博弈论第一章习题

《博弈论》习题参考答案（Part.Ⅰ）一、选择题1.B2.C3.A4.A5.B6.ABCD7.C 8.B 9.C二、判断正误并说明理由1.F 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论2.T 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论3.T 博弈类型按局中人数多少分为单人博弈、双人博弈和多人博弈4.F 博弈双方偏好存在差异的条件下，一个博弈模型中可能存在2个纳什均衡，如性别战5.T 零和博弈指参与博弈各方在严格竞争下，一方收益等于另一方损失，博弈各方收益与损失之和恒为零，所以双方不存在合作可能性6.T 上策均衡是通过严格下策消去法（重复剔除下策）所得到的占优策略，只能有一个纳什均衡7.F 纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，博弈方总是选择利益相对较大的策略，并不保证结果是最好的。

8.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标9.T 纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，没有人会改变自己的策略而减低自己的收益10.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标11.F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标12.T 虽然斯塔格伯格模型各方利润总和小于古诺模型，但是领导者的利润比古诺模型时高三、计算与分析题1、 （1）画出A 、B 两企业的损益矩阵。

（2）求纯策略纳什均衡。

（做广告，做广告）2、画出两企业的损益矩阵求纳什均衡。

（1）画出A 、B两企业的损益矩阵（2）求纳什均衡。

两个：（原价，原价），（涨价，涨价） 3、假定某博弈的报酬矩阵如下：甲乙 左 右 上 下(1)如果（上，左）是上策均衡，那么，a>?, b>?, g<?, f>? 答：a>e, b>d, f>h, g<c(2)如果（上，左）是纳什均衡，上述哪几个不等式必须满足？ 答：a>e, b>d 4、答：（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。

博弈论与信息经济学基础练习题（一）第一章 ＶＮＭ效用函数与风险升水1、证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：3)()40),ln()()3)()210,0,)()()1w w u a a w w u ww u a a w w u =≥+==≥+= ββ 2、一个具有VNM 效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000，另一发生概率为为5%的火灾会使其损失120000元。

他的效用函数是w w u =)(，若他买保险，保险公司要求他自己承担7620单位的损失（若火灾发生时）。

什么是这个投保人愿意支付的保险金？3、假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值为2万元得摩托车。

该户居民所在地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗。

假定该户居民的效用函数为w w w u 其中),ln()(=表示财富价值。

1）计算该用户的效用期望值。

2）如何根据效用函数判断该用户是愿意避免风险，还是爱好风险？3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿。

试计算该用户最多愿意支付多少元的保险费？4）在该保险费中“公平”的保险费（即居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？4、下列三个说法对吗？清说明理由：（１）摸彩票的期望收益低于消费者付出的货币，而消费者却常常热衷于此，说明在这种情况下，摸彩票的人是喜爱风险的。

（2）一个人面对两种收入可能，一种是获得 2000元和 1000元收入的概率均为0.5，另一种是获得 2500元和 500元收入的概率各为 0.5，两种情况的期望收入相同，故消费者对二者的评价相同。

（3）一个消费者的效用函数为w w u =)(，有两种可能的收益，第一种是获得4元和 25元的概率均为0.5，另一种情况是他获得9元和16元的概率分别为0.4和0.6，则他对第一种的评价好于第二种。

博弈论题型一：纯策略纳什均衡1、猪圏里有•头大猪和-头小猪.猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制 饲料供应的按钮，按一下按钮就会有10个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出2 个单位的成本。

雄去按按纽则谁后到;都去按则同时到.若大猪先到,大猪吃到 9个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃了个单位，小猪吃3个单位： 若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃4个单位■各种情况组合扣除成本后的支 付矩阵可如下表示（每格第一个数字是大猪的得益，第二个数字是小猪的得益）：小猪按 等待大猪 按5, I 4, 4等待 9, -1 0+ 0求纳什均衡，在这个例子中，我们可以发现，大猪选择按.小猪最好选择等待，大猪选择不按, 小猪还是最好选择等待，即不管大猪选择按还是不按,小猪的最佳策略都是等待. 也就是说，无论如何,小猪都只会选择等待「这样的情况下，大猪最好选择是按, 因为不按的话都饿JILT ，按的话还可以有4个单位的收益-所以纳什均衡是（大 猪按’小猪等待）o 题型一混合策略的纳什均衡2、求出下面博弈的纳什均衡（含纯策略和混合策略）. 乙由划线法易知，该矩阵博弈N&h 均衡 可得如下不等式组 Q=a+d-b-c=7, q=d-b=4, R 二眼5-8-6二-9, r=-l 可得混合策略Nash 均衡（（丄邑），（薰） 9 9 7 7据说是去年考了的原題！3% Smith 和John 玩数字匹配游戏*每个人选择1、2、3,如果数字相同* John 给Smith 3美元，如果不同，Smith 给John 1美元。

(1) 列出收益矩阵。

a 甲：(2)如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？答】(1)此博弈的收益矩阵如下表，该博弈是零和博弈，无纳什均衡。

