湖南省祁东县育英实验学校2011届高三第周考

湖南省祁东县育英实验学校2011届高三月考数学（理）试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于 A.310B.13C.19D.183．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交或相切 4．已知△ABD 是等边三角形，且12AB AD AC +=，||3CD =，那么四边形ABCD 的面积为 （A ）23（B ）323 （C ）33 （D ）329 5．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈. 下列命题中真命题是A. 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B. 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是A ． 72 B. 60 C. 48 D. 127. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：期性1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-= 8. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 A. {}2 B.C.{|22}t t ≤≤D. {|2}t t ≤≤二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中横线上）9．函数2cos y x x =+在[0,]2π上取最大值时，x 的值是______10．右图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视 大奖赛上，某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为11．在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有q p q p a a a =+，则8a 的值为．12．阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为 .13．如图，已知10AB =，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线. 若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别是,,M N P e e e .则它们的大小关系是 （用“<”连接）.14．若不等式2210843≥k x y xy+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取15．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直7 9 8 4 4 4 6 79 1 3 6角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.若点()1,3A -，则(,)d AO = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间 [0,]2x π∈上的最大值和最小值．17．（本小题满分12分） 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次.在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910和13（Ⅰ）如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？（Ⅱ）求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率.18．(本小题满分12分) 在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，PD ABCD PA a AD ,,2底面⊥=与底面成30°角. （1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥；（2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值； （3）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值.19（本小题满分13分）已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； （Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．20．(本小题满分13分)已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，对任意的,,A y x ∈且x y ≠，有25xy y x ≥-． （Ⅰ）求证：251111-≥-n a a n ； （Ⅱ）求证：9≤n ； （Ⅲ）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ．21．（本题满分13分）设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若[1,)x ∈+∞时，不等式a x f ≥)(恒成立，实数a 的取值范围.1C 2 A 3D 4B 5A 6B 7D 8C 9。

6π；10。

807； 11．256 12。

513． M P N e e e << 14。

1或2； 15． 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩ 16．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． …………2分 所以2ω=． 当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． …………5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ……………………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2coscos 2sin cos 266x x x ππ=+-12cos 22x x =-sin(2)6x π=-． ……………10分因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1； 当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……12分 17．解：（I ）设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则)109,2(~B X ， 故591092)(=⨯=X E ， ................... 2分 则选手甲在A 区投篮得分的期望为6.3592=⨯ . ........................ 3分设选手甲在B 区投篮的进球数为Y ，则)31,3(~B Y ，故1313)(=⨯=Y E ， ....................4分则选手甲在B 区投篮得分的期望为313=⨯ . ............................5分36.3> ，∴选手甲应该选择A 区投篮. ...................6分 （Ⅱ）设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分在B区投篮得0分为事件1C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得0分为事件2C ，甲在A 区投篮得4分在B 区投篮得3分为事件3C ，则123C C C C =， 123,,C C C 为互斥事件. ..................8分则：123123188********()()= ()()()1002710027100975P C P CC C P C P C P C =++=⨯+⨯+⨯=故选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率为4975 ..................................12分18．解：（1）AD BA BAD ⊥∴=∠,90.,,...,.,BAE PD A AE BA AE PD BA PD PAD PD PAD BA A AD PA PA BA ABCD PA 平面且又平面平面又底面⊥∴=⊥⊥∴⊂⊥∴=⊥⊥.,PD BE BE PD ⊥⊥∴即（2）过点E 作EM //CD 交PC 于M ，连结AM ，则AE 与ME 所成角即为AE 与CD 所成角..42334332.2,33334)332(.3342332.334,3322,30,90,.30.30,22a a aa PD PE CD ME a CD a a a PD PA PE a a aa PD AD PA AE a PD a PA a AD PDA PAD PAD Rt PDA ABCD PD ABCD PA =⋅=⋅=∴=====⋅=⋅=∴==∴==∠=∠∆∴=∠∴⊥ 中在角成与底面且底面.42cos ,.,..,,.,,90,,2,2,2.222==∠∆∴⊥⊂⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴=∠∴+=∴===∆AE ME MEA AME Rt AM ME PAC MA PAC ME PA ME CD PA ABCD PA AC ME AC CD ACD CD AC AD a CD a AC a AD ACD AC 中在平面平面底面又中在连结∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为42（3）延长AB 与DC 相交于G 点，连PG ，则面PAB 与面PCD 的交线为PG ，易知CB ⊥平面PAB ，过B 作,,,PG CF CF F PG BF ⊥⊥则连点于,21//,AD CB A PG C CFB 的平面角为二面角--∠∴,22tan ,221,30.2,332,30,====∴=∠∴===∠==∴a a BFC a GB BF PGA a AG a PA PDA a AB GB∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的正切值为2.19（本小题满分13分）解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． …… 2分 圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF 1的斜率为k ， 则PF 1：(4)4y k x =-+，即440kxy k --+=． ∵直线PF 1与圆C =解得111,22k k ==或． ……………………2分当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．=当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）． …………………… 4分 2a ＝AF 1＋AF 2＝a =，a 2＝18，b 2＝2．椭圆E 的方程为：221182x y +=． ……………………6分 （Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)A Q x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ……………………8分 ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． …………………… 10分 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]． ………… 13分 （20）（共13分） (Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ． 可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以12231111111111125i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++-≥． 即251111-≥-n a a n ． …………………3分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得25111->n a ．又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ． 同理2511i n a a n i -≥-，可知251in a i ->． 又i a i ≥，可得251i n i ->， 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立．当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ，可知10<n ． 又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i ． 所以9≤n ． …………………8分（Ⅲ）解：对任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1，由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i 可知，25111111≥-≥-+i i j i a a a a ，即25j i j i a a a a ≥-．因此，只需对n i <≤1，251111≥-+i i a a 成立即可． 因为251211≥-；2513121≥-；2514131≥-；2515141≥-， 因此可设 ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ． 由2511165≥-a a ，可得4256≥a ，取76=a ． 由2511176≥-a a ，可得181757≥a ，取107=a ． 由2511187≥-a a ，可得3508≥a ，取208=a ． 由2511198≥-a a ，可得1009≥a ，取1009=a ． 所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………13分 21、解：（1）当2a =时，2()2ln 1f x x x =+-222ln 2(0)2ln 2()x x x e x x x e ⎧-+<≤⎪=⎨+->⎪⎩ …………（1分） 当0x e <≤时，2222()2x f x x x x-'=-=，()f x 在(1,]e 内单调递增；当x e ≥时，2()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[,)e +∞内单调递增； ()f x ∴的单调增区间为(1,)+∞。