北师大版高中数学必修一模块综合测评(解析版)

模块综合测评限时120分钟 分值150分 战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，则M ∩N ＝( ) A ．{－2，－1，0，1，2} B ．{－2，－1，0，1，4} C ．{－2，－1，0，1}D ．{－1，0，1}【解析】选C.2，3，4∉M ，由交集运算知M ∩N ＝{－2，－1，0，1}． 2．命题“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 C ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0【解析】选C.命题：∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定为∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0. 3．设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．c <a <bD ．b <c <a【解析】选A.a ＝20.3>1，b ＝0.32<1，c ＝log 20.3<0，所以c <b <a . 4．已知实数0<x <12 ，则x (1－2x )的最大值为( )A ．1B ．18C ．4D ．14【解析】选B.因为0<x <12 ，则x >0，1－2x >0，所以x (1－2x )＝12 (2x )(1－2x )≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 2 2＝18 ，当且仅当2x ＝1－2x 时，即x ＝14 时取等号，所以x (1－2x )的最大值为18. 5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．我们从这个图片中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是()A.f(x)＝1||x|－1|B．f(x)＝1|x－1|C．f(x)＝1x2－1D．f(x)＝1 x2＋1【解析】选A.由图象知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除选项B，D，又因为当x＝0时，C选项中f(0)＝－1，不符合图象f(0)＝1，所以排除C.6．已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是() A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)一定有最小值C．当a＝0时，f(x)的定义域为RD．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 【解析】选A.对于A，当a＝0时，解x2－1>0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误；对于C，由A知，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故C错误；对于D ，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y ＝x 2＋ax －a －1在[2，＋∞)上单调递增，所以对称轴x ＝－a2 ≤2，解得a ≥－4，但当a ＝－4时，f (x )＝lg (x 2－4x ＋3)在x ＝2处无定义，故D 错误．7．已知奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x －2 <0的解集是( )A ．(－3，0)∪(0，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞)D ．(－3，0)∪(0，3)【解析】选C.由f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f (3)＝0得，f (－x )＝－f (x )，f (x )在(－∞，0)上单调递减，f (－3)＝0，所以当x ∈(－∞，－3)时，f (x )>0，当x ∈(－3，0)时，f (x )<0，当x ∈(0，3)时，f (x )>0，当x ∈(3，＋∞)时，f (x )<0，则f （x ）－f （－x ）x －2<0，即2f （x ）x －2 <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0，x －2<0 或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0x －2>0 ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0，x －2<0 解得x <－3或0<x <2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0，x －2>0解得x >3， 所以满足条件的x 的范围为(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞).8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(8，＋∞) C ．[4，8)D ．(1，8)【解析】选C.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x －2，x ≤1是R 上的增函数， 所以⎩⎨⎧a >1，4－a2>0，4－a 2－2≤log a1解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4，8).二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－1，0]上是单调递增的，则( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象关于x ＝1对称C ．f (x )在[0，1]上是单调递增的D ．f (x )在[1，2]上是单调递减的 【解析】选AB.由于f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，周期为2，故A 正确；由于f (2－x )＝f (－x )＝f (x )，图象关于直线x ＝1对称，故B 正确；偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故C 不正确； 根据周期性，函数在[1，2]上的单调性与[－1，0]上的单调性相同，故D 不正确．10．机器人(Robot)是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，它具有感知、决策、执行等基本特征，可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围．为了研究A ，B 两专卖店的机器人销售状况，统计了2020年2月至7月A ，B 两店每月的营业额(单位：万元)，得到如下的折线图，则下列说法正确的是( )A．根据A店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在[34，35]内B．根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势C．根据A，B两店营业额的折线图，可得A店的营业额极差比B店大D．根据A，B两店营业额的折线图，可得B店7月份的营业额比A店多【解析】选ABD.根据A店的营业额折线图可知该店营业额的平均值为14＋20＋26＋45＋64＋366≈34.17，故A正确；根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势，故B正确；A店营业额的极差为64－14＝50，B店营业额的极差为63－2＝61，故A店营业额的极差比B店小，故C错误；由折线图可知，B店7月份的营业额比A店多，故D正确．11．