2023—2024学年高三5月高考适应性大练兵联考高三数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）AB ．C ．D ．3．函数的一个单调递减区间为（）A ．B ．C ．D ．4．已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设是两个不同的平面，是两条共面直线，，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校成立了手工艺社团，并开设了陶艺、剪纸等6门课程．该校甲、乙2名同学报名参加手工艺社团，每人仅报2门课程，其中甲不报陶艺、乙不报剪纸，且甲、乙两人所报课程均不相同，则甲、乙报名课程的方案种数为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．427．已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）z ()1,1-212iz =-42i 55-24i 55-42i 55+24i 55+22:18035x y C +=()223x xf x -=(),0-∞()1,0-()0,1()1,+∞()221,a λλ=+ (),1b μ= 0λ>a b ∥μ)⎡+∞⎣[)2,+∞)+∞[)1,+∞,αβ,a b a α⊂b β⊂a b ∥αβ∥()24sin cos 3cos1f x x x x ωωω=+-11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭tan ω=A ．3或B ．2或C ．或D ．或8．如图，将边长为1的正以边为轴逆时针翻转弧度得到，其中，构成一个三棱锥，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知是等比数列的前5项中的其中3项，且，则的前7项和可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知集合，，则下列结论正确的是（）A ．对，B ．当时，C ．当时，D ．，使得11．已知定义在上的函数满足，的导函数为，则（）A ．B ．是单调函数C ．D ．为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13-12-2-123-13ABC △AB θABC '△π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ABC '-θπ0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,2,8-{}n a 20a >{}n a 43-434-436432(){},20A x y x ay a =++=(){},10B x y ax ay =+-=a ∀∈R A ≠∅1a =-13,22A B ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ A B =∅ 1a =a ∃∈R A B=R ()f x ()()()()21f xy xf y yf x x y =+++-()f x ()f x '()12f -=-()f x ()()20180i f i f i =⎡⎤-+=-⎣⎦∑()f x '12．某新能源汽车店五月份的前8天汽车销量（单位：辆）分别为：，则这组数据的分位数为______．13．在中，内角所对的边分别为，是的中点，，则______．14．已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，两点在的准线上的射影分别为，且的面积是的面积的4倍，若轴被以为直径的圆截得的弦的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）求的单调区间与最大值．16．（15分）如图，在正三棱柱中，为的中点．（1）证明：；（2）若，与平面所成角的正弦值．17．（15分）已知双曲线的离心率为2．（1）求的方程；（2）若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．18．（17分）已知袋中装有除颜色外均相同的4个黑球、1个白球，现从袋中随机抽取1个小球，观察颜色，4S 3,7,11,5,8,15,21,975%ABC △,,A B C ,,a b c D BC 22BC AD c ⋅= sin sin B C=()2:20C y px p =>F l F C ,M N ,M N C ,A B MAF △NBF △y MN p ()()2ln 1f x a x x x =--+()y f x =()()2,2f 220x by +-=,a b ()f x 111ABC A B C -P 1BC 1BC PA ⊥12AA =AB =1AB 11PAC ()2222:10,0x y C a b a b -=>>C :2l y kx =+C ,A B O AOB △k若取出的是黑球，则放回后再往袋中加进1个黑球；若取出的是白球，则放回后再往袋中加进2个白球；第二次取球重复以上操作，记第次操作后袋中黑球与白球的个数之差为．（1）求的分布列与数学期望；（2）求在第2次操作中取出黑球的条件下，的概率．19．（17分）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）．（1）若高阶等差数列为，求数列的通项公式；（2）若阶等差数列的通项公式．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求数列的前项和．附：．2023—2024学年高三5月高考适应性大练兵联考高三数学参考答案及评分细则1．【答案】A【解析】 由题得，所以，所以．故选A ．2．