《统计学》样本容量的确定
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总体个体样本和样本容量的例题
总体个体样本和样本容量的例题总体个体样本和样本容量的例题一、概念解释在统计学中，总体是指研究对象的全体，而个体则是总体中的一个个体。
而样本是从总体中选取的一部分个体。
样本容量则是样本的大小，通常用n来表示。
样本容量的大小直接影响着样本的代表性和统计推断的准确性。
二、例题分析假设我们想要调查某地区大学生对网课满意度的调查，总体是所有在该地区的大学生，而个体则是其中的一个学生。
如果我们抽取了100名学生进行调查，那么这100名学生就构成了我们的样本，而样本容量为100。
接下来我们就以样本容量的大小为例，来探讨在调查中的影响。
1. 样本容量过小如果我们只抽取了10名学生进行调查，那么这个样本容量就太小了。
我们很难通过这10名学生的意见来准确地代表所有学生的看法。
可能这10名学生的经历和观点都不具有代表性，从而导致我们得出的调查结论不够准确。
2. 样本容量适中如果我们抽取了100名学生进行调查，那么这个样本容量就相对来说是适中的。
虽然无法完全代表所有学生的看法，但通过一定的统计分析，我们可以对总体的情况有一个相对准确的了解。
3. 样本容量过大样本容量过大则会带来额外的成本和时间开销。
虽然样本容量越大，代表性越强，统计推断的准确性也越高，但是在实际调查中，调查对象可能没有这么多，这时候就需要考虑到资源的投入和效益的平衡。
三、总结和回顾通过上面的例题分析，我们可以看出样本容量的大小对调查结果的影响是非常重要的。
合适的样本容量可以在一定程度上保证调查的准确性，而样本容量过小或过大都会影响我们的调查结论。
在进行实际调查时，我们需要根据具体情况来确定合适的样本容量，同时也需要进行详细的统计分析，以保证调查结果的可靠性。
四、个人观点作为一个统计学爱好者，我认为在进行调查和研究时，样本容量的确定是非常重要的一步。
合适的样本容量可以为我们的研究提供可靠的数据支持，而过小或过大的样本容量则可能影响我们的研究结论。
我们应该在确定样本容量时进行充分的考虑，以确保我们的研究能够得到准确而可靠的结果。
生物统计学8样本容量的确定
查表，当k = 5组时，2与1.941接近。因此，n = 5，
即每组需要5个数据。
单因素多组群（单向分组资料）样本含量表
（ n1 = n2 = n3 =……n）
δ/σ n
k
三
四
五
六
七
八
2
50855 4.830 40463 4.236 40165 4.102
3
2.887 2.829 2.823 2.835 2.858 2.881
价值，数据是用配成对的大白鼠作实验而测得的，如果
sd=2.40单位，这是根据以往的数据得出， =1.15单位，这是试验想辨别的差数，
则该试验在0.05的显著水平下，应该至少取多少个配对数据才
能达到要求？
解：现在我们想求n，因为t0.05/2 随着n的改变而改变，必须要找
一些值来作试差，最后求出合理的n值。
9
1.215 1.300 1.363 1.410 1.453 1.485
10
1.142 1.224 1.284 1.332 1.371 1.403
11
1.080 1.158 1.218 1.265 1.299 1.335
12
1.028 1.104 1.163 1.206 1.242 1.275
13
0.979 1.057 1.114 1.154 1.192 1.222
= =1.000， = sd =1.996， 求出 / = 1.000/1.996=0.501，再查表 / =0.5010.497，
所得 n = 18。
双侧试验 δ/σ 2.484 1.591 1.242 1.049 0.925
0.836 0.769 0.715 0.672 0.639
即每组需要5个数据。
单因素多组群（单向分组资料）样本含量表
（ n1 = n2 = n3 =……n）
δ/σ n
k
三
四
五
六
七
八
2
50855 4.830 40463 4.236 40165 4.102
3
2.887 2.829 2.823 2.835 2.858 2.881
价值，数据是用配成对的大白鼠作实验而测得的，如果
sd=2.40单位，这是根据以往的数据得出， =1.15单位，这是试验想辨别的差数，
则该试验在0.05的显著水平下，应该至少取多少个配对数据才
能达到要求？
解：现在我们想求n，因为t0.05/2 随着n的改变而改变，必须要找
一些值来作试差，最后求出合理的n值。
9
1.215 1.300 1.363 1.410 1.453 1.485
10
1.142 1.224 1.284 1.332 1.371 1.403
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1.080 1.158 1.218 1.265 1.299 1.335
12
1.028 1.104 1.163 1.206 1.242 1.275
