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时变电磁场例题共42页

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作业06_第四章时变电磁场

作业06_第四章时变电磁场

作业06_第四章时变电磁场-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第四章 时变电磁场1. 在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)A/m y H t z e -=⨯⨯-，求位移电流密度。

2. 在电导率310S/m γ=、介电常数06εε=的导电媒质中，已知电场强度58210sin(10)x E t e -=⨯π，计算在92.510s t -=⨯时刻，媒质中的传导电流密度c J 和位移电流密度d J 。

3. 在无源区域，已知电磁场的电场强度90.1cos(6.281020.9)V/m x E t z e =⨯-，求空间任一点的磁场强度H 和磁感应强度B 。

4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为11cm r =、24cm r =，长度0.5m l =，极板间介质介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V u t =π。

求极板间任意点的位移电流密度。

5.一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内、外导体间加低频电压sin m u U t ω=。

求内、外导体间的全电流。

6. 已知自由空间中电磁波的两个场量表达式为 20002)V/m x E =t z e ωβ-， 5.32sin()A/m y H =t z e ωβ-式中，20MHz f =，0.42rad/m β==。

求(1)瞬时坡印亭矢量；(2)平均坡印亭矢量；(3)流入图示的平行六面体（长为2m ，横截面积为0.5m 2）中的净瞬时功率。

7. 一个平行板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极板间距离为d ，介质的介电常数和电导率分别为ε，γ，试问：(1). 当极板间电压为直流电压U 时，求电容器内任一点的坡印亭矢量；(2). 如果电容器极板间的电压为工频交流电压cos314u t =，求电容器内任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。

高中物理奥林匹克竞赛专题--时变电磁场(共92张)

高中物理奥林匹克竞赛专题--时变电磁场(共92张)


l
H dl I J dS
J 0
电流连续
时变场：
电荷与电流连续性定律
J t
dq I J dS dt
安培环路定律


l
H dl i
H dl J dS i
S1
取S1面有
l
取S2面有
H J
B H
H dl I
l
2. 全电流定律
问题的提出
法拉第根据电磁之间的对偶关系，提出变化的磁场产 生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？
麦克斯韦从安培环路定律与电荷守恒定律的矛盾出发 提出随时间变化的电通量与传导电流一样可以产生磁场。
静态场：
H J

① 两种电磁感应现象是两种物理性质不同的现象，但都服 从统一的法拉第电磁感应定律。
② 产生电场的源不仅有电荷，变化的磁场也产生电场，电 场与磁场紧密相连。 ③ 电磁感应定律表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回 路中就有感应电势，感应电势与构成回路的材料性质无关， 回路的材料决定感应电流的大小。麦克斯韦将电磁感应定 律推广到一切假想的闭合回路。
d e dt
磁场总是阻碍原磁场的变化。
由电磁感应的类型得感应电势产生的方法 1）回路不动，磁场随时间变化
d B e dS S t dt
称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。
感生电动势
2）磁场不变，回路运动切割磁力线
f qv B
E f v B q
d e (ν B) dl l dt
称动生电动势，是发电机工 作原理，亦称发电机电势。 若B均匀，且l、B、V三 者垂直，则
第5章 时变电磁场 (全)

第5章 时变电磁场 (全)


? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
时变电磁场习题课.

时变电磁场习题课.


0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
例3、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
E
ey E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流
密度。
解：（1）磁场强度
例2 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求 H。
解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J =0, ρ =0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sin
t
z
0
t
(ex Hx
ey
H
y
ez
Hz
)
由上式可以写出：
Hx 0, Hz 0
磁场强度和坡印廷矢量
例 1、 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度JD 。
解：无源的自由空间中J = 0, 由
D H t JD
ex ey
ez
JD
D t
H
x
y
z
ex
H y z
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) ( A / m2 )
( E) 2E H t
H E E
t
E 0
所以，电场强度满足的波动方程为
时变电磁场例题

