第二章 气体动理论
思考题
2-1 什么是热运动？其基本特征是什么？说明微粒做布朗运动的原因。 答：系统中物质分子运动的剧烈程度随系统温度的升高而加剧，因此，将大量分子的无规则运动叫做分子的热运动。分子热运动的基本特征是分子的永不停息地运动和频繁地相互碰撞。
由于气体分子的热运动，即从微观角度看，气体分子的无规则运动和对微粒的频繁碰撞，是微粒产生布朗运动的原因。
2-2 何谓理想气体？从微观结构来看，它与实际气体有何区别？
答： 所谓理想气体就是指比较稀薄的气体，即平均间距很大的分子集合。具体地讲，理想气体（1）分子本身线度与分子之间的平均距离相比可以忽略不计，分子看作质点；（2）除碰撞的瞬间外，分子与分子、分子与器壁间无相互作用力；（3）分子之间，分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的。
而实际气体分子之间有相互作用力，在短程斥力的作用下，实际气体分子不能当着质点来处理，应考虑到其本身体积的大小。实际气体的状态方程和实际气体的等温线和理想气体相比较也有较大的差别。
2-3 若给出一个矩形容器，设内部充有同一种气体，每一个分子的质量为m ，分子数密度为n ，由此可以导出理想气体的压强公式。若容器是一个球形的，压强公式的形式仍然是不变的。请证明之。
答：在球形容器内，分子运动的轨迹如本图中带箭头实线所示。设分子i 的速率为i v ，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞，分子碰撞器壁只改变分子运动方向，不改变速度的大小，并且，“入射角”等于“反射角”。
对分子i 来说，在每次和器壁的碰撞中，分子对器壁作用的法向冲量为2cos i mv θ。该分子每秒钟内与器壁的碰撞次数为2cos i v R θ，所以，该分子每秒内作用在器壁上的作用力为
2
2cos 2cos i i i v mv
mv R R
θθ⋅=
对于总数为N 的全部分子（分子是全同的，
每一个分子的质量均为m 。）来说，球形内壁每秒内所受到的总作用力等于
2
1
N i i m F v R ==∑
由于球形内壁的总面积为24R π，气体的体积为34
3
R π。所以，按照压强的定
义得
思考题2-3用图
211
2
3114433
3
N
N
i i i i m v v F N R p m nmv S R N R ππ=====⋅⋅⋅=∑∑ 证毕。
2-4 对汽车轮胎打气，使之达到所需要的压强。在冬天与夏天，打入轮胎内的空气质量是否相同？为什么？
答：不相同，在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些。因为夏天气温高，空气分子的平均平动能较大；冬天气温低，空气分子的平均平动能较小。根据理想气体的压强公式
k 3
2
εn p =
可知，当压强相同时，在冬天打入轮胎内的空气密度（即质量）要大一些。
2-5如何理解分子平均平动动能kT 2
3
k =ε？对于某一个分子，能否根据此
式计算它的动能？
答：kT 2
3
k =ε为大量分子的平均平动动能的统计平均值，对于一个给定的
分子，它的平动动能可能在0与∞之间的任何上一个值，故无法直接用kT
2
3
k =ε计算它的平均平动动能。
2-6 根据理想气体的温度公式，当0=T K 时，ε＝0。由此可推断，0=T K(即
－273℃)时，分子将停止运动。对此推论，你有何看法？请评判之。
答：这种看法是错误的。因为理想气体的温度公式只适用于理想气体，而在－273℃时，已经不存在理想气体了，温度公式也就不成立了，如此的推论自然也就是错误的。事实上，即使达到－273℃，分子也还在作微小的振动，运动仍不会停止。
2-7 如盛有气体的容器相对于某坐标系从静止开始运动，容器内的分子速度相对于这坐标系也将增大，则气体的温度会不会因此升高呢?
答：容器内气体的温度是大量分子无规则热运动的平均效果，是表征容器内气体平衡状态的宏观参量。若因容器的运动而破坏了容器内气体的平衡状态，则无温度可言。在容器一般运动的情况下(比如直线运动)，由于气体分子的频繁碰撞，总能维持平衡状态，所有分子的热运动叠加了一个整体定向运动的速度，这并未增加或减少分子问的碰撞机会。因此，容器内气体的温度不会变化(通过取相对容器静止的参考系，可证明这一结论)。
但当容器突然停止运动时，大量分子定向运动的动能将通过与器壁以及分子问的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的温度有所升高。
2-8 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布。一般而言，速率分
布函数还可以有其他形式。但是，无论何种形式，它们的意义是相同的。设)(v f 为速率分布函数，请思考下列各式所代表的意义：
（1） ()d f v v ； （2）()d Nf v v ； （3）21
()d v v f v v ⎰
； （4）2
1
()d v v Nf v v ⎰。
答：（1）()d f v v 表示速率分布在v v v d ~+区间内的分子数占总分子数的百分比。
（2）()d Nf v v 表示速率分布在v v v d ~+区间内的气体分子数。 （3）21
()d v v f v v ⎰ 表示速率分布在21~v v 区间内的分子数占总分子数的百分
比。
（4）21()d v v Nf v v ⎰ 表示速率分布在21~v v 区间内的气体分子数。
2-9 何谓速度空间？速度空间中的一个点代表什么？速度空间中的一个微分体积元z y x υυυd d d 代表什么？
答：速度空间是以x υ，y υ，z υ作为直角坐标系三个坐标轴来描述的空间，是一种假想的空间，利用它可以描述粒子的速度大小和方向。从速度空间的原点向速度空间中的某一点画出一个矢量，该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。速度空间中的微分元z y x υυυd d d 表示速度矢量的取值范围在x υ～x d υυ+x ，
y υ～y y υυd +，z υ～z d υυ+z 内的所有速度矢量的整体，而x υ，y υ，z υ是该立方体微分元z y x υυυd d d 中最靠近原点的那一点的坐标。
2-10 空气中含有氮分子和氧分子。试问哪种分子的平均速率较大？这个结论是否对空气中的任意一个氮分子及氧分子都适用？
答：由于氮分子质量小于氧分子，在温度相同的情况下，氮分子的平均速率大于氧分子的平均速率。但是对于任意一个分子来说，其速度的大小与方向瞬息万变，是个随机变量，无法进行比较。
2-11 气体分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意义有什么区别？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在数值上，这三个速率哪个最大？那个最小？
答：由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢，由方均根速率可知分子平均平动动能的大小，而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总分子数的比率最大。显然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。
在数值上，此三个速率大小关系是