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0.979 1.057 1.114 1.154 1.192 1.222
= =1.000， = sd =1.996， 求出 / = 1.000/1.996=0.501，再查表 / =0.5010.497，
所得 n = 18。
双侧试验 δ/σ 2.484 1.591 1.242 1.049 0.925
0.836 0.769 0.715 0.672 0.639
样本容量的确定
抽样结果的点估计在很少的情况下完全准确 因此人们更偏于区间估计 区间估计就是 对变量值如总体平均值的区间或范围进行估计 除了要说明区间大小外 习惯上还要说明实 际总体平均值在区间范围以内的概率 这一概率通常被称为置信系数或者置信度 区间则被 称为置信区间
都在此范围内 而通过简单随机样本对总体做的估计为实际总体平均值 2 倍标准误差范围 内的概率为 95 在实际总体平均值 3 倍标准误 差范围内的概率为 99.7 5.5.3 点估计和区间估计
当利用抽样要对总体平均值进行估计时 有两种估计方法 点估计和区间估计 点估计 是指把样本平均值作为总体平均数的估计值 观察图 5.3 的平均数抽样分布可知某一特定的 抽样结果 其平均数很可能相对更接近总体平均数 但是 样本平均数分布中的任一个值都 可能是这一特定样本的平均值 有一小部分的样本平均值与实际总体平均值有相当的差距 这种差距就叫抽样误差
在任何确定样本容量的问题中 都必须认真考虑所要分析并要据此做统计推断的总体样 本的各个子群的数目的预期容量 例如 从整体上看样本容量为 400 很符合要求 但若要分 别分析男性和女性被调查者 并且要求男性与女性的样本各占一半 那么每个子群的容量仅
1
广州方舟市场研究有限公司
统计学基础知识
为 200 这个数字是否符合要求 能使分析人员对两组的特征做出预期的统计推断呢 再如 要按年龄和性别分析调研结果 问题就变得更复杂了 假设要按以下方式将总体样本划分为 四组
5
广州方舟市场研究有限公司
统计学基础知识
5.5.2 根据单个样本做出推断 在实际操作中 人们往往不愿从总体中抽出所有可能的随机样本 画出像表 5.3 和图 5.4
那样的频率分布表和直方图来 人们希望进行简单的随机抽样 并据此对总体进行统计推断 问题出现了 通过任一简单的随机样本对总体均数进行的估计 其估计值在总体平均值 1 个标准误差内的概率究竟为多大 根据表 5.2 可知概率为 68 因为所有样本平均数有 68
都在此范围内 而通过简单随机样本对总体做的估计为实际总体平均值 2 倍标准误差范围 内的概率为 95 在实际总体平均值 3 倍标准误 差范围内的概率为 99.7 5.5.3 点估计和区间估计
当利用抽样要对总体平均值进行估计时 有两种估计方法 点估计和区间估计 点估计 是指把样本平均值作为总体平均数的估计值 观察图 5.3 的平均数抽样分布可知某一特定的 抽样结果 其平均数很可能相对更接近总体平均数 但是 样本平均数分布中的任一个值都 可能是这一特定样本的平均值 有一小部分的样本平均值与实际总体平均值有相当的差距 这种差距就叫抽样误差
在任何确定样本容量的问题中 都必须认真考虑所要分析并要据此做统计推断的总体样 本的各个子群的数目的预期容量 例如 从整体上看样本容量为 400 很符合要求 但若要分 别分析男性和女性被调查者 并且要求男性与女性的样本各占一半 那么每个子群的容量仅
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为 200 这个数字是否符合要求 能使分析人员对两组的特征做出预期的统计推断呢 再如 要按年龄和性别分析调研结果 问题就变得更复杂了 假设要按以下方式将总体样本划分为 四组
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5.5.2 根据单个样本做出推断 在实际操作中 人们往往不愿从总体中抽出所有可能的随机样本 画出像表 5.3 和图 5.4
那样的频率分布表和直方图来 人们希望进行简单的随机抽样 并据此对总体进行统计推断 问题出现了 通过任一简单的随机样本对总体均数进行的估计 其估计值在总体平均值 1 个标准误差内的概率究竟为多大 根据表 5.2 可知概率为 68 因为所有样本平均数有 68
中心极限定理 样本数 样本容量
中心极限定理样本数样本容量中心极限定理是统计学中一个重要的概念，它对于数据分析和推论有着重要的指导作用。
在这篇文章中，我们将深入探讨中心极限定理以及与之相关的样本数和样本容量的概念，帮助读者更好地理解这些概念的重要性和应用场景。
1. 中心极限定理的定义和意义中心极限定理是指在一些特定条件下，随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
简而言之，它告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