定义域和值域均为[－a，a]的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，其中a>c>b>0，给出下列四个结论正确的是()A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解B．方程g[f(x)]＝0有且仅有四个解C．方程f[f(x)]＝0有且仅有八个解D ．方程g [g (x )]＝0有且仅有一个解【解析】选AD.对于A ，设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，得f (t )＝0，当f (t )＝0时，则t ＝g (x )有三个不同的值，由于y ＝g (x )是减函数，所以有三个解，所以A 正确； 对于B ，设t ＝f (x )，则由g [f (x )]＝0，即g (t )＝0，解得t ＝b ， 因为c >b >0，所以f (x )＝b 只有3个解，所以B 不正确；对于C ，设t ＝f (x )，若f [f (x )]＝0，即f (t )＝0，则t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，则 f (x )＝－b 或f (x )＝0或f (x )＝b ，因为a >c >b >0，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C 错误； 对于D ，设t ＝g (x )，若g [g (x )]＝0，即g (t )＝0，所以t ＝b ， 因为y ＝g (x )是减函数，所以方程g (x )＝b 只有1解，所以D 正确．12．函数f (x )的定义域为D ，若存在区间[m ，n ]⊆D 使f (x )在区间[m ，n ]上的值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]为函数f (x )的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2－2x ＋2 C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x【解析】选ABD.由题得，若f (x )在区间[m ，n ]上的值域也是[m ，n ]，则f (x )存在“和谐区间”[m ，n ]，可知，m <n ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ，f （n ）＝n 或⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝nf （n ）＝m ，A ：f (x )＝x (x ≥0)，若⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m ＝mf （n ）＝n ＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝1 ，所以f (x )＝x 存在“和谐区间”[0，1]；B ：f (x )＝x 2－2x ＋2(x ∈R )，若 ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2－2m ＋2＝m f （n ）＝n 2－2n ＋2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2存在“和谐区间” [1，2]；C ：f (x )＝x ＋1x(x ≠0)，若⎩⎨⎧f （m ）＝m ＋1m＝mf （n ）＝n ＋1n＝n ，得⎩⎨⎧1m＝01n ＝0，故无解；若⎩⎨⎧f （m ）＝m ＋1m＝nf （n ）＝n ＋1n＝m ，则m ＋1m ＋1m ＋1m ＝m ，即2m 2＋1m 3＋m＝0，故无解， 所以f (x )＝x ＋1x不存在“和谐区间”；D ：f (x )＝1x(x ≠0)，函数在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递减，则⎩⎨⎧f （m ）＝1m＝nf （n ）＝1n＝m ，不妨令⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12n ＝2，所以f (x )＝1x 存在“和谐区间”⎣⎡⎦⎤12，2 ；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min 后茶水的温度为y ℃，且y ＝k ×0.908 5x ＋25(x ≥0，k ∈R ).当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为________min(结果保留整数).(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0)【解析】由题意可知，当x ＝0时，y ＝85，即85＝k ＋25，k ＝60，故y ＝60×0.908 5x ＋25. 当y ＝55时，55＝60×0.908 5x ＋25，0.908 5x ＝0.5， x ＝log 0.908 50.5＝－ln 2ln 0.908 5 ≈0.693 10.096 0 ≈7.答案：714．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，至多有一件一等品的概率是________．【解析】将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P 0＝310 ，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P ＝ 1－P 0＝1－310 ＝710 .答案：71015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， 则f [f (1)]＝________；设g (x )＝f (x )＋x ＋a ，若函数g (x )存在2个零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为f (1)＝ln 1＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝e 0＝1；因为g (x )有2个零点，所以y ＝f (x )，y ＝－x －a 的图象有两个交点，作出y ＝f (x )，y ＝－x －a 的图象如图所示：当y ＝f (x )，y ＝－x －a 有两个交点时，可知－a ≤1，所以a ≥－1，即a ∈[－1，＋∞). 答案：1 [－1，＋∞) 16．下列几个命题：①方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0若有一个正实根，一个负实根，则a <0； ②函数y ＝x 2－1 ＋1－x 2 是偶函数，但不是奇函数；③函数f (x )的值域是[－2，2]，则函数f (x ＋1)的值域为[－3，1]；④ 一条曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a 的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. 其中正确的有________．【解析】①由一元二次方程根与系数的关系，得x 1x 2＝a <0，故①正确；②根据函数的定义域可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0解得：x ＝±1，此时y ＝0，所以y ＝0(x ＝±1) ，所以函数既是奇函数，又是偶函数；故②不正确；③y ＝f (x ＋1)由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位而得，所以两个函数的值域相同，即函数f (x ＋1)的值域为[－2，2]，故③不正确；④因为y ＝|3－x 2|是偶函数，并且图象如图所示，y ＝a 与图象的交点有2个，3个或4个，不可能有1个的时候，故④正确．