2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。

【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。

在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。

求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。

【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。

求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。

【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。

【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。

随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。

【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。

求不同的放法有多少种。

【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。

”- 乙说：“丙是说谎者。

”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。

”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。

【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。

如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。

【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。

2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。

1、若一个正多边形的每个内角都等于150度，则这个正多边形是（）边形。

A. 六B. 七C. 八D. 九解析：正多边形的内角和外角互补，即内角加外角等于180度。

已知内角为150度，则外角为180-150=30度。

正多边形的所有外角之和为360度，因此这个正多边形有360/30=12个边，但考虑到是内角为150度，实际应为正多边形的边数n满足(n-2)*180/n=150，解得n=12/3+2=6。

（答案：A）2、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标是（）。

A. (-3,-4)B. (3,-4)C. (-3,4)D. (4,-3)解析：在直角坐标系中，任意一点关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都会变成相反数。

因此，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标应为(-3,-4)。

（答案：A）3、若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）。

A. 1B. -1C. 0或1D. 0，1或-1解析：设这个数为x，则x2=x，移项得x2-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1。

因此，这个数是0或1。

（答案：C）4、下列四个数中，最大的是（）。

A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1解析：正数总是大于0，0总是大于负数。

在给出的四个数中，1/2是正数，-1/2和-1是负数，0是零。

因此，1/2是最大的。

（答案：A）5、若a，b，c为三角形的三边，且a=3，b=4，则c的取值范围是（）。

A. 1<c<7B. 3<c<4C. 4<c<7D. 无法确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

因此，a+b>c，a-b<c，即3+4>c，4-3<c，所以1<c<7。

（答案：A）6、下列哪个选项中的两个数互为相反数（）。

A. 2和-3B. -2和-2C. 3和-3D. 2和1/2解析：相反数的定义是，如果两个数的和等于零，那么这两个数互为相反数。

2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

海南省2013初中数学竞赛初赛试题参考答案答案提示：4、由三角形外角大于任何一个不相邻的内角与∠ACB 小于180°可知90°＜6x ＜180°，由此可得 15°＜x ＜30°，故选择B ．5、a 是质数，b 是奇数，且20132=+b a ，所以a 、b 必是一奇一偶，所以可求得a =2，b=2009，所以a ＋b ＋2=2013．6、由数列3、7、12、18、25……可判断存在的规律为：第①个数为3，第②个数为3+4，第③个数为3+4+5，第④个数为3+4+5+6，第⑤个数为3+4+5+6+7……如此可断定第⑩个数为3+4+5+……+12=75,故选择C ．7、设两码头之间的航程为S ，船在静水中的速度为a ，水流的速度为b ，则船顺水所需的时间为ba S+船逆水所需的时间为b a S -，则船往返一次所需的时间为b a S ++b a S -=222b a aS -由此可判断船在静水中的速度不变与水流的速度总小于船在静水中的速度的条件下，水流的速度b 越大，a 2－b 2越小，船往返一次所需的时间为222b a aS-就越大，故选择A ．8、由矩形AOBC 的面积为8，可求矩形PEOF的面积为2， 又点P 在第一象限，所以K=2， 故选择B ．