这一定理的重要意义在于，即使原始数据的分布可能不满足正态分布假设，我们仍然可以利用中心极限定理，使用正态分布进行统计推断和假设检验。
2. 样本数和样本容量的定义和关系样本数和样本容量是描述样本大小的概念，它们在统计分析中起着重要的作用。
样本数是指选取的样本的个数，而样本容量则是指每个样本中包含的观测值或数据点的个数。
样本数量的增加可以提高我们对总体的估计的准确性和可信度，而样本容量的增加则可以减小误差和提高精确度。
3. 中心极限定理与样本数的关系中心极限定理告诉我们，当样本数足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
这意味着我们可以使用正态分布来近似描述样本均值的分布，从而进行统计推断和假设检验。
当我们有足够大的样本数时，我们可以更好地对总体进行推断和估计。
4. 中心极限定理与样本容量的关系与样本数类似，样本容量的增加也可以提高我们对总体的估计的准确性和可信度。
当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布，这使得我们可以使用正态分布来进行统计推断和假设检验。
当我们的样本容量足够大时，我们能够更精确地对总体进行推断和估计。
5. 个人观点和理解中心极限定理是统计学中一个非常重要的概念，它为我们提供了一种极为有用的统计推断方法。
通过使用中心极限定理，我们可以以较小的样本数和样本容量，获得对总体的可靠估计和推断。
这对于实际问题的解决和决策非常有帮助。
中心极限定理也提醒我们，在进行统计分析时，样本的选择和样本容量的确定都需要谨慎考虑，以确保我们对总体的推断能够更加准确和可靠。
总体 个体 样本 样本容量的概念
总体、个体、样本和样本容量是统计学中重要的概念，它们在统计分析和推论中起着至关重要的作用。
在进行统计研究和分析时，研究对象可以分为总体和个体，而样本则是从总体中选取的一部分个体，样本容量则是指样本中包含的个体数量。
下面将对这几个概念进行详细介绍。
一、总体总体是指研究者所感兴趣的所有个体的集合，它通常包括所有可能的观察对象。
总体可以是有限的，也可以是无限的。
在实际研究中，如果研究对象数量较少，那么可以直接对总体进行研究；但如果总体数量较大或是无限的，采用对总体进行全面调查是费时费力的，因此需要采用样本的方式进行研究。
总体是统计推断的基础，通过对总体的研究可以了解整体情况，而且也可以在一定程度上影响样本的选择和研究方法。
二、个体个体是指总体中的每一个成员，它可以是人、物、事物等具体的对象。
在统计研究中，个体是研究和观察的具体对象，研究者的观察和测量对象就是个体。
个体的特征和性质构成了总体的特征和性质，而样本则是总体的一个子集，通过对样本的研究可以对总体进行推断和分析。
三、样本样本是从总体中选取的一部分个体，它是对总体的一种代表性抽样。
在实际调查和研究中，往往很难对总体进行全面调查，因此需要从总体中抽取部分个体进行观察和研究。
通过对样本的研究分析，可以推断出总体的性质和特征，从而得出对总体的结论。
样本的选择需要具有一定的代表性，不能存在抽样偏差，否则对总体的推断就会产生较大的误差。
四、样本容量样本容量是指样本中包含的个体数量，它是样本的大小。
样本容量的大小直接影响着对总体的推断结果，样本容量过小则可能导致推断结果不准确，样本容量过大则可能会造成资源浪费。
在实际研究和调查中，需要根据研究目的、总体规模和资源条件等因素来确定样本容量的大小。
一般来说，样本容量越大，则对总体的推断越准确。
总体、个体、样本和样本容量是统计学中非常重要的概念，它们是统计研究和分析的基础。
在进行统计研究和分析时，需要对这几个概念有清晰的认识，并合理运用于实际研究中，才能得出准确、可靠的结论。
统计学
2
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
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例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
统计学区间估计详细讲解
100
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
(04)第4章 参数估计
（1）平均办理时间的95%的置信区间是多少？
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
胡德华版统计学第六章
6.2.2 机械抽样