答案：①④四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )是奇函数，且f (1)<f (2). (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)求y ＝log 22 f (x )＋log 12[2f (x )]，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 的值域． 【解析】(1)因为幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )是奇函数，且f (1)<f (2). 所以－2m 2＋m ＋3是正奇数，且m ∈Z ， 所以m ＝0，f (x )＝x 3.(2)y ＝ log 22 f (x ) ＋ log 12[2f (x )] ＝ log 22 x 3＋log 12 (2x 3)＝(3log 2x )2＋log 12 2＋log 12x 3＝9(log 2x )2－3log 2x －1＝9⎝⎛⎭⎫log 2x －16 2－54，因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ，所以－1≤log 2x ≤1，所以当log 2x ＝16 时，y 取最小值－54，当log 2x ＝－1时，y 取最大值11.所以y ＝log 22 f (x )＋log 12[2f (x )]，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 的值域为⎣⎡⎦⎤－54，11 . 18．(12分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 【解析】(1)甲品牌产品使用寿命小于200小时的频率为5＋20100 ＝14 ，用频率估计概率，所以，甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，使用寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，使用寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145 ＝1529 ，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.19．(12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45 ，乙当选的概率为35 ，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45 ，P (B )＝35 ，P (C )＝710 .(1)因为A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (A B C )＋ P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＝45 ×25 ×310 ＋15 ×35 ×310 ＋15 ×25 ×710 ＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－45 ×35 ×710 ＝83125 .20．(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量n (单位：枝)整理得下表：①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【解析】(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85.当日需求量n ＜17时，利润y ＝10n －85.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17， (n ∈N ).(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100 (55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元).②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.21．(12分)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋ae x －a (e 为常数，e ＝2.718 28…).(1)若a ＝1，求证：函数f (x )为奇函数； (2)若a <0.①判断并证明函数f (x )的单调性；②若存在x ∈[1，2]，使得f (x 2＋2ax )>f (4－a 2)成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝1时，函数f (x )＝e x ＋1e x －1 ，因为e x －1≠0，则x ≠0，所以f (x )的定义域为{x |x ≠0}，对任意x ≠0，f (－x )＝e －x ＋1e －x －1 ＝1＋e x1－e x ＝－f (x )，所以f (x )＝e x ＋1e x －1是奇函数．(2)①当a <0时，f (x )为R 上的单调增函数，证明如下：当a <0时，e x －a >0恒成立，故函数f (x )定义域为R .任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则e x 1<e x 2，因为f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a e x 1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a e x 2－a ＝2a （e x 2－e x 1）（e x 1－a ）（e x 2－a ） <0， 所以f (x )为R 上的单调增函数．②设命题p ：存在x ∈[1，2]，使得f (x 2＋2ax )>f (4－a 2)成立．下面研究命题p 的否定：p ：∀x ∈[1，2]，f (x 2＋2ax )≤f (4－a 2)恒成立． 若p 为真命题，由①知，f (x )为R 上的单调增函数，故∀x ∈[1，2]，x 2＋ 2ax ≤4－a 2恒成立．设g (x )＝x 2＋2ax ＋a 2－4，x ∈[1，2]，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，g （1）≤0，g （2）≤0解得－3≤a <0.因为p 为真，则p 为假命题， 所以实数a 的取值范围为(－∞，－3).22．(12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g （x ）x .(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (log 2x )－2k log 2x ≥0在x ∈[4，8]上恒成立，求实数k 的取值范围； (3)若f (|2x －1|)＋k 2|2x －1| －3k ＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【解析】(1)函数g (x )＝ax 2－2ax ＋b ＋1＝a (x －1)2＋1＋b －a ， 因为a ＞0，所以g (x )在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝1，3a ＋b ＋1＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由(1)可得f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2，不等式f (log 2x )－2k log 2x ≥0在x ∈[4，8]上恒成立，等价为log 2x ＋1log 2x －2≥2k log 2x 在x ∈[4，8]上恒成立，即2k ≤1（log 2x ）2 －2log 2x ＋1在x ∈[4，8]上恒成立，令t ＝1log 2x ，则2k ≤t 2－2t ＋1，因为x ∈[4，8]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤13，12 ，则函数m (t )＝t 2－2t ＋1在t ∈⎣⎡⎦⎤13，12 上递减，可得m (t )的最小值为m ⎝⎛⎭⎫12 ＝14 ，则2k ≤14 ，即k ≤18. (3)原方程可化为|2x －1|2－(3k ＋2)|2x －1|＋(2k ＋1)＝0， 可令t ＝|2x －1|，则t ＞0，由题意可得t 2－(3k ＋2)t ＋(2k ＋1)＝0有两个不等实根t 1，t 2， 其中0＜t 1＜1，t 2＞1或0＜t 1＜1，t 2＝1， 设h (t )＝t 2－(3k ＋2)t ＋(2k ＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋1>0，h （1）＝－k <0 或⎩⎨⎧2k ＋1>0，h （1）＝－k ＝0，0<3k ＋22<1解得k ＞0或k ∈∅， 则k 的取值范围是(0，＋∞).。

