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高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案

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高中圆的基本概念与点圆关系 知识点与答案解析
第一节 圆的基本概念
1.圆的标准方程：222()()x a y b r （圆心(,)a b ，半径为r ）
例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径
（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2 (a ≠0)
例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.
例3 已知三点A (3，2)，B (5，–3)，C (–1，3)，以P (2，–1)为圆心作一个圆，使
A 、
B 、
C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
2.圆的一般方程：2
20x y Dx Ey F （其中2240D E F ），圆心为点)2,2(E D ——，半径2
422F E D r —
（Ⅰ）当2
240D E F 时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22
D E （Ⅱ）当2240D E F 时，方程不表示任何图形。

例1：已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k 的取值范围。

解： 方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，
∴0)83(44)2(22>+-+k k ，解得14-<>k k 或
∴当14-<>k k 或时，方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。

例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m 的值是＿＿＿。

答案：－3
例3：求经过三点A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）的圆的方程。

解：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，
A （1，－1）、
B （1,4）、
C （4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+--=++-=+-20241742F E D F E D F E D ，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2
∴所求圆的方程为023722=+--+y x y x 。

例4：若实数y x ,满足042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是__________。

解：由042422=--++y x y x ，得9)1()2(22=-++y x
∴点P(x, y)在以（－2,1）为圆心，半径r=3的圆C 上，
5)10()20(||22=-++=OC ，
∴原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为｜OC ｜＋r ＝5＋3
∴22y x +的最大值为5614)35(2+=+。

3.圆的一般方程的特点：
(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0。

②没有xy 这样的二次项。

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。

(3)与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。

4.圆的一般方程变形
如果220Ax Bxy Cy Dx Ey F 是圆，一定有（1）A=C 0；（2）B=0；（3）D2+E2-4AF>0。

反之，也成立。

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

2
22214441290244412110x y x y x y x y
例2：方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆时, m 的取值范围是（ D ）
A. 114m
B. 1m
C. 14m
D. 14m 或1m 例3：如果圆的方程为x 2+y 2+kx+2y+k 2=0，那么当圆面积最大时圆心坐标为（ ）
A.（-1，1）
B.（1，-1）
C.（-1，0）
D.（0，-1）
例4：圆0sin 2cos 222=+-+θθay ax y x 的圆心坐标为 ，半径为 .
例5：方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆。

1：求实数m 的范围。

2：求该圆半径r 的范围。

3：求圆心C 的轨迹的普通方程。

解：(1)方程表示圆的充要条件是2240D E F ，即：
4(m +3)2+4(1-4m 2)2-4(16m 4+9)>0，
解之得-71
<m <1.
(2)2
422F E D r — ，得到r 的取值范围
(3)设圆心为(x ，y )，
则
消去m 得：y =4(x -3)2-1，
∵-71
<m <1，
∴720
<x <4，
即轨迹为：y =4(x -3)2-1(720
<x <4)。

例6：已知实数y x ,满足等式9)3()4(22=++-y x ，求y x +的最值。

第二节 点与圆的关系
1.点00(,)M x y 与圆2
22()()x a y b r 的关系的判断方法 （1）220
0()()x a y b >2r ，点在圆外 （2）220
0()()x a y b =2r ，点在圆上 （3）220
0()()x a y b <2r ，点在圆内
例1：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C 求它的外接圆的方程。

解析：用待定系数法确定a b r 、、三个参数。

例2：已知圆经过点(1,1)A 和(2,2)B ,且圆心在:10l x y 上,求圆的标准方程。

解析：圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B ,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

例3：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M ---是否在这个圆上。

2.圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r 相等。

例1：求x 2+y 2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程
解析：圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1，圆心O(-2,6)，半径为1。

设圆心关于直线的对称点O'(a,b) ，OO'和直线3x-4y-5=0对称，因此有：
解得
所求圆的方程为
223226()()155x y 。

3.与圆有关的轨迹方程
方法一：代入转移求轨迹方程
的轨迹方程。

的中点求线段上运动在圆端点的端点已知线段M AB y x A B AB ,4)1(),3,4(22 如： 方法二：参数法求轨迹方程
求圆心的轨迹方程。

表示的曲线是不同的圆——方程取不同的非零实数时，当03322222 a ay ax y x a 方法三：充分利用韦达定理
如：设O 为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足OP ·OQ =0，求直线PQ 的方程。

解：曲线方程为（x+1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1。

∵直线PQ 与直线y=x+4垂直，
∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y=－x+b.
将直线y=－x+b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x+b 2－6b+1=0.
Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b+1）>0，得2－32<b<2+32。

由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162 b b
—。

y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2
162 b b —+4b. ∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，
即b 2－6b+1+4b=0.
解得b=1∈（2－32，2+32）。

∴所求的直线方程为y=－x+1。

4.圆中的最值思想
（1）形如y b m x a 的最值问题，转化为动直线斜率的问题；
（2）形如m=ax+by 的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如m=(x-a)2+(y-b)2最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。

如：已知点P （x,y ）是圆（x+2）2+y 2 =1上任意一点。

（1）求P 到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；
（2）求x-2y 的最大值和最小值；
（3）求21y x 的最大值和最小值。

解：（1）圆心C （-2,0）到到直线3x+4y+12=0的距离为： 223*(2)4*0126
534d ∴所以P 到直线距离的最大值为d+r=65+1=115,最小值为d-r=65-1=1
5。

