安徽省泗县双语中学高二数学下学期第二次月考试题 理 新人教A版

2020年安徽省宿州市泗州双语中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于任意的且，函数的图象必经过点（）A. B. C.D.参考答案：D2. 在定义域内可导,其图象如图,其导函数为,则不等的解集是（）A. B.C. D.参考答案：C略3. 已知等比数列中，，则等于( )A．7 B．8 C．9D．10参考答案：略4. x，y∈R，A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|﹣=1，a＞0，b＞0}，当A∩B只有1个元素时，a，b满足的关系式为( )A．+=1 B．a2+b2=1 C．+=1 D．a+b=ab参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】集合A表示圆心（0，0），半径为1的圆上的点集，集合B表示直线bx﹣ay﹣ab=0，两集合交集只有1个元素，即为直线与圆相切，求出a与b满足的关系式即可．【解答】解：∵A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|﹣=1，a＞0，b＞0}，且A∩B只有1个元素，∴圆x2+y2=1与直线﹣=1，即bx﹣ay﹣ab=0相切，即圆心（0，0）到直线的距离d=r=1，即=1，整理得：a2+b2=a2b2，即+=1，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5. 学校要从10个同学中选出6个同学参加学习座谈会，其中甲、乙两位同学不能同时参加，则不同的选法共有A. 140B. 112C. 98D. 84参考答案：6. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除即可．【详解】由题意，排除B，C，又，则函数是偶函数，排除D，故选A．7. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5参考答案：A【考点】程序框图．【分析】首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．8. 执行右边的程序框图所得的结果是A．B．C．D．参考答案：A略9. 设，则“”是“复数是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B当时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到，因此是必要条件，故选B。

数学试卷（理）考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的写在答题卡上）1．设}11|{<<-=x x A ，}0|{>-=a x x B ，若B A ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(--∞，B ．]1(--∞，C ．),1[+∞D ．)1(∞+， 2．已知命题:,ln(1)0.xp x R e ∀∈+>则p ⌝为A ．,ln(1)0xx R e ∃∈+< B ．,ln(1)0xx R e ∀∈+< C ．,ln(1)0xx R e ∃∈+≤ D ．,ln(1)0xx R e ∀∈+≤ 3．已知i 为虚数单位，复数，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4．曲线在点,处的切线方程为A.B.C.D..5．下面框图所给的程序运行结果为s= 28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（）A. B. C. D.6．设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若·=6， △OAB 的重心是G ，则|| 的最小值是( )A.1 B ．2 C ．3 D ．47．如右图，是某几何体的三视图，其中正视图是正方形．侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是A 、16＋12πB 、24πC 、16+4πD 、12π8．已知圆C ：x 2+y 2一2x ＋4y 一4＝0,直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线1的距离最大值为A 、1B 、2C 、3D 、4 9．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象可以将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位10．函数()2f x x bx =+的图象在点A ()()1,f 1处的切线与直线3x y 20-+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2012S 的值为 （ ）A ．20092010 B ．20102011 C ．20112012 D ．20122013第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中的横线上. 11。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 命题“中，若，则是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是A.B.C.D.2. 现有名同学去听同时进行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A.B.C.D.3. 已知命题：函数的导函数为；：函数的导函数为，则下列命题中为真命题的是（ ）A.B.C.D.4. 若命题“如果，那么”为真，则（ ）A.B.非非C.非非D.非5. 设，则随机变量的分布列如图，则当在内增大时( )A.增大B.减小△ABC A +B <A B 2C 2C 2△ABC ( )12343606481360p y =sin x y =cos x q y =cos x y =sin x p ∧q(¬p)∧(¬q)(¬p)∧qp ∧(¬q)p q q ⇒pp ⇒qq ⇒pq ⇒p0<a <1x a (0，1)D(X)D(X)D(X)C.先增大后减小D.先减小后增大6. 下列命题正确的是（ ）A.单位向量都相等B.若，则C.若与是单位向量，则D.若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量7. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则向量等于（ ）A.B.C.D.8. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率是（ ）（附：随机变量服从正态分布，则＝，＝，）A.B.C.D.9. 已知向量，满足，且，则( )A.B.C.D.D(X)D(X)|+|=|−|a →b →a →b →⋅=0a →b →a 0→b 0→⋅=1a →0b →0a →b →b →c →a →c →ABCD −A 1B 1C 1D 1O AC BD =A 1B 1−→−−a →=A 1D 1−→−−b →=AA 1−→−c →O B 1−→−++12a →12b →c →−+12a →12b →c →−++12a →12b →c →−−+12a →12b →c →N(0,)42(4,8)ξN(μ,)σ2P(μ−σ<ξ≤μ+σ)68.26%P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)95.44%4.56%13.59%27.18%31.74%a →b →|−|=2||=2a →b →a →2–√⋅=0a →b →||=b →2–√6–√2410. 已知，，则，最大值为（ ）A.B.C.D.11. 已知且），则在定义域内为增函数的充分不必要条件是( )A.B.C.D.12. 如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 在人民大会堂北大厅，有一条从北门通向万人大会堂的通道．每年两会，媒体们常在这里“围堵部长”打响“新闻大战”，而部长们也在此传达重要讯息，“部长通道”逐渐成为两会最受瞩目的环节之一，年全国两会期间某天的“部长通道”上，中国教育报等家新闻媒体“围堵”住教育部陈宝生部长在内的位部长．