【答案】B()1,2,3i i =i X 2X 33X =12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅()111211,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅()111,2,,1,i i i a a a i n +=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅()212222,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()21111,2,,2,i i i a a a i n +=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r ()12,,,,r r r n r a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅r ()()()()1111,2,,,ri r i r i a a a i n r -+-=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}n a ()2r r ≥{}n a r {}n a 3,4,9,18,31,48,⋅⋅⋅{}n a r {}n b ()421n b n =-r {}n b n n S ()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=1i z =-()221i 2i z =-=-()()()22i 12i 2i 42i 12i 12i 12i 12i 55z +=-=-=----+【解析】 由题得，，所以，，所以长轴长，所以长轴长与焦距之差等于B ．3．【答案】C【解析】 令，则，由复合函数的单调性可知的单调递减区间为函数的单调递减区间，又函数为偶函数，结合图象可知函数的单调递减区间为和，即的单调递减区间为和．故选C ．4．【答案】A【解析】 因为，所以，又，所以当且仅当时等号成立．故选A ．5．【答案】B【解析】 如图，，，，此时无法推出，所以“”不是“”的充分条件；由共面，设，则，，又因为，所以，所以“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件．故选B ．6．【答案】D【解析】 按甲报的课程分为两类：①若甲报剪纸，则从除了陶艺的其他4门课程中再选1门，有种结果，乙再从剩余4门课程中选2门，有种结果，有种；②若甲不报剪纸，则从除了陶艺、剪纸的其他4门课程中选2门，有种结果，乙再从剩余除剪纸外的3门课程中选2门，有种结果，有种，综上，共有种方案．故选D ．7．【答案】A【解析】 ，其中，．因为280a =235b =a =c ==2a =2c =22t x x =-3ty =()f x 22t x x =-22t x x =-22t x x =-(),1-∞-()0,1()f x (),1-∞-()0,1a b ∥221λμλ=+0λ>22112λμλλλ+==+≥λ=a α⊂b β⊂l αβ= a b l ∥∥αβ∥a b ∥αβ∥,a b ,a b γ⊂a αγ= b βγ= αβ∥a b ∥a b ∥αβ∥a b ∥αβ∥14C 24C 1244C C 24=24C 23C 2243C C 18=241842+=()()()3512sin2cos211sin 2222f x x x x ωωωϕ=++-=++4cos 5ϕ=3sin 5ϕ=的图象关于点中心对称，所以，所以，所以，，所以，当时，；当时，，综上，或．故选A ．8．【答案】C【解析】 如图，由正知，取线段的中点，取线段上靠近点的三等分点，则为正的外心．取的中点，连接，由知，为线段的中垂线．在平面内过作的垂线交于，连接，则即为三棱锥的外接球球心，翻折的角即为的大小．设，易知，，，则，化简得，又，所以，解得，结合，可解得，故，即．故选C ．()f x 11,2⎛⎫⎪⎝⎭()()5111sin 2222f ωϕ=++=2π,k k ωϕ+=∈Z 1π22k ϕω=-+k ∈Z 1tan tan π22k ϕω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2,k m m =∈Z cos 11tan tan tan 22sin 3ϕϕϕωϕ-⎛⎫=-=-==- ⎪⎝⎭21,k m m =+∈Z cosπsin 2tan tan 3221cos sin 2ϕϕϕωϕϕ⎛⎫=-=== ⎪-⎝⎭tan 3ω=1tan 3ω=-ABC △AB D CD D G G ABC △CC 'E ,,CD C D DE 'CD C D ='DE CC 'C CD 'G CD ED O OC O θCDC ∠'OC R =DC DC '==2DE θ=DG =CG =2EC EC θ='=2cos 2DG DE DO OE θθ==+=+=2211412cos 2R θ=+R ≤22111343612cos 2R θ=+≤23cos 24θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos2θ≥π026θ<≤π03θ<≤9．【答案】AB （每选对1个得3分）【解析】 设等比数列的公比为，由于等比数列中所有奇数项同号，所有偶数项同号，结合已知可知，其中2，8这两项的奇偶性相同，又，故或8．①若，，可得，此时，符合题意，所以的前7项和为；②若，，可得，此时，，符合题意，所以的前7项和为．综上，的前7项和为或．故选AB ．10．【答案】AB （每选对1个得3分）【解析】对，A 正确；当时，联立解得所以，B 正确；当时，若，则；若，则直线与直线平行，所以，解得，C 错误；若，则，无解，D 错误．故选AB ．11．