人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 单元复习练习题一、选择题1．如图，C 为线段BE 上一动点（不与点B ，E 重合），在BE 同侧分别作等边ABC 和等边CDE 、BD 与AE 交于点P ，BD 与AC 交于点M ，AE 与CD 交于点N ，连结MN ．以下四个结论：①CM=CN ；②∠APB=60°；③PA+PC=PB ；④PC 平分∠BPE ；恒成立的结论有（ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①③④D ．①④2．如图，在正方形ABCD 中，BC=2，点P ，Q 均为AB 边上的动点，BE ⊥CP ，垂足为E ，则QD +QE 的最小值为（ ）A ．2B ．3C 1D 13．如图,点A 是以BC 为直径的半圆的中点，连接AB ，点D 是直径BC 上一点，连接AD ，分别过点B 、点C 向AD 作垂线，垂足为E 和F ，其中，EF=2，CF=6，BE=8，则AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．如图，以等边ABC ∆的一边AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，若4AB =，则阴影部分的面积是（ ）A ．B ．CD ．25．如图，在O 中，直径CD 垂直弦AB 于点E ，且OE DE =.点P 为BC 上一点（点P 不与点B ，C 重合），连结AP ，BP ，CP ，AC ，BC .过点C 作CF BP ⊥于点F .给出下列结论:①ABC 是等边三角形；②在点P 从B C →的运动过程中，CF AP BP -的值始终等于2.则下列说法正确的是（ ）A ．①，②都对B ．①对，②错C ．①错，②对D ．①，②都错6．如图，在平面直角坐标系xOy 中()(),3,0,3,0A B -,若在直线y x m =-+上存在点P 满足60APB ∠=︒,则m 的取值范围是（ ）A m ≤≤B ．m ≤≤C m ≤≤D ．m ≤≤7．如图，DB=DC,∠BAC=∠BDC=120°，DM ⊥AC ，E 为BA 延长线上的点，∠BAC 的角平分线交BC 于N ，∠ABC 的外角平分线交CA 的延长线于点P ，连接PN 交AB 于K ，连接CK ，则下列结论正确的是：①∠ABD=∠ACD ；②DA 平分∠EAC ；③当点A 在DB 左侧运动时，AC AB AM+为定值；④∠CKN=30° ( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8．已知⊙O 的半径为13，弦AB ∥CD ，AB=24，CD=10，则四边形ACDB 的面积是（ ）A ．119B ．289C ．77或119D ．119或2899．如图，在平面直角坐标系中，Q （3（4（（P 是在以Q 为圆心，2为半径的（Q 上一动点，设P 点的横坐标为x （A （1（0（（B （-1（0），连接P A （PB ，则P A 2+PB 2的最大值是A ．64B ．98C ．100D ．12410．如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝∠ACB ＝60°，过点A 作BC 的平行线l ，P 为直线l 上一动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为（ ）AB ．CD ．1二、填空题 11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AO ⊥BC 于F ，D 为AC 的中点，E 是BA 延长线上一点，若∠DAE ＝108︒，则∠CAD＝_______．12．如图，在Rt△ABC 中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，点D 是平面内到点A 的距离等于4的任意一点，点M 是CD 的中点，则BM 的取值范围是______．13．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P 为⊙O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为__________14．如图，∠AOB=45°，点P 、Q 都在射线OA 上，OP=2，OQ=6．M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为______．15．如图，正方形ABCD 中，E 为AD 中点，FE AD ⊥，2DF DE =，FB 交AC 于P ，则BPC ∠的度数为_________．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点，D 点坐标为()0,1．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式．（2）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．（3）抛物线对称轴交x 轴于点E ，连接DE 并延长交O 于点F ，求点F 的坐标．17．