且拟定每位部长接受家媒体采访，每家媒体只能采访一位部长，同时指定中国教育报记者采访陈宝生部长，则不同的采访方式共有________种（用数字作答）.14. 甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命=(1,1,1)a →=(0,y,1)(0≤y ≤1)b →cos <a →>b →3–√32–√33–√26–√3f(x)=x(a >0log a a ≠1y =f (x)2<a <3a >10<a <1<a <1312AB =2AD =3–√AD BC 03–√33–√42–√220219330.80.70.6中的概率为________ .15. 的展开式中的系数是________.16. 已知有男女共名记者参加年的两会新闻报道，现从中选取人分配到，两个组，每个组人，其中组的人中，要求女性的人数多于男性，组的人中，要求至少有名女性，则不同的分配方法数为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和．求：两个人都译出密码的概率；恰有个人译出密码的概率；若要达到译出密码的概率为，至少需要像乙这样的人多少个？（附：，）18. 如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．（1）证明：、、、四点共面．（2）若，求． 19. 实施乡村振兴战略，优先发展教育事业．教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑．为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选．求名优秀教师中的“甲”在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；某接受支教学校需要名教师完成一项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师在一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师，且无论第三位教师能否完成任务，均不再指派教师．现只有本校教师与支教教师，三人可派，他们各自完成任务的概率分别为，，，假设，且三人能否完成任务相互独立．若教师因个人原因要求第一个被派出，之后按某种指定顺序派人，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小 .20. 如图，在三棱柱中，，分别是、的中点，＝，＝＝，＝，．Ⅰ证明：平面；Ⅱ求二面角的平面角的正弦值．21. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，．现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的数学期望和方差；设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．(1+)x 2(1+x)6x 4551020218A B 4A 4B 411314(1)(2)1(3)99%lg2=0.3010log3=0.4771ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BB 1DD 1BE =B 13B 1DF =D 23D 1AE C 1F =x +y +z EF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x +y +z 6326(1)63(2)3A B C p 1p 2p 3<<<1p 3p 2p 1A ABC −A 1B 1C 1D E B 1C 1BC ∠BAC 90∘AB AC 2A A 14E =A 114−−√()D ⊥A 1BC A 1()A −BD −B 13248327(1)(2)73473(ⅰ)X 3X (ⅱ)A 3A ABCD −A B C D A B B C22. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点．求点到平面的距离；求与平面所成的角的余弦值．4ABCD −A 1B 1C 1D 1E F A 1B 1B 1C 1(1)D BEF (2)BD BEF参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】四种命题的真假关系【解析】【解答】解：因为原命题是真命题，所以逆否命题是真命题.其逆命题为“若是钝角三角形，则”，这是一个假命题，于是否命题也是假命题，因此真命题的个数是．故选 .2.【答案】C【考点】分步乘法计数原理【解析】名同学去听同时进行的个课外知识讲座，实际上是有个人选择座位，且每人有种选择方法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：∵每位同学均有种讲座可选择，∴位同学共有种.故选．3.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】略4.△ABC A +B <A B 2C 2C 22C 4343343×3×3×3=81CC【考点】命题的真假判断与应用四种命题的真假关系【解析】根据逆否命题的等价性即可得到结论．【解答】解：若命题“如果，那么”为真，则成立，根据逆否命题的等价性可知：非非成立．故选：．5.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：由表格数据可得：，由可知：，∴为关于的二次函数，其图象开口向上，对称轴为.故当在内增大时，先减小后增大.故选.6.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用向量的共线定理p q p ⇒q q ⇒p C E(X)=×0+×a +×1=(a +1)13131313D(X)=E{[X −E(X)}]2D(X)=[0−(a +1)+[a −(a +1)+[1−(a +1)1313]21313]21313]2=(−a +1)29a 2D(X)a a =12a (0，1)D(X)D向量的模【解析】由单位向量与向量相等的定义，判断是错误的；由零向量与任意向量方向相同，若是零向量时，不一定成立；由，推出，判断是正确的；由单位向量与数量积的定义，判断是错误的．【解答】解：对于，单位向量是模长为的向量，它们的方向是任意的，∴单位向量不一定相等，错误；对于，若，则，∴，即，∴正确；对于，与是单位向量，且夹角为，∴，∴错误．对于，∵零向量与任意向量方向相同，都共线，若是零向量，则与不一定共线，∴错误.故选．7.【答案】C【考点】空间向量的加减法【解析】要表示向量，只需要用给出的基底，，表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．【解答】解：故答案选：8.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线A b →B |+|=|−|a →b →a →b →⋅=0a →b →CD A 1A B |+|=|−|a →b →a →b →+2⋅+=−2⋅+a →2a →b →b →2a →2a →b →b →24⋅=0a →b →⋅=0a →b →B C a 0→b 0→θ⋅=1×1×cos θ=cos θ≤1a →0b →0C D b →a →c →D B O B 1−→−a →b →c →=+O B 1−→−B B 1−→−BO −→−=+A A 1−→−12BD −→−=+A A 1−→−12B 1D 1−→−−=+(−)c →12A 1D 1−→−−A 1B 1−→−−=+(−)c →12b →a →=−++12a →12b →c →C【解析】由题意＝，＝，可得．【解答】由题意＝，＝，∴＝即从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率是．9.【答案】B【考点】空间向量的数量积运算向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，且，，得，∴.故选.10.【答案】D【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值，，再利用换元法求出它的最大值即可．【解答】解：∵，，∴，，，∴，；P(−4<ξ<4)0.6826P(−8<ξ<8)0.9544P(4<ξ<8)=(0.9544−0.6826)12P(−4<ξ<4)0.6826P(−8<ξ<8)0.9544P(4<ξ<8)=(0.9544−0.6826)120.13(59)(4,8)13.59%|−|=2a →b →2–√−2⋅+=8a →2a →b →b →2||=a →2–√⋅=0a →b →=6b →2||=b →6–√B cos <a →>b →=(1,1,1)a →=(0,y,1)(0≤y ≤1)b →⋅=y +1a →b →||=a →3–√||=b →+1y 2−−−−−√cos <a →>==b →||×||a →b →˙y +1⋅3–√+1y 2−−−−−√t =+12−−−−−√−1=22设，则，∴，∴；设，则，即，∴，∴当时，取得最大值为．