时变电磁场例题


ex
0
kE0
e jkz
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E( z, t ) Re[E( z)e jt ] ey E0 cos(t kz)
H ( z, t ) Re[ H ( z )e ] ex
jt
0
kE0
cos(t kz)
所以，坡印廷矢量的瞬时值为
对于媒质 1 和媒 , t E2 t t t
上面两式相减得
t ( E1t E2 t ) ( B1n B2 n ) t
代入切向分量的边界条件：
n ( E1 E2 ) 0,即E1t E2t
在分界面两侧的媒质中11于是有对于媒质1和媒质212上面两式相减得13从而有如果t0时的初值b中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量并且展开取其中的法向分量有14此式对分界面两侧的媒质区域都成立故有15再将切向分量的边界条件方程分界面处的电流连续性设区域z0的媒质参数r1质参数r2r2201015cos201015cos601015cos满足边界条件
Bn Bt ( t t ) n ( t n ) t ( n t ) t ( n En ) t t
由上式可见：
Bn Bt t Et , n En 0, n Et t En t t
1
1
[300 sin(15108 t 5 z ) 100 sin(15108 t 5 z )]
同理，可得
H2 ey [0.1061 cos(15108 t 50z)](A / m)
(3) 将z=0代入(2)中得
H1 e y [0.106 cos(15 108 t )] H 2 e y [0.106 cos(15 108 t )]
第五章 随时间变化的电磁场

第五章 随时间变化的电磁场

第五章 随时间变化的电磁场一、选择题1、在电磁感应现象中，正确的说法是： [ ] （A ）感生电流的磁场总是跟原来磁场的方向相反；（B ）感生电动势的大小跟原来穿过电路的磁通量的变化量成正比； （C ）线圈上产生的感应电动势与穿过这个线圈的磁通量的变化率成正比，这个电动势总阻碍线圈中原来电流的变化的； （D ）穿过回路的磁通量越多，磁通量的变化率越大。

2、长为l 的直导线在磁场B 中，以速度v 作切割磁力线运动，可以用公式Blv =ε来计算动生电动势的条件是： [ ] （A ）直导线必须是闭合回路中的一段； （B ）切割速度v 必须是常量； （C ）B 必须保持不变；（D ）B 、v 为恒量且B 、l 、v 三者必须互为垂直。

3、 如图所示，导线杆MN 在均匀磁场中绕竖直轴OO‘转动，如果长度OM<ON ，那么杆两端的电位差为： [ ] （A ）U M > U N ； （B ）U M < U N ； （C ）U M = U N ； （D ）无法判断。

第4 题 图MⅠ vI4、在无限长载流直导线附近放置一正方形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈的两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作三种不同方向的平动时，如图示，则有： [ ]（A ）情况Ⅰ中感应电流最大；（B ）情况Ⅱ中感应电流最大 ； （C ）情况Ⅲ中感应电流最大；（D ）情况Ⅱ和Ⅲ中感应电流大小相同。

5、如图所示，一矩形金属线框，匀速从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场空间中． 下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？(从线圈进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正) [ ]第5题 图 第6题 图6、如图所示，两根长直通电导线M 、N 通有大小方向都相同的电流I ，矩形线框abcd 与两导线M 、N 在同一平面内，线框在两导线间自右向左以速度V 匀速平动，则线框中感应电流方向是： [ ] （A ）沿adcba ，且保持这个方向不变；（B ）沿abcda ，且保持这个方向不变； （C ）由adcda 变成adcba ； （D ）由adcba 变成adcda 。

第4章 时变电磁场1

第4章 时变电磁场1


2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
时变电磁场习题

时变电磁场习题

r ∂E y ∂E x r ez ( − ) = −e ∂Bz z ∂x ∂y ∂t
v v ∂E z ∂E y = −ex ∂Bx ex ( − ) ∂t ∂y ∂z
∂y
−
∂z
=−
∂t
∂B y ∂E x ∂E z − =− ∂z ∂x ∂t ∂E y ∂E x ∂Bz − =− ∂x ∂y ∂t
1
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r r r r r r r r 1. 设 ， B = ex Bx + e y B y + ez Bz ，写出麦克 E = ex E x + e y E y + ez E z 斯韦方程(5.21a）的三个标量方程。 r r ∂B 解： ∇ × E = − ∂E z ∂E y ∂Bx ∂t
r r ∂E x ∂E z = −e ∂B y y ey ( − ) ∂t ∂z ∂x
r = −e z
r r r
k 4ωµ 0 r π r r k z= S = −ez E02 sin 2ωt S av = 0 4k 4ωµ 0 r π r z= S av = 0 S =0 2k r r r r k r r ez × H = ex E0 sin ωt (3) J S = n × H = z =0 ωµ 0
2 2 2 r ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex r ∂ Ey ∂ Ey ∂ Ey r ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez = ex ( 2 + + ) + ey ( + + ) + ez ( 2 + 2 + 2 ) 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
第七章 时变电磁场4(唯一性定律及习题)

