平面直角坐标系典型例题
例1已知点P(x，y+1)在第二象限，则点Q(-x+2，2y+3)在第______象限．
解因为点P(x，y+1)在第二象限，所以x＜0且y+1＞0，因此
-x+2＞0且2y+3=2(y+1)+1＞0．
从而知Q(-x+2，2y+3)在第一象限．
点评学习平面直角坐标系首先要掌握不同位置的点的坐标特征．点P坐
标为(a，b)，P点在x轴上，则b=0；P点在y轴上，则a=0．P点在第一象限，则a＞0且b＞0；P点在第二象限，则a＜0且b＞0；P点在第三象限，则
a＜0且b＜0；P点在第四象限，则a＞0且b＜0．若P点在第一、三象限的角平分线上可设为P(a，a)；若P点在第二、四象限的角平分线上可设为P(a，-a)．
例2已知点A(3a-1，2-b)、B(2a-4，2b+5)．若A与B关于x轴对称，
则a=___，b=___；若A与B关于y轴对称，则a=___，b=___；若A与B关于
．
原点对称，则a=___，b=______
a=-3，b=-7
a=1，b=1
a=1，b=7．
点评平面上不同的两点P(x
1，y
1
)、Q(x
2
，y
2
)．若x
1
=x
2
且y
1
=y
2
，则P、Q
关于x轴对称；若x
1=-x
2
且y
1
=y
2
，则P、Q关于y轴对称；若x
1
=-x
2
且y
1
=-y
2
，
则p、Q关于原点中心对称．点P(a，b)关于直线y=x(一、三象限角平分线)对
称点的坐标为Q(b，a)．点P(a，b)关于直线y=-x(二、四象限角平分线)对称
点的坐标为Q(-b，-a)．
例3设P(m，m+2)是坐标平面内某一象限的整点(横纵坐标皆为整数的点)，已知点P到x轴的距离与它到y轴的距离之差为2m+2，求点P关于y轴对称的点的坐标．
解根据题意知
|m+2|-
|m|=2m+2．
(1)
当m＞0时，(1)式变为m+2-m=2m+2，得m=0与m＞0矛盾，无解．
当m＜-2时，(1)式变为-m-2-(-m)=2m+2得m=-2与m＜-2矛盾，无解．
当-2＜m＜0时(1)式变为m+2-(-m)=2m+2，即2m+2=2m+2成立．因为m
为整数得m=-1．
所以P(-1，1)关于y轴对称的点的坐标为Q(1，1)．
点评首先要认真审题，仔细阅读原题．P(m，m+2)是坐标平面内某一象限的整点，它的含义是m≠0且m+2≠0且m为整数．
另外P点到x轴的距离应是|m+2|，同理P点到y轴的距离应是|m|，不能写成m+2与m．
同时解题时要进行分类讨论．因为|m+2|与|m|因m不确定而无法去掉绝
对值符号进行运算，所以必须分类讨论．如何分类则根据m+2与m的正负来划分讨论区域；m＞0，-2＜m＜0，m＜-2．分类要做到不重不漏．
例4如图13－1，已知ABCD是平行四边形，△DCE
是等边三角形，
解根据题意知E点有两种可能，一是在CD的上方，或在CD的下方．
坐标为Q(b，a)．点P(a，b)关于直线y=-x(二、四象限角平分线)对称点
．
的坐标为Q(-b，-a)
所以若E点在CD
的下方，则
点评弄清题意，以CD为一边可向两边作等边三角形．另外要加强基础知识的积累，如等边三角形的边长为a
，那么
