完全平方式的变式及应用【摘要】本文主要是对数学学科中的完全平方公式进行一些变式及应用，以便于学生理解完全平方公式的特点和解法。
【Abstract】In this paper, the writer has produced some changed formulas from the perfect square formula in mathematics class and applied them so as to make students understand the character and solution of the perfect square formula.【Keywords】Perfect square formula Changed formula Application完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2，简记为：首平方，尾平方，两倍乘积在中央。
根据等式性质，完全平方公式可作如下变式：（1）a2+b2=(a+b)2－2ab（2）a2+b2=(a－b)2+2ab（3）2ab=(a+b)2－(a2+b2)（4）2ab=(a2+b2)－(a－b)2（5）(a+b)2=(a－b)2+4ab（6）(a－b)2=(a+b)2－4ab（7）(a+b)2－(a－b)2=4ab（8）(a+b)2+(a－b)2=2a2+2b2上面各式反映了a+b、a－b、ab及a2+b2之间的关系，利用这些变式，可以巧妙地解决许多数学问题。
例1、已知a+b=7，ab=12，求a2+b2的值。
解：由变式（1）得：a2+b2=(a+b)2－2ab=72－2×12=25例2、已知x－1/x=3，求x2+(1/x)2的值。
解：由变式（2）得：x2+(1/x)2=(x－1/x)2+2=32+2=11例3、已知两线段的和为5，它们的平方和为13，求以这两线段的长为边的长方形的面积。
完全平方公式12种变形公式完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。
它具有广泛的应用，如科学、工程等。
完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。
下面分别介绍它们的变形过程和形式：1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。
2.方相加变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。
3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。
4.方相减变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。
5.项变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。
6.积变形：即左边的方程可以变成[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为[ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。
7. 乘积变形：即左边的方程可以变成[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。
8.积变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]。
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
完全平方公式的变式及应用作者：来源：《数学金刊·初中版》2011年第12期?摇?摇将完全平方公式（a+b）2 =a 2+2ab+b 2?摇，（a-b）2 =a 2-2ab+b 2?摇进行变形后易得以下几个公式：a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab，（a+b）2=（a－b）2+4ab，（a－b）2=（a+b）2－4ab，（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2），（a+b）2－（a－b）2=4ab，（和差化积公式）ab=■2－■2. （积化和差公式）上述公式虽然十分简单，但大多都是与两数之和或差或积有关的式子，活用上面这些变形公式解决有关数学问题，容易找到独特的解题思路和方法，达到事半功倍之效，能使一些疑难问题显得妙趣横生、让人豁然开朗，同时体验到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的美妙感受．■已知a+b=70，c2=ab-1225，求a，b，c的值.■ 因为（a+b）2-（a-b）2?摇=4ab，所以（a-b）2?摇=（a+b）2-4ab=702-4（c2+1225）=-4c2. 所以（a-b）2+4c2=0. 由非负数的性质得a=b，c=0，从而a=b=35，c=0.■若a，b，c满足（a+2b）（a+2c）=（b+2c）·（b+2a）=（c+2a）（c+2b）,?摇?摇求证：a=b=c.■由积化和差公式得（a+2b）（a+2c）=（a+b+c）2-（b－c）2，（b+2c）（b+2a）=（b+c+a）2-（c-a）2，（c+2a）（c+2b）=（c+a+b）2-（a-b）2，所以（a+b+c）2-（b-c）2=（b+c+a）2-（c-a）2=（c+a+b）2-（a-b）2，即（b-c）2=（c-a）2=（a-b）2 ①. 若a≠b，则由①式知，b≠c，c≠a，即a，b，c互不相等，不妨设c＜b＜a，于是a-c＞0，b-c＞0，故（a-c）2＞（b-c）2. 这与（a-c）2=（b-c）2矛盾，从而得a=b,所以﹙a-b﹚2 =0. 由①式得b=c，故a=b=c.。