第七章 时变电磁场4(唯一性定律及习题)

叶齐政，2014,5§7.6 定解条件与唯一性定理
麦克斯韦方程组的微分形式、电荷守恒方程的微分形式以及分界面上的边界条件是时变电磁场必须满足的基本方程，但这组方程的解是通解，要想得到具体物理问题的定解——特解，还必须给定初始条件和边界条件，这些条件称为定解条件，与此相关的问题称为定解问题。

唯一性定理：在t >0的所有时刻，闭区域V内的电磁场是由整个V内的电和磁矢量的初始值，以及t ≥0时边界上电矢量（或磁矢量）的切向分量的值所唯一确定。

线圈
磁极
F
E
磁极
r 'r
()()
1875年法拉第给麦克斯韦的信
我亲爱的先生，我接到你的论文，为此深为感谢。

我并不是说我要感谢你是因为你谈论“力线”，因为我知道你已经在哲学真理的意义上处理了它；但你必然以为这项工作使我感到愉快，并给予我很大的鼓励去进一步思考。

起初当我看到你用这样的数学威力来针对这样的主题，我几乎吓坏了。

后来我才惊讶地看到这个主题居然处理得如此之好。

时变电磁场071

时变电磁场071


e ˆn(D v2D v 1)S
e ˆn(P v 2P v 1)S'
W eVw edVV(1 2D vE v)dV
3. 静电场的边值问题
2
2x22 y22 2z2
4. 恒定电流场
Ñ SJ vdS v q tV tdV
v J
t
Ñ v v JdS0
v J 0
S
Ñ l
v J
v dl
0vຫໍສະໝຸດ vvvBdS0
B0
l vv v
v vS
vv
v
e ˆn (H 2 H 1) J S e ˆn(B 2B 1)0 (M 1 M 2) e ˆn J S
6. 电磁感应
e d
dt
Ñ lE vdlvtSB vdSv
v E
v B
t
11112
L11
11 I1
M 12
12 I2
wm
1 2
v H
v B;
wm
麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831～1879）英 国物理学家，经典电磁理论的奠基人。1831年6月13日出生 于爱丁堡。父亲受的是法学教育，但思想活跃，爱好科学技 术，使他从小就受到科学的熏陶。 1850年考人剑桥大学， 1854年以优异成绩毕业并获得了学位，留校工作。1856年 起任苏格兰阿伯丁的马里沙耳学院的自然哲学讲座教授，直 到1874年。经法拉第举荐，自1860年起任伦敦皇家学院的 物理学和天文学教授。1871年起负责筹划卡文迪什实验室， 随后被任命在剑桥大学创办卡文迪什实验室并担任第一任负 责人。1879年11月5日麦克斯韦因患癌症在剑桥逝世，终年 仅48岁。麦克斯韦一生从事过多方面的物理学研究工作，他 最杰出的贡献是在经典电磁理论方面。
第4章 时变电磁场

第4章 时变电磁场


引入洛伦兹规范条件， 引入洛伦兹规范条件，则方程简化为
2 2 ∂ϕ ρ ∇ ϕ − µε 2 = − ε ∂t v 2 v v 2 ∇ A − µε ∂ A = − µ J 2 ∂t
达朗贝尔方程
从达朗贝尔方程可以看出： 从达朗贝尔方程可以看出：
v v v v v v ϕ (r , t )的源是ρ (r , t )，A(r , t )的源是J (r , t )
建立波动方程的意义：通过解波动方程， 建立波动方程的意义 ： 通过解波动方程 ， 可以求出 空间中电场场量和磁场场量的分布情况。 空间中电场场量和磁场场量的分布情况 。 但需要注 意的是： 意的是 ： 只有少数特殊情况可以通过直接求解波动 方程求解。 方程求解。
4.2 电磁场的位函数
4.2.1 矢量位和标量位
v v v (2) S (t ) = E (t ) × H (t ) v v kE0 = −ey E0 cos(ω t − kz ) × ex cos (ω t − kz )
kE0 2 v = ez cos 2 (ω t − kz )
ωµ 0
ωµ 0
v v 1 Tv 1 T v S av = ∫ S (t )dt = ∫ E (t ) × H (t )dt T 0 T 0 v 时间t无关。 注： S av 与时间t无关。
三、例题 已知无源的自由空间中， 例1：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度 v v 为 E = e E cos(ω t − kz ) (V / m)
一、坡印廷定理 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系 电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
v v v v v ∂D ∇ (E × H ) ∇× H = J + v v v v ∂t ⇒ H ∇ × E − E ∇ × H v v v v ∂B v ∂B v v v ∂D ∇× E = − = − H ∂t − E J − E ∂t ∂t v v v v v ∂B v ∂D v v ⇒ ∇ (E × H ) = −H −E −E J ∂t ∂t

