环形一级倒立摆设计

一级倒立摆的PID控制设计一级倒立摆的PID控制设计摘要本文主要研究的是一级倒立摆的PID控制问题，并用遗传算法对其PID的参数进行了优化。

倒立摆是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。

由于在实际中有很多类似于倒立摆的系统，因此对它的研究在理论上和方法论上均有深远的意义。

本文首先简单地介绍了倒立摆以及倒立摆的控制方法，并对其参数优化算法做了分类介绍。

然后，介绍了遗传算法的基本理论和操作方法。

接着建立了一级倒立摆的数学模型，并求出其状态空间描述。

本文主要采用遗传算法来对PID的参数进行优化，得到较好的PID参数。

最后，用Simulink对系统进行了仿真，验证了该方法的有效性，证明遗传算法是较为理想的参数优化方法。

关键词：PID控制器；倒立摆；遗传算法；MATLAB仿真目录1绪论 (1)1.1倒立摆简介 (1)1.2倒立摆的控制方法 (2)1.3PID控制器参数整定方法 (3)1.4本文的主要任务 (5)2 PID简介 (6)2.1PID控制的基本原理 (6)2.2PID控制器的参数整定 (7)2.3PID控制的基本用途 (8)2.4PID控制的重要意义 (9)3遗传算法的基本理论和基于遗传算法的PID参数寻优 (11)3.1遗传算法的基本原理 (11)3.2遗传算法的操作方法 (13)3.2.1二进制编码 (13)3.2.2适应度函数 (13)3.2.3遗传操作 (16)3.3遗传算法的应用关键 (19)3.4基于遗传算法的PID参数寻优 (19)3.4.1基于遗传算法的PID寻优优点 (20)3.4.2基于遗传算法的PID寻优方法 (20)4 一级倒立摆的模型 (23)4.1一级倒立摆的物理模型 (23)4.2一级倒立摆的数学模型 (23)5直线一级倒立摆PID控制系统的设计及仿真 (27)5.1PID控制器的设计 (27)5.2一级倒立摆系统的S IMULINK模型及系统仿真 (27)5.2.1MATLAB及Simulink (27)5.2.2一级倒立摆系统的Simulink模型 (27)5.2.3仿真结果 (28)5.3小结 (30)结论 (31)致谢 (33)参考文献 (34)附录 (35)1绪论1.1倒立摆简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一阶倒立摆是一种常见的控制系统，它由一个旋转臂和一个悬挂在旋转臂末端的摆杆组成。

控制目标是使摆杆保持垂直位置并保持在指定的角度范围内。

本文将基于双闭环PID控制设计一阶倒立摆控制系统，并对其进行详细的分析和讨论。

首先，我们需要明确控制系统的结构。

一阶倒立摆控制系统可以分为两个闭环：内环和外环。

内环用于控制旋转臂的角度，并将输出作为外环的输入。

外环用于控制摆杆的角度，并根据测量的摆杆角度和设定的目标角度来调整内环的输入。

在进行控制系统设计之前，我们需要先建立一阶倒立摆的数学模型。

假设倒立摆的质量集中在摆杆的一端，摆杆的长度为L，质量为m，摩擦系数为b，重力加速度为g。

通过应用牛顿第二定律，可以得到如下动力学方程：mL²θ¨ + bLθ˙ + mgLsinθ = u其中，θ是旋转臂的角度，u是旋转臂的扭矩。

为了简化方程，我们进行恒定参数修正和线性化处理，得到线性方程：θ¨ + 2ξωnθ˙ + ωn²θ = kru其中，ξ是阻尼比，ωn是无阻尼自然频率，kr是旋转臂的增益。

接下来，我们将按照以下步骤设计基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统：1.内环设计：-选择合适的内环闭环控制器类型。

对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。

-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。

可以使用试错法、经验法、系统辨识等方法进行参数调整。

-将PID控制器的输入设置为旋转臂角度误差，输出为旋转臂的扭矩。

2.外环设计：-选择合适的外环闭环控制器类型。

对于一阶倒立摆，可以选择PID控制器。

-根据倒立摆的特性和性能要求，选择合适的PID参数。

-将PID控制器的输入设置为摆杆角度误差，输出为旋转臂的角度设定值。

3.进行系统仿真和调试：-使用MATLAB等仿真工具建立一阶倒立摆的数学模型，并将设计的控制器与模型进行集成。

-调整控制器的参数，以满足性能指标和系统稳定性的要求。

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。

设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。

二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。

三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。

计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。

四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。

1 绪论随着电脑技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高劳动生产率做出了重要奉献。

倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地检验众多控制方法的有效性。

对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。

这不仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制理论和方法因而层出不穷。

各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。

1.1 倒立摆系统的分类随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展为多种形式。

目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面)内摆动的摆。

考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型1〕小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”)小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。