故选：．11.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的单调性与特殊点【解析】若在定义域内为增函数，则，利用集合的包含关系，结合充分必要条件定义求解即可.【解答】解：且），若在定义域内为增函数，则，由于，∴在定义域内为增函数的充分不必要条件可以是.故选.12.【答案】C【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】命题意图本题考查圆锥的结构特征以及异面直线所成的角．解析如图，延长交圆于，连接，，易知为异面直线与所成的角．因为圆锥侧面展开图为半圆，所以，所以，在中，，由余弦定理得二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】t =+1y 2−−−−−√−1=t 2y 2y =(1≤t ≤)−1t 2−−−−−√2–√f(t)=⋅=(+)13–√+1−1t 2−−−−−√t 13–√1−1t 2−−−−−−√1t sin α=1t 1≥sin α≥2–√2≤α≤π4π2g(α)=(+sin α)13–√1−αsin 2−−−−−−−−√=(cos α+sin α)13–√=sin(α+)2–√3–√π4α=π4g(α)=2–√3–√6–√3D y =f (x)a >1f(x)=x(a >0log a a ≠1y =f (x)a >1(2,3) (1,+∞)y =f (x)(2,3)A D0E BE CE AD =BE =,AD//BE,∠EBC 3–√AD BC BC ×π=2πBC =2△BEC BC =CE =2,BE =3–√cos ∠EBC ==+−22()3–√2222×2×3–√3–√4排列、组合及简单计数问题分步乘法计数原理【解析】根据题意，分步进行分析：①在其余家媒体中任选个，安排他们与中国教育报记者一起采访陈宝生部长，②将剩下的家新闻媒体分成组，对应采访其余的位部长，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分步进行分析：①在其余家媒体中任选个，与中国教育报记者一起采访陈宝生部长，有种情况；②将剩下的家新闻媒体分成组，对应采访其余的位部长，有种情况，则一共有种采访方式.故答案为：.14.【答案】【考点】对立事件的概率公式及运用相互独立事件的概率乘法公式【解析】由相互独立事件的概率求解.【解答】解：至少一人命中的对立事件为：无人命中，无人命中的概率为.故至少一人命中的概率为：.故答案为：.15.【答案】【考点】二项式系数的性质二项展开式的特定项与特定系数【解析】由题意，得到二项式展开式的通项公式，进而即可得到的展开式中的项，再求解即可.【解答】解：已知二项式展开式的通项公式为，所以的展开式中的项为，则的展开式中的系数为.故答案为：.282622282=28C 28622×=20C 36C 33A 22A 2228×20=5605600.9760.2×0.3×0.4=0.0241−0.024=0.9760.97630(1+x)6(1+)(1+x x 2)6x 4(1+x)6=T r+1C r 6x r (1+)(1+x x 2)6x 41⋅+⋅=(+)C 46x 4x 2C 26x 2x 4C 46C 26(1+)(1+x x 2)6x 4+=30C 46C 2630【考点】排列、组合及简单计数问题分类加法计数原理【解析】此题暂无解析【解答】解：组分配女男，组分配女男的方法数为，组分配女男，组分配女男的方法数为，组分配女，组分配女男的方法数为，所以不同的分配方法数为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，，为相互独立事件，且，．两个人都译出密码的概率为：．恰有个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有个人译出密码的概率为：.假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为：，即，故，，即至少有像乙这样的人名，才能使译出密码的概率达到 ．【考点】对立事件的概率公式及运用相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】750A 31B 13=400C 35C 15C 12C 34A 31B 22=300C 35C 15C 24A 4B 13=50C 45C 35750750(1)A B A B P (A)=13P (B)=14P (AB)=P (A)×P (B)=×=1314112(2)11P(A +B)=P(A )+P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=P(A)P()+P()P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=×(1−)+(1−)×=131********(3)n 11−=1−(P ())B ¯¯¯¯n()34n1−≥0.99()34n≤0.01()34n n ≥0.01==16.01log 3422lg2−lg31799%解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，，为相互独立事件，且，．两个人都译出密码的概率为：．恰有个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有个人译出密码的概率为：.假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为：，即，故，，即至少有像乙这样的人名，才能使译出密码的概率达到 ．18.【答案】证明：∵平行六面体中，，，∴，，，，且平面平面，，∴，…∴，同理，故为平行四边形，∴、、、四点共面．…（2）解：如图所示：，即，，，∴【考点】空间向量的加减法空间向量的基本定理及其意义平面的基本性质及推论【解析】（1）由，，，，且平面平面，，知，进而，同理，故为平行四边形，由此能够证明、、、四点共面．（2）结合图形和向量的加法和减法运算进行求解．(1)A B A B P (A)=13P (B)=14P (AB)=P (A)×P (B)=×=1314112(2)11P(A +B)=P(A )+P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=P(A)P()+P()P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=×(1−)+(1−)×=131********(3)n 11−=1−(P ())B ¯¯¯¯n()34n1−≥0.99()34n≤0.01()34n n ≥0.01==16.01log 3422lg2−lg31799%ABCD −A 1B 1C 1D 1BE =B 13B 1DF =D 23D 1AB //C 1D 1AB =C 1D 1BE //F D 1BE =F D 1ABE //F C 1D 1∠ABE =∠F C 1D 1△ABE ≅△F C 1D 1AE =F C 1AF =E C 1AE F C 1A E C 1F =+=++=++−=−+−=−+EF −→−EB 1−→−F B 1−→−EB 1−→−B 1D 1−→−−F D 1−→−23BB 1−→−B 1A 1−→−−B 1C 1−→−−13DD 1−→−−23AA 1−→−AB −→−AD −→−13AA 1−→−AB −→−AD −→−+=x +y +z 13AA 1−→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =−a y =1z =13x +y +z =13AB //C 1D 1AB =C 1D 1BE //F D 1BE =F D 1ABE //F C 1D 1∠ABE =∠F C 1D 1△ABE ≅△F C 1D 1AE =F C 1AF =E C 1AE F C 1A E C 1F【解答】证明：∵平行六面体中，，，∴，，，，且平面平面，，∴，…∴，同理，故为平行四边形，∴、、、四点共面．…（2）解：如图所示：，即，，，∴19.【答案】解：依题意，名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中被抽取到概率为，则三次抽取中“甲”恰有一次被抽取到的概率为．设表示先后再完成任务所需人员数目，则，设表示先后再完成任务所需人员数目，则，又，故按照先后再的顺序派出所需人数期望最小．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差【解析】无无【解答】解：依题意，名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中被抽取到概率为，则三次抽取中“甲”恰有一次被抽取到的概率为．