不等式复习1

不等式（一）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知集合{}{}121,20x M x e N x x x -=>=-<，则M N ⋃=（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞2．已知{|10}A x x =+>，{2,1,0,1}B =--，则()R A B ⋂=ð（）.A ．{2,1}--B ．{2}-C ．{1,0,1}-D ．{0,1}3．不等式101xx+≥-的解集为（）A ．{|1x x ≥或1}x ≤-B ．{}11xx -≤≤∣C ．{|1x x ≥或1}x <-D ．{|11}x x -≤<4．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．45．已知集合{}220A x Z x x =∈--≤，{}1B x x =<，则A B = （）A ．()1,1-B ．{}1,0-C ．[]1,2-D ．{}1,0,1,2-6．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为12，他连续投篮n 次至少得到3分的概率大于0.9，那么n 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos cos a b c ab c a B b A+-=+，若2a b +=，则c 的最小值为（）A ．1B ．32C ．54D ．348．已知关于x 的不等式20ax bx c -+<的解集为1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20bx cx a +->的解集为（）A ．{|3x x >或}2x <-B ．{}23x x -<<C ．{|2x x >或}3x <-D ．{}32x x -<<二、填空题9．已知(1,2)A ，点(,)B x y 的坐标x 、y 满足32201x y x y x +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则OA OB ⋅ 的取值范围是_________．10．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是_________．11．已知正实数x ，y 满足2x y +=，则12x y+的最小值为______．三、解答题12．已知命题:p 实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，命题:q 实数x 满足不等式53x -<.（1）当1a =时，命题p ，q 均为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.13．已如集合{}2230A x x x =--≤，{B x y ==．（1）用区间表示集合A 和B ；（2）求A B 和()R A B ð．14．已知()|2||1|f x x x =++-.(1)解不等式()8f x x ≤+；(2)若关于x 的不等式2()2f x m m ≥-在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.15．已知关于的x 不等式(1)(1)0ax x -+>．（1）若此不等式的解集为1{1}2x x -<<-，求实数a 的值；（2）若0a ≤，解这个关于x 的不等式；（3）(0,3],(1)(1)21x ax x ax a ∀∈-+>--恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】【分析】根据指数函数的性质解出集合M ，再由二次不等式的解法求出集合N ，最后求并集即可.【详解】由11x e ->得10x e e ->，函数x y e =在R 上单调递增，则10x ->，即{}1M x x =>，又由220x x -<得02x <<，即{}02M x x =<<，所以{}0M N x x ⋃=>.故选：C.2．A 【解析】【分析】先求得R A ð，进而可求得结果.【详解】依题意可得{}{}R 101A x x x x =+≤=≤-ð，又{}2,1,0,1B =--，所以(){}R 2,1A B =-- ð.故选：A.3．D 【解析】【分析】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，由此求得不等式的解集．【详解】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，解得11x -≤<，故不等式的解集为{|11}x x -≤<，故选：D ．4．D 【解析】画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线20x y -=，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.【详解】如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -=当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值所以max 2204z =⨯-=故选：D 【点睛】本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解z 的含义，然后简单计算，属基础题.5．B 【解析】【分析】先化简集合A ，再由交集运算求解即可【详解】由()()[]2202101,2x x x x x --≤⇒-+≤⇒∈-，故{}1,0,1,2A =-，{}1,0A B ⋂=-，故选：B 6．B 【解析】先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.由题意可知，该同学连投n 次，一次都不中的概率为：11122nn⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故n 次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为()110.92nn N *⎛⎫->∈ ⎪⎝⎭，得10.12n⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴4n ≥.故选：B.【点睛】本题考查了n 次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.7．A 【解析】先利用余弦定理和正弦定理求出3C π=，然后再利用余弦定理和基本不等式，求出c 的最小值.