《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场

《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。

电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。

在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。

本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。

电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。

本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。

4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。

下面建立无源空间中电磁场的波动方程。

在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。

在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。

同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。

在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。

例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。

时变电磁场综合资料


20．无耗媒质中均匀平面电磁波的
（
）
A．波矢量为平面
Ｂ． 电场与磁场同方向
Ｃ．相速度等于光速
Ｄ．一边传播一边衰减
21．关于空间中的电磁波，下列表达不正确的是
（）
A．电磁波是场的一种形式
B．电磁波与时间无关
C．电磁波由电场和磁场构成
D．随时间变化的磁场会产生电场
22．时变电场性质的表述正确的是
（）
A．时变电场是无散场
Ｂ．时变电场是无旋场
Ｃ．时变电场是有旋场但无散
Ｄ．时变电场是既有旋又有散
23．时变电磁场中，表达式 S E H 表示
（）
A．瞬时功率
Ｂ．瞬时功率流密度
Ｃ．穿过某一面积的功率
Ｄ．穿过某一面积的平均功率
24．在无限大导电媒质中，电磁波的传播速度
（
A．与电磁波频率有关
Ｂ．等于常数
Ｃ．与媒质无关
Ｄ．等于光速
C．电场与磁场相互垂直
D．电场与磁场强度平行，但方向相同
13．均匀平面电磁波的
（
A．等相位面与传播方向一致
Ｂ．电场和磁场垂直于传播方向
Ｃ．波的矢量为平面
Ｄ．传播方向为平面
） ） ） ） ）
1/7
14．无源区域中时变电磁场的电力线
（）
A．电力线是闭合的
Ｂ．电力线是不闭合
Ｃ．有时闭合有时不闭合
Ｄ．既闭合又不闭合
Ｃ．有时闭合有时不闭合
Ｄ．既闭合又不闭合
4．无源区域的电磁波满足的方程是
（）
A．泊松方程
Ｂ． 拉普拉斯方程
C． 亥姆霍兹方程
Ｄ．本构方程
5．关于电磁波的色散特性，下列说法正确的是
（）

第五章时变电磁场题解

第五章 时变电磁场5-1 如图5-1所示，一个宽为a 、长为b 的矩形导体框，放置在磁场中，磁感应强度为B e =B t y 0sin ω。

导体框静止时其法线方向e n与y e 呈α角。

求导体框静止时或以角速度ω绕x 轴旋转（假定t =0时刻，α=0）时的感应电动势。

解 由于 y t B e B ωsin 0=，据 ⎰⎰⋅∂∂-=ste s Bd ， 导体框静止时，t B ab ab tBe ωωααcos cos cos 0-=⋅∂∂-= 导体框旋转时，()()tabB t ab B t ab t B t t ab B t t e ωωωωωωω2cos 2cos 221cos sin cos d 000s -=⨯⨯-=⋅∂∂-=⋅∂∂-=⋅∂∂-=⎰⎰s B5-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有z 轴分量，并沿y 轴按B B y t B t ky z ==-(,)cos()m ω的规律分布。

现有一匝数为N 的线圈平行于xoy 平面，以速度v 沿y 轴方向移动（假定t =0时刻，线圈几何中心处y =0）。

求线圈中的感应电动势。

解 据 ()⎰⋅⨯=le l B v d设 2,221avt y avt y +=-=，则有 ()()[]()kvt vB Nb a vt k a vt k vB Nb y B y B v Nb e m m sin 2cos 2cos 2211⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+⋅=5-3 一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，其轴线与磁场平行。

