8k ππ=+，k ∈Z .∴函数f (x )取得最大值时x 的取值集合为:{x |x 8k ππ=+，k ∈Z }.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【★答案★】(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【解析】 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解.(2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴.(3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()2113322ωωωωωω=+-=+-f x sin x sin x cos x sin x sin xcos x ， 31222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=.【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 20.已知幂函数221()(1)m f x m m x--=--在(0,)+∞上单调递增，又函数()22xxmg x =+. （1）求实数m 的值，并说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【★答案★】（1）见解析；（2）1t ≤ 【解析】 【分析】（1）由f （x ）是幂函数，得到m 2﹣m ﹣1＝1，再由f （x ）在（0，+∞）上单调递增，得到﹣2m ﹣1＞0，从而求出m ＝﹣1，进而g （x ）122xx=-，由此能求出函数g （x ）在R 上单调递增； （2）由g （﹣x ）＝2﹣x 12x --=-（122xx-）＝﹣g （x ），得到g （x ）是奇函数，从而不等式g （1﹣3t ）+g （1+t ）≥0可变为g （1﹣3t ）≥﹣g （1+t ）＝g （﹣1﹣t ），由此能求出实数t 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以210m -->，即12m <-， 即1m =-，则()122xx g x =-， 因为2xy =与12xy =-均在R 上单调递增， 所以函数()g x 在R 上单调递增. （2）因为()()112222xx x x g x g x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以()g x 是奇函数，所以不等式()()1310g t g t -++≥可变为()()()1311g t g t g t -≥-+=--， 由（1）知()g x 在R 上单调递增，所以131t t -≥--， 解得1t ≤.【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图一块长方形区域ABCD ,AD =2(km ),AB =1(km ).在边AD 的中点O 处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF 始终为4π,设∠AOE =α,探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .(1)当0≤α2π<时,写出S 关于α的函数表达式; (2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE 自OA 转到OC ,再回到OA ,称“一个来回”,忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB 边上有一点G ,且∠AOG 6π=,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.【★答案★】(1),S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩(2)2分钟 【解析】 【分析】(1) 根据AD =2，AB =1，0≤α2π<，确定点E ，F 的位置，分0≤α4π≤，4π<α2π<，两种情况，利用三角形面积公式求解.(2)先得到“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=，其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=，再利用角度关系求解. 【详解】如图所示：(1)过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足. ①当0≤α4π≤时，E 边AB 上，F 在线段BH 上(如图①)，此时，AE =tan α，FH =tan (4π-α)， ∴S =S 正方形OABH ﹣S △OAE ﹣S △OHF =112-tan α12-tan (4π-α).②当4π<α2π<时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上(如图②)，此时，EH 1tan α=，FH 134tan πα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得EF 1134tan tan παα=+⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴S =S △OEF 12=(1134tan tan παα+⎛⎫- ⎪⎝⎭).综上所述，S 11102244111()32424tan tan tan tan ππαααππαπαα⎧⎛⎫⎛⎫---≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪ ⎪+<<⎪⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ (2)在“一个来回”中，OE 共转了23342ππ⨯=， 其中点G 被照到时，共转了263ππ⨯=∴在“一个来回”中，点G 被照到的时间为9332ππ⨯=2(分钟).【点睛】本题主要考查了三角函数再平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.对数函数g （x ）=1og a x （a ＞0，a ≠1）和指数函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）互为反函数．已知函数f （x ）=3x ，其反函数为y=g （x ）．（Ⅰ）若函数g （kx 2+2x+1）的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若0＜x 1＜x 2且|g （x 1）|=|g （x 2）|，求4x 1+x 2的最小值；（Ⅲ）定义在I 上的函数F （x ），如果满足：对任意x ∈I ，总存在常数M ＞0，都有-M ≤F （x ）≤M 成立，则称函数F （x ）是I 上的有界函数，其中M 为函数F （x ）的上界．若函数h （x ）=()()1mf x 1mf x -+，当m ≠0时，探求函数h （x ）在x ∈[0，1]上是否存在上界M ，若存在，求出M 的取值范围，若不存在，请说明理由．【★答案★】（Ⅰ）k ＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）因为g （x ）=1og a x 与f （x ）=3x ，互为反函数，所以a=3，得g （kx 2+2x+1）= log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ，所以kx 2+2x+1＞0恒成立，可求解k 的范围；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|，分析化简得x 1x 2=1，4x 1+x 2=4x 1+11x ，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，分m ＞0和m ＜0分别求出h （x ）的取值范围，然后讨论其上下界.【详解】（Ⅰ）由题意得g （x ）=log 3x ，因为g （kx 2+2x+1）=log 3（kx 2+2x+1）的定义域为R ， 所以kx 2+2x+1＞0恒成立， 当k=0时不满足条件， 当k≠0时，若不等式恒成立， 则{k 044k 0>=-<，即{k 0k 1>>，解得k ＞1；（Ⅱ）由|g （x 1）|=|g （x 2）|，得|log 3x 1|=|log 3x 2|， 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜x 1＜1＜x 2，且－log 3x 1=log 3x 2， 所以log 3x 1+log 3x 2=log 3x 1x 2=0， 所以x 1x 2=1， 所以则4x 1+x 2=4x 1+11x ，0＜x 1＜1， 因为函数y=4x+1x 在（0，12）上单调递减，在（12，1）上单调递增， 所以当x 1=12时，4x 1+x 2取得最小值为4． （Ⅲ）h （x ）=xx1m 31m 3-⋅+⋅=－1+x 21m 3+⋅，（m≠0）， （i ）当m ＞0，1+m3x ＞1，则h （x ）在[0，1]上单调递减， 所以13m 13m -+≤h（x ）≤1m1m-+，①若|1m 1m -+|≥|13m 13m -+|，即m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， ②若|1m 1m -+|＜|13m 13m -+|，即m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）， （ii ）当m ＜0时， ①若－13＜m ＜0时，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，存在上界M ，M∈[13m 13m-+，+∞），②若m=－13时，h （x ）=－1+x 21133-⋅在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[2，+∞），故不存在上界．