全国数学建模大赛A题获奖论文

全国数学建模大赛A题获奖论文TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-城市表层土壤重金属污染分析摘要本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。

对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。

对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。

随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。

针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。

在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。

综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。

关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图一、问题重述问题背景随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会健康和城市可持续发展[1]。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

目标任务(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进一步探索怎样利用收集的信息建立模型及解决问题。

二、 模型假设1）忽略地下矿源对污染物浓度的影响；2）认为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用；3）认为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。

三、 符号说明第一问中的符号说明i p ——污染物i 的环境污染指数i C ——污染物i 的实测值i S ——污染物i 的背景值max (/)i i C S ——土壤污染指数的最大值(/)i i avg C S ——土壤污染指数的平均值i x —— i 区域土壤的平均值max()i x ——i 区域土壤评价因素上限min()i x ——i 区域土壤评价因素下限问题三中模型一的符号说明,,x y z ——采样点空间坐标值q ——所在功能区L ——污染源C ——浓度R ——基准半径rr ——污染源范围半径问题三中模型二的符号说明,x y ——采样点坐标值Z ——浓度C ——模型系数Q ——总误差问题四符号说明t ——城市历史时间统计值()it Y ——第i 种元素在t 时刻的污染浓度；（i=1,2,…,8,依次代表As 、Cd 、Cr 、Cu 、Hg 、Ni 、Pb 、Zn ）il V→ ——第i 种元素在液态载体中的迁移矢量； ig V →——第i 种元素在气态载体中的迁移矢量；is V →——第i 种元素在固态载体中的迁移矢量；()ig t ω、()il t ω、()ist ω—— 第i 种元素在气、液、固三种状态下在t 时刻的加权值()N t ——其他因素四、 模型的建立与求解问题一4.1.1 金属元素在该城区的空间分布针对题目中对于地理坐标的要求，我们选用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行直观的图形求解。

首先将数据采集进该软件，接下来对数据点进行网格化处理。

在这里我们采用的是克里金（Kriging ）插值法。

该插值法是一种地质统计网格化方法。

它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布，确定对一个待插值点有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。

由于它考虑了采样点的形状、大小及与待估计地段相互间的空间位置等集合特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每个采样点赋予一定的系数，最后加权平均来估计块段品位的方法。

[2]同时由于克里金插值法是一种光滑插值法，相对于多元回归插值法以及最小曲率插值法等其他插值法在解决像本题这一类数据点较多的问题内插的结果可信度较高，且在空间问题上具有合理的解决方式，所以采用该插值法。

最后进行制图和统计，具体方法如下：（1）利用该软件的[地图]中的[等值线图]和[线框图]功能制作出金属浓度地理分布图；（2）综合等值线图及线框图对重金属高浓度区域进行标注，分别求出其二维坐标范围；（3）从统计数据中分理处该范围内的取样点数据，得到该城区8种主要重金属元素在该城市的空间分布。

图1 各取样点的As 含量分布图以上为各取样点的As 含量分布图（其余元素分布图见附件1），通过分析可得该元素主要分布在如下三个区域：（1）3703<x<6391，6157<y<8541 （2）11335<x<14248，1584<y<4449 （3）16598<x<19568，8933<y<11673 。

（单位m ）同理可得其余Cd 、Cr 、Cu 、Ni 、Pb 、Hg 、Zn 元素的分布情况。

以上组合图形，一方面弥补了文中略去的统计数据，另一方面也更为直观的显示出了重金属元素高浓度范围区域。

为接下来高浓度划分区域提供了直接的依据。

表1 8种重金属元素高浓度区域、Cd 、Ni 、Pb 的变异系数均较大，变异系数超过100 % ；Cr 达76% ，均达强变异程度，说明土壤中Zn 、Pb 、Cd 、Hg 受外界干扰比较明显，空间分异较大；其余元素的变异系数为27%-58% 之间，变异强度属中等，说明它们受外源影响相对轻微或更普遍更均匀。

4．1．2 污染指数模型这里我们首先采用土壤重金属的单项污染指数评价方法，在此基础之上采用内梅罗综合污染指数法并参照土壤污染水平分极标准国家二级标准（GB15618-1995）。

其中i p 为污染物i 的环境污染指数，i C 为污染物i 的实测值，i S 为污染物i 的标准值，max (/)i i C S 为土壤污染指数的最大值，(/)i i avg C S 为土壤污染指数的平均值。

单项污染指数模型：内梅罗综合污染指数：将各个功能区的内梅罗综合污染指数计算出来的值见表3壤污染综合污染指数可分为以下等级：（1）综合污染指数 >3 为重污染；（2）综合污染指数 2-3 为中污染；（3）综合污染指数 1-2 为轻污染；（4）综合污染指数 为警戒级；（5）综合污染指数 ≤ 为安全级。

从表中我们可以直观的看到，五个功能区的环境污染都十分的严重，最轻的也为轻度污染，交通区和工业区的污染尤其严重——所有元素都为，而居民区的铅和锌污染很严重，山区的污染程度最轻。

但是这组数据评判标准有一些问题：某些污染指数如Hg 超标十分严重，超出标准几百倍且在山区也为重污染，这不禁使我们感到这套评价体系很可能并不使用于该地区的土壤环境评估。

对此，我们引入模糊评价标准和模型，并以Hg 为例说明其使数据的评价作用更符合实际。

4.1.3 土壤环境标准隶属函数模型土壤清洁度的隶属函数:其中i x 为i 区域土壤的平均值，max()i x 为i 区域土壤评价因素上限，min()i x 为i 区域土壤评价因素下限。

其中max()i x 和 min()i x 可由国家评价标准结合本题的背景数据共同完成。

以Hg 为例，其国家标准见表4其更改为我们的背景值，同时，为了更加清晰的看到各区的污染程度，我们采用五级标准制，见表5Hg 土壤环境标准隶属函数：由此表，我们看出交通区和工业区的Hg污染等级为中度污染，其他几个区的污染等级为清洁，比较符合我们的实际情况。

用同样的方法，我们求的了其他七种元素的污染等级，见表7模型的建立有所帮助。

问题二对于问题二，意在说明重金属污染的主要原因。

4.2.1基于因子分子法判断重金属污染的主要原因多变量研究中，由于变量的个数很多，并且彼此往往存在一定的相关性，因此使观察的数据反映的信息在一定程度上重叠。

因子分析则是通过一种降维方法进行简化得到综合指标。

综合指标之间既互不相关，又能反映原来的观察指标的信息。

因子分析从变量的相关矩阵出发将一个m 维的随机向量X分解成低于m个且有代表性的公因子和一个特殊的m维向量，使其公因子数取得最佳的个数，从而使对m维随机向量的研究转化成对较少个数的公因子的研究。

[3]题中土壤单点样重金属元素含量的数据特征完全符合因子分析的要求，在这里以Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn八种重金属元素指标作因子分析，这样在解释各指标变化异常时可以着重讨论综合指标因子，同时为题中重金属污染成因的解释提供一定的理论依据。

下面对各功能区土壤采点样重金属元素含量的数据标准化处理后，经for windows统计软件进行因子分析，可得出以下结果。

1）给出题中表层土壤Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn八种重金属原始含量数据的相关系数矩阵。

表8 相关系数矩阵表中可见，Ni和Cr的相关系数最大，为，相关性最好，从成因上来分析，相关性较好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。