其中，摆杆可以是一级、两级、三级、四级甚至多级。

摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度也可能是变化的。

控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望的位置上稳定，而摆杆到达竖直向上的动态平衡状态。

2〕旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”)旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。

与小车倒立摆不同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。

旋转倒立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控制的难度。

3〕平面倒立摆系统在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆 可沿竖直平面内任一轴线转动。

一阶倒立摆控制系统设计首先，设计一阶倒立摆控制系统需要明确系统的参数和模型。

一阶倒立摆通常由一个平衡杆和一个摆组成。

平衡杆的长度、摆的质量和位置等都是系统的参数。

根据平衡杆的转动原理和摆的运动方程，可以得到一阶倒立摆的数学模型。

接下来，根据系统的数学模型，进行系统的稳定性分析。

稳定性分析是判断一阶倒立摆控制系统是否能够保持平衡的重要步骤。

常用的稳定性分析方法有判据法和根轨迹法。

判据法通过计算特征方程的根来判断系统的稳定性，根轨迹法则通过特征方程的根随一些参数变化的路径来分析系统的稳定性。

在进行稳定性分析的基础上，选择合适的控制策略。

常见的控制策略有比例控制、积分控制和微分控制等。

比例控制通过将系统的输出与期望值之间的差异放大一定倍数来控制系统；积分控制通过积分系统误差来进行控制；微分控制通过对系统误差的微分来进行控制。

在选择控制策略时，需要考虑系统的动态响应、稳态误差和鲁棒性等指标。

在选定控制策略后，进行控制器的设计和参数调节。

控制器是实现控制策略的核心部分。

控制器可以是传统的PID控制器，也可以是现代控制理论中的模糊控制器、神经网络控制器等。

控制器的参数需要通过试探法、经验法或者系统辨识等方法进行调节，以使系统达到最佳的控制效果。

最后，进行实验验证和性能评估。

在实验中，需要将控制器与倒立摆系统进行连接，并输入一定的控制信号。

通过测量系统的输出响应和误差，可以评估控制系统的性能，并进行调整和改进。

综上所述，一阶倒立摆控制系统设计的步骤包括系统参数和模型确定、稳定性分析、控制策略选择、控制器设计和参数调节、实验验证和性能评估等。

在设计过程中，需要综合考虑系统的稳定性、动态响应和鲁棒性等因素，以实现一个稳定可靠、性能优良的一阶倒立摆控制系统。

基于双闭环设计的一阶倒立摆PID控制方法1摘要倒立摆控制是控制理论中的经典问题，双闭环控制方法在倒立摆控制中得到广泛应用，本文提出了一种基于双闭环设计的一阶倒立摆PID控制方法。

首先建立倒立摆的数学模型，选择控制器型号为PID控制器，并采用标准的Ziegler-Nichols方法进行控制器参数调节。

接着，设计了两级闭环控制系统：外环控制倒立摆的角度，内环控制电机输出的电压，以保证倒立摆稳定控制。

仿真结果表明，该控制器在扰动干扰下也能够实现稳定控制，具有较高的精度和稳定性。

关键词：双闭环，一阶倒立摆，PID控制，Ziegler-Nichols方法AbstractInverted pendulum control is a classic problem in control theory. The double closed-loop control method has been widely used in inverted pendulum control. This paper proposes a first-order inverted pendulum PID control method based on double closed-loop design. First, the mathematical model of the inverted pendulum is established, and the controller type is selected as PID controller. The standard Ziegler-Nichols method is used to adjust the controller parameters. Then, atwo-level closed-loop control system is designed: the outer loop controls the angle of the inverted pendulum, and the inner loop controls the voltage output of the motor to ensure stable control of the inverted pendulum. Simulation results show that the controller can achieve stable control even under disturbance interference, and has high accuracy and stability.Keywords: double closed-loop, first-order inverted pendulum, PID control, Ziegler-Nichols method一、引言倒立摆是一种在工业自动化控制、机器人自主导航、交通运输车辆控制等领域应用广泛的研究对象，其控制问题一直是研究的热点，也是控制理论中的经典问题。