在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷，如图5-3所示。

这一装置称为法拉第发电机。

试证明两电刷之间的电压为22Ba ω。

解 由于td d αω=，αωd d =t ，t ωα=，ωr v =则有 ()⎰⎰=⋅=⋅⨯=alBa r B r e 022d d ωωl B v5-4 设平板电容器极板间的距离为d ，介质的介电常数为ε0，极板间接交流电源，电压为u U t =m sin ω。

南理工工程电磁场考试题库之时变电磁场

时变电磁场1．无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度(,)H r t 为；12(,)sin(4)cos()cos(4)sin() /x z H r t e A x t y e A x t y A m ωβωβ=-+-,其中A 1、A 2为常数，求位移电流密度J d 。

2．在均匀导电媒质(介电常数ε,磁导率μ,电导率γ)中，若忽略位移电流，证明：电场强度E 和磁场强度H 满足微分方程为：22E E t HH t μγμγ∂⎧∇=⎪⎪∂⎨∂⎪∇=⎪∂⎩3．球形电容器的内、外半径分别为R 1、R 2，电极间的介质为空气。

设电极间外加缓变电压m sin u U t ω=，求电容器的位移电流i d 。

4.如图所示，一尺寸为a b ⨯的矩形线框与无限长直导线共面:(1)若长直导线中载有电流m sin i I t ω=，求矩形线框中感应电动势的大小。

（2）求两导体的互感系数。

(3)若长直导线不载电流，而矩形线框中载有电流m sin i I t ω=，那么长直导线上的感应电动势为多少？题4图 5. 如图所示，一个尺寸为a b ⨯间并与其共面，求线框中的感应电动势e 。

题5图 i6.无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度(,)H r t 为；12(,)sin(4)cos()cos(4)sin() /x z H r t e A x t y e A x t y A m ωβωβ=-+-,其中A 1、A 2为常数，求位移电流密度J d 。

7．球形电容器的内、外半径分别为R 1、R 2，电极间的介质为空气。

设电极间外加缓变电压m t u U e τ-=，τ为常数。

(1)求内外导体之间的电场强度E ；(2)求电容器的位移电流d i 。

8. 写出麦克斯韦方程组，利用其中两个方程，推导电流连续性方程 0 J tρ∂∇⋅+=∂ 9．在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)/y H e t z A m -=⨯⨯-，求位移电流密度。

第四章 时变电磁场


∂ϕ µε = −∇ ⋅ A = 0, ϕ = C ∂t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
µ
∂A E = −∇ϕ − = −exωAm cos(ωt − kz ) ∂t
23
坡印廷矢量的瞬时值为：
S (t ) = E (t ) × H (t ) k = [−exωAm cos(ωt − kz )] × − e y Am cos(ωt − kz ) µ ωk 2 = ez Am cos(ωt − kz )
20
单位W/m2 单位
波的传播方向
21
22
例题 已知时变电磁场中矢量位
A = ex Am sin(ωt − kz ) ， 其中
Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 是常数， 是常数 求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解：
∂Ax B = ∇ × A = ey = −e y kAm cos(ωt − kz ) ∂t k H = −e y Am cos(ωt − kz )
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∂ (∇ × A) ∇× E = − ∂t ∂A ∇× E + = 0 ∂t ∇ × (∇M ) = 0
{
8
注意： 注意： 这里的矢量位及标量位均是时间 空间函数 时间、 函数。 这里的矢量位及标量位均是时间、空间函数。当它 们与时间无关时，矢量位、 们与时间无关时，矢量位、标量位和场量之间的关系与 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位 矢量磁位， 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位 标量电位。 又称为标量电位。
ab =| a | | b | e a | a | j (α − β ) = e b |b|