③若－1＜m ＜－13时，h （x ）在[0，log 3（－1m ））上单调递增，h （x ）在（log 3（－1m），1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，1m 1m -+]∪[13m 13m-+，+∞）故不存在上界， ④若m=－1，h （x ）=－1+x 213-在（0，1]上单调递增，h （x ）∈（－∞，－2]，故不存在上界 ⑤若m ＜－1，h （x ）在[0，1]上单调递增，h （x ）∈[1m 1m -+，13m 13m -+]，而13m 13m-+＜0，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）； 综上所述，当m ＜－1时，存在上界M ，M∈[|1m 1m-+|，+∞）， 当－1≤m≤－13时，不存在上界， 当－13＜m ＜0时，存在上界M ，M∈[13m 13m -+，+∞）， 当m∈（0，33]时，存在上界M ，M∈[|1m 1m -+|，+∞）， 当m∈（33，+∞）时，存在上界M ，M∈[|13m 13m -+|，+∞）． 【点睛】本题考查了反函数的概念，对数函数的定义域，恒成立问题与分类讨论，综合性较强，属于难题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

2020-2021学年广东省实验中学高一（上）第一次段考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={0,1，3，5，8}，集合B ={2,4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {5,8}B. {7,9}C. {0,1，3}D. {2,4，6}2. 命题“∀x ∈R ，x 2+x +1>0”的否定为( )A. ∀x ∈R ，x 2+x +1≤0B. ∃x ∈R ，x 2+x +1≤0C. ∃x ∈R ，x 2+x +1<0D. ∃x ∈R ，x 2+x +1>03. 已知函数f(x)=1x 2+2，则f(x)的值域是( )A. {y|y ≤12}B. {y|y ≥12}C. {y|0<y ≤12}D. {y|y >0}4. 已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 若函数y =f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)=f(2x)x−1的定义域是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,1)∪(1,4]D. (0,1)6. 已知不等式ax 2−5x +b >0的解集为{x|−3<x <2}，则不等式bx 2−5x +a >0的解集为( )A. {x|−13<x <12} B. {x|x <−13或x >12} C. {x|−3<x <2}D. {x|x <−3或x >2}7. 设集合A ={1,2，5}，B ={x|x 2−4x +m =0}，若A ∩B ={1}，则B =( )A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}8. 设f(x)={√x,0<x <12(x −1),x ≥1若f(a)=f(a +1)，则f(1a )=( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )A. f(x)=|x|与g(x)=√x 2B. f(x)=x +1与g(x)=x 2−1x−1C. f(x)=|x|x 与g(x)={1,x >0−1,x <0D. f(x)=√x 2−1与g(x)=√x +1⋅√x −110. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有( )A. f(0)=0B. 若f(x)在[0,+∞)上有最小值−1，则f(x)在(−∞,0]上有最大值1C. 若f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)在(−∞,−1]上为减函数D. 若x >0时，f(x)=x 2−2x ，则当x <0时，f(x)=−x 2−2x11. 对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是( )A. 若a >b ，则ac <bcB. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2C. 若c >a >b >0，则ac−a >bc−b D. 若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <012. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有( )A. 若x <0，x +1x =−[(−x)+1−x ]≤−2√(−x)⋅1−x =−2，故x <0时，x +1x 的最大值是−2B. 当x >1时，x +2x−1≥2√x ⋅2x−1，当且仅当x =2x−1取等，解得x =−1或2.又由x >1，所以取x =2，故x >1时，原式的最小值为2+22−1=4C. 由于x 2+9x 2+4=x 2+4+9x 2+4−4≥2√(x 2+4)⋅9x 2+4−4=2，故x 2+9x 2+4的最小值为2D. 当x ，y >0，且x +4y =2时，由于2=x +4y ≥2√x ⋅4y =4√xy ，∴√xy ≤12，又1x +1y ≥2√1x ⋅1y =√xy≥212=4，故当x ，y >0，且x +4y =2时，1x +1y 的最小值为4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={√2x −1−x 2,x ≥12f(x +2),x <12，则f(−3)=______． 14. 函数f(x)=2x 2−4x+5x−1(x >1)的最小值是______ ．15. 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅游者在相距80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如图信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5ℎ后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5ℎ后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是______．16.若函数f(x)={−x2+(2−a)x,x≤0(2a−1)x+a−1,x>0在R上为增函数，则a取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U=R，集合A={x|x2−2x−15<0}，集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)<0}．(1)若a=1，求∁U A和B；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．18.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19. 已知函数f(x)=ax+b x 2+1是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)求函数的解析式；(2)判断函数f(x)在(−1,1)上的单调性，并用定义证明； (3)解关于t 的不等式：f(t +12)+f(t −12)<0．20. 设函数f(x)对任意x ，y ∈R ，都有f(x +y)=f(x)+f(y)，且x >0，f(x)<0；f(1)=−2．(1)证明f(x)是奇函数； (2)证明f(x)在R 上是减函数；(3)求f(x)在区间[−3,3]上的最大值和最小值．21. 已知f(x)=ax 2+x −a ，a ∈R ．(1)若a =1，解不等式f(x)≥1；(2)若不等式f(x)>−2x2−3x+1−2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(3)若a<0，解不等式f(x)>1．22.