比赛讲座 07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式因为平面上的凸多边形都能够切割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不一样场合下选择最正确形式使用．设△ ABC ，a,b,c分别为角A, B, C的对边，h a为a的高， R 、r分别为△ ABC 外接圆、内切圆的半径，p 1( a b c) ．则△ ABC 的面积有以下公式：（1）S ABC 122 ah a；（2）S ABC （3）S ABC （4）S ABC （5）S ABC （6）S ABC （7）S ABC（8）S ABC （9）S ABC 1b csin A2p( p a)( p b)( p c)1 r(a b c pr2)abc4R2R 2 sin A sin B sin Ca 2 sin B sin C2 sin( B C )1(b c a)r a212 (sin 2A sin 2B sin 2 )R C22．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相像三角形的面积的比等于相像比的平方；（ 6）共边比率定理：若△PAB 和△QAB的公共边 AB 所在直线与直线PQ 交于M，则S PAB :S QAB PM :QM ；（ 7）共角比率定理：在△ABC 和△ A B C 中，若A A 或 A A 180 ，则S ABCAB AC ．SABCA B A C3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线 PA, PB, PC ，设 APC， CPB，APB 180 ，则 A, B,C 三点共线的充要条件是：sin sinsin()PBPA．PC例题剖析例 1．梯形 ABCD 的对角线 AC, BD 订交于 O ，且 S AOB m ， S COD n ，求 S ABCD 例 2．在凸五边形 ABCDE 中，设 S ABC S BCD S CDES DEA S EAB 1，求此五边形的面积．例 3． G 是△ ABC 内一点，连接 AG , BG, CG 并延伸与 BC ,CA, AB 分别交于 D , E, F ，△ AGF 、△ BGF 、△ BGD 的面积分别为 40， 30， 35，求△ ABC 的面积． 例 4． P,Q, R 分别是△ ABC 的边 AB, BC 和 CA 上的点，且 BP PQQR RC 1，求△ ABC 的面积的最大值．例5．过 △ ABC 内一点引三边的平行线DE ∥ BC ，FG ∥CA ， HI ∥ AB ，点D, E, F , G , H , I 都在△ ABC 的边上， S 1 表示六边形 DGHEFI 的面积， S 2 表示△ ABC 的面积．求证： S 12S 2．3例 6．在直角△ ABC 中， AD 是斜边 BC 上的高，过△ ABD 的心里与△ ACD 的心里的直 线分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L ，△ ABC 和△ AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：S 2T ．例 7．锐角三角形ABC 中，角 A 均分线与三角形的外接圆交于一点A 1 ，点B 1 、C 1 与此类似，直线 AA 1 与 B 、 C 两角的外角均分线将于一点 A 0 ，点 B 0 、 C 0 与此近似．求证：（1）三角形 A 0 B 0C 0 的面积是六边形 AC 1BA 1CB 1 的面积的二倍； （2）三角形 A 0 B 0C 0 的面积起码是三角形 ABC 的四倍．SPQR2．例 8．在△ ABC 中， P, Q, R 将其周长三均分，且 P,Q 在边 AB 上，求证： 9SABC例 9．在锐角△ ABC 的边 BC 边上有两点 E 、 F ，知足 BAE CAF ，作 FMAB ，FM AC （ M , N 是垂足），延伸 AE 交△ ABC 的外接圆于点D ，证明四边形 AMDN 与△ ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是办理相关面积问题的重要方法之一，它的特色是利用间面积相等而进行相互变换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB BC DC 3 1，DE EF FA1，求此六边形的面积．例 11．已知ABC 的三边a b c ，此刻AC 上取AB AB ，在BA 延伸线上截取BC BC ，在CB 上截取CA CA ，求证：SABC SA B C．例 12． A B C在ABC 内，且ABC ∽ A B C，求征：S A BC S B CA S C AB S ABC 例 13．在ABC 的三边BC , CA, AB上分别取点D,E,F，使BD3DC , CE3EA ，AF3FB ，连AD , BE ,CF订交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形 PQR 的面积．例 14．E为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，EF AD于F，EH BC于H，EG CD 于 G ，求证：EF 均分FH．例 15．已知边长为a,b,c, 的ABC ，过其心里I任作向来线分别交AB, AC于M,N点，求证：MI a c．IN b例 16．正△PQR正△P Q R， AB a1， BC b1， CD a2， DE b2，EF a3， FA b3．求证：a12a22a32b12b22b32 ．例 17．在正ABC 内任取一点O ，设 O 点对于三边BC, CA, AB的对称点分别为A,B,C，则 AA , BB ,CC 订交于一点P．例 18．已知AC ,CE 是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M,N分别内分ACCE ，且使AM CNk ，假如B,M,N三点共线，试求k 的值．AC CE例 19．设在凸四边形ABCD中，直线CD以AB为直径的圆相切，求证：当且仅当BC∥AD 时，直线 AB 与以 CD 为直径的圆相切．训练题1 ．设 A B C的面积为10 cm2，D , E, F分别是AB , BC , CA 边上的点，且AD2cm, DB 3cm, 若 S ABE S DBEF，求ABE 的面积．2．过ABC 内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC 分红六部份，此中，三部份为三角形，其面积为S1 , S2 , S3，求三角形ABC 的面积．3．在ABC 的三边 AB, BC ,CA 上分别取不与端点重合的三点 M ,K,L ，求证： AML ，BKM , CLK 中起码有一个的面积不大于ABC 的面积的 1 ．44．锐角 ABC 的顶角 A 的均分线交 BC 边于 L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作 AB 和AC 边的垂线 LK 和 LM ,垂足是 K , M ，求证：四边形 AKNM 的面积等于ABC 的 面积．5．在等腰直角三角形ABC 的斜边 BC 上取一点 D ，使 DC1BC ，作BE AD 交AC 于 E ，求证： AE EC ．36l , m, n 相互平行， l, n 在 m 的双侧，且 l , m 间的距离为2 ， m, n间的距离为1．三条直线，若正ABC 的三个极点分别在 l , m,n 上，求正 ABC 的边长．7 ．已知P 1 P 2 P 3 及其内任一点P ，直线 P i P 分别交对边于 Q i （ i1,2,3 ），证明：在P 1 P P 2 P P 3 P这三个值中，起码有一个不大于2，而且起码有一个不小于2．,,PQ 3PQ 1 PQ 28．点 D 和 E 分别在ABC 的边 AB 和 BC 上，点 K 和 M 将线段 DE 分为三均分， 直线 BK和 BM 分别与边 AC 订交于点 T 和 P ，证明： TP1AC ．39．已知 P 是 ABC 内一点，延伸 AP, BP, CP 分别交对边于 A,B,C，此中 APx ，BP y, CP z, PA PB PC w ，且 xyz 23, w3 ，求 xyz 之值．10．过点 P 作四条射线与直线l ,l 分别交于 A,B,C,D 和 A ,B ,C ,D ，求证：AB CD A B C D ． AD BCA DB C11．四边形 ABCD 的两对对边的延伸线分别交K, L ，过 K,L 作直线与对角线AC, BD 的延伸线分别 G, F ，求证：LFLG ．KFKG12．G 为 ABC 的重心，过 G 作直线交 AB, AC 于 E, F ，求证： EG2GF ．。