设表示先后再完成任务所需人员数目，则，设表示先后再完成任务所需人员数目，则，又，ABCD −A 1B 1C 1D 1BE =B 13B 1DF =D 23D 1AB //C 1D 1AB =C 1D 1BE //F D 1BE =F D 1ABE //F C 1D 1∠ABE =∠F C 1D 1△ABE ≅△F C 1D 1AE =F C 1AF =E C 1AE F C 1A E C 1F =+=++=++−=−+−=−+EF −→−EB 1−→−F B 1−→−EB 1−→−B 1D 1−→−−F D 1−→−23BB 1−→−B 1A 1−→−−B 1C 1−→−−13DD 1−→−−23AA 1−→−AB −→−AD −→−13AA 1−→−AB −→−AD −→−+=x +y +z 13AA 1−→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =−a y =1z =13x +y +z =13(1)6=C 15C 2613P ==C 1313()23249(2)X A B C X 123P p 1(1−)p 1p 2(1−)(1−)p 1p 2E(X)=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 2p 1p 2p 1p 2p 1p 2Y A C B Y 123P p 1(1−)p 1p 3(1−)(1−)p 1p 3E(Y )=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 3p 1p 3p 1p 3p 1p 3E(Y )−E(X)=(−1)(−)>0p 1p 3p 2A B C (1)6=C 15C 2613P ==C 1313()23249(2)X A B C X 123P p 1(1−)p 1p 2(1−)(1−)p 1p 2E(X)=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 2p 1p 2p 1p 2p 1p 2Y A C B Y 123P p 1(1−)p 1p 3(1−)(1−)p 1p 3E(Y )=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 3p 1p 3p 1p 3p 1p 3E(Y )−E(X)=(−1)(−)>0p 1p 3p 2AC故按照先后再的顺序派出所需人数期望最小．20.【答案】证明：Ⅰ∵在三棱柱中，，分别是、的中点，＝，＝＝，∴，，＝，∵＝，．∴，∴，∵＝，∴平面，∵，∴平面．（2）由Ⅰ得，，，两两垂直．如图，以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系．易知，，，，，，设平面的法向量为，由，可取．设平面的法向量为，由，可取．又∵该二面角为钝角，∴二面角的平面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】（1）先证平面，再证即可‘’（2）所求值即为平面的法向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：Ⅰ∵在三棱柱中，，分别是、的中点，＝，＝＝，∴，，＝，∵＝，．∴，∴，∵＝，∴平面，∵，∴平面．（2）由Ⅰ得，，，两两垂直．如图，以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系．易知，，，，，，设平面的法向量为，由，可取．A B C ()ABC −A 1B 1C 1D E B 1C 1BC ∠BAC 90∘AB AC 2D //AE A 1AE ⊥BC AE BE =2–√A A 14E =A 114−−√+A =A A 1E 2E 2A 12AE ⊥E A 1E ∩BC A 1E AE ⊥BC A 1D //AE A 1D ⊥A 1BC A 1()EA EB EA 1BC O OB OA OA 1x y z (0,0,)A 114−−√B(,0,0)2–√C(−,0,0)2–√A(0,,0)2–√D(0,−,)2–√14−−√(,−,)B 12–√2–√14−−√BD A 1=(x,y,z)m⋅=−y =0m D A 1→2–√⋅=−x −y +z =0m BD →2–√2–√14−−√=(,0,1)m 7–√BD B 1=(x,y,z)n ⋅=−x −y +z =0n D B 1→2–√2–√14−−√⋅=−x =0n BD →2–√=(0,,1)n 7–√cos ,==m n 12×22–√2–√18−BD −A 1B 1−18AE ⊥BC A 1D //AE A 1BD A 1BD B 1()ABC −A 1B 1C 1D E B 1C 1BC ∠BAC 90∘AB AC 2D //AE A 1AE ⊥BC AE BE =2–√A A 14E =A 114−−√+A =A A 1E 2E 2A 12AE ⊥E A 1E ∩BC A 1E AE ⊥BC A 1D //AE A 1D ⊥A 1BC A 1()EA EB EA 1BC O OB OA OA 1x y z (0,0,)A 114−−√B(,0,0)2–√C(−,0,0)2–√A(0,,0)2–√D(0,−,)2–√14−−√(,−,)B 12–√2–√14−−√BD A 1=(x,y,z)m⋅=−y =0m D A 1→2–√⋅=−x −y +z =0m BD →2–√2–√14−−√=(,0,1)m 7–√=(x,y,z)设平面的法向量为，由，可取．又∵该二面角为钝角，∴二面角的平面角的余弦值为．21.【答案】解：三个部门的员工总人数为，甲部门抽取的员工：，乙部门抽取的员工：，丙部门抽取的员工：，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人.用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，则，，，，；；；.所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望：；随机变量的方差：.从人中抽取的人，有种可能的结果，其中事件有种结果，所以.【考点】BD B 1=(x,y,z)n⋅=−x −y +z =0n D B 1→2–√2–√14−−√⋅=−x =0n BD →2–√=(0,,1)n 7–√cos ,==m n 12×22–√2–√18−BD −A 1B 1−18(1)48+32+32=112(人)7×=232112(人)7×=348112(人)7×=232112(人)232(2)(ⅰ)X 3X =0123P(X =0)==C 34C 37435P(X =1)==C 13C 24C 371835P(X =2)==C 23C 14C 371235P(X =3)==C 33C 37135X X 0123P43518351235135X E(X)=0×+1×+2×+3×=4351835123513597X D(X)=×+×(−0)972435(−1)9721835+×+×(−2)9721235(−3)972135=2449(ⅱ)73C 37A +C 13C 24C 23C 14P(A)===+C 13C 24C 23C 14C 37303567离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列分层抽样方法【解析】（1）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；（2）若用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解数学期望；利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：三个部门的员工总人数为，甲部门抽取的员工：，乙部门抽取的员工：，丙部门抽取的员工：，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人.用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，则，，，，；；；.所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望：；随机变量的方差：.从人中抽取的人，有种可能的结果，其中事件有种结果，所以.22.【答案】解：如图所示，以点为原点建立如图空间直角坐标系，(I)X 3X (II)(1)48+32+32=112(人)7×=232112(人)7×=348112(人)7×=232112(人)232(2)(ⅰ)X 3X =0123P(X =0)==C 34C 37435P(X =1)==C 13C 24C 371835P(X =2)==C 23C 14C 371235P(X =3)==C 33C 37135X X 0123P43518351235135X E(X)=0×+1×+2×+3×=4351835123513597X D(X)=×+×(−0)972435(−1)9721835+×+×(−2)9721235(−3)972135=2449(ⅱ)73C 37A +C 13C 24C 23C 14P(A)===+C 13C 24C 23C 14C 37303567(1)A A −xyz依题意，得，，，，则，，设平面的法向量为，则，，则，即，由此取，可得平面的一个法向量为，又由，所以点到平面的距离为．