高中数学53不等式的证明531比较法知识导航学案苏教版4-5.
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5.3.1 比较法
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1.比较法一般分为两种:________________和________________.
2.作差比较法
(1)作差比较法的证明依据:________________________________.
(2)基本步骤:①作差;②合并化简;③分解因式(或配方);④与0比较大小.
3.作商比较法
(1)作商比较法的证明依据:________________________________.
(2)基本步骤:①______________;②______________;③______________;④______________. 高手笔记
1.比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,在其一般步骤中,变形是证明过程中的关键,变形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判断差的正负号或商的分子、分母的大小关系,从而进一步作出比较.
2.一般地,论证多项式结论的不等式常用作差比较法,而有关幂、指数的不等式常用作商比较法,证明对数不等式常用作差比较法,这与它们的运算性质有关.若“差”或“商”中含有参数时,可对其进行分类讨论,注意分类的标准,做到“不重不漏”.
名师解惑
如何正确使用作商法?
剖析:在作商比较两个数的大小时,不要盲目地下结论,如
a b ＜1 a ＞b 是错误的,因为这里的变形实质上是在不等式a
b ＜1两边同乘a 所得,但不等式的性质中同乘一个正数和同乘一个负数是不同的,当a ＞0时,得b ＜a,但当a ＜0时,得b ＞a,所以应该看分母的符号是否确定,如果不确定要对其正、负进行分类讨论,即不等式的证明要以不等式的性质为依据.使用两个实数具有的性质进行比较.
讲练互动
【例1】求证:a 2+b 2＞2(a-b-2).
分析:此不等式的两边为多项式结构,通常用作差比较法进行证明.
证明:∵a 2+b 2-2(a-b-2)
=a 2+b 2-2a+2b+4
=(a-1)2+(b+1)2+2＞0,
∴a 2+b 2＞2(a-b-2).
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不等号两边为多项式结构的不等式,通常用作差比较法证明,通过配方或分解因式变形,判断符号.
变式训练
1.已知a 、b 都是正数,且a≠b,求证:a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3.
证
明:a 5+b 5-(a 3b 2+a 2b 3)=(a 5-a 3b 2)+b 5-a 2b 3=a 3(a 2-b 2)-b 3(a 2-b 2)=(a 3-b 3)(a 2-b 2)=(a-b)2(a+b)(a 2+a b+b 2),
∵a、b 都是正数,∴a+b＞0,a 2+ab+b 2＞0.
∵a≠b,∴(a -b)2＞0.
∴(a -b)2(a+b)(a 2+ab+b 2)＞0,即a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3
成立.
【例2】已知a ＞b ＞c ＞0,求证:a 2a ·b 2b ·c 2c ＞a b+c ·b c+a ·c a+b .
分析:不等式的两边都是指数幂的乘积,根据指数的运算法则,可用作商比较法. 证明:b a c a c b c
b a c
b a
c b a +++∙∙∙∙222=a 2a-(b+c)·b 2b-(a+c)·c 2c-(a+b), ∵a＞b ＞c ＞0,
∴2a -b-c ＞0,2c-a-b ＜0.
∴a 2a-b-c ＞b 2a-b-c ,c 2c-a-b ＞b 2c-a-b .
∴a 2a-b-c ·b 2b-a-c ·c 2c-a-b ＞b 2a-b-c ·b 2b-a-c ·b 2c-a-b =b 0=1. ∴b a c a c b c
b a c
b a
c b a +++∙∙∙∙222＞1. ∴a 2a ·b 2b ·c 2c ＞a b+c ·b a+c ·c a+b
.
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指数幂结构的不等式一般用作商比较法证明,并运用指数的运算性质进行适当地放缩,与1比较大小.
变式训练
2.已知a ＞b ＞0,求证:a a b b ＞a b b a . 证明:a b b
a b
a b a =a a-b ·b b-a =(b a )a-b , ∵a＞b ＞0,∴
b a ＞1,a-b ＞0. ∴(b
a )a-
b ＞1. ∴a b b
a b
a b a ＞1.∴a a b b ＞a b b a 成立. 【例3】已知a≥1,求证:11--<-+a a a a .
分析:因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差法进行证明. 又∵a≥1,∴不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明.
证法一:∵(a a -+1)-(1--a a ) =11
11
-+-++a a a a =)1)(1(1
1-++++--a a a a a a ＜0, ∴a a -+1＜1--a a .
证法二:∵1
111
11-+++=---+a a a
a
a a a a =a a a a ++-+11
＜1, 又∵1--a a ＞0, ∴a a -+1＜1--a a 成立.
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对于两根式相加或相减,常用平方差公式进行分子或分母有理化变形. 变式训练
3.若a ＞0,b ＞0,求证:b a +a b ≥b a +.
证明:∵a＞0,b ＞0, ∴a b
b a
+-(a +b )=a a
b b b
a -+- =(a-b)(
b 1-a 1)=ab b a b a )
)((-- =ab b a b a 2
))((-+.
∵a＞0,b ＞0,∴b a +＞0,ab ＞0,(b a -)2≥0. ∴a b
b a
+-(b a +)≥0, 即a b
b a +≥b a +.
【例4】已知a 、b 是两正实数,试比较a n +b n 与a n-1b+ab n-1(n∈N *,n ＞1)的大小. 解:a n +b n -(a n-1b+ab n-1)=a n +b n -a n-1b-ab n-1=a n-1(a-b)-b n-1(a-b)=(a-b)(a n-1-b n-1).
①当a ＞b ＞0时,有a-b ＞0,a n-1-b n-1＞0,得(a-b)(a n-1-b n-1)＞0,即a n +b n ＞a n-1b+ab n-1. ②当b ＞a ＞0时,有a-b ＜0,a n-1-b n-1＜0,得(a-b)(a n-1-b n-1)＞0,即a n +b n ＞a n-1b+ab n-1. ③当b=a ＞0时,(a-b)(a n-1-b n-1)=0.
∴当a=b 时,a n +b n =a n-1b+ab n-1.
综上,当a≠b 时,a n +b n ＞a n-1b+ab n-1;
当a=b 时,a n +b n =a n-1b+ab n-1.
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若各因子的符号不确定时,可根据情况进行分类讨论,分类时做到“不重不漏”.变式训练
4.已知a、b∈R+,n∈N*,求证:(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1).
证明:∵(a+b)(a n+b n)-2(a n+1+b n+1)
=a n+1+ab n+ba n+b n+1-2a n+1-2b n+1
=a(b n-a n)+b(a n-b n)=(a n-b n)(b-a),
(1)当b＞a＞0时,b n>a n,b-a＞0.
∴a n-b n<0.
∴(a n-b n)(b-a)＜0.
(2)当a＞b＞0时,a n-b n＞0,b-a＜0,
∴(a n-b n)(b-a)＜0.
(3)若a=b＞0时,(a n-b n)(b-a)=0.
综上(1)(2)(3),可知对于a、b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1).。
