例析直线参数t的几何意义

【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
当M→0M与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取 正数 ； 当M→0M与 e 反向时，t 取 负数 ；当点 M 与点 M0 重 合时，t 为 零 ．
【课后练习】
写出经过点 P(1，－5)，倾斜角是π3的直线参数方程， (1)利用这个参数方程求这条直线与直线 x－y－2 3＝0 的交点 与点 P 的距离， (2)求这条直线和圆 x2＋y2＝16 的两个交点与点 P 的距离之积．
解：直线的参数方程为xy＝＝－1＋5＋tcotssinπ3，π3，
即x＝1＋21t，
①
y＝－5＋
3 2 t.
将①代入直线方程 x－y－2 3＝0，
得 1＋12t＋5－ 23t－2 3＝0，解得 t＝4 3. 根据直线参数方程中参数 t 的几何意义知两条直线的交点与 P
点的距离为 4 3.
又将①代入圆的方程 x2＋y2＝16， 得1＋21t2＋－5＋ 23t2＝16， 即 t2＋(1－5 3)t＋10＝0，则 t1＋t2＝5 3－1， t1·t2＝10(t1，t2 为关于 t 的一元二次方程的两根)，从而直线和圆 的两交点与点 P 的距离之积为 10.
例 3．已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t 3t (t 为参数)，它与曲线
(y－2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离．

x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0

(二 )课 堂 教 学 组 织 策 略 设 计 １．设置悬念,激发 学 生 学 习 的 兴 趣. 提 出 问 题:测 试 题 第(１)小题中的直线参数方程该怎么 写 呢? 师 生 一 起 回 顾 参 数方程的知识. ２．合 理 设 计 问 题,层 层 深 入,追 根 溯 源,构 建 知 识 的 阶梯. 苏霍姆林斯基说过:“人的心灵深 处,都 有 一 种 根 深 蒂 固 的 需 要,这 就 是 希 望 感 到 自 己 是 一 个 发 现 者、研 究 者、探 索 者.”在前面的基础上,接着设计一系 列 小 问 题,由 浅 入 深,由 易到难,循序渐进,将 教 学 难 点 实 现 层 层 设 问,逐 层 拨 开,将 知识点进行分解,组织学生自主、合 作、探 究,逐 个 突 破 难 点, 让学生在解决问题的过程中亲身体验知识的发生和发展的 过程,让学生积极主 动 地 参 与 到 课 堂 学 习 中 来,真 正 成 为 课 堂教学的主体.在这过程中,教师可以 应 用 激 励 性 的 语 言 适 时给予评价性的反馈,让他们感受成 功、体 验 幸 福,从 而 激 发 学生学习数学的兴 趣,并 从 中 寻 找 出 规 律 性 的 联 系,真 正 让 学生知其所以然.如:(１)若t１＝１ 或t２ ＝ －２ 时,直 线l 的 参数方程分别表示什么? 你能在图中 画 出 它 吗? (展 示 学 生 的作图,如图)(２)请你 们 再 算 一 算,此 时 的|PA|及|PB|长 分别是多 少? (３)若t 取 其 他 任 意 的 数 呢? (４)通 过 画 图 及 计算,你有什么发现吗? (５)你能否得到更一般的结论?
人(含写非标 准 的 参 数 方 程 ６ 人 ),写 错 的 有 ６ 人,空 白 ４６ 人.对于第(２)小题用直线参数t 的几何意义求解的 只 有 ２８ 人 (占 答 题 人 数 的 ３５％ ).

再相互转化。
直角坐标方程
极坐标方程
参数方程
x2 a2
y2 b2
1
带入法
x cos y sin
（ cos )2 ( sin )2
a2
b2
1
两边同乘 sin y
cos x
x a cos y b sin
化为普通
两边平方 ，两式子相加
( x )2 cos2 a ( y )2 sin 2 b
2
2
x
过 点（， ）与 极 轴 平 (a, )
2
2
行的直线
O
sin (0 )
x
（四）参数方程
1 参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某
个变数 t 的函数，即
x f (t) y f (t)
并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都
系. （1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（2）若曲线 c3 的极坐标方程
sin( ) 2 4
2 ，求曲线 c3 的直角坐标方程
【答案】（Ⅰ） cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0（II）x y 4 0
【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化
，则点 M
对应的参数值 tM
t1
t2 2
二、考点突破
题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程
对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简
经典例题分析：例 1. 在直角坐标系 xy 中，直线 l 的参数方程为
x
3
1 2
t
（
t
为参数）．以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标