设与平面所成角为，则，且，所以与平面所成角的余弦值为．【考点】点、线、面间的距离计算用空间向量求直线与平面的夹角【解析】无无【解答】解：如图所示，以点为原点建立如图空间直角坐标系，依题意，得，，，，则，，设平面的法向量为，则，，则，即，由此取，可得平面的一个法向量为，B (4,0,0)D (0,4,0)E (2,0,4)F (4,2,4)=(−2,0,4)BE −→−=(0,2,4)BF −→−BEF =(x,y,z)n →⊥n →BE −→−⊥n →BF −→−⋅=−2x +4z =0n →BE −→−⋅=2y +4z =0n →BF −→−{x =2z y =−2z z =1BEF =(2,−2,1)n →=(4,−4,0)DB −→−D BEF d =|⋅|DB −→−n →||n →=4×2+(−4)×(−2)+0×1++22(−2)212−−−−−−−−−−−−−√=163(2)BD BEF θθ∈(0,)π2sin θ=|cos , |DB −→−n →=|⋅|DB −→−n →||⋅||DB −→−n →=d ||DB −→−=163+42(−4)2−−−−−−−−−√=22–√3BD BEF cos θ=1−θsin 2−−−−−−−−√=)1−(22–√3)2−−−−−−−−−−√=13(1)A A −xyz B (4,0,0)D (0,4,0)E (2,0,4)F (4,2,4)=(−2,0,4)BE −→−=(0,2,4)BF −→−BEF =(x,y,z)n →⊥n →BE −→−⊥n →BF −→−⋅=−2x +4z =0n →BE −→−⋅=2y +4z =0n →BF −→−{x =2z y =−2zz =1BEF =(2,−2,1)n →(4,−4,0)−→−又由，所以点到平面的距离为．设与平面所成角为，则，且，所以与平面所成角的余弦值为．=(4,−4,0)DB −→−D BEF d =|⋅|DB −→−n →||n →=4×2+(−4)×(−2)+0×1++22(−2)212−−−−−−−−−−−−−√=163(2)BD BEF θθ∈(0,)π2sin θ=|cos , |DB −→−n →=|⋅|DB −→−n →||⋅||DB −→−n →=d ||DB −→−=163+42(−4)2−−−−−−−−−√=22–√3BD BEF cos θ=1−θsin 2−−−−−−−−√=)1−(22–√3)2−−−−−−−−−−√=13。

2022-2023学年全国高二下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设函数在上可导，则等于( )A.B.C.D.以上都不对2. 借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得曲线在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则( )A.B.C.D.3. 设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则的图象可能是( )A.y =f(x)R lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx(1)f ′3(1)f ′(1)13f ′ln 1.01y =ln x x =1y =x −1x =1.01ln 1.01=0.01≈e √40001.000251.000051.00251.0005(x)f ′f (x)y =(x)f ′y =f (x)B. C. D.4. 用，，，，，组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有个奇数相邻，则这样的六位数共有（ ）A.个B.个C.个D.个5. 已知，其中，若 ，则的值为( )A.B.C.D.6. 定义为个正数，，…，的“均倒数”．若已知正数数列的前项的“均倒数”为，又，则( )A.B.C.0123452192216276324(x +a =+(1−x)−(1−x +⋯−(1−x )15a 0a 1a 2)2a 15)15a >0=−945a 13a 2345n ++…+p 1p 2p n n p 1p 2p n {}a n n 12n +1=b n +1a n 4++…+=1b 1b 21b 2b 31b 10b 11111112101111D. 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆上点满足 ，射线平分 ， 过坐标原点作的平行线交 于点，且 则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.8. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题正确的是（ ）A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数的对称中心是C.存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D.若函数，则1112+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P |PF|=2|P |F 2PM ∠P F 1F 2O PM PF 1Q |PQ|=||14F 1F 23–√2231213xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243(x)f ′′y =f (x)y =(x)f ′(x)=0f ′′x 0(,f ())x 0x 0y =f (x)f (x)=a +b +cx +d (a ≠0)x 3x 2f (x)=−3−3x +5x 3x 2(1,0)h (x)(x)=0h ′x 0(,h ())x 0x 0y =h (x)g(x)=−−13x 312x 2512g()+g()+1202122021g()+⋯+32021g()=−101020002021y =f (x)()10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是 A.是函数的极小值点B.是函数的极小值点C.函数在区间上单调递增D.函数在处切线的斜率小于零11. 函数为定义在上的奇函数，当时，，下列结论正确的有( )A.当时，B.函数有且仅有个零点C.若，则方程在上有解D.，恒成立12. 函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.，，，，，，则最大卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 函数在上有最大值，则实数的取值范围是________.14. 已知函数 若存在，使得，则的取值范围是________.y =f (x)()−1f (x)−3f (x)f (x)(−3,1)f (x)x =0f (x)R x >0f (x)=(x −1)e −x x <0f (x)=(x +1)e xf (x)3m ≤e −2f (x)=m x >0∀,∈R x 1x 2|f ()−f ()|<2x 2x 1f(x)＝ln x x ≠x 1x 2f()=f()=m x 1x 2πe =2.71828⋯0<m <1e f(2)<f(3)<x 1x 2e 2a =e 3b =3ec =e πd =πe s =3πt =π3sf (x)=−+a (a >0)13x 3x 2(−1,8−)a 2a f(x)= 1+ln x,x ≥1,,x <1,x +12≠x 1x 2f()+f()=2x 1x 2+x 1x 215. 已知数列中，，，则数列的前项和为________.16. 当直线与曲线的图象相切时，的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 学校将要举行校园歌手大赛，现有男女参加，需要安排他们的出场顺序．如果个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？如果男女相间，那么有多少种不同的出场顺序？如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？如果位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？18. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角．在欧洲，帕斯卡在年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．第行 第行 第行 第行 第行 第行 第行 记杨辉三角的前行所有数之和为，求的通项公式；在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由.19. 一个盒子中装有只黑球和只白球，现在从中先后有放回地任取只球，设表示“第一次取得黑球”的事件，表示“第二次取得黑球”的事件，试计算与的值，并判断与是否为独立事件．20. 已知函数 ，.当时，求函数的最小值；当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围．21. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（单位：吨）与产品的价格（单位：元/吨）之间的函数关系为，且生产吨产品的成本为元．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？22. 已知函数＝．（1）求曲线＝在点（）处的切线方程；{}a n =1a 1=a n+1n +2n a n {}1a n10y =kx +m y =ln x −1m k 33(1)3(2)(3)(4)3126116540111121213133141464151510105161615201561(1)n T n T n (2)3:4:5a b 2A B P(A)P(A |B)A B f (x)=(x +a)ln x g(x)=+x a 2x 2(1)a =0f (x)(2)a ≤0x ≥1f (x)≥g(x)a x p p =24100−15x 2x R =40000+100x ()f(x)(x +a)ln x −(a +1)(x −1)y f(x)1,f(1)（1）求曲线＝在点（）处的切线方程；（2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由．y f(x)1,f(1)a f(x)(0,+∞)a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】导数的几何意义变化的快慢与变化率【解析】先有极限的运算性质变形得，再由导数定义得到结果对比四个选项找出正确答案【解答】解：由题意函数在上可导，∴.故选.2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】对函数求导，得到曲线在点处的切线方程为，因为与之间的距离比较小，可以运用“以直代曲”，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算即可得解.【解答】解：设，可得，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，=lim △x →0f(1+△x)−f(1)3△x 13lim △x →0f(1+△x)−f(1)△x y =f(x)R lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx =13lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =(1)13f ′C y =e x (0,1)y =g(x)=x +1140000f (x)=e x (x)=f ′e x f (0)=1(0)=1f ′y =e x (0,1)y =g(x)=x +11因为与之间的距离比较小，可以运用“以直代曲”，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，所以，故选．3.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：由的导函数图象知：当时，，当时，,所以在处取得极小值，故排除；当时，，当时，,所以在处取得极大值，故排除.故选.4.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，先把、、三个偶数排好，按的位置不同分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先把、、三个偶数排好，有种顺序，140000==f ()e √4000e 1400014000≈g()=1+=1.000251400014000A (x)f ′x ∈(−1，0)(x)<0f ′x ∈(0，1)(x)>0f ′f(x)x =0A ，C x ∈(−3，−1)(x)>0f ′x ∈(−1，0)(x)<0f ′f(x)x =−1D B 02402024=6A 332=48C 2A 2C 1C 1若在最左边，三个偶数之间有种顺序，此时有个符合题意的六位数，若不在最左边，三个偶数之间有种顺序，此时有个符合题意的六位数，则共有个符合题意的六位数．故选．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴，其中，若，则，即，即，∴.故选.6.【答案】C【考点】数列的求和数列递推式【解析】由已知得，求出后，利用当时，，即可求得通项，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴，当时，，验证知当时也成立，∴，022=48C 23A 22C 12C 12044=144C 23A 22A 2348+144=192A (x +a =+(1−x)+(1−x +⋯+(1−x )15a 0a 1a 2)2a 15)15(x +a =−(−x −a =−[−(a +1)+(1−x))15)15]15−[−(a +1)+(1−x)=+(1−x)+(1−x +⋯+(1−x ]15a 0a 1a 2)2a 15)15a >0=−945a 13=−945=−[−(a +1)a 13C 1315]2−945=−105⋅(a +1)2(a +1=9)2a =2A ++...+=n(2n +1)=a 1a 2a n S n S n n ≥2=−a n S n S n−1a n =n ++…+a 1a 2a n 12n +1++...+=n(2n +1)=a 1a 2a n S n n ≥2=−=4n −1a n S n S n−1n =1=4n −1a n =n+1∴，∴，∴．故选．7.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质椭圆的离心率【解析】利用角平分线以及椭圆的定义求出四边形为梯形，求得离心率．【解答】解：关于角平分线的对称点，则点在线段的延长线上，连接交于点，连接，则，所以为的中点，由可知，又，分别为，的中点，所以，所以，所以四边形为等腰梯形，所以，得，所以椭圆的离心率为．==n b n +1a n 4=−1⋅b n b n+11n 1n +1++…+1b 1b 21b 2b 31b 10b 11=(1−)+(−)+(−)+...+(−)1212131314110111=1−111=1011C F 1PM A A PF 2A F 1PM B OB |P |=|PA|=2|P |F 1F 2F 2PA |P |+|P |=2a F 1F 2|P |=|A |=a F 2F 223O B F 1F 2A F 1OB//AF 2∠OBP =∠APB =∠BPQ OBPQ OB =PQ =c 2|A |=c =a F 22323故选．8.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】导数的运算函数新定义问题【解析】由题意，根据新定义对应各个选项逐个判断即可．【解答】B C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D解：选项，因为，，则方程只有一个实数解，即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，故错误；选项，因为，，方程只有一个实数解，此时，则函数的对称中心为，故正确；选项，设三次函数为，则，，可知方程的解只有，此时 ，所以函数的对称中心为，故正确；选项，因为，，则方程只有一个实数解为，此时，所以函数的对称中心为，则，所以，故正确.故选.10.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵由函数的导函数的图象可知，当时，，当时，,∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故选项错误，选项，正确；∵函数在处的导数大于零，∴函数在处切线的斜率大于零，故选项错误.故选.11.