反比例函数常见模型
一、知识点回顾
1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x
（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x
k y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x
（k≠0）的性质
（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．
（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
（3）在反比例函数y=k x
中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).
（4）若双曲线y=k x
图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=
2
x
-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．
二、新知讲解与例题训练 模型一：
如图，点A 为反比例函数x
k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，
则有
2|
|k S OAB =
∆
例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=
x
m
在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积 变式题
1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x
8
(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结
321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________
2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x
=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .
模型二：
如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x
k y 任意不重合的两点，直线AB 交
x 轴于
M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D
点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN
例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数k y
x
=
的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，
x
轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；
④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
y x
D
C A B O F E
D
F
A
B D
F M
N
x
y O
例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k
y x
=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为
F D ，，
AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k
y x
=的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =．
（2）若点A B ，分别在反比例函数k y x
=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．
图1
图2
模型三：
如图，已知反比例函数k y x
=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则
OPC PADC S S ∆=梯形.
例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2
k y x
=
的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.
例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与
反比例函数2
k y x
=
的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.
例6：如图1，已知直线1
2y x =与双曲线(0)k y k x
=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；
（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x
=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A
的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标． 模型四：
在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x
=>的图象与AC 边交于
点E ，则
CE a
CF b
=.