已知幂函数f(x)=(p2−3p+3)x p2−32p−12满足f(2)<f(4)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f2(x)+mf(x)，x∈[1,9]，是否存在实数m使得g(x)的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．(3)若函数ℎ(x)=n−f(x+3)，是否存在实数a，b(a<b)，使函数ℎ(x)在[a,b]上的值域为[a,b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交、并、补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集、补集的定义，属于基础题．先求出集合A，B的补集，再由交集运算即可求出结果．【解答】解：由题意知，全集U={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0,1，3，5，8}，集合B={2,4，5，6，8}，所以∁U A={2,4，6，7，9}，∁U B={0,1，3，7，9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={7,9}，故选B．2.【答案】B【解析】解：由题意∀x∈R，x2+x+1>0，否定是∃x∈R，x2+x+1≤0故选：B．根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了根据基本初等函数求值域问题，属于基础题．根据条件知x2+2≥2，故0<1x2+2≤12，即可得函数的值域．【解答】解：∵x2+2≥2，∴0<1x2+2≤12；∴f(x)的值域是{y|0<y≤12}.4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，是基础题． “a >1”⇒“1a <1”，“1a <1”⇒“a >1或a <0”，由此能求出结果． 【解答】解：a ∈R ，则“a >1”⇒“1a <1”， “1a <1”⇒“a >1或a <0”，∴“a >1”是“1a <1”的充分非必要条件． 故选A ．5.【答案】B【解析】解：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x ≤2且x ≠1，故x ∈[0,1)， 故选：B ．根据f(2x)中的2x 和f(x)中的x 的取值范围一样得到：0≤2x ≤2，又分式中分母不能是0，即：x −1≠0，解出x 的取值范围，得到答案． 本题考查求复合函数的定义域问题．6.【答案】B【解析】解：因为ax 2−5x +b >0的解集为{x|−3<x <2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax 2−5x +b =a(x +3)(x −2)且a <0 解得a =−5，b =30．则不等式bx 2−5x +a >0变为30x 2−5x −5>0解得x <−13或x >12由不等式ax 2−5x +b >0的解集为{x|−3<x <2}得到a 、b 的值，代入到不等式中确定出不等式，求出解集即可．考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，7.【答案】C【解析】解：∵A ∩B ={1}，∴1∈B ，1−4+m =0，解得m =3， ∴B ={x|x 2−4x +3=0}={1,3}． 故选：C ．根据A ∩B ={1}可得出1∈B ，从而可得出1−4+m =0，解出m =3，然后解方程x 2−4x +3=0即可得出集合B ．本题考查了列举法和描述法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查分段函数，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 利用已知条件，求出a 的值，然后求解所求的表达式的值即可． 【解答】解：当a ∈(0,1)时，f(x)={√x,0<x <12(x −1),x ≥1, 若f(a)=f(a +1)，可得√a =2a ，解得a =14，则f(1a )=f(4)=2×(4−1)=6． 当a ∈[1,+∞)时，f(x)={√x,0<x <12(x −1),x ≥1，若f(a)=f(a +1)，可得2(a −1)=2a ，显然无解． 故选C ．【解析】 【分析】本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数． 【解答】解：对于选项A ：函数g(x)=√x 2=|x|，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数，对于选项B ：函数f(x)的定义域为R ，函数g(x)的定义域为{x|x ≠1}，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，对于选项C ：函数f(x)={1,x >0−1,x <0，两函数的定义域、值域和解析式都相同，所以它们是同一个函数，对于选项D ：函数f(x)的定义域为{x|x ≤−1或x ≥1}，函数g(x)的定义域为{x|x ≥1}，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数， 故选：AC ．10.【答案】ABD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，当x =0时，有f(0)=−f(0)，变形可得f(0)=0，A 正确，对于B ，若f(x)在[0,+∞)上有最小值−1，即x ≥0时，f(x)≥−1，则有−x ≤0，f(−x)=−f(x)≤1，即f(x)在(−∞,0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)在(−∞,−1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x <0，则−x >0，则f(−x)=(−x)2−2(−x)=x 2+2x ，则f(x)=−f(−x)=−(x 2+2x)=−x 2−2x ，D 正确， 故选：ABD ．根据题意，由奇函数的性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的奇偶性与单调性的关系，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：对于实数a、b、c，A错，c>0，不成立，B对a<b<0，因为a<0，所以a2>ab>b2成立，C对，若c>a>b>0，c−a>0，c−b>0，ac−ab−(bc−ab)=ac−bc=c(a−b)>0，故a(c−b)>b(c−a)，则ac−a >bc−b成立，D对，a>b，1a >1b，则b−aab>0，得ab<0，若a<0，b>0，1a>1b不成立，故a>0，b<0．故选：BCD．利用不等式的性质和作差法判断即可．考查了不等式的性质，作差法比较大小等，基础题．12.【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．本题考查利用基本不等式处理最值问题，理解“一正二定三相等”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．【解答】解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；对于B，当x>1时，x+2x−1=x−1+2x−1+1≥2√(x−1)⋅2x−1+1=2√2+1，当且仅当x−1=2x−1，即x=√2+1时，等号成立，即B的运算方法错误；对于C，取等号的条件是x2+4=9x2+4，即x2+4=±3，显然均不成立，即C的运算方法错误；对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为x=4y，而第二次使用基本不等式的取等条件为x =y ，两者不能同时成立，即D 的运算方法错误． 故选：BCD ．13.【答案】0【解析】解：根据题意，f(x)={√2x −1−x 2,x ≥12f(x +2),x <12， 则f(−3)=f(−1)=f(1)=√2×1−1−1=0， 故答案为：0根据题意，由函数的解析式可得f(−3)=f(−1)=f(1)，计算可得答案． 本题考查分段函数解析式的运用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.【答案】2√6【解析】解：∵x >1，∴x −1>0， ∴f(x)=2x 2−4x+5x−1=2(x−1)2+3x−1=2(x −1)+3x−1≥2√2(x −1)(3x−1)=2√6，当且仅当2(x −1)=3x−1时取等号，即x =1+√62时，函数f(x)=2x 2−4x+5x−1的最小值为2√6，故答案为：2√6． 由f(x)=2x 2−4x+5x−1=2(x−1)2+3x−1=2(x −1)+3x−1，利用基本不等式即可求出．本题考查基本不等式的应用，属于基础题．15.【答案】①②③【解析】解：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，匀速运动．而骑自行车者在3h 到4h 中停了1小时，故②正确；他们的速度一直不一样，但在4.5ℎ时骑摩托车者追上了骑直行车者，故③正确，④错误． 故答案为：①②③．