【答案】A,B,DA (x)=3a +2bx +c (a ≠0)f ′x 2(x)=6ax +2b f ′′(x)=0f ′′AB (x)=3−6x −3f ′x 2(x)=6x −6f ′′(x)=0f ′′=1x 0f ()=0x 0f (x)(1,0)BC h (x)=x 3(x)=3h ′x 2(x)=6x h ′′(x)=0h ′′=0x 0h ()=0x 0h (x)(0,0)CD (x)=−x g ′x 2(x)=2x −1g ′′(x)=0g ′′=x 012g()=−x 012g(x)(,−)1212g(x)+g(1−x)=−1g()+g()+⋯+1202122021g()20202021=[g()+12021g()]+[g()+g()]+⋯+202020212202120192021[g()+g()]1010202110112021=1010×(−1)=−1010D BCD y =f (x)x <−3(x)<0f ′x >−3(x)≥0f ′f(x)(−∞,−3)(−3,+∞)−3f (x)f (x)(−3,1)A B C y =f(x)x =0y =f(x)x =0D BC【考点】函数奇偶性的性质利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】无【解答】解：对于，函数为定义在上的奇函数，当时， ，，正确；对于，当时，，解得，当时，，解得，又，所以有和三个零点，正确；对于，当时，，，当时，，递减，当时，，递增，所以时，，时， ，，，由是奇函数，所以时， ，又，∴的值域是，若时，方程在时无解，错误；对于，由可知，，因此对任意的实数，，有，，，即，正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性A f (x)R x <0−x >0f (x)=−f (−x)=−(−x −1)=(x +1)e x e x AB x >0f (x)=(x −1)=0e −x x =1x <0f (x)=(x +1)=0e x x =−1f (0)=0f (x)±10BC x <0f (x)=(x +1)e x (x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′f (x)−2<x <0(x)>0f ′f (x)x =−2f =f (−2)=−=−(x)极小值e −21e 2x →0+f (x)→−1x →0−f (x)→1f (x)x =2f =f (2)=(x)极大值1e 2f (0)=0f (x)(−1,1)m ≤−1f (x)=m x >0C D C −1<f (x)<1x 1x 2−1<f ()<1x 1−1<f ()<1x 2∴−2<f ()−f ()<2x 1x 2|f ()−f ()|<2x 1x 2D ABD作出的大致图象，结合图象可判断选项；由，可得，由此判断选项；若，则，构造函数，可知矛盾，由此可判断选项；这六个数的最大数在与中取，而，由此判断选项．【解答】解：，当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，，作出函数的大致图象如图所示，，由于，即有且仅有两个交点，由图象可知，，故选项正确；，易知，即，即，即，故选项正确；，由图象不妨设，故等价于，又，，故等价为，即，设，，则，∴在上单调递增，故，即矛盾，故选项错误；，由于，由指数函数和幂函数的性质可知，，，，，故这六个数的最大数在与中取，由及的单调性可知，，即，即，故，综上，这六个数中最大数是，故选项正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】f(x)A ln 8<ln 9<ln 22ln 33B <x 1x 2e 2f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()，1<x <e e 2x f()<f()x 1e 2x 1C 3ππ3<π33πD (x)＝(x >0)f ′1−ln xx 2(x)>0f ′0<x <e (x)<0f ′x >e f(x)(0,e)(e,+∞)x →0f(x)→−∞x →+∞f(x)→0f(e)＝1e f(x)A f()=f()=m x 1x 2f(x)=m 0<m <1e B ln 8<ln 93ln 2<2ln 3<ln 22ln 33f(2)<f(3)C 1<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 2e 2x 1x 2∈(e,+∞)e 2x 1f()>f()x 2e 2x 1f()>f()x 1e 2x 1g(x)＝f(x)−f()e 2x 1<x <e (x)＝(x)+()g ′f ′e 2x 2f ′e 2x ＝+1−ln x x 2ln x −1e 2=(1−ln x)(−)>01x 21e 2g(x)(1,e)g(x)<g(e)=0f()<f()x 1e 2x 1D e <3<π>e πe 3>3π3e >ππ3>3πe π3ππ3e <3<πf(x)f(π)<f(3)<ln ππln 33ln <ln π33π<π33πs ABD [1,2)【考点】利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由于，易知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故函数在上有最大值的条件为解得，即实数的取值范围是.故答案为：.14.【答案】【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，当时，.由，且，可得，其中一个大于，一个小于，所以不妨令，，即，所以，所以.令，，则.令，解得，(x)=−+2ax =x(2a −x)f ′x 2f(x)(−∞,0)[0,2a][2a,+∞)f(x)(−1,8−)a 2 8−>2a,a 2f(2a)≥f(−1),−1<8−,a 21≤a <2a [1,2)[1,2)[3−2ln 2,+∞)x ≥1f(x)=1+ln x ≥1x <1f(x)=<1x +12f()+f()=2x 1x 2≠x 1x 2x 1x 211<1x 1>1x 2+1+ln =2+1x 12x 2=−2ln +1x 1x 2+=−2ln ++1x 1x 2x 2x 2h(x)=−2ln x +x +1x >1(x)=−+1h ′2x (x)=0h ′x =2′′所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值唯一，所以极小值也是最小值为，所以，所以的取值范围是.故答案为：.15.【答案】【考点】数列的求和数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，故.因为，所以．而，所以．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值h(x)(1,2)(2,+∞)x =2h(x)h(x =h(2)=3−2ln 2)min +≥3−2ln 2x1x 2+x 1x 2[3−2ln 2,+∞)[3−2ln 2,+∞)2011=a n+1n +2n a n =a n n +1n −1a n−1=××××⋯⋅××a n n +1n −1n n −2n −1n −3n −2n −44231a 1=1a 1=a n n (n +1)2==2(−)1a n 2n (n +1)1n 1n+1+++⋯+1a 11a 21a 31a 10=2(1−)+2(−)+⋯+2(−)121213110111=2(1−)=11120112011−e设切点为，再求出切线方程，进而得出，令，利用导数求得的最小值即可得结论．【解答】解：设切点为，由题意，得函数的导数，所以切线斜率为，则切线方程为，即，所以，，所以，令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减；在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，即最小值，所以的最小值为．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：先排个男生，总共有种可能；再在产生的四个空中，选出个，将女生进行排列，有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).第一步，先排个男生，总共有种可能；第二步，去除男生左端的位置，插空全排有种可能，去除男生右端的位置，插空全排有种可能，故此时有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).先计算全部的排列可能有种可能，因为每一次全排列，甲乙都有种可能，故甲和乙定序的排列有(种).将个男生进行捆绑后，总共有个元素进行排列，先从女生甲以外的个元素中选取个第一个出场，再对剩余个元素进行全排列，同时对个男生也要进行全排列，故所有的可能有(种).