必修一模块综合检测 数 学 试 题一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的）.1.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M∩N，则P 的子集共有 ( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2.函数()lg3f x x =( )A.（0,2）B.[0,2]C.[0,2)D.(0,2] 3.下列函数中，值域是(0,)+∞的是（ ）A. xy -=131)( B. 12-=x y C. xy -=215D x y 21-=4.若偶函数)(x f 在),0(+∞上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)43()32()21(f f f >->B ．)32()43()21(f f f >->C ．)32()21()43(f f f >->D ．)21()32()43(f f f >>-5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（ ） A.3- B. 1- C. 1 D. 36.图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A.0<a<b<1<d<cB.0<b<a<1<c<dC.0<d<c<1<a<bD.0<c<d<1<a<b7.函数2()1(0,1)x f x aa a -=+>≠ 的图象恒过定点（ ）A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)8.已知log (1)()(3) 1 (1)a x x f x a x x ≥⎧=⎨--<⎩ 是定义在Ra的取值范围是（ ） A.[2,3) B.(1,3) C.(1,)+∞ D.(1,2]x ）A.(0,1)B.(1,2)C.(,)23D.(,)34x10.设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( ) A. 14 B. 14或23 C. 23 D. 23或34二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.= ．12.若a x f x++=131)(是奇函数，则实数=a 13.若定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞）上是增函数， 且f （21）＝0，则满足不等式 f （log 4x ）＞0的x 的集合是 ． 14.已知函数()xf ex =，则()2f =15.函数()x f 的定义域为A ,若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =,则称()x f 为单函 数.例如,函数()()R ∈+=x x x f 1是单函数.下列命题:①函数()()R ∈-=x x x x f 22是单函数;②函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是单函数;③若()x f 为单函数,A x x ∈21,且21x x ≠,则()()21x f x f ≠;④函数()x f 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()x f 一定是单函数.其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).三、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤；共75分）.16.（本小题12分）已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|0<x<1}，若A∩B=φ，求实数a 的取值范围.17.（本小题12分）设函数2,(0)()3,(0)x bx c x f x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩，若,1)2(),0()4(-=-=-f f f （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）画出函数)(x f 的图象，并说出函数)(x f 的单调区间.18.(本小题12分）已知函数()f x 定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f (4)=1，()()()f xy f x f y =+ （I ）求f (1)的值；探究用()f x 和n 表示f (nx )的表达式（n ∈N *）； （II ）若()f x + f (x -3)≤1，求x 的取值范围.19.(本小题12分）设当1≤x 时，函数1422x x y +=-+的值域为D ，且当x D ∈时，恒有2()54fx x k x x=++≤，求实数k 的取值范围．20.(本小题13分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）． （I ）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（II ）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．21.(本小题14分）已知1()log 1ax f x x +=-（10≠>a a 且）. （I ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明； （II ）讨论()x f 的单调性；（III ）是否存在实数a ，使得()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m --，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，则说明理由.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDAAADDACD二、填空题（5×5=25分）11. 6 12. 21- 13.1(2,)(0,)2+∞ 14. ln 2 15. ③三、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤；共75分）16.（本小题12分）已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|0<x<1}，若A∩B=φ，求实数a 的取值范围. 解：∵A∩B=Ø,当A=Ø时，有2a+1≤a -1∴a≤-2;当A≠Ø时，有2a+1>a-1∴a>-2.又∵A∩B=Ø，则有2a+1≤0或a-1≥1∴a≤- 12或a≥2, ∴-2<a≤-12或a≥2,综上可知：a≤- 12或a≥2.17.（本小题12分）设函数2,(0)()3,(0)x bx c x f x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩，若,1)2(),0()4(-=-=-f f f（I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）画出函数)(x f 的图象，并说出函数)(x f 的单调区间.