五章节时变电磁场 共106页

由上式可以写出： H x 0 , H z 0


0
H t
y

E 0
sin(
t
z)
Hy

E 0 0
cos(
t z)
H

ey
E 0 0
cos(
t z)
第五章 时 变 电 磁 场
5.4 时变电磁场的边界条件
图 5-3 法向分量边界条件
第五章 时 变 电 磁 场 设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某 一场矢量(例如D、B、…)，它可以分解为沿n方向和垂直于n方 向的两个分量。 因为矢量恒等式
第五章 时 变 电 磁 场 例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
第五章 时 变 电 磁 场
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
B 0
全电流定律 法拉第电磁感应定律 磁通连续性原理
D
高斯定理
第五章 时 变 电 磁 场
l H
dl

S

J

D t
dS
l H
dl


S
B t
dS
S B dS 0
S D dS V dV
第五章 时 变 电 磁 场
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
第五章 时 变 电 磁 场
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例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。
解： 根据麦克斯韦方程
HJ D t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
SJcD tdS S(H)dS
S ( H ) d V S ( H ) d 0 V S J c D t d I c S I d I
(A/m2)
例 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
解：将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有
(E )( E )0
t
t
由于 D , (E ), E
0 t
t
(t) 0e
假设t=0 时，ρS=0，由边界条件n·D=ρS以及n的方向可得
D(x,
y,0,t)
ez
aH0 sinaxcos(t
ay)
E(x,
y,0,t)
ez
aH0 sinaxcos(t
ay)
例 证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于
切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是 独立的。 因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量 的边界条件。
例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为 Jer10r1.5 (A/ m2)
(1) 通过半径r=1mm (2) 在r=1mm (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。
解：(1)
2
I JdS
10 r1.5r2sindd
S
00
r1mm
40r0.5 3.973A8 r1mm
例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的
电 场 为 E0sinωt ， 铜 的 电 导 率 σ=6.8×107S/m, ε≈ε0 。
解： 铜中的传导电流大小为
JcEE0sin t
Jd D t E t E0cots
Jd Jc
2f53 .81 611 70 099.61 019f
同理，将式
HJ D
t
中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展
开取其中的法向分量，有 t Ht Dtn Jn
此式对分界面两侧的媒质区域都成立， 故有
t H 1 t D t1 n J 1 n , t H 2 t D t2 n J 2 n
(2) 因为
Jr1 2d d(rr21r0 1.5)5r2.5
由电流连续性方程式，得
J 1 .5 8 180 (A /m 2)
tr 1 mm
r 1 mm
(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：dQI 3.97A
dt
例 在无源的自由空间中，已知磁场强度
试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电 场强度。
解：
JSnHezexH 0siancxots(a)y
eyH 0siancxots(a)y
S
t
y[H0sia ncxost (a)y]aH 0sia nsxin t(a)y
SaH 0sia ncxost (a)yc(x,y)
将两式相减并用
H 1 t ( n H 1 t) n ,H 2 t ( n H 2 t) n
由上式可见：
t E t B tn , n E n 0 , n E t t E n B tt
对于媒质 1 和媒质 2 有
tE 1 t B t1 n, tE 2 t B t2n
上面两式相减得
t(E 1tE 2t) t(B 1nB 2n)
由上式可以写出： H x 0 , H z 0

0
H y t

E 0
sin(
t
z)
Hy
E 0 0
cos(
t z)
H

ey
E 0 0
cos(
t z)
例 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z<0 一侧为理想 导体，分界面处的磁场强度为
H (x ,y ,0 ,t) e x H 0 sa ic n x o t a s)( y
H e y 2 .6 1 3 5 c 03 o 1 9 s t 0 1 (z )0 ( A /m )
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中J=0, H 源自 Dtex ey ez
Jd
DH t



x y z
ex
Hy z
ex2.63104sin3(109t 10z)
解： 在分界面两侧的媒质中，
E 1 B t1, E 2 B t2
将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令
EE tE n, t n
于是有
( t n) (E t E n) t(B t B n)
( t t) n ( t n ) t ( n t) t ( n E n ) B t n B t t
代入切向分量的边界条件：
n (E 1 E 2 ) 0 ,即 E 1 t E 2 t
有
t(B 1 nB 2n) t[n(B 1B 2) ]0
从而有
n(B1B2)C(常)数
如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故
n (B 1 B 2 ) 0 ,即 B 1 n B 2 n
例 已知在无源的自由空间中，
EexE 0co ts (z)
其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，
即J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z

0
H t
Ex 0 0
e y E 0sit nz 0 t(e x H x e y H y e z H z)