【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】令，得，得，令，得，得，A 正确；由可知不是单调函数，B 错{}n a q 0q <20a >22a =22a =48a =2q =-11a =-{}n a ()()71124312⎡⎤-⨯--⎣⎦=---28a =42a =12q =-51a =-116a =-{}n a 711612431412⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭{}n a 43-434-,a A ∀∈≠∅R 1a =-20,10x y x y --=⎧⎨++=⎩1,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13,22A B ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭A B =∅ B =∅0a =B ≠∅20x ay a ++=10ax ay +-=121a a a a =≠-1a =A B =121a aa a ==-1x y ==()()1212f f =+()12f =-1x y ==-()()12162f f =---=-()12f -=-()()112f f =-=-()f x误；令，得，所以，所以，C正确；对两边求导得，即，所以为偶函数，D 正确．故选ACD ．12．【答案】13【解析】将这8个数据从小到大排列得，因为，所以这组数据的分位数为．13．【解析】由题得，所以，即，所以，所以．14．【解析】当点在第一象限时，由抛物线的定义可得，，所以，所以，所以．如图，过点作于点，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率则直线，与联立得，解得，，所以，所以以为直径的圆的半径，圆心到轴的距离，所以弦长为，解得．当点在第三象限时，由对称性可得．综上，．1y =-()()()()()()()1222224f x xf f x x x f x x f x -=--+-=--+-=--()()4f x f x -+=-()()20180i f i fi =⎡⎤-+=-⎣⎦∑()()4f x f x -+=-()()0f x f x --+'='()()f x f x '='-()f x '3,5,7,8,9,11,15,21875%6⨯=75%1115132+=()()2122BC AD AC AB AC AB c ⋅=-⋅+= 2224AC AB c -= 2224b c c -=225b c =sin sin B bC c==M MA MF =NB NF =221sin 241sin 2MAF NBFMA MF AMF MF S S NF NB NF BNF ∠===∠△△2MF NF =2MA NB =N 1NN MA ⊥1N 1N A NB =11123N M AM MN ==111cos 3N M N MN MN ∠==1sin N MN ∠=l 111sin tan cos N MN k N MN N MN∠=∠==∠:2p l y x ⎫=-⎪⎭22y px =22450x px p -+=M x p =4N p x =94M N MN x x p p =++=MN 928MN r p ==y 528M N x x d p +====p =M p =p =15．解：（1）由题得，所以切点的坐标为，代入切线方程得，解得．所以切线方程为，所以．又，所以，解得．（2）由（1）知，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以的最大值为．【评分细则】第（2）问中结果为也正确．16．（1）证明：取的中点，连接，又为的中点，所以，又，所以，所以直线确定一个平面，因为平面，平面，所以，又，所以，()22f =-()2,2-4220b --=1b =220x y +-=()22f '=-()211af x x x =-+-'()232f a =-=-'1a =()()2ln 1f x x x x =--+()()2312111x x f x x x x --=-+='--31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭()0f x '<()f x ()f x 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 33ln224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭331ln 242f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭BC D ,AD PD P 1BC 1PD CC ∥11AA CC ∥1PD AA ∥1,PD AA 1AA PD 1AA ⊥ABC BC ⊂ABC 1AA BC ⊥AB AC =AD BC ⊥又，所以平面，又平面，所以．（2）解：由（1）可得平面，平面，平面，所以，，以为原点，的方向分别为轴的正方向建系如图，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，由得取，则，，所以，设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面．【评分细则】1．第（1）问中可用空间向量法求解，若采用不同方法建系，酌情给分；2．第（2）问若采用几何法求解，酌情给分．17．解：（1）记的半焦距为，由题得的离心率，①1AA AD A = BC ⊥1AA PD 1PA ⊂1AA PD 1BC PA ⊥PD ⊥ABC AD ⊂ABC BD ⊂ABC PD AD ⊥PD BD ⊥D ,,DB AD DP,,x y z ()0,3,0A -()10,3,2A -()0,0,1P )12B ()12C )12AB =()11A C = ()10,3,1A P =-11PAC (),,m x y z =1110,0,m A C m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 30,30,y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩x =1y =3z =)m =1AB 11PAC θ111sin cos ,m m AB AB m AB θ⋅====1AB 11PAC C c C e 2ca==由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，②又，③联立①②③解得所以的方程为．