解：（I ）,1)2(),0()4(-=-=-f f f ∴3416=+-c b ，124-=+-c b 解得3,4==c b ∴⎩⎨⎧≥+-<++=0,30,34)(2x x x x x x f（II ）图象略，由图象可知单调区间为： (]2,-∞-，(]0,2-，()+∞,0,其中增区间为(]0,2-，减区间为(]2,-∞-，().,0+∞18.(本小题12分）已知函数()f x 定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f (4)=1，()()()f xy f x f y =+ （I ）求f (1)的值；探究用()f x 和n 表示f (nx )的表达式（n ∈N *）； （II ）若()f x + f (x -3)≤1，求x 的取值范围； 解：（I ）令x =1，y =4，则f (4)=f (1×4)=f (1)+f (4)∴f (1)=0∵()()()f xy f x f y =+∴()()()n n f x f x x x x nf x =••••=个（II ）()f x +f (x －3)=f ［x (x －3)］≤1=f (4)，又()f x 在（0，+∞）上单调递增∴ (3)414303430x x x x x x x -≤⎧-≤≤⎧⎪->⇒⇒<≤⎨⎨>⎩⎪>⎩∴ x ∈（3，4] 19.(本小题12分）设当1≤x 时，函数1422x x y +=-+的值域为D ，且当x D ∈时，恒有2()54fx x k x x=++≤，求实数k 的取值范围． 解：令t=2x ，由x ≤1，则t ∈（0，2]，则原函数y=t 2-2t+2=（t-1）2+1∈[1，2]，即D=[1，2]， 由题意：f （x ）=x 2+kx+5≤4x ，法1：则x 2+（k-4）x+5≤0当x ∈D 时恒成立21(4)502(4)250k k +-+≤⎧∴⎨+-+≤⎩212k k ≤-⎧⎪∴⎨≤-⎪⎩∴ k ≤-2. 法2：则在x D ∈时恒有5()4k x x≤-++成立，故m i n5()42k x x⎡⎤≤-++=-⎢⎥⎣⎦ 20. (本小题13分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）． （I ）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（II ）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．解：（I ）由题意：当04x <≤时，()2v x =；当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()bax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩（II ）依题意并由（I ）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=；当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． 所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．21.(本小题14分）已知1()log 1ax f x x +=-（10≠>a a 且）. （I ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明； （II ）讨论()x f 的单调性；（III ）是否存在实数a ，使得()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m --，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，则说明理由. 解：（I ）由101x x +>-得：1x <-或1x > .所以，函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞. 又111()log log log ()111a a a x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-()f x ∴为奇函数.（II ）任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则120x x -<.因为12211212112()011(1)(1)x x x x x x x x ++--=>---- 所以12121111x x x x ++>--，当1a >时，所以121211log log 11a a x x x x ++>--，故12()()f x f x >,所以，函数()x f 在区间(1,)+∞上单调递减.，同理可证：当01a <<时，函数()x f 在区间(,1)-∞-上单调递增. （III ）假设存在实数a 满足题目条件.由题意得：0,0m n >>，又[],(,1)(1,)m n ⊆-∞-+∞，1m n ∴<<又1log 1log a a n m -<-，log log a a m n ∴>，1a ∴>.故由（II ）得：函数()x f 在区间(1,)+∞上单调递减.所以，函数()x f 在区间[],m n 上单调递减.故()1log ()1log a a f m m f n n =-⎧⎨=-⎩，所以1log log 11log log1a a a am am mn a n n+⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，所以22(1)0(1)0m a m a n a n a ⎧+-+=⎨+-+=⎩， ,m n ∴是方程2(1)0x a x a +-+=的两个不同的实根.故方程2(1)0x a x a +-+=在区间(1,)+∞上有两个不同的实根.则2(1)40112(1)0a a a f ⎧∆=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得：3a >+又1a >，所以，3a >+a 存在，实数a的取值范围是(3)++∞.。

模块综合测评(一) 必修1(北师大版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B. 答案：B2．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋3>0，得x >－3且x ≠0，所以函数定义域为(－3,0)∪(0，＋∞)，故选D. 答案：D3．若幂函数f (x )＝x a 在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ＝0D ．不能确定解析：当a >0时，f (x )＝x a 在(0，＋∞)上递增，故选A. 答案：A4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{2}B ．{x |x ≤1}C ．{－12}D ．{x |x ≤1或x ＝2}解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，故选C.答案：C5．下列各式错误的是( ) A ．30.8>30.7 B ．log 0.50.4>log 0.50.6 C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.4解析：∵y ＝0.75x 为减函数，∴0.75－0.1>0.750.1，故选C. 答案：C6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数的图像为( )A. B.C. D.解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的反函数为y ＝log 12x ，故选D.答案：D7．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图像可能是( )A. B.C. D.解析：由题意知，2a＋b＝0，所以a＝－b2.因此g(x)＝bx2＋b2x＝b(x2＋12x)＝b⎝⎛⎭⎪⎫x＋142－b16.