【详解】因为222cos cos a b c abc a B b A+-=+，且222cos 2a b c C ab +-=，所以2cos cos cos ab C ab c a B b A=+，且sin sin sin a b cA B C ==，所以2cos 11sin sin cos sin cos sin()C C A B B A A B ==++，又因为sin()sin 0A B C +=≠，所以1cos 2C =，又因为(0,)C π∈，所以3C π=，又因为222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-222()3()312a b a b ab a b +⎛⎫=+-+-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，故c 的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查解三角形的正弦、余弦定理以及基本不等式求最值，考查学生的逻辑推理及运算求解能力，属于一般题.8．A 【解析】由一元二次不等式的解集可得0a >且11321132b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，确定a 、b 、c 间的数量关系，再求20bx cx a +->的解集.【详解】由题意知：0a >且11321132b ac a⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，得660a b ac a ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩>，从而20bx cx a +->可化为26(0)a x x -->，等价于260x x -->，解得3x >或2x <-.故选：A.9．[1,5]【解析】【分析】作32201x y x y x +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩对应的可行域，根据目标函数的几何意义求其范围.【详解】作不等式组32201x y x y x +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩的可行域得：设z OA OB =⋅uu r uu u r，则2z x y =+，∴z 表示斜率为12-的直线在y 轴上的截距的两倍，过区域内的点作斜率为12-的直线可得，∵直线1x =与直线220x y --=的交点为(1,0)，直线1x =与直线3x y +=的交点为(2,1)，∴当1x =，0y =时，z 取最小值，最小值为1，当2x =，1y =时，z 取最大值，最大值为5，∴OA OB ⋅的取值范围是[1,5]，故答案为：[1,5].10．[]2,10-【解析】【分析】把42a b -表示3()()a b a b -++形式，然后由不等式的性质得结论．【详解】因为14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，42a b -＝3()()a b a b -++，所以24210a b -≤-≤．故答案为：[2,10]-【点睛】本题考查由不等式的性质求范围，解题中注意把,a b a b +-分别作为一个整体，而不是由它们求出,a b 的范围，如果先求得,a b 的范围，再求42a b -的范围一般会出错．11．32+【解析】【分析】由221x y+=，构造12121()()12222x y x y x y x y y x +=++=+++，利用均值不等式，即得解【详解】由题意，221x y+=，且0,0x y >>，由均值不等式12121333()()1222222222x y x y x y x y x y y x y x +=++=+++=++≥+⨯+当且仅当2x yy x =，即2,4x y ==-时等号成立12．（1）()2,3；（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）分别求出命题p ，q 均为真命题时x 的取值范围，再求交集即可.（2）利用集合间的关系求解即可.【详解】:p 实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，即3a x a<<命题:q 实数x 满足不等式53x -<，即28x <<（1）当1a =时，命题p ，q 均为真命题，则13x <<且28x <<则实数x 的取值范围为()2,3；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|3x a x a <<是{}|28x x <<的真子集则2a ≥且38a ≤解得823a ≤≤故a 的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.13．（1）[]1,3A =-，[)1,B =+∞（2）[)1,A B ⋃=-+∞，()[)R 1,1A B =- ð【解析】（1）分别根据一元二次不等式的解法和函数定义域的求法求得集合A 和集合B ；（2）由并集、补集和交集定义直接求解得到结果.【详解】（1）将不等式2230x x --≤化为()()310x x -+≤，解得：13x -≤≤[]1,3A ∴=-由10x -≥得：1≥x [)1,B ∴=+∞（2）由（1）可得：[)1,A B ⋃=-+∞(),1R B =-∞ ð()[)1,1R A B ∴=- ð【点睛】本题考查集合中的交集、并集和补集运算，涉及到一元二次不等式的求解、函数定义域的的问题，属于基础题.14．(1)[3,7]-(2)[1,3]-【解析】【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.（2）由题可得2min ()2f x m m ≥-，再利用绝对值三角不等式求出min ()f x ，解不等式即可.(1)()|2||1|f x x x =++-21,2,3,21,21,1,x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩当2x <-时，()8f x x ≤+可化为218x x --≤+，解得3x ≥-，所以32x -≤<-；当21x -£<时，()8f x x ≤+可化为38x ≤+，解得5x ≥-，所以21x -£<；当1≥x 时，()8f x x ≤+可化为218x x +≤+，解得7x ≤，所以17x ≤≤.综上，不等式()8f x x ≤+的解集为[3,7]-.