机械抽样又称等距抽样或系统抽样， 机械抽样又称等距抽样或系统抽样，就是将总体的各单位按某一标 志的大小进行排队，用总体单位数除以样本单位数求得抽样间隔， 志的大小进行排队，用总体单位数除以样本单位数求得抽样间隔，然后 按照相同的间隔等距抽取样本的一种抽样方式。 按照相同的间隔等距抽取样本的一种抽样方式。 根据总体单位排列方法，等距抽样可分为两类： 根据总体单位排列方法，等距抽样可分为两类：一是按有关标志排 二是按无关标志排队。 队；二是按无关标志排队。 所谓有关标志就是指与调查问题直接相关的标志。 所谓有关标志就是指与调查问题直接相关的标志。 采用等距抽样法，主要应解决以下两个问题： 采用等距抽样法，主要应解决以下两个问题： 一是要计算抽样间隔， 代表抽样间隔， 代表总体单位数 代表总体单位数， 代 一是要计算抽样间隔，若K代表抽样间隔，N代表总体单位数，n代 代表抽样间隔 表抽取的样本单位数， 表抽取的样本单位数，则K=N / n 。 二是要确定起点样本，即第一个样本。 二是要确定起点样本，即第一个样本。通常的方法可采取在第一组 1-K个样本单位中随机抽取的方法，也可以在第一组 个样本单位中随机抽取的方法， 个样本单位中随机抽取的方法 也可以在第一组1-K个样本单位中采 个样本单位中采 用取中间值的方法，然后，每隔K个单位抽取一个样本 个单位抽取一个样本， 用取中间值的方法，然后，每隔 个单位抽取一个样本，直到抽够样本 为止。 为止。 等距随机抽样方法可以使样本单位均匀地分布在总体的各个部分， 等距随机抽样方法可以使样本单位均匀地分布在总体的各个部分， 因而使样本具有更高的代表性，减少了抽样误差； 因而使样本具有更高的代表性，减少了抽样误差；采用机械顺序抽取样 简单易行，便于操作。但是，在应用等距抽样方法时， 本，简单易行，便于操作。但是，在应用等距抽样方法时，要注意抽样 间隔与现象本身所具有的规律不能重叠，否则，会加大抽样误差。 间隔与现象本身所具有的规律不能重叠，否则，会加大抽样误差。 等距随机抽样方法比较适合于同质性较高的总体。 等距随机抽样方法比较适合于同质性较高的总体。
中心极限定理 样本数 样本容量
中心极限定理：样本数与样本容量的重要性一、引言中心极限定理是统计学中非常重要的概念，它描述了在满足一定条件下，随机抽取的样本均值的分布会接近于正态分布。
而在理解和应用中心极限定理时，样本数和样本容量也是至关重要的因素。
本文将就中心极限定理、样本数和样本容量展开深入探讨，并分析它们在统计学中的重要性。
二、中心极限定理的基本概念中心极限定理是指在一定条件下，当样本容量较大时，样本均值的抽样分布接近于正态分布。
简单来说，即便总体分布不是正态分布，当进行足够多次的抽样并计算样本均值时，这些样本均值的分布近似服从正态分布。
这一概念对于统计学推断和假设检验具有重要意义。
三、样本数与样本容量的定义在讨论中心极限定理的深度和广度时，我们首先要理解样本数和样本容量的含义。
样本数通常指的是实际抽样的次数或数量，而样本容量则是指每次抽样所得到的样本量，也可以理解为每个样本的大小。
在统计学中，样本数和样本容量的选择对于研究结果的可靠性和准确性具有非常重要的影响。
四、样本数对中心极限定理的影响从简单的抽样分布到中心极限定理，样本数的大小对样本均值的抽样分布接近正态分布起着重要作用。
一般来说，样本数越大，样本均值分布越接近正态分布。
而在实际应用中，我们常常需要根据具体情况来确定适当的样本数，以满足中心极限定理的要求。
五、样本容量对中心极限定理的影响除了样本数之外，样本容量也是影响中心极限定理适用性的重要因素。
样本容量的大小决定了每个样本的可靠性和代表性。
当样本容量较小时，样本均值的分布可能并不接近正态分布，而当样本容量较大时，样本均值的分布更可能接近正态分布，从而更符合中心极限定理的要求。
六、结论与展望通过对中心极限定理、样本数和样本容量的深入探讨，我们可以看到它们在统计学中的重要性。
合理选择样本数和样本容量，对于研究结论的可靠性和推断的准确性至关重要。
在今后的研究和实践中，我们需要更加重视样本数和样本容量的选择，并结合中心极限定理来进行统计分析，并探索它们在更多领域中的应用。
生物统计学8样本容量的确定
t 再以df=2（n1-1）为自由度查出 0.05 / 2,2n1 2 的值，代
入公式求出n2，直到求出的n（i-1）= n（i）为止。
例：有个家畜饲料比较试验，它们是对一种猪在育肥期饲以两 种饲料C1和C2，经过一个月后，调查量其重量（斤数），借 以判明两种饲料的育肥效果。若 = 4斤时，试验就要有一半 的可能性辨别出来，取s2=30，（此数据）是根据以往的试验 数据得出的），则该试验每处理的样本容量应为多少？
u
n
若：
u
x 0 1
n
µ0
µ1
x0
接受H0。
1 - 0 u u
n
接受HA。
二、平均数差异显著性测验中的样本容量问题
（一）单个样本平均数的差异显著性测验中的样本容量问题
1、已知时
n
u2 0.05 / 2
2
L2
其中 ：2 =总体的方差
这个数据一般是依靠前人或本人对同类数据的试验来约略估计 的
L = 要求该调查或试验有一半的可能达到的对平均数估计的精 确范围。
L即距平均数上下的95%的置信区间（即置信半径）
该样本容量估算中，β的概率为50%（Ⅱ型错误的概率）。
2、 未知时：
样本容量：
n
t2 0.05 / 2
L2
s2
s2为对总体方差2 的估计值
（这个数据一般是依靠前人或本人对同类数据的试验来约略
则样本容量 n 为：
L u / 2
pˆ 1 pˆ
n
n
u2
/2
pˆ (1 L2