利用函数的图象，判断摩托车与自行车的速度关系，判断命题的真假即可． 本题考查命题的真假的判断，函数的图象的识别与应用，是基本知识的考查．16.【答案】[1,2]【解析】 【分析】本题考查增函数的定义，一次函数及二次函数、分段函数的单调性，二次函数的对称轴． 由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到{2−a2≥0a −1≥02a −1>0，从而解该不等式组即可得出a 的取值 【解答】解：f(x)在(−∞,+∞)内是增函数，∴根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a 满足：{2−a2≥0a −1≥02a −1>0，解得1≤a ≤2， ∴a 的取值范围为[1,2]， 故答案为：[1,2]．17.【答案】解：(1)若a =1，则集合A ={x|x 2−2x −15<0}={x|−3<x <5}，∴∁U A ={x|x ≤−3或x ≥5}，若a =1，则集合B ={x|(x −2a +1)(x −a 2)<0}={x|(x −1)2<0}=⌀， (2)因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ， ①当B =⌀时，a 2=2a −1，解a =1，②当B ≠⌀时，即a ≠1时，B ={x|2a −1<x <a 2}， 又由(1)可知集合A ={x|−3<x <5}， ∴{2a −1≥−3a 2≤5，解得−1≤a ≤√5，且a ≠1，综上所求，实数a 的取值范围为：−1≤a ≤√5．【解析】(1)利用集合的基本运算即可算出结果；(2)因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意可知：y =12x 2−200x +80000(300≤x ≤600)，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为yx =12x +80000x−200，由基本不等式可得：12x +80000x−200≥2√12x ⋅80000x−200=200(元)，当且仅当12x =80000x时，即当x =400时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． (2)令f(x)=100x −(12x 2−200x +80000)=−12x 2+300x −80000=−12(x −300)2−35000， ∵300≤x ≤600，函数f(x)在区间[300,600]上单调递减，∴当x =300时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max =f(300)=−35000． 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．【解析】(1)由题意列出该单位每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求最值；(2)写出该单位获利f(x)关于x 的函数，整理后利用二次函数的单调性求最值，则答案可求．本题考查函数模型的选择及应用，考查利用基本不等式与配方法求最值，考查运算求解能力．19.【答案】解：(1)由奇函数的性质可知，f(0)=0，∴b =0，f(x)=ax1+x 2， ∵f(12)=25=12a 1+14．∴a =1，f(x)=xx 2+1；(2)函数f(x)在(−1,1)上是增函数． 证明：任取−1<x 1<x 2<1， 则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−1,1)上是增函数；(3)由f(t +12)<−f(t −12)⇒f(t +12)<f(12−t)，∴{t +12<12−t−1<t +12<1−1<t −12<1⇒{t <0−32<t <12−12<t <32⇒−12<t <0−12<t <0． 故不等式的解集为(−12,0)．【解析】(1)由奇函数的性质可知，f(0)=0，代入可求b ，然后根据f(12)=25，代入可求a ；(2)任取−1<x 1<x 2<1，然后利用作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断； (3)结合(2)的单调性即可求解不等式．本题主要考查了奇函数的性质及函数的单调性的定义在单调性的判断中的应用，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数性质的综合应用．20.【答案】证明：(1)由f(x +y)=f(x)+f(y)，得f[x +(−x)]=f(x)+f(−x)， ∴f(x)+f(−x)=f(0)．又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0． 从而有f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x)． ∴f(x)是奇函数．(2)任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f[x 1+(x 2−x 1)]=f(x 1)−[f(x 1)+f(x 2−x 1)]=−f(x 2−x 1).由x 1<x 2，∴x 2−x 1>0.∴f(x 2−x 1)<0． ∴−f(x 2−x 1)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 从而f(x)在R 上是减函数． (3)由于f(x)在R 上是减函数， 故f(x)在[−3,3]上的最大值是f(−3)， 最小值为f(3).由f(1)=−2， 得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1) =3×(−2)=−6，f(−3)=−f(3)=6． ∴最大值为6，最小值为−6．【解析】(1)先利用赋值法求出f(0)的值，欲证明f(x)是奇函数，即证明f(x)+f(−x)=0，再在题中条件中令y =−x 即得；(2)利用单调性的定义证明，任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，证明即f(x 1)>f(x 2)，即可； (3)利用(2)的结论得f(x)在[−3,3]上的最大值是f(−3)，最小值为f(3).故只要求出f(3)和f(−3)即可．本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =1，不等式f(x)≥1，即x 2+x −1≥1，即(x +2)(x −1)≥0， 解得x ≤−2或x ≥1，故不等式的解集为{x|x ≤−2或x ≥1}．(2)由题意可得(a +2)x 2+4x +a −1>0恒成立， 当a =−2时，显然不满足条件，∴{a +2>0Δ=16−4(a +2)(a −1)<0,解得a >2，故a 的范围为(2,+∞)．(3)若a <0，不等式为ax 2+x −a −1>0， 即(x −1)(x +a+1a)<0． ∵1−(−a+1a)=2a+1a，∴当−12<a <0时，1<−a+1a，不等式的解集为{x|1<x <−a+1a}；当a =−12时，1=−a+1a，不等式即(x −1)2<0，它的解集为⌀； 当a <−12时，1>−a+1a，不等式的解集为{x|−a+1a<x <1}．【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a =1，不等式即(x +2)(x −1)≥0，解此一元二次不等式求得它的解集； (2)由题意可得(a +2)x 2+4x +a −1>0恒成立，当a =−2时，显然不满足条件，故有{a +2>0Δ=16−4(a +2)(a −1)<0，由此求得a 的范围； (3)若a <0，不等式为ax 2+x −a −1>0，即(x −1)(x +a+1a)<0，再根据1和−a+1a的大小关系，求得此不等式的解集．22.【答案】解：(1)∵f(x)是幂函数，∴得p 2−3p +3=1，解得：p =1或p =2 当p =1时，f(x)=1x ，不满足f(2)<f(4)． 当p =2时，f(x)=√x ，满足f(2)<f(4)． ∴故得p =2，函数f(x)的解析式为f(x)=√x ；(2)由函数g(x)=f 2(x)+mf(x)，即g(x)=(√x)2+m √x ， 令t =√x ， ∵x ∈[1,9]， ∴t ∈[1,3]， 记k(t)=t 2+mt ， 其对称轴在t =−m2，①当−m2≤1，即m ≥−2时，则k(t)min ═k(1)=1+m =0，解得：m =−1；②当1<−m2<3时，即−6<m <−2，则k(t)min ═k(−m 2)=−m24=0，解得：m =0，不满足，舍去；③当−m2≥3时，即m ≤−6时，则k(t)min ═k(3)=3m +9=0，解得：m =−3，不满足，舍去；综上所述，存在m =−1使得g(x)的最小值为0；(3)由函数ℎ(x)=n −f(x +3)=n −√x +3在定义域内为单调递减函数， 若存在实数存在实数a ，b(a <b)，使函数ℎ(x)在[a,b]上的值域为[a,b] 则{n −√a +3=b①n −√b +3=a②两式相减：可得：√a +3−√b +3=a −b =(a +3)−(b +3)．∴√a +3+√b +3=1③将③代入②得，n =a +√b +3=a +1−√a +3 令t =√a +3， ∵a <b ， ∴0≤t <12，得：n =t 2−t −2=(t −12)2−94,−2]．故得实数n的取值范围(−94【解析】(1)根据f(x)是幂函数，可得p2−3p+3=1，求解p，再根据f(2)<f(4)可得解析式；(2)由函数g(x)=f2(x)+mf(x)，x∈[1,9]，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；(3)由函数ℎ(x)=n−f(x+3)，求解ℎ(x)的解析式，判断其单调性，根据在[a,b]上的值域为[a,b]，转化为方程有解问题求解n的取值范围．本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，掌握分类讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．。