易知函数g(x)图像的对称轴为x＝－14，排除A，D.又令g(x)＝0，得x＝0，－0.5，故选C.答案：C8．已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)＜f (4)B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (4)C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72D ．f (4)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72<f (－3)，故选D.答案：D9．函数y ＝x 2的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝x 2和y ＝|lg x |的图像，如图，可得交点个数为1，故选B.答案：B10．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：f (1)＝ln(1＋1)－21＝ln2－2＝ln2－lne 2<0，f (2)＝ln(2＋1)－22＝ln3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．解析：答案：－91012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (0≤x ≤2)，2x (x ＞2)，则f (2)＝__________；若f (x 0)＝8，则x 0＝__________.解析：f (2)＝22－4＝0，当x 0>2时，2x 0＝8， ∴x 0＝4，当0≤x 0≤2时，x 20－4＝8，∴x 0＝±23(舍)， ∴x 0＝4. 答案：0 413．已知f (x )＝x 3＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝__________. 解析：∵f (a )＝a 3＋1＝11，∴a 3＝10，f (－a )＝(－a )3＋1＝－a 3＋1＝－10＋1＝－9.答案：－914．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x ＜1)，－x ＋1 (x ≥1)是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________．解析：令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，h (x )＝－x ＋1，要满足f (x )在R 上是减函数，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，g (1)≥h (1)，解之得17≤a ＜13.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R .(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)求A ∩C .解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(2分)(∁R A )∩B ＝{x |x <1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(6分) (2)当a ≤1时，A ∩C ＝∅.(8分) 当1<a <7时，A ∩C ＝{x |1≤x <a }．(10分) 当a ≥7时，A ∩C ＝{x |1≤x <7}．(12分)16．(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，其中k1k2≠0.∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k1×1＝1，k21＝2，∴k1＝1，k2＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝2x.(6分)(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝x＋2 x ，∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(8分)∵h(－x)＝－x＋2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x＋2x＝－h(x)，(10分)∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)＋g(x)是奇函数．(12分)17．(12分)已知f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数，g(x)＝λf(x)．(1)求实数a的值；(2)若g(x)≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立，求λ的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数．(2分) 所以f(0)＝0，即ln(1＋a)＝0，得a＝0.(4分)对于函数f(x)＝lne x＝x，显然有f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝x是奇函数，所以实数a的值为0.(6分)(2)由(1)知f(x)＝x, g(x)＝λx，则λx≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立．即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立．(8分)∵函数y ＝log 2x 在x ∈[2,3]时的最小值为log 22＝1，(10分) ∴λ≤1.(12分)18．(14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x(x ≥0)．(6分)(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元． 依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．(8分)& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 令t ＝20－x (0≤t ≤25)．(10分)则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．(14分)。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，C ＝{4,5}，则(A ∩B )∪C 为( ) A ．{3,4} B ．{3,4,5} C ．{4,5,6}D ．{3,4,5,6}【解析】 依题意得，A ∩B ＝{3,4}，所以(A ∩B )∪C ＝{3,4,5}，选B. 【答案】 B2．(2016·浙江瑞安市高一期中)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －1D ．y ＝x 3【解析】 选项A 中y ＝x 12＝x 是非奇非偶的函数，选项C 中y ＝x －1是奇函数，对于选项D 中y ＝x 3也是奇函数，均不满足题意；选项B 中y ＝x 4是偶函数，且过点(0,0)(1,1)，满足题意．故选B.【答案】 B3.已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )【解析】 因为f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )，故f (x )为偶函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋1x 21－1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )． 【答案】 C4．