排列组合综合应用教案

排列组合综合应用

一、教学目标

（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；

（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；

（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；

（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力．

二、教学重点难点

重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用

难点：解题思路的分析．

三、教学过程

（一）预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性．

（二）情景导入、展示目标

上一节，我们已经分别对排列组合的三类问题做了较深入的研究．排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口．因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题的解题方法得以快速准确求解．今天我们再解决以下几类综合问题．

（三）合作探究、精讲点拨

1．能排不能排问题（即特殊元素在特殊位置上有特别要求）

例1 （1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

（4）7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？

解析： 解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法．

解：（1）先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共种方法；

（2）先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有种，共5522AA种方法；

（3）先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有种，再在余下的5个位置排另外5位同学排法有种，共5525AA种方法；本题也可考虑特殊位置优先，即两端的排法有，中间5个位置有种，共5522AA种方法；

（4）分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有种，中间5个位置选1个安排乙的方法有，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有，故共有1566AA5515AA种方法；本题也可考虑间接法，总排法为，不符合条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有7657652AAA种．

点评：上述问题归结为能排不能排问题，从特殊元素和特殊位置入手解决，抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然．

变式训练1 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？

简答：对特殊元素—数学和体育进行分类解决

（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有种，其他有种，共有2444AA种；

（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有种，共有种；

（3）数学排在第一节、体育不在第六节有种，其他有种，共有1444AA种；

（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有种，其他有种，共有1444AA种；

所以符合条件的排法共有214444442121504AAAA种

本题也可采用间接排除法解决．

不考虑任何限制条件共有种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节有种；（2）体育排在第一节有种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况种所以符合条件的排法共有6546542504AAA种．

变式训练2 （2005北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）

A．种 B．种

C．种 D．种

简答：本题在解答时将五个不同的子项目理解为5个位置，五个工程队相当于5个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排排列问题（即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题），先排甲工程队有，其它4个元素在4个位置上的排法为种，总方案为种．故选B．

2．相邻不相邻问题（即某些元素不能相邻的问题）

例2 7位同学站成一排，

（1）甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？

（2）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？

（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？

解析：相邻排列组合问题一般采用大元素法，即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”．不相邻排列问题（即某两或某些元素不能相邻的排列问题）一般采用“插空法”．

解：（1）第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为种，

第二步、“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有种，所以共5353720AA种；

（2）第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共种方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空挡中的任何3个都符合要求，排法有种，所以共有43451440AA种；（3）先排甲、乙，有种排法，甲、乙两人中间插入的2人是从其余5人中选，有种排法，将已经排好的4人当作一个大元素作为“新人”参加下一轮4人组的排列，有种排法，所以总的排法共有224254960AAA种． 点评：相邻问题一般采用 “捆绑法”．不相邻问题（即某两或某些元素不能相邻的排列问题）一般采用“插空法”．

变式训练3 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）

简答：第一步、将1和2“捆绑”成一个大元素，3和4“捆绑”成一个大元素，5和6“捆绑”成一个大元素，第二步、排列这三个大元素，第三步、在这三个大元素排好后产生的4个空挡中的任何2个排列7和8，第四步、“释放”每个大元素（即大元素内的每个小元素在“捆绑”成的大元素内部排列），所以共有3234222576AA个数．

3．多元限制问题

例3 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？

解析：按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数．

解：法1 考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555CCA种，其中0居首位的有314544CCA种，故符合条件的五位数共有325314555544CCACCA＝11040个．

法2 按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8．

把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的．

①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545CCA个；

②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444CCAA种排法．

综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545CCA＋31415444CCAA＝11040个．

点评：对于受限元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和．

变式4．九张卡片分别写着0~8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？

简答：无6时有2738AA个，有6时有2（22173328ACAC）个；共有（2738AA）+2（22173328ACAC）=602个．

（四）反思总结，当堂检测

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测．

四、板书设计

排列组合综合问题

第二课时

一预习检查

2相邻不相邻问题．

3． 多元限制问题

二合作探究、精讲点拨

例2

例3

1．能排不能排问题

例1

三、小结

五、作业布置

1．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 多少个．

2．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 多少种．

3．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有多少个？