如图，点A 、D 是平面直角坐标系中y 轴正半轴上的点，B 、C 分别在x 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，且OA=OB=6，BD=AC ，OC=m ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、BC 的中点．（1）求证：BD（AC ；（2）用含m 的式子表示（EFG 的面积，并直接写出当（BDO=4（ACD 时．（EFG 的面积：（3）抛物线l（：y=ax²+bx+c 经过 A 、B 、C 三点，顶点为P ．（求a 的值（用m 的式子表示），并判断是否存在m 的值，使得四边形APDC 为平行四边形，若存在，求出此时m 的值，若不存在，请说明理由．（连结AF ，当经过G 、O 、F 三点的抛物线h 与抛物线l 关于某点成中心对称，点Q 是（AEF 的外接圆上的动点，求GQ 的最小值与最大值的和．18．已知ABC 和ADE 是等边三角形．（1）如图1，点D 在AB 上，点E 在AC 上．求证：BD CE =．（2）当ABC 和ADE 如图2所示位置时．①求证：BD CE =．②直接写出BFC ∠的大小．（3）当ABC 和ADE 如图3所示位置时，射线ED 与BC 交于点G ，且AD BD ⊥．试证明点G 是BC 的中点． 19．我们知道，圆可以看成到定点的距离等于定长的点的集合．我们又知道了在平面内点与圆有三种位置关系．如图1，点P 在（O 外，点A 是（O 上一个动点，连接PO 交（O 于点B ，我们发现，当点A 与点B 重合时，线段PA 长最短．（1）利用图1 ，说明PA>PB ；（2）如图2，一架10米长的梯子沿墙壁下滑，一只距离墙壁12米，距离地面5米的小鸟看到梯子的中点位置有食物，小鸟想用最短时间吃到食物，请在图中画出小鸟飞行的路径，并计算出小鸟飞行的距离；（3）如图3，矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且EF=2，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，直接写出PA+PG 的最小值．20．如图1所示，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB AC =，2BC =，以BC 所在直线为x 轴，边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转．（1）填空：当点B 旋转到y 轴正半轴时，则旋转后点A 坐标为______；（2）如图2所示，若边AB 与y 轴交点为E ，边AC 与直线1y x =-的交点为F ，求证：AEF 的周长为定值； （3）在（2）的条件下，求AEF 内切圆半径的最大值．21．如图1，ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=，D 为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,A D 的对应点分别为点,B E ，且,,A D E 三点在同一直线上．（1）填空：CDE ∠=______（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若60α=︒，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段CF ，AE ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若90α=︒，AC =ABEC 面积的最大值______．22．如图，凸四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD ⊥BD ．（1）若BC //AD ，以顶点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，请指出⊙D 与直线BC 的位置关系，并说明理由；（2）当AB ＝，∠BCD ＝30°时，求四边形ABCD 的面积的最大值；（3）若BC ＝1，CD ＝2，AC ＝3，求∠BCD 的度数．23．如图，抛物线y ＝14x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于E ，点D 在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE ＝OC ，DM ＝254． （1）求抛物线的对称轴方程；（2）若DA ＝DC ，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM 上只存在一个点Q ，使∠PQC ＝45°，求点P 的坐标．【参考答案】1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D11．36︒12．37BM ≤≤13．14．15．60︒16．