若函数f (x )＝log 2(x －1)2－x 的定义域为A ，g (x )＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B )＝( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(0,1]∪[2，＋∞)D ．(0,1)∪(2，＋∞)【解析】 由题意知，⎩⎨⎧x －1>02－x >0⇒1<x <2.∴A ＝(1,2)．⎩⎨⎧1－x >0ln (1－x )≥0⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]， A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)， ∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)． 【答案】 C5．(2016·湖南长沙一中高一期中)三个数a ＝0.72，b ＝log 20.7，c ＝20.7之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵0＜a ＝0.72＜1，b ＝log 20.7＜0，c ＝20.7＞1.∴b ＜a ＜c .故选C. 【答案】 C6．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)已知定义域在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)＜0，则a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)【解析】 由f (a －3)＋f (9－a 2)＜0，得f (a －3)＜－f (9－a 2)；又奇函数满足f (－x )＝－f (x )，得f (a －3)＜f (a 2－9)；因为f (x )是(－1,1)上的减函数，所以⎩⎨⎧－1＜a －3＜1－1＜a 2－9＜1，a －3＞a 2－9解得22＜a ＜3.【答案】 A7．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lg x 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】 由y ＝lg x ＋310得y ＝lg(x ＋3)－1，由y ＝lg x 的图像向左平移3个单位，得y ＝lg(x ＋3)的图像，再向下平移一个单位得y ＝lg(x ＋3)－1的图像．故选C.【答案】 C8．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12等于( )【导学号：04100084】A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝2.故选D.【答案】 D9．已知lg a ＋lg b ＝0，函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图像可能是( )【解析】 由lg a ＋lg b ＝0得ab ＝1，当a >1时，0<b <1，结合选项知B 正确．【答案】 B10．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c 则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【解析】 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1x的图像，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a ＜b ＜c .故选A.【答案】 A11．(2016·兰州高一期末)已知f (x )的定义域为x ∈R 有x ≠1，已知f (x ＋1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )＝2x 2－x ＋1，那么，当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，74 【解析】 由题意知，f (x ＋1)为奇函数，则f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)． 令t ＝－x ＋1，则x ＝1－t ，故f (t )＝－f (2－t )，即f (x )＝－f (2－x )． 设x ＞1，则2－x ＜1.∵当x ＜1时，f (x )＝2x 2－x ＋1，∴f (2－x )＝2(2－x )2－(2－x )＋1＝2x 2－7x ＋7， ∴f (x )＝－f (2－x )＝－2x 2＋7x －7，∴函数的对称轴x ＝74.故所求的减区间是[74，＋∞)．故选C. 【答案】 C12．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，(x ≤1)，ax，(x ＞1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．－3≤a ＜0B ．－3≤a ≤－2C ．a ≤－2D ．a ≤0【解析】 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，(x ≤1)，ax ，(x ＞1)是R 上的增函数，设g (x )＝－x 2－ax －5(x ≤1)，h (x )＝ax (x ＞1)，由分段函数的性质可知，函数g (x )＝－x 2－ax －5在(－∞，1]单调递增，函数h (x )＝ax 在(1，＋∞)单调递增，且g (1)≤h (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥1，a ＜0，－a －6≤a ，∴⎩⎨⎧a ≤－2，a ＜0，a ≥－3，解得－3≤a ≤－2.故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．化简(a 23b 12)(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56的结果为________． 【解析】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3)÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a . 【答案】 －9a14．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝3－x 2的实数解的个数是________．【导学号：04100085】【解析】 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝3－x 2.作出两函数图像如图由图可知f (x )与g (x )有两个交点． 故方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝3－x 2的实数解的个数为2.【答案】 215．(2016·天津市南开大附中高一期中)已知(1.40.8)a ＜(0.81.4)a ，则实数a 的取值范围是______．【解析】 ∵1.40.8＞1,0＜0.81.4＜1， 且(1.40.8)a ＜(0.81.4)a ， ∴y ＝x a 为减函数，∴a 的取值范围是(－∞，0)． 【答案】 (－∞，0)16．(2016·宿迁高一期末)关于x 的方程|x 2－1|＝a 有三个不等的实数解，则实数a 的值是______．【解析】 构造函数y 1＝|x 2－1|，y 2＝a ，画出函数的图形，如图所示，则可得关于x 的方程|x 2－1|＝a 有三个不等的实数解时，a ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·江阴高一检测)计算下列各式的值： (1)(ln 5)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋(1－2)2－2log 42.(2)log 21－lg 3·log 32－lg 5.