一阶倒立摆控制设计与实现一阶倒立摆是一种常见的控制系统模型，它由一个垂直的支柱和一个质量为m 的物体组成，物体通过支柱与地面相连。

在控制系统中，我们需要设计一个控制器来控制物体的位置和速度，使其保持在垂直位置上。

本文将介绍一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容。

一、一阶倒立摆模型一阶倒立摆模型可以用以下方程描述：m*d^2y/dt^2 = -mg*sin(y) + u其中，y是物体的位置，u是控制器的输出，m是物体的质量，g是重力加速度，t是时间。

该方程可以通过拉普拉斯变换转换为传递函数：G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(ms^2 + mg)二、控制器设计为了控制一阶倒立摆，我们需要设计一个控制器来产生控制信号u。

常见的控制器包括比例控制器、积分控制器和微分控制器，它们可以组合成PID控制器。

在本文中，我们将使用比例控制器来控制一阶倒立摆。

比例控制器的输出与误差成正比，误差越大，输出越大。

比例控制器的传递函数为：Gc(s) = Kp其中，Kp是比例增益。

三、闭环控制系统将控制器和一阶倒立摆模型组合起来，得到闭环控制系统的传递函数：G(s) = Y(s)/R(s) = Kp/(ms^2 + mg + Kp)其中，R(s)是参考信号，表示我们期望物体保持的位置。

