广东省实验中学2017-2018学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析

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广东实验中学2017-2018学年（上）高一级模块考试

数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

则

故选

2. 直线的倾斜角是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】直线的斜率为

直线的倾斜角为：，

可得：

故选

3. 计算，其结果是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】原式

故选

4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（ ）

- 2 -

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

如图，取的中点，连接，，则，

（或补角）是与所成的角，

，，

，，而

故选

5. 直线在轴上的截距是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，

令自变量，

直线在轴上的截距为

故选

6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：

①存在一条直线，使得，；

- 3 - ②存在两条平行直线，，使得，，，；

③存在两条异面直线，，使得，，，；

④存在一个平面，使得，．

其中可以推出的条件个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；

存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；

存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；

故选

7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，

原高为

而横向长度不变，且梯形是直角梯形，

故选

8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（ ）

- 4 - A. B.

C. 或 D. 都不对

【答案】C

【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为

则直线为，即

由到直线的距离等于到直线的距离得：

，

化简得：或（无解），解得

直线的方程为

综上，直线的方程为或

故选

9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由已知中两函数的图象交于点，

由指数函数的性质可知，若，则，即，

由于，所以且，解得，故选D.

点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.

10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

- 5 - 【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，

球心在对角线上，且其半径为长度的一半为

故选

11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为

实数的取值范围是

故选

点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。本题在解答时应该先将函数在区间上的值域求出，即可得到关于的不等关系，从而即可解得实数的取值范围。

12. 已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】如图所示

设线段上的切点为，平面

圆柱上底面的圆心为，半径为记为

- 6 - 则

由可得：

则圆柱的高为

故选

点睛：本题中由题意可知，只需要考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况。由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，即可得出结论。

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 直线与直线平行，则__________．

【答案】3

【解析】时不满足条件，

直线与直线平行，

解得

14. 如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的侧棱长为__________．

【答案】6

【解析】如下图所示， ,那么 ,,所以根据

- 7 - 勾股定理，可得 ,所以侧棱长为6.

15. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为__________．

【答案】

【解析】由图可知，该三棱锥的体积为

16. 已知函数若存在实数使得函数的值域为，则实数的取值范围是__________．

【答案】

- 8 - 【解析】

当时，函数为减函数，且在区间左端点处有

令，解得

令，解得

的值域为，

当时，，

在，上单调递增，在上单调递减，

从而当时，函数有最小值，即为

函数在右端点的函数值为

的值域为，

则实数的取值范围是

点睛：本题主要考查的是分段函数的应用。当时，函数为减函数，且在区间左端点处有，当时，在，上单调递增，在上单调递减，从而当时，函数有最小值，即为，函数在右端点的函数值为，结合图象即可求出答案。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知直线的方程为．

（1）求过点，且与垂直的直线的方程；

（2）求与平行，且到点的距离为的直线的方程．

【答案】(1) (2) 或．

【解析】试题分析：直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；

- 9 - ...........................

解析：（1）∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，

又∵过点，∴所求直线方程为，

即．

（2）依题意设所求直线方程为，

∵点 到该直线的距离为，

∴，解得或，

所以，所求直线方程为或．

18. 已知函数．

（1）讨论并证明函数在区间的单调性；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1) 函数在上单调递增,见解析(2)

【解析】试题分析：利用单调性的定义，根据步骤，取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；

原不等式等价于对任意的恒成立，整理得对任意的恒成立，分析易知，且，解得

解析：（1）函数在上单调递增．

证明：任取，则，

因为，所以，，所以，

所以函数在上单调递增．

（2）原不等式等价于对任意的恒成立，

整理得对任意的恒成立，

若，则左边对应的函数开口向上，当时，必有大于0的函数值；

- 10 - 所以且，

所以．

19. 如图，在直三棱柱中，三角形为等腰直角三角形，，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）二面角的平面角的大小．

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：设，连接，则，由此即可证明平面；

推导出，，从而平面，进而，，为二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角的大小

解析：（1）在直三棱柱中，设，

则为的中点，连接，

∵为的中点，∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵中，，为中点，∴，

又∵平面，平面，

∴，又，∴平面，

∵平面，平面，∴，，

∴为二面角的平面角，

∵中，，∴，

- 11 - 在中，，

∴二面角的平面角的大小为．

20. 如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：连接，交于点，设中点为，连接，，先证出，再证出平面，，结合面面垂直的判定定理即可证平面平面；

先证明，设的中点为，连接，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，运用解三角形知识求其正弦值。

解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．

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∵，分别为，的中点，

∴，且，

∵，且，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，∴，即，

∵平面，平面，∴，

∵是菱形，∴．

∵，∴平面，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）因为直线与平面所成角为，

所以，所以，

所以，故为等边三角形，

设的中点为，连接，则 ，

设点到平面的距离为，点到平面的距离为，

则由，得（*）

因为面，面，所以，

又，，∴面；

因为，平面，面，所以面，

所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，

因为，，所以，

又，代入（*）得，所以，

设与平面所成角的正弦值为．