第一部分：平面向量的概念及线性运算
一.基础知识自主学习
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意义)
法则
(1)|λa|＝|λ||a|.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二.难点正本疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
三．基础自测
1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →
的结果等于________．
2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．
3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝________(用b 、c 表示)．
4．如图，向量a －b 等于( )
A ．－4e 1－2e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2
5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是 ( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D
四．题型分类 深度剖析
题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的序号是________．
变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
(1)若向量a 与b 同向，且|a |＝|b |，则a>b ；
(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；
(6)若向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等
题型二 平面向量的线性运算
例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13
CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →
.
变式训练2 △ABC 中，AD →＝23
AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB →＝a ，AC →
＝b ，用a 、b 表示向
量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →.
题型三 平面向量的共线问题
例3 设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2.
(1)求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)若BF →
＝3e 1－ke 2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．
五．思想与方法
5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题
试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝b .试用a 和b 表示向量
OM →.
六．思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →
，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
七．课后练习
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若A 、B 、C 、D 是平面任意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD →＝DC
→
+AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
3. 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足CB AC +2=0，则OC 等于( )
A.OA 2－OB →
B.OA -＋2OB →
C.OA 32－13OB →
D.OA 31
-＋23OB →
4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝12
DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →
等于( )
A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13
b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对 6. AB ＝8，AC ＝5，则BC 的取值围是__________． 7．给出下列命题：
①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →
的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB 与向量CD →与向量CD →
是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为____________．
8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N.若AB ＝mAM →
，
AC ＝nAN →
，则m ＋n 的值为________．
9．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a)共线，则λ＝________.
10.在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF →＝b ，求AD AC ,，AE →
.
11.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．