pˆ )
当显著水平为0.05时（置信度为0.95），上述公式的经验公
式为：
n
4
pˆ (1 L2
入公式求出n2，直到求出的n（i-1）= n（i）为止。
例：有个家畜饲料比较试验，它们是对一种猪在育肥期饲以两 种饲料C1和C2，经过一个月后，调查量其重量（斤数），借 以判明两种饲料的育肥效果。若 = 4斤时，试验就要有一半 的可能性辨别出来，取s2=30，（此数据）是根据以往的试验 数据得出的），则该试验每处理的样本容量应为多少？
u
n
若：
u
x 0 1
n
µ0
µ1
x0
接受H0。
1 - 0 u u
n
接受HA。
二、平均数差异显著性测验中的样本容量问题
（一）单个样本平均数的差异显著性测验中的样本容量问题
1、已知时
n
u2 0.05 / 2
2
L2
其中 ：2 =总体的方差
这个数据一般是依靠前人或本人对同类数据的试验来约略估计 的
L = 要求该调查或试验有一半的可能达到的对平均数估计的精 确范围。
L即距平均数上下的95%的置信区间（即置信半径）
该样本容量估算中，β的概率为50%（Ⅱ型错误的概率）。
2、 未知时：
样本容量：
n
t2 0.05 / 2
L2
s2
s2为对总体方差2 的估计值
（这个数据一般是依靠前人或本人对同类数据的试验来约略
则样本容量 n 为：
L u / 2
pˆ 1 pˆ
n
n
u2
/2
pˆ (1 L2
pˆ )
当显著水平为0.05时（置信度为0.95），上述公式的经验公
式为：
n
4
pˆ (1 L2
最新教育统计学-笔记公式
教育统计学王孝玲第一章绪论教育统计学是运用数理统计的原理和方法研究教育问题的一门应用科学。
它的主要任务是研究如何搜集、整理、分析由教育调查和教育实验等途径所获得的数字资料，并以此为依据，进行科学推断，从而揭示蕴含在教育现象中的客观规律。
统计学和教育统计学的内容：从具体应用角度来分，可以分成：描述统计、推断和实验设计三部分。
描述统计：对已获得的数据进行整理、概括，显现其分布特征的统计方法。
通过教育调查和教育实验获得了大量的数据，用归组、编表、绘图等统计方法对这进行归纳、整理，以直观形象的形式反映其分布特征；通过计算各种特征量，来反映它们分布上的数字特征。
推断统计：根据样本所提供的信息，运用概率的理论进行分析、论证，在一定可靠程度上对总体分布特征进行估计、推测。
描述统计是推断统计的基础，推断统计是通过样本信息估计、推测总体，从已知情况估计、推测未知情况。
学习统计学和教育统计的学的意义：一、统计学为科学研究提供了一种科学方法，统计推理的方法是归纳法。
二、教育统计学是教育科研定量分析的重要工具。
三、广大教育工作者学习教育统计学的具体意义：1、可以顺利地阅读运用统计方法进行定量分析的科研报告。
2、可以提高教育工作的科学性和效率。
3、为学习教育测量及教育评价打下基础。
随机现象：1、一次试验有多种可能结果，其所有可能结果是已知的；2、试验之前不能预料哪一种可能结果会出现；3、在相同的条件下可以重复试验。
随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。
总体：研究的具有某种共同特性的个体的总和。
总体中的每个单位称为个体。
样本是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。
样本上的数字特征是统计量。
总体上的各种数字特征是参数。
在进行统计推断时，就是根据样本统计量来推断总体相应的参数。
第二章数据的初步整理教育统计资料的来源：经常性资料、专题性资料（教育调查、教育实验）数据的种类：按来源分：点计数据和度量数据，按随机变量取值情况分：间断型（取值个数有限的数据，一般为整数）和连续型随机变量（取值个数无限的不可数的数据可用小数表示）。
2012年统计学第8章抽样调查理论与方法
8-26
一、估计总体均值时样本容量的确定
重复抽样时
1. 估计总体均值时样本容量n为 允许误差
n x
(z 2 )2 2
2
x
其中： x
z 2
n
2. 可见，样本容量
✓ 与总体方差成正比 ✓ 与允许误差成反比 ✓ 与置信度成正比
《统计学》第8章抽样调查理论与方法
8-27
不重复抽样时：
n x
NZ2 / 2 2
X
1 N
N i 1
Xi
N
X Xi N X
i 1
总体比例 总体方差 标准差
P N1 ,Q N0 N N1 1 P N NN
2
1 N
N
(Xi X )2
i 1
1 N
N
( Xi X )2
i 1
《统计学》第8章抽样调查理论与方法
8-9
统计量：是根据样本的n个单元的变量值计 算出来一个量，也叫估计量
解：Q N 15000 n 150
p 147 98% 150
p
p(1 p) n
0.98 (1 0.98) 1.14% 150
若按不重复抽样方式：
p
p(1 p) (1 n ) 0.98 (1 0.98) (1 150 ) 1.1374%
n
N
150
15000
《统计学》第8章抽样调查理论与方法
8-24
8.5.1影响样本容量确定的主要因素
