第二章点估计

《运用数理统计》教学大纲

课程名称：运用数理统计

英文名称：ApplicationofMathematicalStatistics

课程编号：00907701

课程学时：32

课程学分：2

课程性质：学位课

有用专业：全校各专业

预修课程：初等数学，线性代数〔大年夜学工科〕,概率论与数理统计〔大年夜学工科〕

大纲执笔人：周大年夜勇

一、课程目的与恳求

本课程讨论基础数理统计的数学实践跟方法，包括数理统计的全然不雅念，抽样分布，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析，正交试验跟质量把持末尾，为众多学科专业需要较多统计货色的研究生，供应随机数学方面的训练，打下扎实的基础。

数理统计是关于数据资料的收集﹑拾掇﹑分析跟揣摸的学科，通过对本课程的深造，使老师在本科工程数学的基础上，进一步较收入地把持数理统计的全然实践跟方法，培养运用数理统计的方法分析跟处置有关理论征询题的才干，并为当前深造后继课程打下需要的基础。

二、教学内容及学时安排

第一章抽样跟抽样分布4学时

一、母体跟子样

二、一些常用的抽样分布

第二章参数估计8学时

一、点估计跟估计量的求法二、估计量的好坏标准

三、区间估计

第三章假设检验8学时

一、假设检验初述，二类差错二、检验母体平均数

三、检验母体方差四、单侧假设检验

五、分布假设检验

第四章方差分析、正交试验方案6学时

一、一元方差分析二、二元方差分析

三、正交试验方案

第五章回归分析6学时

一、一元线性回归中的参数估计二、一元线性回归中的假设检验跟猜想

三、可线性化的意愿非线性回归

三、讲义及要紧参考书

1、杨虎,刘琼荪,钟波《数理统计》初等教诲出版社，2004

2、汪荣鑫《数理统计》西安交通大年夜学出版社，1986

3、吴翊,李永乐,胡庆军《运用数理统计》国防科大年夜出版社，1995

4、朱勇华,邰淑彩,孙韫玉《运用数理统计》武汉大年夜学出版社，2000

5、茆诗松、王静龙《数理统计》华东师范大年夜学出版社，1990

电信学院研究生课程讲义 多传感器数据融合及应用 第2章 状态估计

1 第2章 状态估计

1. Kalman滤波概述

 卡尔曼滤波器是Kalman在1960年提出的一种滤波算法，该方法采用用递归的方法解决离散数据线形滤波问题。根据其算法原理，人们相继提出了广义卡尔曼滤波算法和局域卡尔曼滤波算法，并应用到各类问题的解决中。

电信学院研究生课程讲义 多传感器数据融合及应用 第2章 状态估计

2  卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述，用于估计离散事件过程的状态变量x∈Rn。这个离散事件过程可由离散随机差分方程描述：

111kkkkwBuAxx

 其中，A是过k-1 时刻状态对k 时刻状态的增益矩阵，B为可选控制输入u∈Rl的增益矩阵。定义观测变量z∈Rm，得到测量方程：

kkkvHxz

电信学院研究生课程讲义 多传感器数据融合及应用 第2章 状态估计

3  其中，H 表示状态变量xk对测量变量zk的增益；wk和vk分别表示过程激励噪声和观测噪声。设它们相互独立，并呈正态分布：

),0(~)(),,0(~)(RNvpQNwp

 定义nkRxˆ表示x在已知第k步以前状态情况下对第k步的先验状态估计；定义nkRxˆ为已知测量变量zk时第k步的后验状态估计。

电信学院研究生课程讲义 多传感器数据融合及应用 第2章 状态估计

4  因此定义先验估计误差和后验估计误差：kkkxxeˆ和kkkxxeˆ。先验估计误差的协方差为：][TkkkeeEP；后验估计误差的协方差为：

][TkkkeeEP，根据滤波器概率原型，卡尔曼滤波器的表达式为：

)ˆ(ˆˆkkkkxHzKxx

电信学院研究生课程讲义 多传感器数据融合及应用 第2章 状态估计

1 第二章 参数估计

一、填空题

1、总体X的分布函数为);(

xF，其中

为未知参数，则对

常用的点估计方法

有 ， 。

2、设总体X的概率密度为

()