解：（1）∵O 半径为1，()0,1D ， ∵MA 、NC 都是O 的切线，它们分别与直线y x =交于点M 、N ，且1CO =，1AO =，∴()1,1M --、()1,1N ；把点M 、N 、D 坐标代入抛物线2y ax bx c =++中， 得：111a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，解得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则：抛物线表达式为：21y x x =-++；（2）如图设CD 的解析式为：y kx n =+，把()1,0C 和()0,1D 代入得：01k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：11k n =-⎧⎨=⎩， ∴CD 的解析式为：1y x =-+，过点B 的切线方程为：1y =-，将上述两直线方程联立，解得交点P 坐标为()2,1-，把2x =代入抛物线方程得：1y =-，故点P 在抛物线上；（3）如图，连接BF ，21y x x =-++， ∴抛物线的对称轴是：12x =，∴1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵()0,1D ， 把1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()0,1D 代入得DE 的解析式为：21y x =-+， 设(),21F m m -+，∵BD 是O 的直径，∴90BFD ∠=︒，∴222DF BF BD +=，∴22222(211)(211)(11)m m m m +-+-++-++=+， 解得：10m =（舍去），245m =， ∴43,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 17．解：(1)延长BD 交AC 于H 点，如下图所示：在Rt（BOD 和Rt（AOC 中：BO AO DO CO =⎧⎨=⎩， （Rt（BOD ≌Rt（AOC(HL),（∠OBD=∠OAC ，又（OBD+（BDO=90°，且（BDO=（ADH ，∴（OAC+（ADH=90°，∴BD ⊥AC ；(2)∵E 、G 分别是AB 和BC 的中点，（EG 是△ABC 中AC 上的中位线，即12EG AC =， ∵G 、F 分别是BC 和CD 的中点，（GF 是（CBD 中BD 上的中位线，即12GF BD =， 又AC=BD ，（EG=GF ，又由(1)知：BD ⊥AC ，（EG（GF ，（（EGF 为等腰直角三角形， 且22211136222EG AC AO OC m ， ∴222111191(36)222428EGF S EG GF EG m m设（ACD=x ，则（BDO=（ADH=4x ，则∠CBH=（OAC=90°-（ACO=90°-(45°+x)=45°-x ，在Rt（BOD 中，∠CBH+∠BDO=90°，即：(45°-x)+4x=90°，解得x=15°， 故此时∠ACO=15°+45°=60°，∠OAC=30°，∴2333OC ，即m = ∴229191(23)62828EGF S m ， 故答案为：29128EGF S m ，6；(3)①由题意可知：A(0,6)，B(-6,0)，C(m,0)，D(0,m)，设抛物线的解析式为：(6)()y a x x m ，代入点(0,6)，解得1a m=-， ∴抛物线的解析式为：216(1)6y x x m m， 抛物线的顶底坐标P(93,324m m m)， 当四边形APDC 为平行四边形时，AD 为其中一条对角线，PC 为另一条对角线，此时AD 的中点和PC 的中点为同一个点，∴003296304m m m m m ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+=+++⎪⎩，解得262m m =⎧⎨=-⎩或，由于m 必须为同一个m ，故m=-6舍去， （m=2时，四边形APDC 为平行四边形，故答案为：1a m=-，存在m=2使得四边形APDC 为平行四边形； （连接AF ，设经过G 、O 、F 三点的抛物线h 解析式为：y=px²+qx ， 其中6(,0)2m G ,(,)22m m F 代入抛物线h 中，22(6)60=421242m m p q m m p m q ⎧--⋅+⋅⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩ ， 得到：(6)(62)0(1)m p ，作出（AEF 的外接圆M ，过M 点作MN ⊥AE 于N，EF 为圆M 上的弦，设圆M 的半径为r ，如下图所示：当Q 点在圆M 上运动时，Q 位于Q 1时，GQ 1最小为GM -r ，当Q 点在圆M 上运动时，Q 位于Q 2时，GQ 2最大为GM+r ，故GQ 的最小值与最大值的和为(GM -r)+(GM+r)=2GM ，下面求GM 的长：情况一：当上述(1)式中m -6=0，即m=6时：此时OC=OD=6,此时D 点、A 点、Q 2点三点重合，G 点、O 点、Q 1重合，M 点和D 点重合，如下图所示： 此时GM=12OA=3，故GQ 的最大值和最小值之和为6；情况二：当上述(1)式中(62)0p ，即13p 时，如下图所示：∵经过G 、O 、F 三点的抛物线h 与抛物线l 关于某点成中心对称， ∴抛物线213y x px 和216(1)6y x x m m的二次项系数互为相反数， ∴m=3此时G 点坐标为3(0)2，，EF 直线的13k =-， 又EF ⊥GI ，∴GI 直线的k=3，代入G 点坐标，得到直线GI 的解析式为932y x ， 同理AE 直线的k=1，又AE ⊥MN ，∴MN 直线的k=-1，且N 为AE 中点，坐标为39(,)22 ∴直线MN 的解析式为3y x =-+，联立直线MN 和直线GI ：9323y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得M 点坐标为327(,)88， 故此时223327910()(0)288GM ， ∴GQ的最大值和最小值之和为9102GM ，∵64，∴GQ 的最大值和最小值之和为4． 