总体被研究标志的变异程度 调查者对推断精确度的要求 抽样调查的方式和方法 人力、物力和财力的允许条件
《统计学》第8章抽样调查理论与方法
8-25
8.5.2 样本容量的确定
一、估计总体均值时样本容量的确定 二、估计总体比率时样本容量的确定
统计学原理计算题
一、时间序列：1．某公司某年9月末有职工250人，10月上旬的人数变动情况是：10月4日新招聘12名大学生上岗，6日有4名老职工退休离岗，8日有3名青年工人应征入伍，同日又有3名职工辞职离 岗，9日招聘7名营销人员上岗。
试计算该公司10月上旬的平均在岗人数。
解：1．2562122322591252225822623250=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑∑faf a2．某银行2001年部分月份的现金库存额资料如下：日期 1月1日 2月1日 3月1日 4月1日 5月1日 6月1日 7月1日 库存额(万元)500480450520550600580要求：(1)具体说明这个时间序列属于哪一种时间序列。
(2)分别计算该银行2001年第一季度、第二季度和上半年的平均现金库存额。
解：2．（1）这是个等间隔的时点序列（2）na a a a a a a nn 2213210++++++=- 第一季度的平均现金库存额： 第二季度的平均现金库存额： 上半年的平均现金库存额：答：该银行2001年第一季度平均现金库存额为480万元，第二季度平均现金库存额为566.67万元，上半年的平均现金库存额为523.33万元.3．某单位上半年职工人数统计资料如下：时间 1月1日 2月1日 4月1日 6月30日 人数(人) 1002105010201008要求计算：①第一季度平均人数；②上半年平均人数。
解：第一季度平均人数: 上半年平均人数：4．某企业2001年上半年的产量和单位成本资料如下：月份 1 2 3 4 5 6 产量(件) 单位成本(元) 2000 733000 724000 713000 734000 695000 68试计算该企业2001年上半年的产品平均单位成本。
解：解：产品总产量∑=+++++=)(210005000040003000400030002000件a 产品总成本∑=+++++=)(1.1480.346.279.214.286.216.14万元b平均单位成本)/(52.70210001.148件元件万元总产量总成本==∑∑∑a bc或：平均单位成本)(52.706210001000061.148万元=⨯==ab c 答：该企业2001年上半年的产品平均单位成本为70．52元／件。
《统计学》课后答案(第二版_贾俊平版)
第1章统计与统计数据一、学习指导统计学是处理和分析数据的方法和技术，它几乎被应用到所有的学科检验领域。
本章首先介绍统计学的含义和应用领域，然后介绍统计数据的类型及其来源,最后介绍统计中常用的一些基本概念。
本章各节的主要内容和学习要点如下表所示。
二、主要术语1. 统计学：收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
2. 描述统计:研究数据收集、处理和描述的统计学分支。
3. 推断统计：研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学分支。
4. 分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据.5. 顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据.6. 数值型数据：按数字尺度测量的观察值.7. 观测数据：通过调查或观测而收集到的数据.8. 实验数据:在实验中控制实验对象而收集到的数据.9. 截面数据：在相同或近似相同的时间点上收集的数据。
10. 时间序列数据：在不同时间上收集到的数据.11. 抽样调查:从总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据样本调查结果来推断总体特征的数据收集方法.12. 普查：为特定目的而专门组织的全面调查。
13. 总体：包含所研究的全部个体(数据）的集合。
14. 样本：从总体中抽取的一部分元素的集合。
15. 样本容量:也称样本量，是构成样本的元素数目。
16. 参数：用来描述总体特征的概括性数字度量.17. 统计量：用来描述样本特征的概括性数字度量。
18. 变量:说明现象某种特征的概念。
19. 分类变量：说明事物类别的一个名称。
20. 顺序变量：说明事物有序类别的一个名称.21. 数值型变量：说明事物数字特征的一个名称。
22. 离散型变量：只能取可数值的变量。
23. 连续型变量：可以在一个或多个区间中取任何值的变量。
第2章数据的图表展示一、学习指导数据的图表展示是应用统计的基本技能。
本章首先介绍数据的预处理方法,然后介绍不同类型数据的整理与图示方法，最后介绍图表的合理使用问题.本章各节的主要内容和学习二、主要术语24. 频数：落在某一特定类别（或组）中的数据个数。