(2)关于x 的不等式2()2f x m m ≥-在R 上恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-，又()|2||1||21|3f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当(2)(1)0≤x x +-，即21x -≤≤时等号成立，所以min ()3f x =，所以232m m ≥-，解得13m -≤≤.故实数m 的取值范围为[1,3]-.15．（1）2a =-；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）()1,+∞．【解析】【分析】（1）由题意可得11,2--为方程(1)(1)0(0)ax x a -+=<的两根，由代入法可得所求值；（2）对a 进行分类讨论，即分0a =时，直接求解即可；当0a <时，又分1a =-，1a <-，10a -<<三种情况，根据一元二次不等式的解法，即可得到所求解集；（3）利用分离参数法将原问题等价为可得21xa x x >-+在03x <≤恒成立，再令2(),031xf x x x x =<≤-+，结合对勾函数的单调性可得()f x 的最大值，可得a 的范围．【详解】解：（1）(1)(1)0ax x -+>的解集为1{1}2x x -<<-，可得11,2--为方程(1)(1)0(0)ax x a -+=<的两根，可得112a =-，即2a =-；（2）当0a =时，原不等式即为10x +<，解得1x <-，解集为{1}x x <-；当0a <时，原不等式化为1(1)0x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，①若1a =-，可得2(1)0x +<，解集为∅；②若1,a <-即101a >>-，可得解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；③若10,a -<<即11a <-，可得解集为11x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；（3）对任意的03,(1)(1)21x ax x ax a <≤-+>--恒成立，等价为()21a x x x -+>在03x <≤恒成立，答案第9页，共9页由于22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，可得21x a x x >-+在03x <≤恒成立，由2(),031x f x x x x =<≤-+，可得1()11f x x x=+-，而1y x x =+在1x =时取得最小值2，在3x =时取得最大值103，可得()f x 的最大值为1，则1a >．即a 的取值范围是()1,+∞．。

§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1.基本不等式：a ＋b2≥ab (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立.(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值.2.利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab 与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x 4.(×)2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于()A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4答案C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时，取等号，即当f (x )取得最小值时x ＝3，即a ＝3.3．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为()A.14B.18C.116D ．1答案A解析因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立，故x (1－x )的最大值为14.4．(2023·重庆模拟)已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4解析由x ＋y ＝1得1x ＋1y ＝x ＋y )＝2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，即1x ＋1y的最小值为4.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是()A ．b >a ＋b2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案C解析∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点E ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0)答案C解析根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD＝ab a ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ，所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b (a >0，b >0)．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练1(1)已知p ：a >b >0，q ：a 2＋b 22>，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>，∴由p 可推出q ；当a <0，b <0时，q 也成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(多选)已知a ，b ∈R ，则下列不等式成立的是()A.a ＋b 2≥abB.a ＋b 2≤a 2＋b 22C.2ab a ＋b ≤a ＋b 2D ．