,

(;)

0,x

ex

fx

x





−−





=







而

12,,,

nXXX是来自总体X的简单随机样本，则未知参数

的矩估计量为

_______

3、设

321,,XXX是来自总体X的简单随机样本，且

=)(XE，记

3211

31

31

31

XXX++=，

3212

21

41

41

XXX++=

213

21

21

XX+=

，

3214

41

41

41

XXX++=

则哪个是

的有偏估计 ，哪个是

的较有效估计 。

4、随机变量X的分布函数);(

xF中未知参数

的有效估计量和极大似然估计量

的关系为 。

5、随机变量X的分布函数);(

xF中未知参数

的有效估计量和最优无偏估计量

的关系为 。

6、称统计量),,,(

21nXXXTT=为可估函数)(

g的（弱）一致估计量是

指 。

7、判断对错：设总体),(~2



NX，且

与2



都未知，设

nXXX,...,,

21是来自

2 该总体的一个样本，设用矩法求得的估计量为

1ˆ、用极大似然法求得的

估计量为

2ˆ，则

1ˆ=

2ˆ。 _________________

8、ˆ

n

是总体未知参数

的相合估计量的一个充分条件是_______ .

解：ˆˆ

lim(), limVar()0

nn

nnE

→→==．

9、已知

1021,,xxx

是来自总体X的简单随机样本，

=EX。令



==+=10

76

181

ˆ

ii

iixAx，则当=A 时，ˆ

为总体均值的无偏估计。

10、 设总体()



,0~UX，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为

0.51.30.61.72.21.20.81.52.01.6， ， ， ， ， ， ， ， ，

则参数

的矩估计为 。

11、 设

1ˆ



与

2ˆ



都是总体未知参数

的估计，且

1ˆ



比

2ˆ



有效，则

第 1 页 共 21 页 第二章 参数估计

【学习目标】

1、掌握矩估计的替代原则；会求已知分布中未知参数的矩估计（值）

2、熟练掌握极大似然估计的思想及求法

3、估计量的评价标准：无偏性、有效性、相合性的定义

4、统计量的无偏性的判断；两个无偏估计的有效性判断；会用Fisher信息量及c-R下界进

行统计量的UMVUE充分性判断

5、掌握区间估计的定义

6、单个正态总体均值的区间估计（包括方差已知、方差未知）；单个正态总体方差的区间估

计（包括均值已知、均值未知）

7、两个正态总体均值差的区间估计（方差未知）；两个正态总体方差比的区间估计

8、单侧置信区间的求法

【典型例题讲解】

例1、设

1,,

nXX是来自均匀分布

(,1)U的总体的容量为n的样本，其中

为未知参数，试证：的极大似然估计量不止一个，例如

1(1)ˆ

X，

2()ˆ

1

nX，

3(1)()11

ˆ

()

22nXX都是的极大似然估计。

解：

(,1)U分布的密度函数为

11

()

0x

fx





其他

似然函数

(1)()11

()

0nxx

L







其他

由于在

(1)()1

nxx上

()L为常数，所以凡是满足：

(1)()ˆˆ

1

nxx的ˆ

均

为的极大似然估计。从而

（1）

1(1)ˆ

X满足此条件，故

1(1)ˆ

X是的极大似然估计；

（2）由于

()(1)1

nXX，故

2()(1)()2ˆˆ

11

nnXXX，所以

2()ˆ

1

nX为的

极大似然估计；

（3）由于

()(1)1

nXX，故

(1)()(1)12

nXXX，

(1)()()12

nnXXX，从而有

3(1)()(1)()(1)()31111

ˆˆ

()()1

2222nnnXXXXXX，故

3ˆ

也为的极大似

然估计。

第 2 页 共 21 页 例2、一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n的样本，其中含k个白球，