(2) Smith 选(1/3, 1/3, 1/3)的混合概率时,John选1 的效用为：u x =-x(-3) + ^xl + lxl = -i 3 33 3John 选2 的效用为：Uj = ixl+Ax(-3)+2xi = -l> ， 3 3John 选3 的效用为:U3 = -xl+lxl + lx(-3) = -3 3 3 3类似地，John选(1/3, 1/3, 1/3)的混合概率时，Smith 选1 的效用为：Uj = —x3+^x(—l)+—x(—I)——3 3 3 3Smit h选2的效用为：U；=丄x(-l) +丄妇+丄x(T)二丄3 3 3 3Snith 选3 的效用为：U；二!又(-1) + x(—1) + -1x3 = ^3 3 3 S因为Ui =Ui =Uh 所以w4云結W!是纳策略■分別为Jg：U=-l;Lir.it k: U'=l .这个也是据说的去年原题古诺模型斯塔伯格模型我觉得还是很重要的4,假设双头垄断企业的成本函数分别为；C】= 20Q, G = 2Qb市场需求曲线为P=400-2Q,其中，Q H Q J+Q.(1)求出古诺(Cournot)均衡情况下的产量、价格和利润，求出务自的反应和等利润曲线，并图示均衡点』(2)求出斯塔克博格(St安虹Iberg)均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。

Document serial number [UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108]第一章导论1、什么是博弈博弈论的主要研究内容是什么2、设定一个博弈模型必须确定哪儿个方面3、举出烟草、餐饮、股市、房地产、广告、电视等行业的竞争中策略相互依存的例子。

4、"囚徒的困境”的内在根源是什么举出现实中囚徒的困境的具体例子。

5、博弈有哪些分类方法，有哪些主要的类型6、你正在考虑是否投资100万元开设一家饭店。

假设情况是这样的：你决定开，则的概率你讲收益300万元（包括投资），而的概率你将全部亏损；如果你不开，则你能保住本钱但也不会有利润，请你（a）用得益矩阵和扩展形式表示该博弈；（b）如果你是风险中性的，你会怎样选择（c）如果你是风险规避的，且期望得益的折扣系数为，你的策略选择是什么（d）如果你是风险偏好的，期望得益折算系数为，你的选择又是什么7、一逃犯从关押他的监狱中逃走，一看守奉命追捕。

如果逃犯逃跑有两条可选择的路线，看守只要追捕方向正确就一定能抓住逃犯。

逃犯逃脱可以少坐10年牢，但一旦被抓住则要加刑10年；看守抓住逃犯能得到1000元奖金。

请分别用得益矩阵和扩展形式表示该博弈，并作简单分析。

第二章完全信息静态博弈1、上策均衡、严格下策反复消去法和纳什均衡相互之间的关系是什么2、为什么说纳什均衡是博弈分析中最重要的概念3、找出现实经济或生活中可以用帕累托上策均衡、风险上策均衡分析的例子。

4、多重纳什均衡是否会影响纳什均衡的一致预测性质，对博弈分析有什么不利影响5、下面的得益矩阵表示两博弈方之间的一个静态博弈。

该博弈有没有纯策略纳什均衡t専弈的结果是什么6、求出下图中得益矩阵所表示的博弈中的混合策略纳什均衡。

7、博弈方1和2就如何分10 000元进行讨价还价。

假设确定了以下规则:双方同时提出自己要求的数额S1和S2, 0< sl,s2< 10 000,如果sl+s2W10 000,则两博弈方的要求都得到满足，即分别得到si和s2, 但如果是sl+s2>10 000,则该笔钱就被没收。

※第一章绪论§1.21. 什么是博弈论?博弈有哪些基本表示方法?各种表示法的基本要素是什么?（见教材）2. 分别用规范式和扩展式表示下面的博弈。

两个相互竞争的企业考虑同时推出一种相似的产品。

如果两家企业都推出这种产品，那么他们每家将获得利润400万元；如果只有一家企业推出新产品，那么它将获得利润700万元,没有推出新产品的企业亏损600万元；如果两家企业都不推出该产品，则每家企业获得200万元的利润。

企业B推出不推出企业A推出 (400,400) (700,-600) 不推出(-600,700) (-500,-500)3. 什么是特征函数? （见教材）4. 产生“囚犯困境”的原因是什么？你能否举出现实经济活动中囚徒困境的例子？原因：个体理性与集体理性的矛盾。

例子：厂商之间的价格战，广告竞争等。

※第二章完全信息的静态博弈和纳什均衡1. 什么是纳什均衡? （见教材）2. 剔除以下规范式博弈中的严格劣策略，再求出纯策略纳什均衡。

先剔除甲的严格劣策略3,再剔除乙的严格劣策略2,得如下矩阵博弈。

然后用划线法求出该矩阵博弈的纯策略Nash均衡。

乙甲1 31 2,0 4,22 3,4 2,33. 求出下面博弈的纳什均衡。

乙L R甲U 5,0 0,8 D 2,6 4,5由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。

由表达式(2.3.13)~(2.3.16)可得如下不等式组Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1将这些数据代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略Nash均衡((),()) 4. 用图解法求矩阵博弈的解。