ab ≤a 2＋b 22答案BD解析A 选项，由选项可知a 与b 同号，当a >0且b >0时，由基本不等式可知a ＋b2≥ab 恒成立，当a <0且b <0时，a ＋b2<0，ab >0，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项，当a ＋b >0时，a ＋b2>0，则＝a 2＋b 2＋2ab －2a 2－2b 24＝－(a －b )24≤0恒成立，即a ＋b2≤a 2＋b 22恒成立，当a ＋b ≤0时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项，当a ＋b >0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≤a ＋b2恒成立，当a ＋b <0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≥a ＋b2，故C 选项错误；D 选项，由重要不等式可知，a ，b ∈R ，ab ≤a 2＋b 22恒成立，故D 选项正确．题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A ．x －1x B ．2x ＋2－xC ．x 2＋1x 2D.x 2＋2＋1x 2＋2答案BC解析选项A 中，当x <0时，函数y ＝x －1x单调递增，无最小值，不符合题意；选项B 中，2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，满足题意；选项C 中，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x ＝±1时，等号成立，满足题意；选项D 中，x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．(2)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．答案3解析由已知，得12＝4x ＋3y ≥24x ·3y ，即12≥24x ·3y ，解得xy ≤3(当且仅当4x ＝3y 时取等号)．命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a ，b 为正数，4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2的最大值为()A.7B.3C ．22D ．2答案D解析因为4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2＝12×2a ×1＋b 2＝124a 2(1＋b 2)≤12×4a 2＋1＋b 22＝2，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝3时，等号成立．(2)已知x >1，则x 2＋3x －1的最小值为()A ．6B ．8C ．10D ．12答案A解析因为x >1，所以x －1>0，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝x －1＋2＋4x －1≥2＋2(x －1)·4x －1＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f (x )＝x ＋kx，k ＞0，x ∈[a ，b ]，[a ，b ]⊆(0，＋∞)．(1)当k ∈[a ，b ]时，f (x )＝x ＋kx ≥2k ，f (x )min ＝f (k )＝k ＋k k ＝2k ；(2)当k ＜a 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝a ＋ka ；(3)当k ＞b 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递减，f (x )min ＝f (b )＝b ＋kb.因此，只有当k ∈[a ，b ]时，才能使用基本不等式求最值，而当k ∉[a ，b ]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2的最小值是______．答案32解析由f (x )＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋3x 2＋2－2，令x 2＋2＝t (t ≥2)，则有f (t )＝t ＋3t－2，由对勾函数的性质知，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，f (t )min ＝32，即当x ＝0时，f (x )min ＝32.命题点3代换法例4(1)已知正数a ，b 满足8b ＋4a ＝1，则8a ＋b 的最小值为()A ．54B ．56C ．72D ．81答案C解析8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．延伸探究已知正数a ，b 满足8a ＋4b ＝ab ，则8a ＋b 的最小值为________．答案72解析∵8a ＋4b ＝ab ，a >0，b >0，∴8b ＋4a＝1，∴8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．(2)已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝3恒成立，则1a ＋1＋2b 的最小值为()A.32B.94C ．2D ．3答案B解析由a ＋2b ＝3得(a ＋1)＋2b ＝4，于是1a ＋1＋2b ＝·(a ＋1)＋2b 4＝141＋4＋2(a ＋1)b ＋2ba ＋1≥145＋22(a ＋1)b ×2ba ＋1＝94，当且仅当2(a ＋1)b＝2b a ＋1，且a >0，b >0，即a ＝13，b ＝43时，等号成立．所以1a ＋1＋2b的最小值为94.命题点4消元法例5已知正数a ，b 满足a 2－2ab ＋4＝0，则b －a4的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案B解析∵a >0，b >0，a 2－2ab ＋4＝0，则b ＝a 2＋2a ，∴b －a 4＝a 2＋2a －a 4＝a 4＋2a ≥2a 4·2a＝2，当且仅当a 4＝2a ，即a ＝22时，等号成立，此时b ＝322.命题点5构造不等式法例6若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为()A ．9B ．6C ．3D ．12答案A解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又ab ＝a ＋b ＋3，所以ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，整理可得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)．所以ab ≥3，所以ab ≥9.