四、控制系统实现在实现控制系统之前，我们需要对一阶倒立摆进行建模和仿真。

我们可以使用MATLAB等工具进行建模和仿真。

在MATLAB中，我们可以使用Simulink模块来建立一阶倒立摆模型和控制器模型。

在建立模型之后，我们可以进行仿真，观察系统的响应和稳定性。

在实现控制系统时，我们需要选择合适的硬件平台和控制器。

常见的硬件平台包括Arduino和Raspberry Pi等，常见的控制器包括PID控制器和模糊控制器等。

在实现控制系统之后，我们需要进行调试和优化，以达到最佳控制效果。

五、总结本文介绍了一阶倒立摆控制设计与实现的相关内容，包括一阶倒立摆模型、控制器设计、闭环控制系统和控制系统实现。

目录序言 (2)第一章环形一级倒立摆的数学模型 (3)第二章环形二级倒立摆的数学模型 (5)第三章最优控制 (9)第四章环形倒立摆系统的硬件和软件 (10)4.1控制系统的硬件 (10)4.2控制系统软件 (10)4.2.1VC版控制系统软件说明 (11)4.2.2实时数据保存 (14)4.2.3 Matlab版软件说明 (15)第五章系统使用说明 (23)5.1 环形倒立摆系统的操作步骤 (23)5.2 注意事项 (25)5.3日常维护 (25)序言在控制理论发展的过程中某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证.倒立摆就是这样一个被控制对象.倒立摆系统是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想平台，它具有成本低廉、结构简单、物理参数和结构易于调整的优点，倒立摆系统本身是一个典型的非线性、高阶次、多变量、强耦合和绝对不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的收敛速度和系统的抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观地表现出来.此外，通过倒立摆系统还可以研究结构控制、非线性观测器、摩擦补偿、目标定位控制、混合系统和混沌系统等.利用倒立摆系统研究产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面都具有广阔的利用开发前景.倒立摆系列产品包括直线运动型、圆周运动型和平面运动倒立摆几大系列，主要特点包括：开放性：采用二轴运动控制板卡，机械部分和电气部分非常容易扩展，可以根据用户需要进行配置.系统软件接口充分开放，用户不仅可以使用配套的实验软件，而且可以根据自己的实际需要扩展软件的功能.模块化：系统的机械部分可以选用直线或者旋转平台，根据实际需要配置成一级、二级或者三级倒立摆.而三级摆可以方便地改装成二级摆，二级摆可以改装成一级摆.系统实验软件同样是基于模块化的思想设计，用户可以根据需要增加或者修改相应的功能模块.简易安全：倒立摆实验系统包括运动控制卡、电控箱、机械本体和微型计算机几个部分组成，安装升级方便.同时在机械、运动控制板卡和实验软件上都采取了积极措施，保证实验时人员的安全可靠和仪器安全.方便性：倒立摆系统易于安装、升级，同时软件界面操作简单.先进性：采用工业级二轴运动控制板卡作为核心控制系统，先进的交流伺服电机作为驱动，检测元件使用高精度高性能光电码盘.系统设计符合当今先进的运动控制发展方向.实验软件多样化：用于实验的软件包括Windows界面（VC++），以及控制领域使用最多的仿真工具Matlab提供完备的设备接口和程序接口，方便用户进行实验和开发.倒立摆系统适应如下课程的实验：《自动控制原理》、《现代控制理论》、《现代控制工程》、《最优控制》、《非线性系统控制》、《智能控制》、《模糊控制》和《神经网络控制》等等.第一章 环形一级倒立摆的数学模型在忽略了空气阻力、各种摩擦之后，将环形倒立摆系统抽象成匀质摆杆和水平杆组成的刚体系统.环形一级倒立摆的结构如图所示：图1 环形一级倒立摆的结构图水平杆与x 的夹角：0θ，摆杆与垂直方向的夹角：1θ表1 环形一级倒立摆的物理参数水平杆的质量0m 0.308 kg 水平杆绕端点的转动惯量 0J 0.0042kg m ⋅摆杆的质量1m 0.1323 kg 摆杆绕质心的转动惯量1J 0.01152kg m⋅水平杆的长度0L 0.2535 m摆杆质心到转轴的距离1l 0.2433m系统的拉格朗日算子：(,)(,)(,)L q qT q q V q q =- ，其中L 为拉格朗日算子、q 为系统的广义坐标、T 为系统的总动能、V 为系统的总势能. 拉格朗日方程：()i i id L LQ dt q q ∂∂-=∂∂ (1.1) 其中，1,2,3,...,i n =、i Q 为系统沿广义坐标i q 方向上的外力.在环形一级倒立摆系统中广义坐标：000111,,q qq θθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦环形一级倒立摆系统的动能T ：01m m T T T =+ （1.2）其中，0m T 为水平杆的动能、1m T 为摆杆的动能. 水平杆的动能：020012m T J θ=在距摆杆转动中心距离l 处取一小段dl ，这一小段的坐标如下：000100011cos sin sin sin cos sin cos x L l y L l z l θθθθθθθ=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩则，这一小段的动能：222111[()()()]22dl dx dy dz dT m l dt dt dt=++ 摆杆的动能： 1120l m T dT =⎰（1.3）以水平杆所在的水平面为零势能面，则系统的势能V 即为摆杆的重力势能：1111cos m V V m gl θ==（1.4） 则，拉格朗日方程：011()()0d LL u dt d L L dt θθθθ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩ （1.5） 其中，u 为施加到水平杆上的控制力矩.在倒立摆实物控制中，我们采用水平杆的角加速度作为输入即：0u θ= 系统的状态变量：0101T x θθθθ⎡⎤=⎣⎦ ，在平衡位置[]0000T 对系统模型进行线性化即：2cos 1,sin ,0θθθθ≈≈≈系统的状态空间模型：xAx Bu y Cx=+⎧⎨=⎩ （1.6） 其中,A 为系统的状态矩阵、B 为控制矩阵、y 为系统的输出、C 为系统的输出矩阵 由上述（1.5）微分方程的：42400100000101000,,000010100000A B C a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中，04241133,44L ga b l l ==.第二章 环形二级倒立摆的数学模型在忽略了各种摩擦后，环形二级摆抽象成由两个摆杆和一个水平杆组成，系统结构如图所示：图2环形二级倒立摆的结构简化图水平杆与x 的夹角：0θ，下摆杆与垂直方向的夹角：1θ，上摆杆与垂直方向的夹角：2θ .表2环形二级倒立摆的物理参数水平杆的长度 0L 下摆杆绕质心的转动惯量 1J 下摆杆的长度1L 上摆杆绕质心的转动惯量 2J 下摆杆质心到转轴的距离 1l 下摆杆的质量 1m上摆杆质心到转轴的距离 2l 上摆杆的质量 2m水平杆绕端点的转动惯量0J系统的拉格朗日算子：(,)(,)(,)L q qT q q V q q =- ，其中L 为拉格朗日算子、q 为系统的广义坐标、T 为系统的总动能、V 为系统的总势能.拉格朗日方程：()i i i d L LQ dt qq ∂∂-=∂∂（2.1） 其中，1,2,3,...,i n =、i Q 为系统沿广义坐标i q 方向上的外力.