【解】 (1)原式＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫322－0.5＋|1－2|－212＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＋2－1－2＝23.(2)原式＝0－lg 3·lg 2lg 3－lg 5 ＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg(2×5)＝－1.18．(本小题满分12分)(2016·河南舞钢市一高高一月考)已知集合A ＝{x |0＜ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ≤2.(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围；(3)是否存在实数a 使得A ∪B ＝A ∩B ？若存在，求出a 的值；若不存在，试说明理由．【解】 A 中不等式的解应该分三种情况讨论确定： ①当a ＝0时，A ＝R ；②当a ＜0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 4a ≤x ＜－1a； ②若a ＞0，则A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1a ≤x ≤4a .(1)若a ＜0，若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＞－12，－1a ≤2，⇒a ＜－8.若a ＞0，若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤2，－1a ≥－12，⇒a ≥2.故由A ⊆B 得a 的取值范围是{a |a ＜－8，或a ≥2}． (2)由A ∩B ＝B 知，B ⊆A当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a ＞2，⇒－12＜a＜0.当a ＞0时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≥2，－1a ＜－12，⇒0＜a ≤2.若A ∩B ＝B ，则实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－12＜a ≤2. (3)由A ∪B ＝A ∩B 得，A ＝B ，即A ⊆B ，B ⊆A ，结合(1)、(2)知，a ＝2. 19．(本小题满分12分)(2016·湖南永顺一中高一期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x ＞2时，y ＝f (x )的图像是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(2，＋∞)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的图像； (3)写出函数f (x )的值域及单调增区间．图1【解】 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2，所以y ＝－2(x －3)2＋4，即x ＞2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14. (2)函数f (x )的图像如图：(3)由图像可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]，单调增区间为(－∞，－3)，(0,3) 20．(本小题满分12分)(2016·湖南株州二中高一期中)已知f (x )＝log 21＋x 1－x(1)判断f (x )的奇偶性并证明；(2)判断f (x )的单调性并用单调性定义证明； (3)若f (x －3)＋f (－13)＜0，求实数x 的取值范围． 【解】 (1)f (x )在(－1,1)上为奇函数，证明如下：∵1＋x 1－x ＞0，∴－1＜x ＜1，∴定义域为(－1，1)关于原点对称， 又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x＝－f (x )， ∴f (x )为(－1,1)上的奇函数．(2)f (x )在(－1,1)上单调递增，证明如下： 设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝log 21＋x 11－x 1－log 21＋x 21－x 2＝log 2(1＋x 1)(1－x 2)(1－x 1)(1＋x 2).又－1＜x 1＜x 2＜1，∴(1＋x 1)(1－x 2)－(1－x 1)(1＋x 2)＝2(x 1－x 2)＜0， 即0＜(1＋x 1)(1－x 2)＜(1－x 1)(1＋x 2)， ∴0＜(1＋x 1)(1－x 2)(1－x 1)(1＋x 2)＜1，∴log 2(1＋x 1)(1－x 2)(1－x 1)(1＋x 2)＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上单调递增．(3)∵f (x )为(－1,1)上的奇函数， ∴f (x －3)＜－f (－13)＝f (13)． 又f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴－1＜x －3＜13，得2＜x ＜103.21．(本小题满分12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大. 【导学号：04100086】【解】 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12，当x ＞500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12(0＜x ≤500)，12－1400x (x ＞500).(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x ＞500时，f (x )＝12－1400x ＜12－54＝34432＜34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )f (y )，且f (－1)＝1，f (27)＝9，当0≤x ＜1时，f (x )∈[0,1)．(1)判断f (x )的奇偶性．(2)判断f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明．(3)若a ≥0且f (a ＋1)≤39，求实数a 的取值范围．【解】 (1)令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )·f (－1)．因为f (－1)＝1，所以f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数．(2)f (x )在[0，＋∞)上单调递增．证明如下：设0≤x 1＜x 2，所以0≤x 1x 2＜1， f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)． 当x ≥0时，f (x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0，f (x )不恒为零．因为0≤x ＜1时，f (x )∈[0,1)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜1，所以f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )在[0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)2＝[f (3)]3. 所以9＝[f (3)]3，所以f (3)＝39，因为f (a ＋1)≤39，所以f (a ＋1)≤f (3)，因为f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且a ≥0，a ＋1∈[1，＋∞)，所以a ＋1≤3，即a ≤2，故0≤a ≤2.。