(,ln −1)x 0x 0=ln −2m k x 0x 0x 0g(x)=x ln x −2x g(x)(,ln −1)x 0x 0y =ln x −1=y ′1x1x 0y −(ln −1)=(x −)x 01x 0x 0y =x +ln −21x 0x 0=k 1x 0ln −2=m x 0=(ln −2)=ln −2m k x 0x 0x 0x 0x 0g(x)=x ln x −2x (x)=ln x −1g ′(x)<0g ′0<x <e (x)>0g ′x >e g(x)(0,e)(e,+∞)g(x)x =e g(e)=−e m k −e −e (1)3A 333A 34=144A 33A 34(2)3A 33A 33A 332A 332=72A 33A 33(3)A 66A 22=360A 66A 22(4)343133=108A 33C 13A 33排列、组合的应用排列、组合及简单计数问题【解析】先排男生，再插空即可；首先排男生，再插空排列即可；先全排，再除序即可；将个男生进行捆绑后，总共有个元素进行排列，先从甲女生以外的个元素中选取个第一个出场，再对剩余个元素进行全排列，同时对个男生也要进行全排列.【解答】解：先排个男生，总共有种可能；再在产生的四个空中，选出个，将女生进行排列，有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).第一步，先排个男生，总共有种可能；第二步，去除男生左端的位置，插空全排有种可能，去除男生右端的位置，插空全排有种可能，故此时有种可能，故所有不同出场顺序有： (种).先计算全部的排列可能有种可能，因为每一次全排列，甲乙都有种可能，故甲和乙定序的排列有(种).将个男生进行捆绑后，总共有个元素进行排列，先从女生甲以外的个元素中选取个第一个出场，再对剩余个元素进行全排列，同时对个男生也要进行全排列，故所有的可能有(种).18.【答案】解：由二项式定理的性质，杨辉三角第行的个数的和为：，∴．杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，…，组成．如果第行中有，，那么 ，，解这个联立方程组，得，．即第行有三个相邻的数，，的比为．【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用(1)(2)(3)(4)343133(1)3A 333A 34=144A 33A 34(2)3A 33A 33A 332A 332=72A 33A 33(3)A 66A 22=360A 66A 22(4)343133=108A 33C 13A 33(1)n −1n =++⋯+=S n C 0n−1C 1n−1C n−1n−12n−1=++⋯+=1+2++⋯+=−1T n S 1S 2S n 222n−12n (2)n C k n k =012n n ==C k−1nC k n k n −k +134==C 4n C k+1n k +1n −k 453n −7k =−34n −9k =5k =27n =6262C 2662C 2762C 28623:4:5此题暂无解析【解答】解：由二项式定理的性质，杨辉三角第行的个数的和为：，∴．杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，…，组成．如果第行中有，，那么 ，，解这个联立方程组，得，．即第行有三个相邻的数，，的比为．19.【答案】由题意可知，，，所以，所以与是独立事件．【考点】互斥事件与对立事件条件概率与独立事件【解析】根据事件相互独立的定义即可得到答案【解答】由题意可知，，，所以，所以与是独立事件．20.【答案】解：由函数，可得的定义域为，当时， 的导数，令，解得；令，解得，所以函数在单调递减，在单调递增，(1)n −1n =++⋯+=S n C 0n−1C 1n−1C n−1n−12n−1=++⋯+=1+2++⋯+=−1T n S 1S 2S n 222n−12n (2)n C k n k =012n n ==C k−1nC k n k n −k +134==C 4n C k+1n k +1n −k 453n −7k =−34n −9k =5k =27n =6262C 2662C 2762C 28623:4:5P(A)=a a +b P(B)=a a +b P(AB)=⋅a a +b a a +b P(A |B)==P(AB)P(B)a a +b A B P(A)=a a +b P(B)=a a +b P(AB)=⋅a a +b a a +b P(A |B)==P(AB)P(B)a a +b A B (1)f (x)=(x +a)ln x f (x)(0,+∞)a =0f (x)(x)=1+ln x f ′(x)>0f ′x >1e (x)<0f ′0<x <1e f (x)(0,)1e (,+∞)1e所以当时， 取得最小值．令，，因为对于任意都有，只须在）上恒成立.又由，且，记，则，由已知，所以对于任意，都有恒成立.又因为，所以在）上单调递增，所以，由，解得，所以当时，对任意都有成立．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．【解答】解：由函数，可得的定义域为，当时， 的导数，令，解得；令，解得，所以函数在单调递减，在单调递增，所以当时， 取得最小值．令，，因为对于任意都有，只须在）上恒成立.又由，且，记，则，由已知，所以对于任意，都有恒成立.x =1e f (x)−1e (2)F (x)=f (x)−g(x)=(x +a)ln x −−x a 2x 2(x ≥1)x ≥1f (x)≥g(x)F (x)≥0[1,+∞(x)=ln x +−ax F ′a x (1)=0F ′G (x)=(x)=ln x +−ax,(x ≥1)F ′a x (x)=−−a G ′1x a x 2a ≤0x ≥1(x)=−−a >0G ′1x a x 2G (1)=(1)=0F ′F (x)[1,+∞(x)=F (1)=−−1F min a 2−−1≥0a 2a ≤−2a ≤−2x ≥1f (x)≥g(x)(1)f (x)=(x +a)ln x f (x)(0,+∞)a =0f (x)(x)=1+ln x f ′(x)>0f ′x >1e (x)<0f ′0<x <1e f (x)(0,)1e (,+∞)1e x =1e f (x)−1e (2)F (x)=f (x)−g(x)=(x +a)ln x −−x a 2x 2(x ≥1)x ≥1f (x)≥g(x)F (x)≥0[1,+∞(x)=ln x +−ax F ′a x (1)=0F ′G (x)=(x)=ln x +−ax,(x ≥1)F ′a x (x)=−−a G ′1x a x 2a ≤0x ≥1(x)=−−a >0G ′1x a x 2所以在）上单调递增，所以，由，解得，所以当时，对任意都有成立．21.【答案】解：设生产吨产品，利润为元，则,，由，得，∵时，，当时，，∴当时，（元）,答：该厂每月生产顿产品才能使利润达到最大，最大利润为元.【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值【解答】解：设生产吨产品，利润为元，则,，由，得，∵时，，当时，，∴当时，（元）,答：该厂每月生产顿产品才能使利润达到最大，最大利润为元.22.【答案】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，F (x)[1,+∞(x)=F (1)=−−1F min a 2−−1≥0a 2a ≤−2a ≤−2x ≥1f (x)≥g(x)x y y =px −R =(24100−)x −(40000+100x)15x 2=−+24000x −40000(0<x <10)15x 31205−−−−√y'=−+2400035x 2y =0′x =2000<x <200y >0′200<x <101205−−−−√y <0′x =200=3160000y max 2003160000x y y =px −R =(24100−)x −(40000+100x)15x 2=−+24000x −40000(0<x <10)15x 31205−−−−√y'=−+2400035x 2y =0′x =2000<x <200y >0′200<x <101205−−−−√y <0′x =200=3160000y max 2003160000f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）若在具有单调性，则或恒成立，分，两种情况讨论，即可求得满足条件的的取值集合．【解答】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}f'(1)f(1)f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0a >0a f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}。