2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．不等式x2﹣1＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∴或，解不等式组得x＞1或x＜﹣1，故选：D．4．设f（x）＝则f（17）＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（17）＝f（9）＝f（1）＝21＝2；故选：A．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。

绝密★启用前2020-2021学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥64．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9二、选择题（共4小题）.9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是210．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x＜0或x＞4}，∴A∩B＝{﹣1}．故选：A．2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．解：∵角α的终边经过点（x，﹣3），且＝，则x＝﹣4，故选：C．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥6解：命题是全称命题，则否定是：∃x0∈R，x02+2＜6，故选：C．4．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．解：由函数f（x）的图象知A＝2，T＝2×（+）＝4π，∴ω＝＝，由五点法作图可得×+φ＝π，且|φ|＜π，∴φ＝，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故选：D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x+log2x﹣m在区间（0，+∞）上为增函数，由函数f（x）在上存在零点，∴f（）＝﹣2﹣m＜0，f（8）＝8+3﹣m＞0，解得﹣＜m＜11，故函数f（x）在上存在零点时，m∈．故选：B．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．解：x2＞y2等价于|x|＞|y|，若x＝1，y＝﹣2，则x＞y，但|x|＜|y|，故选择A错误；|x|＞|y|是x2＞y2的充要条件，故选项B错误；当x＞|y|时，则有x2＞y2，但x2＞y2不能得到x＞|y|，比如x＝﹣2，y＝1，故选项C正确；当x＝1，y＝2时，，但是x2＜y2，故选项D错误．故选：C．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，∴T＝，则ω＝，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝，由题意，t＝0时，d＝0，∴0＝4sinφ+2，即sinφ＝﹣，∵＜φ＜，∴φ＝．则+2，由d＝6，得6＝4sin（）+2，∴sin（）＝1，∴，k∈Z，得t＝，k∈Z．∴当k＝0时，t取最小值为（s）．故选：D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9解：∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝80×0.8n，由80×0.8n＜20，解得，因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以n≥7，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是2解：对于A，当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，y＝2﹣x＞2，＝＝＝∈（﹣∞，0），所以A错；对于B，当x＜0时，＝﹣（）≥﹣＝﹣2，x＝﹣1时“＝“成立，所以B对；对于C，当0＜x＜1时，，而函数f（t）＝t+在（0，1）上单调递减，无最小值，所以C错；对于D，当时，0＜sin x≤1，而函数f（t）＝t+在（0，1]上单调递减，≥1，x＝时“＝“成立，所以D对；故选：BD．10．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减解：令f（x）＝；对于A，因为f（x+（﹣π））＝＝＝＝fx），所以A对；对于B，因为f（）＝＝＝＝fx），所以B对；对于C，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数f（）＝＝，函数f（）与函数y＝3cos2x+1不同，所以C错；对于D，⇒⇒f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，⊂，所以D对；故选：ABD．11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；对于B，当x＝0，y＝4时，x（y﹣3）＝0，但，x2+（y﹣3）2＝1≠0，所以B错；对于C，当a＜1，未必有，如a＝﹣1，所以不充分；反之，⇒a＞0⇒a＜1，则“a＜1”是“”的必要条件，所以C对；对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则”的否命题，￢（a＞b＞0）⇔￢（（a＞b）∧（b＞0））⇔￢（a＞b）∨￢（b＞0）⇔（a≤b）∨（b≤0），￢（）⇔，所以命题“若a＞b＞0，则”的否命题是：“若a≤b或b≤0，则”，分情况说明：①若b＝0，无意义，所以不成立，②若b＜0，取a＝b＞b，则不成立，③若a≤b，取b＞0，a＜0，则不成立，由①②③知，否命题为假，所以D对；故选：CD．12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，即f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，又由f（x+2）＝f（2﹣x），则f（﹣x）＝f（4+x），则有f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误，对于B，当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x＝，在区间[0，2]上为减函数，则其最大值为f（0）＝4，最小值为f（2）＝1，又由f（x）为偶函数，则区间[﹣2，0]上，其最大值为f（0）＝4，最小值为f（﹣2）＝f（2）＝1，又由f（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）的最大值是4，最小值是1；B正确，对于C，当x∈[2，4]，则4﹣x∈[0，2]，f（x）是周期为4的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝f（4﹣x）＝22﹣（4﹣x）＝2x+2，C错误，对于D，f（x）是偶函数且在区间[0，2]上为减函数，则f（x）在[﹣2，0]上为增函数，f（x）是周期为4的周期函数，则函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减，D正确，故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为（﹣∞，）．解：由题意得8﹣3x＞0，解得x＜，故函数的定义域是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝﹣1．