18．证明：∵ABC 和ADE 是等边三角形，∴AD=AE,AB=AC∵AB -AD=AC -AE∴DB=EC ．（2）①证明：∵∠DAE=∠DAC+∠CAE∠BAC=∠BAD+∠DAC∴∠CAE=∠BDA又∵AB=AC,AD=AE∴△ABD ≌△ACE∴BD=CE②解：∵∠BAD=180°-60°-∠EDF=120°-（EDF（∠CEA=60°+∠DEF又∵∠BDA=∠CEA（∴120°-∠EDF=60°+∠DEF又∵∠BFC=∠DEF+∠EDF（（BFC=60°；（3）证明：连接AG，∵∠ADE=60°，∴∠ADG=120°，∵∠ABC=60°，∴∠ADG+∠ABC=180°，∴A，B，G，D四点共圆，∴∠AGB=∠ADB=90°，∴AG⊥BC，∵ABC是等边三角形，（G为BC的中点．19．（1）解：如下图2在⊙O中，连接OA，由于A是不同于B的点，A不在OP上，由题知O、A、P三点构成三角形∴PA+OA＞PO=PB+OB又A、B都在⊙O上∴OA=OB∴PA＞PB；（2）如下图2连接CE，在CE上取一点G，使GC=12AB，当梯子下滑到如图的MN（MN过点G）位置时，梯子中点的位置G，如图2 （GE就是小鸟飞行的路径．理由如下：当梯子下滑的过程中，梯子的中点D到墙角C的距离CD=12AB=12×10=5∴梯子中点的运动轨迹是以C为圆心，以5米为半径的四分之一圆，∴梯子中点必过G点∴由（1）的结论知小鸟到食物的距离≥EG，∴小鸟到食物的最短距离为EG的长．下面计算EG在RT△EFC中：13CE==（米）∴EG=CE-CG=13-5=8（米）；（3）如下图3作A关于BC的对称点H，边接HD交BC于R，在DH上取一点S，使DS=12EF，由图及对称性知：AP PG GD HP PG GD HS SD AR RS SD++=++≥+=++(当P、R重合时，大于等于号取等号)又DG=DS=12 EF∴AP PG HS+≥又当EF运动时，其中点在以D为圆心，以12EF为半径的四分之一圆上运动，动线段EF的中点必过S（如图3的MN所示，∴上面的不等式能取到等号∴AP+PG的最小值就是HS的值．下面计算HS在RT△HAD中：易知AH=2AB=4，AD=3由勾股定理知HD=5∴HS= HD-12EF=5-1=4∴AP+PG的最小值是4．20．解：（1）如图示，'''A B C是ABC绕P点0,1顺时针旋转，点B旋转到y轴正半轴时得到的图形，连接BP，CP，∵2BC =，y 轴垂直平分BC∵1BO CO ==又∵Rt ABC △中，AB AC =∵1AO =，AB AC ==∵()0,1P -∵1PO =∵AO BO CO PO ===∵四边形ABPC 是正方形 ∵'''2BPB P AB A B ∴'0'21B B P PO∵点A 坐标为1（2）如图2所示，作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点 ∵四边形ABPC 是正方形∵90QBP FCP ∠=∠=︒， BP CP = ∵BPQ CPF ASA ≌△△∵ BQ CF =，QP FP =∵点F 在直线1y x =-∵45FPE ∠=︒∵ 45BPE FPC ∠+∠=︒ ∵45BPE BPQ ∠+∠=︒∵45QPE FPE ∠=∠=︒ ∵EP EP =∵QPE FPE ASA ≌△△∵ QE FE =∵AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++ AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为 r ，由（2）可得AF m n =-则2AE AF EF r +-=2n m n m +--=m =∵当m 最小时，r 最大．∵在Rt AEF 中，222AE AF EF += ∵22222n m n m 整理得： 2224220n m n m ∵关于n 的一元二次方程有解∵22244220m m∵280m +-≥利用二次函数图像可得4m ≥-4m ≤--∵m 的最小值为4-r 422324即AEF 内切圆半径的最大值为4． 21．解：（1）如图1中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆ ACD BCE ∴∆≅∆，DCE α∠=CD CE ∴=1802CDE α︒-∴∠=． 故答案为：1802α︒-．（2）AE BE =+理由如下：如图2中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60︒得到CBE ∆ ACD BCE ∴∆≅∆AD BE ∴=，CD CE =，60DCE ∠=︒ CDE ∴∆是等边三角形，且CF DE ⊥3DF EF ∴==AE AD DF EF =++AE BE ∴=+． （3）如图3中，过点C 作CW BE 交BE 的延长线于W ，设AE 交BC 于J ．CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转90︒得到CBE ∆， CAD CBE ，CAD CBE ∴∠=∠，AJC BJE ， 90ACJ BEJ ，∴点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CE EB 时，四边形ABEC 的面积最大，此时EC EB =， CD CE =，90DCE ∠=︒，45CED ∴∠=︒，90AEW AEB ，45CEW ， CF EW ，45WCE CEW ，CW EW ，设CW EW x ，则EC EB ==， 在Rt BCW 中，222BC CW BW ，222(2)(52)x x x ， 225(22)2x ，21225(21)2BCE S BE CW x ， 2521252115252222ABC BCE ABEC S S S 四边形．22．（1）以顶点D 为圆心，DA 的长为半径作圆过点B ，在四边形ABCD 中，∵AD ＝BD ，AD （BD ，BC //AD∴（CBD ＝90 ，即BC （BD 于B ，∵AD ＝BD∴BD 为（D 的半径，∴（D 与直线BC 相切．（2）作△BCD 的外接圆，连接BO 、DO ，过O 点作BD 的垂线交（O 于点C ＇∵（BCD 为BD 外接圆上所对的圆周角，∴C 点在BD 同侧BD 移动，（BCD ＝30°不变，当C 移动到'C 时，C 到BD 的距离最长，△BCD 的面积最大．即四边形ABCD 的面积的最大值．∵AB ＝，AD ＝BD ，AD （BD∴AD ＝BD 2= ∵在（O 中， 260BOD BC D ∠'=∠=︒∴OB ＝OD ＝OC ＝BD ＝2，在RT △DEO 中，112122DE BD ==⨯=，∴OE =，'1111()2222)42222ABD BCD S S S AD BD BD EO OC =+=++=⨯⨯+⨯⨯=+△△四边形 （3）过D 点作DC 的垂线，截取DE ＝DC ，连接EB 、EC ．∵ADC BDC ∠︒∠＝90+，BDE BDC ∠︒∠＝90+，∴ADC BDE ∠∠＝，在△ACD 和△BED 中∵AD BD ADC BDE DC DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ACD ≌△BED ，∴AC ＝BE ＝3，在RT △CDE 中∵DE ＝DC ＝2，∴45DCE ∠︒＝，∴CE ===在△BCE 中∵2222221939BC CE +=+===，BE ，∴90BCE ∠︒＝，∴45BCD BCE DCE ∠∠-∠=︒＝．23．（1）（OC ＝c ，DE ＝OC ＝c ，点D 在抛物线对称轴上，（点D 纵坐标为c ，（点M 是抛物线顶点，（点M 的纵坐标为2424ac b c b a-=-， 则DM ＝c ﹣（c ﹣b 2）＝254，2254b = ； 解得b ＝52（舍去），或b ＝﹣52， 抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a ＝52124--⨯=5； （2）由（1）可知抛物线的表达式为y ＝14x 2﹣52x+c ， 令y ＝14x 2﹣52x+c ＝0，设A 、B 两点横坐标为x A 、x B ，则x A +x B ＝10，x A x B ＝4c ，则AB在Rt ADE 中，AE ＝12AB ，DE ＝c ，AD ＝DC ＝5，由勾股定理得：AD 2＝DE 2+AE 2，22252c =+ ， 25＝c 2+25﹣4c ，化简得：240c c -= ，解得c ＝4，故抛物线的表达式为y ＝14x 2﹣52x+4； （3）如图，连接PQ 、PC 、QC ，作PQC △的外接圆K ，连接KP 、KC ， 过点K 作y 轴的垂线，交y 轴于点F ，交抛物线的对称轴于点N ，设点K 的坐标为（m ，n ），点P （5，t ），（（PQC ＝45°，故（PKC ＝90°，且PK ＝CK ＝QK ，（（FKC+（NKP ＝90°，（NKP+（NPK ＝90°，（（FKC ＝（NPK ，（Rt KFC （Rt PNK （AAS ），（CF ＝NK ，PN ＝MK ，（4﹣n ＝5﹣m ，t ﹣n ＝m ，（n ＝m ﹣1，t ＝2m ﹣1，故点K 的坐标为（m ，m ﹣1），点P 的坐标为（5，2m ﹣1）．由抛物线的表达式知，顶点M 的坐标为（5，﹣94），点B 的坐标为（8，0），由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为y＝34x﹣6，设点Q的坐标为（r，34r﹣6），由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣34r+6）2，整理得：2516r2﹣（72m+152）r+20m＝0，关于r的一元二次方程，（直线BM上只存在一个点Q，r的解只有一个，（（＝（72m+152）2﹣4×2516×20m＝0，解得m＝5或45 49，点P坐标（5，t），t＝2m﹣1，当m＝5时，t＝9；当m＝4549时，t＝4149；故点P的坐标为（5，9）或（5，4149）．。
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