几种常见函数的导数

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

班级 小组 姓名 使用时间 2015年 5月 7日 编号第

课

题 导数在函数中的应用及优化问题 编制人 张 怡

审核人 孙延海

考纲要求 1.利用导数解决生活中的优化问题.

2.导数与方程、函数零点、不等式知识综合应用.

教 学 过 程

再现型题组 1. 已知函数Rxaaxxaxxf,2131)(23，其中0a

（1）求函数)(xf的单调区间；

（2）若函数)(xf在区间)0,2(内恰有两个零点，求a的取值范围.

2.从边长为cmcm1610的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为

A.312cm B. 372cm C. 3144cm D. 3160cm

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巩固型题组 【例1】设函数)0,(12)(22tRxtxttxxf.

（1）求)(xf的最小值)(th；

（2）若mtth2)(对t∈(0, 2)恒成立，求实数m的取值范围.

【例2】某产品每件成本为6元，每件售价为x元（116x），年销量为u万件，若已知u8585与2)421(x成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

（1）求年销售利润y关于售价x的函数关系式；

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润. 山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

提高型题组 【练1】已知函数)()(2aaxxexfx,其中a是常数.

（1）当1a时，求曲线)(xfy在点))1(,1(f处切线方程；

（2）若存在实数k，使得关于x的方程kxf)(在),0[上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

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§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

几种常见函数的导数

复合函数的导数：(f(g(x))′=(f(u))′(g(x))′*u=g(x）

常用导数公式：1、y=c(c为常数)

2、y=x^n y'=nx^(n-1)

3、y=a^x y'=a^xlna；y=e^x y'=e^x

4、f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)；y=lnx y'=1/x

5、y=sinx y'=cosx

6、y=cosx y'=-sinx

7、y=tanx y'=1/(cosx)^2

8、y=cotx y'=-1/(sinx)^2

9、y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10、y=arccosx y'=-1/√1-x^2

11、y=arctanx y'=1/(1+x^2)

12、y=arccotx y'=-1/(1+x^2)

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。