统计学 第四章 参数估计
由样本数量特征得到关于总体的数量特征 统计推断(statistical 的过程就叫做统计推断 的过程就叫做统计推断 inference)。 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 数估计(parameter estimation)，另一个 数估计 另一个 假设检验 。 是假设检验(hypothesis testing)。
ˆ P(θ )
无偏 有偏
A
B
θ
ˆ θ
估计量的无偏性直观意义
θ =µ
•
•
•
• •
• • • •
•
2、有效性(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 有效性： 量，有更小标准差的估计量更有效 。
ˆ P(θ )
ˆ θ1 的抽样分布
B A
ˆ θ2 的抽样分布
θ
ˆ θ
பைடு நூலகம்
3、一致性(consistency)
置信区间与置信度
1. 用一个具体的样本 所构造的区间是一 个特定的区间， 个特定的区间，我 们无法知道这个样 本所产生的区间是 否包含总体参数的 真值 2. 我们只能是希望这 个区间是大量包含 总体参数真值的区 间中的一个， 间中的一个，但它 也可能是少数几个 不包含参数真值的 区间中的一个
均值的抽样分布
总体均值的区间估计(例题分析)
25, 95% 解 ： 已 知 Ｘ ~N(µ ， 102) ， n=25, 1-α = 95% ， zα/2=1.96。根据样本数据计算得： x =105.36 96。 总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为 σ 10 x ± zα 2 = 105.36 ±1.96× n 25 = 105.36 ± 3.92
浅析审计抽样样本规模的确定
浅析审计抽样样本规模的确定作者：刘亚楠来源：《财会通讯》2011年第04期在审计抽样中，恰当地确定样本规模是一个至关重要的问题。
样本规模过小，不能反映出总体特征，会增大审计风险;样本规模过大，会加大审计成本，降低审计效率，失去抽样的意义。
我国目前对这一问题的研究还比较少，本文通过研究目前准则规定的样本规模的确定公式，分析影响样本规模的确定因素，并针对目前存在的问题提出针对性意见，以期对有关的实务和理论研究有所贡献。
为便于分析，仅以统计抽样为例。
一、我国目前采用的样本规模确定公式（一）控制测试中样本规模的确定内部控制制度符合性测试，即属性抽样，是依据统计学中假设检验的原理设计的。
审计属性抽样，是指只有两种可能结果（信赖和不信赖）的随机试验，其概率分布为二项分布。
由于二项分布计算公式比较复杂，而泊松分布近似于总体很大的二项分布。
统计学家编制了“累积泊松分布数值表”，这样按照统计学确定样本容量的思想，利用泊松分布确定过度信赖风险系数来体现统计抽样规模计算式中标准差及系数；用可容忍偏差率上限，体现统计学中由极限误差（Δρ）形成区间的上限。
建立审计属性抽样样本容量计算公式：样本容量=信赖过度风险系数÷可容忍偏差率使用上列计算公式来计算样本容量，在事先并不知道样本容量为多少的情况下，样本可能发生的偏差数很难预计。
就是有了样本预计偏差发生数，还要通过查表确定过度依赖风险系数，再用公式计算样本容量，比较麻烦。
为了提高审计效果和效率，人们根据泊松分布和不重复抽样原理，编制了供实务应用的统计抽样样本规模确定表。
我国准则指南中详细介绍了样本规模的确定，注册会计师根据可接受的信赖过度风险选择相应的抽样规模表，然后读取预计总体偏差率找到适当的比率。
接下来注册会计师确定与可容忍偏差率对应的列。
可容忍偏差率所在列与预计总体偏差率所在行的交点就是所需的样本规模。
由此可见，在控制测试中，注册会计师主要关注抽样风险中的信赖过度风险。
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5.7 样本容量的确定
样本容量确定的两难
样本容量取得较大，收集的信息 就相对多，从而估计精度较高，但 进行观测所投入的费用、人力及时 间就比较多； 样本容量取得较小，则投入的费 用、人力及时间就相对节约，但收 集的信息也较少，从而估计精度较 低； 所以，精度和费用对样本量的影 响和要求是矛盾的，不存在既使精 度最高又使费用最省的样本量 。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
解: 已知=2000，d=400, 1-=95%， z/2=1.96 置信度为95%的置信区间为：
n ( z 2 )2 2 (1.96 )2 20002
d2
4002
96.04 97
即应抽取97人作为样本。
估计总体比例时样本容量的确定
估计总体比例时ห้องสมุดไป่ตู้本容量的确定
1. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为：
• •
重复抽样n
(
z
2
)2
d2
(1
)
•
2.