（2）设t=x-2y,
∵直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y 2 =1有公共点 ∴圆心到直线的距离小于等于半径
（3）设2
1y k x ，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y 2 =1有公共点 ∴圆心到直线的距离小于等于半径。

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高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案

高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案

高中圆的基本概念与点圆关系 知识点与答案解析第一节 圆的基本概念1.圆的标准方程：222()()x a y b r （圆心(,)a b ，半径为r ） 例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2 (a ≠0)例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.例3 已知三点A (3，2)，B (5，–3)，C (–1，3)，以P (2，–1)为圆心作一个圆，使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2.圆的一般方程：220x y Dx Ey F （其中2240D E F ），圆心为点)2,2(E D ——，半径2422F E D r —（Ⅰ）当2240D E F 时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22D E （Ⅱ）当2240D E F 时，方程不表示任何图形。

例1：已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k 的取值范围。

解： 方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，∴0)83(44)2(22>+-+k k ，解得14-<>k k 或∴当14-<>k k 或时，方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。

例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m 的值是＿＿＿。

答案：－3例3：求经过三点A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）的圆的方程。

解：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=++-=+-20241742F E D F E D F E D ，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2∴所求圆的方程为023722=+--+y x y x 。

高二数学圆知识点

高二数学圆知识点

高二数学圆知识点一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。

它有以下性质：1. 圆心：固定点叫做圆心，用字母O表示。

2. 半径：任意一条由圆心O到圆上任意一点A的线段叫做半径，用字母r表示。

3. 直径：由圆心O的两个端点确定的经过圆心的线段叫做直径，它的长度等于半径的两倍。

4. 弦：圆上任意两点的连线叫做弦。

5. 弧：两点间的弧是连接这两点的圆上的部分。

圆上除了直径之外的弦所对应的弧叫做圆弧。

圆弧可以用弧所对应的弦的两个端点来表示，如∠AOB所表示的圆弧所对应的弦是弦AB。

6. 弧长：圆弧的长度叫做弧长，用字母L表示。

7. 圆周率：π，是一个无理数，约等于3.14159。

二、圆的元素关系1. 圆心角：圆心角是一个角，顶点是圆心，两边是从圆心到圆弧上的两条弧的切线，圆心角通常用α、β、θ等字母表示。

2. 圆心角的度数：圆心角所对的圆弧的度数等于圆心角的两倍。

3. 弧度制：圆心角所对的圆弧的弧长和半径的比值叫做弧度制，用字母θ表示。

弧度制的换算公式是：θ（弧度）= L（弧长）/ r（半径）。

4. 圆内角和定理：如果一个三角形的一个顶点在圆上，那么这个三角形的其他两个顶点的对应角的和等于180度。

5. 弧与切线的关系：从圆外一点引圆的切线，切点和该点连接圆心所得的弧是切线所对应的弧。

该弧的切线与圆半径的夹角等于90度。

6. 弧所对圆心角相等的弧：两条相交的弧所对的圆心角相等。

三、圆的重要定理1. 切线定理：如果直线与圆相切，那么切点和直线连接圆心所得的线段垂直于直线。

2. 切线与半径的关系：垂直于半径的线段是一个圆的切线。

3. 弦切角定理：一个弦与切线的夹角等于弦所对的弧所对应的圆心角。

4. 垂径定理：半径垂直于弦，当且仅当该半径平分该弦。

5. 弦长定理：如果两根弦的弦长相等，则它们所对的圆内角相等。

6. 切割定理：如果一根弦平分了另一根弦，那么它们所对的弧要么相等，要么互补。

7. 环内切线定理：过一个点只能作两条切线，当且仅当这个点在两圆的圆心连线上。

第24课 圆的基本性质

第24课 圆的基本性质


(2)由 CD＝83AB，可设 CD＝3x，AB＝8x， ∴FG＝CD＝3x. ∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x， ∴BG＝8x－3x－3x＝2x. ∵EG∥CF，∴BEEC＝BGGF＝23. ∵BE＝4，∴AC＝EC＝6，∴BC＝6＋4＝10， ∴AB＝ 102－62＝8＝8x，∴x＝1，∴AF＝3x＝3. 在 Rt△ ACF 中，∵AF＝3，AC＝6， ∴CF＝ 32＋62＝3 5， 即⊙O 的直径为 3 5.
⊙O 上的一个动点，且∠ABC＝45°.若 M，N 分别是
AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是
．
【答案】
52 2
图 24-6
题型一 点和圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在 圆内. 判断点与圆的位置关系主要是通过点到圆心的距 离与半径的比较．判断几个点是否在同一个圆上，主要是 看这几个点是否到某一点的距离都相等．
∴CCAE＝CCBA， ∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4， ∴CA＝2(负值舍去)． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ CA2＋CB2＝ 22＋42＝2 5， ∴⊙O 的半径为 5.
【类题演练 3】 (2019·株洲)如图 24-11，AB 为⊙O 的直 径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与 OB 相交于点 E，满足∠AEC＝65°，连结 AD，则∠BAD ＝______．
图 24-10
【解析】 (1)如解图，连结 OD． ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC． ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC． ∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，
︵︵ ∴AC＝CD. (2)如解图，连结 AC．
︵︵ ∵AC＝CD，∴∠CBA＝∠CAD． 又∵∠BCA＝∠ACE，∴△CBA∽△CAE，
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。