在环形二级倒立摆系统中广义坐标：000111222,,q q q θθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.环形二级倒立摆系统的动能T ： 012m m m T T T T =++ （2.2）其中，0m T 为水平杆的动能、1m T 为下摆杆的动能、2m T 为上摆杆的动能. 水平杆的动能：020012m T J θ=（2.3）在距下摆杆转动中心距离l 处取一小段dl ，这一小段的坐标如下：100011000111cos sin sin sin cos sin cos x L l y L l z l θθθθθθθ=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 则，这一小段的动能：1222111111[()()()]2m dx dy dz dldT m L dt dt dt=++ 下摆杆的动能：1110L m m T dT =⎰（2.4） 在距下摆杆转动中心距离h 处取一小段dh ，这一小段的坐标如下：20010102200101022112cos sin sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos x L L h y L L h z L h θθθθθθθθθθθθ=--⎧⎪=++⎨⎪=+⎩ 则，这一小段的动能：2222222221[()()()]22m dx dy dz dhdT m l dt dt dt=++ 上摆杆的动能：22220l m m T dT =⎰（2.5） 以水平杆所在的水平面为零势能面，则系统的势能V 即为摆杆的重力势能11122211cos (cos cos )V m gl m g l L θθθ=++（2.6） 则，拉格朗日方程：001122()()0()0d L Lu dt d L Ldt d L Ldt θθθθθθ⎧∂∂-=⎪∂∂⎪⎪∂∂-=⎨∂∂⎪⎪∂∂-=⎪∂∂⎩（2.7） 其中，u 为施加到水平杆上的控制力矩. 将上述微分方程写成：(,)(,)()M q q q C q q q G q τ++= （2.8）由（2.7）可知：111213111213212223212223313233313233,,00m m m c c c u M m m m C c c c m m m c c c τ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦22110112201121210113002211222123011231133223332sin sin 2sin sin cos cos cos()m a a a b L m b L m b L m m m a m b L m m m m m a θθθθθθθθ⎧=+++⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪=⎪=⎪⎪=⎩1112101101101012132020022010122110110101222230121231202201010sin 2sin 2cos sin sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin 0sin()sin cos sin cos c c a b L b L c a b L b L c a b L c c b L c a b L θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==-+=-+=--==-=--2320111233sin()0c b L c θθθ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=--⎪=⎩ ，11020sin sin G b g b g θθ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 其中已置，22222001020111121222202211121,,,,a J m L m L a J m l m L a J m lb m l b m l m L ++++++在倒立摆实物控制中，我们采用水平杆的角加速度作为输入即：0u θ= 系统的状态变量：012012Tx θθθθθθ⎡⎤=⎣⎦，在平衡位置[]000000T对系统模型进行线性化即：2cos 1,sin ,0θθθθ≈≈≈系统的状态空间模型：xAx Bu =+ ，其中,A 为系统的状态矩阵、B 为控制矩阵 525356263600100000001000000010,000000100000000A B a a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中，201215253222212011201011106263222212011201,()(),()()b L g a b ga a a ab L a a b L b b L g a b ga a a ab L a a b L -==-+-+-==-+-+，2012015221201001116221201()()()()L b a b L b a a b L b L b L a b a a b L -=-+--=-+表3环形二级倒立摆的物理参数：水平杆的长度0L 0.2135m 下摆杆绕质心的转动惯量1J 0.00332kg m ⋅ 下摆杆的长度1L 0.175m 上摆杆绕质心的转动惯量2J 0.00882kg m ⋅ 下摆杆质心到转轴的距离1l 0.1329m 下摆杆的质量1m 0.1617㎏ 上摆杆质心到转轴的距离 2l 0.221m 上摆杆的质量2m 0.1225 ㎏ 水平杆绕端点的转动惯量0J 0.0042kg m ⋅第三章 最优控制在经典控制理论中，设计控制系统的各种方法大多建立在试凑的基础上，设计结果与设计人员的经验有很大关系.对于多输入-多输出系统，或者要求较高精度的复杂系统，经典控制方法显得无能为力，迫切需要探索新的设计方法.20世纪60年代，由于空间技术的迅猛发展和计算机的广泛应用，动态系统的优化理论得到了迅速发展，形成了最优控制这一重要的学科分支，并在控制工程、经济管理与决策以及人口控制等领域得到了成功应用，取得了显著的成效.最优控制在被控对象已知的情况下，已经成为设计复杂系统的有效方法之一.最优控制是现代控制理论的核心.最优控制研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制规律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到极小值（或极大值）.从数学观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴.然而经典的控制理论只能解决控制无约束，即容许控制属于开集的一类最优问题，而实际工程实践中所遇到的多为控制有约束，即容许控制属于闭集的一类最优控制问题.为了满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了变分理论，其中最常用的方法是动态规划和极小值原理.如果所研究的系统是线性的，且性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数，则最优控制问题称为线性二次型问题.由于线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式，且可导致一个简单的线性状态反馈控制律，易于构成闭环最优反馈控制，便于工程实现，因而在实际工程中得到了广泛的应用.利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR 控制器。