解：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝sin25°cos（90°+25°）+cos（180°﹣25°）cos25°＝﹣sin25°sin25°﹣cos25°cos25°＝﹣sin225°﹣cos225°＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则∀x∈（1，2），a≤恒成立，只需a≤（）min，x∈（1，2），令g（x）＝，x∈（1，2），所以g′（x）＝＝＜0，所以g（x）在（1，2）上单调递减，所以g（x）＞g（2）＝＝﹣，所以a≤﹣，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：当x≥0时，f（x）＝﹣，∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝，∴f（x）＝，∴f（x）在R上是单调递减函数，且f（x）可化为f（x）＝﹣，且满足2f（x）＝f（﹣4x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（﹣4x）在x∈[t，t+1]恒成立，∴x+t≤﹣4x在[t，t+1]恒成立，即5x≤﹣t在[t，t+1]恒成立，∴5t+5≤﹣t，解得t≤﹣，即t的取值范围是（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．解：（1）不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3可化为x2﹣3x+2＜0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，所以该不等式的解集为（1，2）；（2）x≥1时，x﹣1≥0，所以（2x3+1）﹣（2x+x4）＝（2x3﹣2x）﹣（x4﹣1）＝2x（x2﹣1）﹣（x2﹣1）（x2+1）＝（x2﹣1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）（x﹣1）3≤0，所以2x3+1≤2x+x4．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．解：（1）∵，∴tanα＝＝＝，＝＝＝＝＝．（2）∵，，∴+β∈（，），则cos（+β）＝﹣＝﹣，﹣α∈（﹣，﹣），则﹣α∈（﹣，0），则sin（﹣α）＝﹣，则cos（α+β）＝cos[（+β）﹣（﹣α）]＝cos（+β）cos（﹣α）+sin（+β）sin （﹣α）＝×+（﹣）×＝．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．解：（1）显然f（x）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝1+a＝0，∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）为奇函数，∴a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝e x﹣2e﹣x，此时f（x）在R上单调递增，证明如下：证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝∵x1，x2∈R且x1＜x2，∴，，∴＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在R上单调递增．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由2x+＝kπ，得2x＝kπ﹣，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，），k∈Z．（2）当时，2x∈（﹣，），2x+∈（﹣，），则sin（2x+）∈（sin（﹣），sin]，即sin（2x+）∈（﹣，1]，2sin（2x+）∈（﹣1，2]，则2sin（2x+）+∈（﹣1，2+]，即函数f（x）的值域为（﹣1，2+]．（3）由f（x）≥0得2sin（2x+）+≥0，得sin（2x+）≥﹣，得2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝0时，≤x≤，当k＝1时，≤x≤π，当k＝﹣1时，﹣π≤x≤﹣，即不等式的解集为[﹣π，﹣]∪[，]∪[，π]．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．解：（Ⅰ）当0＜x＜70时，y＝100x﹣（），当x≥70时，y＝100x﹣（101x+﹣2060）﹣400＝1660﹣（x+）．∴；（Ⅱ）当0＜x＜70时，y＝﹣＝，当x＝60时，y取最大值1400万元；当x≥70时，y＝1660﹣（x+），当且仅当，即x＝80时y取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．解：（1）∵f（x）＝log2（x2+1）≥0．∴由方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3可得f（x）＝2，∴log2（x2+1）＝2，∴，∴方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3的解集为{，﹣}；（2）∵2f（x）＝x2+1，∴函数g（x）＝2f（x）+＝＝（x+）2﹣2b（x+）+b2﹣2，令t＝x+，（1≤x≤2），则t，g（x）＝h（t）＝t2﹣2bt+b2﹣2＝（t﹣b）2﹣2，t∈[2，]，①当b时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（）＝2，整理可得4b2﹣20b+9＝0，解答b＝或（舍）②当b≤2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（2）＝2，整理可得4b2﹣4b＝0，解答b＝0或4（舍）③当2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（b）＝﹣2≠2，综上，b的值为0或．。

2020-2021学年广东省佛山市高一上学期期末考试数学试卷及答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}32A x x =∈-<<Z ，{}0B x x =∈≥Z ，则A B ⋂=（）A ．{}0,1,2B ．{}2,0,1-C ．{}0D ．{}0,12．已知3cos 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么sin α=（）A ．45-B ．45C ．35-D ．353．已知实数x ，y ，则“x y >”>）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0.32a =，0.512b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（）A ．c b a<<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b a c<<5．已知a ，0x 均为实数，且函数()sin f x x x a =++，若()()004f x f x +-=，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．86．已知三个函数ay x =，xy a =，log a y x =，则（）A ．对任意的a >0，三个函数定义域都为RB ．存在a >0，三个函数值域都为RC ．对任意的a >0，三个函数都是奇函数D ．存在a >0，三个函数在其定义域上都是增函数7．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足()()12f x f x +=，且()()5332f f =+，则()4f =（）A ．16B ．8C ．4D ．28．在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯．收入首次多于不改造的累计纯．收入时，x =（）A ．18B ．19C ．20D ．21二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是（）A ．cos 0θ>B ．()cos 0πθ->C ．()cos 0πθ+>D ．cos 02πθ⎛⎫+>⎪⎝⎭10．已知函数()sin f x x =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图像关于直线2x π=对称B ．(),0π是()f x 图像的一个对称中心C ．()f x 的周期为πD ．()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减11．已知函数()y f x =是定义在[]1,1-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()()1f x x x =--C ．不等式()0f x <的解集是()0,1D ．1x ∀，[]11,1x ∈-，都有()()1212f x f x -≤12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A ．{}M x x =<0，{}N x x =>0是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：13．设幂函数()y f x =的图像过点22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()9f =______．14．