不重复抽n样
(
N
N( z 2 )2 (1 ) 1)d2 ( z 2 )2 (1
)
d的取值一般小于0.1
其中： d z 2
p(1 p ) n
3. π未知，以样本比例p替代
4. π或p都未知时，可取0.5，这是一种谨慎估计
1. 估计总体均值时样本容量n为：
• •
重复抽样 n
(
z
2
d
)2
2
2
•
不重复抽样
n
(N
N( z 2 )2 2 1)d2 ( z 2 )2 2
其中：d
Z
2
•
n
2. 样本容量n与总体方差成正比，与绝对误差成
反比，与概率度成正比。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年 薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪 95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽 取多大的样本容量？
n
(
z
2
)2
p(1 d2
p
)
(1.96 )2 0.9(1 0.9 ) 0.052
138.3 139
应抽取139个产品作为样本。
本节结束，谢谢！
样本容量确定的准则
在对精度有要求时，寻求能够 保证精度要求的费用最省的样本 量；
由于费用通常是关于样本量的 正向线性函数，故使费用最省的 样本量也就是使精度得到保证的 最小样本量；
在费用有预算限制的时候，寻 求费用预算范围内使精度达到最 高的样本量。
估计总体均值时样本容量的确定
估计总体均值时样本容量的确定
估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析)
【例】根据以往的生产统 计，某种产品的合格率约 为 90% ， 现 要 求 允 许 误 差 为 5% ， 在 求 95% 的 置 信 区 间时，应抽取多少个产品 作为样本？
解 : 已 知 p=90% ， 1-=95% ，
Z/2=1.96， d =5%
应抽取的样本容量为：
样本容量确定的两难
样本容量取得较大，收集的信息 就相对多，从而估计精度较高，但 进行观测所投入的费用、人力及时 间就比较多； 样本容量取得较小，则投入的费 用、人力及时间就相对节约，但收 集的信息也较少，从而估计精度较 低； 所以，精度和费用对样本量的影 响和要求是矛盾的，不存在既使精 度最高又使费用最省的样本量 。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
解: 已知=2000，d=400, 1-=95%， z/2=1.96 置信度为95%的置信区间为：
n ( z 2 )2 2 (1.96 )2 20002
d2
4002
96.04 97
即应抽取97人作为样本。
估计总体比例时样本容量的确定
估计总体比例时ห้องสมุดไป่ตู้本容量的确定
1. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为：
• •
重复抽样n
(
z
2
)2
d2
(1
)
•
2.
不重复抽n样
(
N
N( z 2 )2 (1 ) 1)d2 ( z 2 )2 (1
)
d的取值一般小于0.1
其中： d z 2
p(1 p ) n
3. π未知，以样本比例p替代
4. π或p都未知时，可取0.5，这是一种谨慎估计
1. 估计总体均值时样本容量n为：
• •
重复抽样 n
(
z
2
d
)2
2
2
•
不重复抽样
n
(N
N( z 2 )2 2 1)d2 ( z 2 )2 2
其中：d
Z
2
•
n
2. 样本容量n与总体方差成正比，与绝对误差成
反比，与概率度成正比。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年 薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪 95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽 取多大的样本容量？
n
(
z
2
)2
p(1 d2
p
)
(1.96 )2 0.9(1 0.9 ) 0.052
138.3 139
应抽取139个产品作为样本。
本节结束，谢谢！
样本容量确定的准则
在对精度有要求时，寻求能够 保证精度要求的费用最省的样本 量；
由于费用通常是关于样本量的 正向线性函数，故使费用最省的 样本量也就是使精度得到保证的 最小样本量；
在费用有预算限制的时候，寻 求费用预算范围内使精度达到最 高的样本量。
估计总体均值时样本容量的确定
估计总体均值时样本容量的确定
估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析)
【例】根据以往的生产统 计，某种产品的合格率约 为 90% ， 现 要 求 允 许 误 差 为 5% ， 在 求 95% 的 置 信 区 间时，应抽取多少个产品 作为样本？
解 : 已 知 p=90% ， 1-=95% ，
Z/2=1.96， d =5%
应抽取的样本容量为：