解：设局中人1采用混合策略(x,1-x),其中x∈[0,1],于是有:,其中F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)}令z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x)作出三条直线，如下图，图中粗的折线，就是F(x)的图象由图可知，纳什均衡点与β1无关，所以原问题化为新的2*2矩阵博弈：由公式计算得：。

博弈论练习一答案一、名词解释博弈：一些个人、队组或其他组织，面对一定的环境条件，在一定的规则下，同时或先后，一次或多次，从各自允许选择的行为或策略屮进行选择并加以实施，各自取得相应结果的过程。

零和博弈：所有博弈方在每种策略组合下的得益的总和始终为0的博弈。

完全信息静态博弈：纳什均衡：定义在博弃G = {Si,u\» ••• t }中•知果由各个博弈方的各一个策咯组成的某个策咯组合（对•…，§；）中，任一溥弈方i的策略彳• 都是对其余得弃方策略的组合（彳•・・・•对】，$二，・・・，＜）的最佳对策，也即U t （si f V I 八:• $二1 ・•・・♦ $；）$如（斗♦心» $g，$二1 ,•••,$；）对任意％GS,都成立，则称〈sf ,•・•■$：）为G的一个絃纳什均#r w（Nash Equilibrium） 0 混合策略：定义在博弈G= {Si,S H M L▼・•・，％}中，博弈方：的策略空间为S t = {/］「・・，》}♦則博弈方i以概率分布pi =（加＞随机在其k 个可选簞略中选择的“策略”，称为一个紀混合策略”，其中0W九＜1对j = 1，…M都成止，且伽+…+如=1©纳什定理：无限次廛复博弈民间定理：设G是一个完全信息的赭态博弈。

用（€1»…，弘）记G的纳什均衡的得益■用（心刀表示G的任意可实现得益。

如果竝对任意博弈方i都成立，而5足够换近1,那么无限次重复博弃G（g. 6）中一定存在一个子博弈克美的纳什均衡，各博弈方的平均得益.就是（工］,…，X M） o 动态博弈除了各博弈方同时决策的静态博弈以外，也有大量现实决策活动构成的博弈中，各博弈方的选择和行动不仅有先后次序，而且后选择、后行动的博弈方在自己选择、行动之前,可以看到其他博弈方的选择、行动，甚至还包括自己的选择和行动。

这种博弈无论在哪种意义上都无法看作同时决策的静态博弈，我们把这种博弈称为“动态博弈"（Dynamic Games）子博弈：由一个动态博弈第一阶段以外的某阶段开始的后续博弈阶段构成的， 有初始信息集和进行博弈所需要的全部信息，能够自成一个博弈的原博弈的一 部分，称为原动态博弈的一个“子博弈”。

耶鲁⼤学公开课博弈论课习题耶鲁⼤学公开课：博弈论习题集1（第1-3讲内容）Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.由⼈⼈影视博弈论制作组Darrencui翻译1.严格劣势策略与弱劣势策略：严格劣势策略的定义是什么？弱劣势策略的定义是什么？请⽤⼀个包含两个参与⼈的博弈矩阵来举例说明，要求其中⼀个参与⼈有三个策略且三者之⼀为严格劣势策略；另⼀个参与⼈有三个策略但三者之⼀为弱劣势策略。

请指出你所举例⼦中的劣势策略。

2.迭代剔除（弱）劣势策略：请看下⾯的博弈2(a). 这个博弈中是否存在严格劣势策略和弱劣势策略？如果存在，请指出并说明。

(b). 剔除掉严格劣势策略和弱劣势策略之后，在简化的博弈中是否还有劣势策略呢？如果是，请指出并说明。

最后哪些策略不会被剔除呢？(c). 回顾你第⼀次剔除劣势策略时哪些策略是劣势策略并给出解释。

把它与第⼆次剔除的劣势策略作⽐较。

从中你能得出关于迭代剔除劣势策略的何种结论？3. 霍特林的选址博弈（也称霍特林模型）：回顾⼀下课堂中所讲的选票博弈。

其中有两个参与⼈，每个参与⼈都从集合* +中选出⾃⼰的⽴场。

这⼗个⽴场均分全部的选票。

选民把选票投给与⾃⼰⽴场最接近的候选⼈。

如果两个候选⼈站在同⼀个⽴场上，那么持该⽴场选民的选票平均分给每个候选⼈。

候选⼈想要最⼤化⾃⼰的得票率。

举例来说，()。

⽽() [提⽰：回答这道题时不必画出整个矩阵](a).课堂中我们指出⽴场2严格优于⽴场1，⽽实际上还有其它的⽴场也是严格优于⽴场1的，请找出所有优于⽴场1的⽴场并作出解释。

(b).假设现在有三名候选⼈。

举例来说，()⽽()。

此时⽴场2是否严格优于⽴场1？⽴场3呢？请作出解释。

另外，假设我们剔除了⽴场1和10，但是该⽴场的选票依然存在。

在简化的博弈中，⽴场2是否严格劣于或弱劣于其它（纯）策略？请作出解释。

4. “到底谁的话语权更重”：由三⼈组成的评审委员会要决出⼀场全国艺术⼤赛的冠军。