已知函数()()cos f x x ωϕ=+相邻对称轴为14x π=-和234x π=，且对任意的x 都有()34f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间是______．15．已知函数()()217,03log 1,0xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩，若()02f x <，则实数0x 的取值范围是______．16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[0,36000]302(36000,144000]1025203(144000,300000]2016924(300000,420000]2531925(420000,660000]30N小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为360003%6400010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为10000010%25207480⨯-=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的N =______.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取最大值时自变量x 的集合．18．在①A B ⋂=∅，②()R A B A ⋂=ð，③A B A ⋂=这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}74B x x =-≤≤，若______，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩．（1）当2a =-时，在给定的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图像，并写出它的单调递减区间；（2）若()02f x =，求实数0x．20．已知函数()223f x ax x =++（a ∈R ）．（1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；（2）解不等式()0f x >．21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W （单位：g ）与脉搏率f 存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W 与脉搏率f 的散点图，图2画出了lg W 与lg f 的散点图．动物名体重脉搏率鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000200小狗5000120大狗3000085羊5000070表1为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：①f kW b=+②lg lg f k W b=+（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f 关于W 的函数解析式；（3）若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率．（参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈．）22．已知函数()xxf x e ae -=+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．（1）若函数()y f x =在区间()0,+∞内有零点，求a 的取值范围；（2）当4a =时，()0,x ∀∈+∞，()3xmf x em -≥+，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案1-8DCABB DCB9-12BC ACD BCDBD13．1314．72,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 15．()2,3-16．230805292017．（1）()f x 的最小正周期为22T ππ==；（2）依题意得，2232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得12x k ππ=+，k ∈Z ．所以函数()f x 取最大值时自变量x 的集合,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．18．若选择①A B ⋂=∅，则当A =∅时，即123a a -≥+，即4a ≤-时，满足题意，当4a >-时，应满足4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-≥⎩解得：5a ≥，综上知，实数a 的取值范围是：(][),45,-∞-⋃+∞.若选择②()R A B A ⋂=ð，则A 是R B ð的子集，()()R ,74,B =-∞-⋃+∞ð，当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =∅，满足题意；当4a >-时，4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨->⎩解得：5a ≥，综合得a 的取值范围是：(][),45,-∞-⋃+∞．若选择③A B A ⋂=，则A B ⊆，当123a a -≥+，即4a ≤-时，A =∅，满足题意；当当4a >-时，17234a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得：162a -≤≤；综上知，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．数学参考答案与评分标准第2页（共4页）19．（1）当2a =-时，()221,0log ,0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，图象如下图所示，由图可知()f x 的单调递减区间为(],0-∞和(]0,1.（单调区间写成(),0-∞，(0,1)均给分）（2）依题意，当00x ≤时，012ax +=，即01ax =，若0a ≥，方程无解；若0a <，得01x a=；当00x >时，2log 2x =，即20log 2x =±，解得04x =或014x =.综上所述，当0a ≥时，04x =或014x =；当0a <时，01x a =或04x =或014x =.20.（1）当1a =-时，()223f x x x =-++.()0f x >即2230x x -++>，可化为2230x x --<.方程2230x x --=的根为：11x =-，23x =所以，不等式的解为：13x -<<.因此()0f x >的解为{}13x x -<<.（2）2230ax x ++>①当0a =时，不等式化为230x +>，解得32x >-.②当0a >时，开口向上，此时412a∆=-(i)0∆<，即13a >时，方程2230ax x ++=无解，不等式解为：R .(ii)0∆=，即13a =时，方程2230ax x ++=有唯一解，3x =-，不等式解为：3x ≠-.(iii)0∆>，即103a <<时，方程2230ax x ++=有两解，1113a x a --=，2113ax a-+=，且12x x <不等式解为1x a --<或1x a-+>.③0a <时，开口向下，此时412a ∆=-，显然0∆>，方程2230ax x ++=有两解，11x a --=，21x a-+=，且12x x >.不等式解为11x a a-+-<<.综上所述，当0a <时，不等式解集为113a x a ⎧--⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭当0a =时，不等式解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭当103a <<时，不等式解集为11x x x a a ⎧--+⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或当13a <时，不等式解集为{}3x x ≠-当13a >时，不等式解集为R .21.（1）模型②lg lg f k W b =+最符合实际根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lg W 和lg f 的关系.（2）由题意知，lg 300lg 300lg 200lg 2000k bk b=+⎧⎨=+⎩因为lg 200lg 22 2.3=+≈，lg 2000lg 23 3.3=+≈，lg300lg32 2.5=+≈.解得14258k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即lg 25lg 48W f =+，所以f 关于W 的函数解析式为2518410f W -=⋅.（3）设马的体重和脉搏率为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，由题意12256W W =，()()11114481114412242125624f W W f W W -----⎛⎫=====⎪⎝⎭，因为2200f =，则150f =，即马的脉搏率为50.22．