（2）设，联立得，所以解得，且，，所以．又点到直线的距离，所以的面积，解得或．符合式，所以或．【评分细则】1．第（1）问中求双曲线方程不写成标准形式，不扣分；2．第（2）问中不列判别式扣1分；3．第（2）问中求出值后不检验扣2分．18．解：（1）两次操作取出的球均为黑球，则第2次操作后袋中有6个黑球、1个白球，此时，所以；两次操作取出的球均为白球，则第2次操作后袋中有4个黑球、5个白球，此时，所以；两次操作取出的球中黑、白球各一次，则第2次操作后袋中有5个黑球、3个白球，此时，C (),0a 0bx ay -=ab c =222a b c +=a =b =c =C 22126x y -=()()1122,,,A x y B x y 222,1,26y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2234100k x kx ---=()222230,Δ16403120240,k k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=->⎪⎩k <<()*k ≠12243k x x k +=-122103x x k -=-AB ===O l d =AOB △1122S AB d =⋅===1k =±2k =±()*1k =±2k =±25X =()24525563P X ==⨯=21X =-()213315735P X =-=⨯=22X =所以，所以的分布列为25所以．（2）记事件为“在第次操作中取出黑球”，事件为“第3次操作后袋中黑球与白球的个数之差为3”．则，若第1次操作取到的是白球，且第2次操作取到的是黑球，则第2次操作后袋中有5个黑球、3个白球，①若第3次取到的是白球，则第3次操作后袋中有5个黑球、5个白球，此时；②若第3次取到的是黑球，则第3次操作后袋中有6个黑球、3个白球，此时；若第1次操作取到的是黑球，且第2次操作取到的是黑球，则第2次操作后袋中有6个黑球、1个白球，①若第3次取到的是白球，则第3次操作后袋中有6个黑球、3个白球，此时；②若第3次取到的是黑球，则第3次操作后袋中有7个黑球、1个白球，此时，所以表示第1次操作取到的是白球，且第2次和第3次操作取到的是黑球或第1次和第2次操作取到的是黑球，且第3次操作取到的是白球，所以，所以．【评分细则】1．第（1）问中求也可用直接法求；2．第（1）问中计算各概率值时，概率值未写成最简分数的形式，不扣分；3．第（1）问期望值和第（2）问概率值均非最简结果，扣掉1分，只有一个不是最简结果，不扣分．19．解：（1）数列的一阶差分数列为，二阶差分数列为，为非零常数列，()()()222232621511335105P X P X P X ==-=-=-=--=2X 2X 1-P 3352610523()2326213112535105335E X =-⨯+⨯+⨯=i A i ()1,2i =B ()()()()()12212114514825657105A A P A P A P A A P P A =+=⨯+⨯=30X =33X =33X =36X =2AB ()214545115785676P A B =⨯⨯+⨯⨯=()()()222135682164105P A B P B A P A ===()22P X ={}n a 1,5,9,13,17,⋅⋅⋅4,4,4,4,4,⋅⋅⋅所以，即，且，所以数列是首项为1、公差为4的等差数列，所以，即，且，所以当时，，当时，，也满足上式，综上，数列的通项公式为．（2）（ⅰ），所以，，所以，所以，所以数列是4阶等差数列，即．（ⅱ），所以，又，所以．【评分细则】24n a =()1114n n a a +-=111a ={}1n a ()111443n a n n =+-⨯=-143n n a a n +-=-13a =2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()][()()()()21413423413343132562n n n n n n n -⎡⎤=--+--+⋅⋅⋅+⨯-+=⨯--+=-+⎣⎦1n =13a ={}n a 2256n a n n =-+()421n b n =-()()4431121216416n n n b b b n n n n +=-=+--=+()()()()3322111641161641619219280n n n b b b n n n n n n +=-=+++-+=++()()()()223221192119218019219280384384n n n b b b n n n n n +=-=++++-++=+()()()43313841384384384384n n n b b b n n +=-=++-+={}n b 4r =()()55505142332455555551C C C C C C n n n n n n n n --=--+-+-()5543243251010515101051n n n n n n n n n n =--+-+-=-+-+()545321112255n n n n n n ⎡⎤=--+-+-⎣⎦()()()()4432012344324444421C 2C 2C 2C 2C 16322481n n n n n n n n n -=-+-+=-+-+()552161118855n n n n ⎡⎤=---+-⎣⎦()()4552111116112118855n n n n n k k k k S k k k k k n ====⎡⎤=-=---+-⎣⎦∑∑∑∑()()()512111611885625n n n n n n n +++=-⨯+⨯-5316875315n n n =-+1．第（ⅰ）问通过观察猜测通项公式，写对给2分；2．第（ⅱ）问若用其他解法，酌情给分．。