所以当a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A ．y ＝sin x xB ．y ＝2－x －4x (x ＜0)C ．y ＝x 2＋6x 2＋5D ．y ＝4x ＋4－x答案AD解析对于A ，因为0＜x ≤π2，所以0＜sin x ≤1，则y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时取等号，符合题意；对于B ，因为x ＜0，所以－x ＞0，－x ＝4，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时等号成立，所以y ＝2－x －4x ≥2＋4＝6，即y ＝2－x －4x (x ＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C ，y ＝x 2＋6x 2＋5＝x 2＋5＋1x 2＋5，设t ＝x 2＋5，则t ≥5，则y ≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D ，y ＝4x ＋4－x ＝4x ＋14x≥24x ·14x ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，故y ＝4x ＋4－x 的最小值为2，符合题意．(2)(多选)已知正实数a ，b 满足ab ＋a ＋b ＝8，下列说法正确的是()A ．ab 的最大值为2B ．a ＋b 的最小值为4C ．a ＋2b 的最小值为62－3D.1a (b ＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A ，因为ab ＋a ＋b ＝8≥ab ＋2ab ，即(ab )2＋2ab －8≤0，解得－4≤ab ≤2，又因为a >0，b >0，所以0<ab ≤2，则ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故A 错误；对于B ，ab ＋a ＋b ＝8≤(a ＋b )24＋(a ＋b )，即(a ＋b )2＋4(a ＋b )－32≥0，解得a ＋b ≤－8(舍)或a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故B 正确；对于C ，由题意可得b (a ＋1)＝8－a ，所以b ＝8－aa ＋1>0，解得0<a <8，所以a ＋2b ＝a ＋2×8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D，1a(b＋1)＋1b＝181a(b＋1)＋1b[a(b＋1)＋b]＝182＋ba(b＋1)＋a(b＋1)b≥18×(2＋2)＝12，当且仅当ba(b＋1)＝a(b＋1)b，即b＝4，a＝45时取等号，故D正确．课时精练一、单项选择题1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是() A．9B．18C．93D．27答案B解析因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.2．已知a>0，b>0，且1a＋1b＝1，则4a＋9b的最小值是() A．23B．26C．22D．25答案D解析由题意得a>0，b>0，1a＋1b＝1，故4a＋9ba＋9b)＝9ba＋4ab＋13≥29ba·4ab＋13＝25，当且仅当9ba＝4ab，即a＝52，b＝53时取等号，故4a＋9b的最小值是25.3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是() A．2B．3C．4D．5答案D解析对原条件式转化得3x＋1y＝5，则3x＋4yx＋4y)＋4＋12yx＋＋5，当且仅当12yx＝3xy且x＋3y＝5xy，即x ＝1，y ＝12时取等号．故3x ＋4y 的最小值为5.4．“∀x ∈(1,4]，不等式x 2－mx ＋m >0恒成立”的充分不必要条件是()A ．m >4B ．m <163C ．m <4D ．m <2答案D解析已知∀x ∈(1,4]，由不等式x 2－mx ＋m >0恒成立，得x 2x －1>m 恒成立，因为x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，所以m <4，所以m <2是m <4的充分不必要条件．5．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为()A.19B.112C.116D.120答案C解析因为x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则3x ＋y xy＝3y ＋1xx ＋3y )＝3x y ＋3yx ＋10≥23x y ·3yx＋10＝16，当且仅当3x y ＝3yx ，即x ＝y ＝14时，等号成立，所以0<xy 3x ＋y ≤116，即xy 3x ＋y的最大值为116.6．已知x >y >0且4x ＋3y ＝1，则12x －y ＋2x ＋2y的最小值为()A ．10B ．9C ．8D ．7答案B解析由x >y >0得2x －y >0，x ＋2y >0，令a ＝2x －y ，b ＝x ＋2y ，则a ＋2b ＝4x ＋3y ，由4x ＋3y ＝1得a ＋2b ＝1，故12x －y ＋2x ＋2y＝a ＋2b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当2b a ＝2ab，且a ＋2b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号，也即2x －y ＝13，x ＋2y ＝13，即x ＝15，y ＝115时，等号成立，故12x －y ＋2x ＋2y的最小值为9.二、多项选择题7．已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，则()A ．x (x ＋2y )的最大值为4B ．log 2x ＋log 2y 的最大值为0C ．2x ＋2y 的最小值为4D.1x ＋2y 的最小值为32＋2答案BCD解析由x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，可得0<x <2,0<y <2，x (x ＋2y )＝(x ＋y －y )(x ＋y ＋y )＝(x ＋y )2－y 2＝4－y 2，由0<y 2<4可得0<4－y 2<4，所以x (x ＋2y )无最大值，故A 错误；由x ＋y ＝2≥2xy ，得0<xy ≤1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ≤log 21＝0，故B 正确；由基本不等式可得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故C 正确；1x ＋2y ＝x ＋y )＋y x ＋＋＝32＋2，当且仅当x ＝22－2，y ＝4－22时取等号，故D 正确．