（1）解法①当0a ≥时，()0x x xf x e ae e -=+≥>，没有零点；当0a <时，函数()y f x =是增函数，则需要()10af e e=+<，解得2a e <-.此时()()()()ln ln 2ln 10a af a eae a e ----=+=-->-1>，满足零点存在定理()()()1ln 0f f a -<.因此函数()y f x =在区间()1,+∞内有一个零点综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-.解法②()y f x =的零点就是方程0x x e ae -+=的解，即0x x e ae -+=在区间()1,+∞上有解方程0x x e ae -+=变形得2x e a =-e ，当0a ≥时，方程无解，当0a <时，解为()ln 2a x -=，则()ln 12a ->，解得2a e <-，综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-（2）解法①由题意知，()43x x x m e e e m --+≥+，即()43x x xm e e e--+-≥因为4331x x e e -+-≥-=，则43xxx e m e e --≥+-，又214334x x x x xe e e e e ---=+--+，令x e t =，()1,t ∈+∞，则2221114343473724x x e e t t t -==≤-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（当且仅当32t =时等号成立），所以47m ≥，即m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.解法②由题意知，()43x x xm e e e m --+≥+，即23410x x me me m -+-≥，令x e t =，()1,t ∈+∞，即23410mt mt m -+-≥，当0m ≤时，显然不成立，因此0m >.对于函数()2341f t mt mt m =-+-，()1,t ∈+∞，()min 37124mf t f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则7104m -≥，解得47m ≥，即m m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

高一（上）期末考试数 学本试卷共4页．满分为150分。

考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只交回答题卡．一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数2x-1()log 3x 2f x =-（）的定义域是（ ）),32.(+∞A ),1()1,32.(+∞ B ),21.(+∞C ),1()1,21.(+∞ D 2．若直线012=-+ay x 与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为（ ）21.A 021.或B 0.C2.-D 3．设)(x f 是定义在R 上单调递减的奇函数，若0,0,0133221>+>+>+x x x x x x ,则（ ）0)()()(.321>++x f x f x f A 0)()()(.321=++x f x f x f B0)()()(.321<++x f x f x f C )()()(.321x f x f x f D >+4．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为（ ）242.a A 2.a B 222.a C 22.a D 5.设γβα，，为三个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，在命题“,,γβα⊂=n m 且，n m ∥”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①βγα⊂n ，∥；②βγ∥，∥n m ；③γβ⊂m n ，∥，可以填入的条件有( ).A ①②.B ②③.C ①③.D ①②③6．已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）.A 17 355.B 352.C .D 18 7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点,E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）的距离到平面点QEF P A .所成的角与平面直线PEF PQ B .的体积三棱锥QEF P C -.的面积QEF D ∆.8．如图，在三棱锥ABC P -中，︒=∠=∠=∠90APC BPC APB ，O 在ABC ∆内，︒=∠︒=∠6045OPA OPC ，，则OPB ∠的余弦值为（ ）23.A 36.B 21.C 22.D 9．已知函数22016)1(log 2016)(22016+-+++=-x x x x x f ，则关于x 的不等式4)()13(>++x f x f 的解集为（ ）),20161.(+∞-A ),31.(+∞-B ),21.(+∞-C ),41.(+∞-D 10．当的取值范围是则时，a x x a x ,log 4210<≤<（ ） )22,0.(A )1,22.(B )2,1.(C )2,2.(D 11．已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） )1,.(e A -∞),.(e B -∞),1.(e e C -)1,.(ee D -12．设1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则21x x +等于（ ） 25.A 3.B 27.C 4.D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数)0()(>+=a aa a x f x x，若121=+x x ，则=+)()(21x f x f ，并求出)20162015()20161(f f +的值. 14．如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为.15．点),(11y x M 在函数82+-=x y 的图象上，当]5,2[1∈x 时，则1111++x y 的取值范围. 16．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，32=PC ，PD=CD=2，则二面角A-PB-C 的正切值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点(3,2)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程及AOB ∆面积.18.（12分）已知一四棱锥ABCD P -的三视图如下，E 是侧棱PC 上的点.（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）若点E 为PC 的中点，O BD AC = ，求证EO ∥平面PAD ；（3）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论.19．（10分）设直线l 的方程为)(02)1(R a a y x a ∈=-+++.（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP=m（1）试确定m ，使直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为24；（2）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明你的结论.21．（12分）如图2-3-3-8，已知平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=2，︒=∠60DAB ，E 为AB 的中点，把三角形ADE 沿DE 折起至DE A 1位置，使得C A 1=4，F 是线段C A 1的中点.（1）求证：BF ∥平面DE A 1；（2）求证：平面DE A 1⊥平面DEBC ；（3）求二面角E DC A --1的正切值.22．（12分）已知函数),1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g 在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设.)()(xx g x f = （1）求b a ,的值；（2）不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程03|12|2|)12(|=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x k f 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.。