新人教版新高考高中数学必修二全套教案

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平面向量的概念

【教学重难点】 【教学目标】 【核心素养】

平面向量的相关概念 了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念 数学抽象

平面向量的几何表示 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念 数学抽象

相等向量与共线向量 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 数学抽象、逻辑推理

【教学过程】

一、问题导入

预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：

1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3．两个向量（向量的模）能否比较大小？

4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB→与向量BA→是相等向量吗？

二、新知探究

1．向量的相关概念

例1：给出下列命题：

①若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

②在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；

③若a＝b，b＝c，则a＝c．

其中所有正确命题的序号为________．

解析：AB→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．

答案：②③

教师小结

（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件

①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．

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（2）理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

2．向量的表示

例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：

（1）OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°方向上；

（2）AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东方向上；

（3）BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．

解：（1）由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．

（2）由于点B在点A正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．

（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．

教师小结：

用有向线段表示向量的步骤

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3．共线向量与相等向量

例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，在每两点所确定的向量中．

（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）与a共线的向量有哪些？

解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→．

（2）与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→．

互动探究：

（1）变条件、变问法：本例中若OC→＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．

解：与a相等的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，FA→；与c相等的向量有FO→，ED→，AB→．

（2）变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？

解：与AD→共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，OA→．

教师小结

共线向量与相等向量的判断

（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．

（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．

（3）非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c．

注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．

【课堂总结】

1．向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量．

（2）有向线段

①定义：具有方向的线段．

②三个要素：起点、方向、长度．

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段

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记作AB→．

④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB→的长度，记作|AB→|．

（3）向量的表示

2．向量的有关概念

（1）向量的模（长度）：向量AB→的大小，称为向量AB→的长度（或称模），记作|AB→|．

（2）零向量：长度为0的向量，记作0．

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

3．两个向量间的关系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b．

■名师点拨

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．

（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．

（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

【课堂检测】

1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→平行的向量的个数为（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C．图中与AE→平行的向量为BE→，FD→，FC→共3个．

2．下列结论中正确的是（ ）

①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；

②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；

③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；

④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|．

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A．①③ B．②③

C．③④ D．②④

解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．

3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与BC→相等的向量；

（2）与OB→长度相等的向量；

（3）与DA→共线的向量．

解：画出图形，如图所示．

（1）易知BC∥AD，BC＝AD，

所以与BC→相等的向量为AD→．

（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，

所以与OB→长度相等的向量为BO→，OC→，CO→，OA→，AO→，OD→，DO→．

（3）与DA→共线的向量为AD→，BC→，CB→．

平面向量的应用

【第一课时】

教学重难点 教学目标 核心素养

向量在平面几何中的应用 会用向量方法解决平面几何中的平行、

垂直、长度、夹角等问题 数学建模、逻辑推理

向量在物理中的应用 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题 数学建模、数学运算

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？

2．如何用向量方法解决物理问题？

二、新知探究

探究点1：

6 / 206 向量在几何中的应用

角度一：平面几何中的垂直问题

例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．

证明：法一：设AD→＝a，AB→＝b，

则|a|＝|b|，a·b＝0，

又DE→＝DA→＋AE→＝－a＋12b，AF→＝AB→＋BF→＝b＋12a，

所以AF→·DE→＝b＋12a·－a＋12b＝－12a2－34a·b＋12b2＝－12|a|2＋12|b|2＝0．

故AF→⊥DE→，即AF⊥DE．

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），AF→＝（2，1），DE→＝（1，－2）．

因为AF→·DE→＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，

所以AF→⊥DE→，即AF⊥DE．

角度二：平面几何中的平行（或共线）问题

：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12．求证：点E，O，F在同一直线上．

证明：设AB→＝m，AD→＝n，

由CEED＝AFFB＝12，知E，F分别是CD，AB的三等分点，

所以FO→＝FA→＋AO→＝13BA→＋12AC→

＝－13m＋12（m＋n）＝16m＋12n，

OE→＝OC→＋CE→＝12AC→＋13CD→

＝12（m＋n）－13m＝16m＋12n．

所以FO→＝OE→．

又O为FO→和OE→的公共点，故点E，O，F在同一直线上．

角度三：平面几何中的长度问题

：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解：设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b，

而|BD→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，