8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析因为ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为＋34y 2＝1，设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ，所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin θ∈23，2，所以D 错误．三、填空题9．若x <2，则x ＋9x －2的最大值为________．答案－4解析x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2，由于x <2，所以2－x >0，故2－x ＋92－x ≥6，当且仅当2－x ＝92－x，即x ＝－1时，等号成立，所以x －2＋9x －2＝－－x －6，故x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2≤－4，所以x ＋9x －2的最大值为－4.10．函数f (x )＝3x －32x 2－x ＋1在(1，＋∞)上的最大值为________．答案37解析因为f (x )＝3x －32x 2－x ＋1x ∈(1，＋∞)，令x －1＝t ，则t >0，则f (t )＝3t 2(t ＋1)2－(t ＋1)＋1＝3t2t 2＋3t ＋2＝32t ＋3＋2t ≤322t ·2t＋3＝37，当且仅当2t ＝2t ，t ＝1，即x ＝2时，等号成立．故f (x )在(1，＋∞)上的最大值为37.11．已知a >1，b >2，a ＋b ＝5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．答案92解析因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，又a ＋b ＝5，所以(a －1)＋(b －2)＝2，即12[(a －1)＋(b －2)]＝1，所以1a －1＋4b －2＝12[(a －1)＋(b －2)]·＝121＋b －2a －1＋4(a －1)b －2＋4≥125＋2b －2a －1·4(a －1)b －2＝12×(5＋4)＝92，当且仅当b－2a－1＝4(a－1)b－2，即a＝53，b＝103时取等号，所以1a－1＋4b－2的最小值为92.12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．答案4解析因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤(a＋5b)＋(2a＋b)22＝94(a＋2b)2，所以a＋2b≥4＋5b＝2a＋b，a＋5b)(2a＋b)＝36，即a＝83，b＝23时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4.四、解答题13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(2)2x＋y的最小值．解(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，令xy＝t(t>0)，则t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30－x2＋x >0,0<x<30,2x＋y＝2x＋30－x2＋x＝2(x＋2)＋322＋x－5≥22(x＋2)·322＋x－5＝11，当且仅当2(x＋2)＝322＋x，即x＝2时取等号，所以2x＋y的最小值为11.14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )x 元(a >5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a 的取值范围．解(1)设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左右两面墙的长度均为x 米(2≤x ≤6)，则屋子前面新建墙体长为12x米，则y ＝×2x ＋4007200＝7200≥900×2x ·16x＋7200＝14400，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．(2)由题意可知，7200>900a (1＋x )x对任意的x ∈[2,6]恒成立，即(x ＋4)2x >a (1＋x )x ，所以(x ＋4)2x ＋1>a ，即a <(x ＋4)2x ＋1min ，(x ＋4)2x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1＋6≥2(x ＋1)·9x ＋1＋6＝12，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，则(x ＋4)2x ＋1的最小值为12，即0<a <12，又a >5，所以a 的取值范围是(5,12)．15．已知x ，y 为正实数，则y x ＋16x2x ＋y 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．8答案C解析由题得y x ＋16x 2x ＋y ＝y x ＋162＋yx，设yx＝t (t >0)，则f (t )＝t ＋162＋t ＝t ＋2＋162＋t－2≥2(t ＋2)·162＋t－2＝8－2＝6，当且仅当t ＋2＝162＋t，即t ＝2，即y ＝2x 时取等号．所以y x ＋16x 2x ＋y的最小值为6.16．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．答案4解析∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴a (a －b )＞0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，(a －b )＝1a (a －b )，＝1ab，即a ＝2，b ＝22时，等号成立．∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.。

高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。