9、如图，分别以大的正方形中间”十”字所在的直线为对称轴可画出2、3两图，分别以正方形对角线所在直线为对称轴可画出4、5两图，再加上第1幅图，总共有5个符合条件的三角形，故选择A ．10、若点M 在圆上，点M 与圆心A 的距离等于圆的半径2，容易判断点（2，0）是圆A 与X 轴正半轴的交点、点（0，-2）是圆A 与y 轴负半轴的交点，另外，可以通过构造直角三角形判断点(2，－2)与圆心A 的距离等于2，也可以用两点公式求出点(2，－2)与圆心A 的距离等于2，因此A 、B 、C 三个选项中的点均在圆上，而点(1，－2)与圆心A 的距离等于1，小于圆A 的半径，点(1，－2)不在圆上，故选择D ．二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、（3x －2y ）212、5- 13、2 14、3 15、2＜x ＜716、13.5 17、1或7 18、5 答案提示：12、55255252)52(55252552-=-=---=---13、由128421=⋅+x x 得 721222=⋅+x x 所以有 72)1(=++x x 所以 x 的值为2．因为关于x 的方程x 2－4x ＋a =0的两个实数根为x 1、x 2，由根与系数的关系得x 1+x 2=4，所以⎩⎨⎧=+=-4032121x x x x ，解得⎩⎨⎧==3121x x ，所以a =3． 15、构造右图，延长中线AD 到A ’，使AD=A ’D ， 可证△ABD ≌△A ’CD ，设AD=x ，A A ’=2 x ，由三角形三边不等关系可得 9-5＜2x ＜9+5，从而有2＜x ＜7．16、设直线AB 的解释式为y =3x+b ， 由题意可知直线AB 过点（-3、0），故b=9，所以直线AB 与y 轴的交点为（0，9），则直线AB 与坐标轴所围成的三角形的面积为3×9÷2=13.5平方单位．17、如图7，把线段AM 绕点A 画弧，可见N 、C 两点的距离存在两种情况：①点N 在边BC 上，②点N 在边CB 的延长线上；可以证明△ADM ≌△ABN ≌△ABN ’，所以有BN=BN ’=DM=3,所以N 、C 两点的距离是：1或7．18、提示：可证AE=DE ，BE=DE ，由此得到DE 的长是5．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、解：（1）设种植园应向海口供应的黄帝蕉有x 千克,则向海口供应的香牙蕉有2x 千克,根据题意列方程得：2x +x =15000，解得：x =5000，则2x =10000所以种植园供应文昌市的香牙蕉应为12000-10000=2000千克，植园供应文昌市的黄帝蕉应为5000-2000=3000千克．（2）设应安排m 千克香牙蕉在海口市销售，则在海口市销售的黄帝蕉为（15000-m ）千克；在文昌市销售的香牙蕉与黄帝蕉分别为（12000-m ）千克、（m-7000）千克，则这批香蕉的销售收入y 与m 的函数关系式为：y=4.8m+5（15000-m ）+3.6（12000-m ）+4.2（m-7000） 即y=0.4m+88800 (7000≤m ≤12000)从函数关系式看m 的值越大，销售收入y 就越大，即香牙蕉应尽可能多地安排在海口市销售，所以若要使销售收入最大，需安排12000千克香牙蕉与3000千克黄帝蕉在海口市卖，安排5000千克黄帝蕉图7ACBDN N ’M ACBDA ’在文昌市卖，最大销售收入为y=0.4×12000+88800=93600(元) ． 20、解：（1）设直线OC 的解析式为y=k x ，∵直线OC 过点C （1、1），∴k=1, ∴直线OC 的解析式为y=x ∵直线MN 与OC 平行，∴可设直线MN 的解析式为y=x+b ， ∵直线y=x+b 过点B （1，0），∴b=-1,∴直线MN 的函数解析式为y=x-1(此题也可以通过求点B 、D 的坐标，再利用待定系数法求直线MN 的解析式) （2）当点P 在x 轴的上方时 ∵四边形AOBC 是正方形∴OB=BC ，∠BCD=∠ACB=90°，∠BCO=45° 又MN 与OC 平行∴∠CBD= ∠BCO=∠BDC= 45°，∴BC=OB=CD 由AC ∥OB 知AD ∥OB ∴∠OBP = ∠CDQ∵CQ ∥OP ∴∠OPB = ∠CQD∴△OBP ≌△CDQ同理可知，若点P 运动到x 轴的下方，△OBP 与△CDQ 依然全等 （3）①设点P 的横坐标为（a ，b ）因为点P 在直线y=x -1上，则点P 的坐标可表示为（a ，a -1） 若四边形OPQC 为菱形，则有OP=OC=2作PF ⊥x 轴于点F ，在Rt △OPF 中有 OF 2+PF 2=OP 2即2)1(22=-+a a解得：2311+=a ，2312-=a 则2131-=b ，2132+-=b 即当四边形OPQC 为菱形时，点P 的坐标为（231+，213-）或（231-，213+-）②由①知点P 存在两种情况使四边形OPQC 为菱形，即点P 在第一象限与第三象限 ⅰ）当点P 在第一象限时（如点P 1），方法一(如图9A)：过点C 作CH ⊥MN 于点H ， 则△C HQ 是直角三角形，由（2）的证明可知△BCD 是等腰直角三角形，且 BC=OB=CD=1 ∴CH=22,若四边形OPQC 为菱形，则有CQ=OC=2，∴CH=21OC ∴∠CQH=30° ∴∠P 1OC= 30° 方法二（如图9B ）：连接AB 交OC 于点G ，过点P 1作P 1H ⊥OC 于点H 则△OP 1H 是直角三角形，在正方形AOBC 中有AB ⊥OC ，又MN ∥OC ，∴∠BGH= ∠P 1HG=∠GB P 1= 90° ∴四边形P 1BGH 是矩形， 又四边形OPQC 为菱形∴P 1H=BG=21AB=21OC =21O P 1∴∠P 1OC= 30°ⅱ）当点P 在第三象限时(如点P 2)，令x =0，则y=x -1=-1，即直线MN 与y 轴的交点E 的坐标为（0，-1） 则OE=OB ，则∠OEB=∠OBE= 45°则∠OEP 2=∠OBP 1= 135°又四边形OPQC 为菱形∴O P 2=O P 1 =OC ∴∠O P 2E=∠O P 1B ∴△O P 2E ≌△O P 1B (AAS) ∴∠E O P 2=∠B O P 1∵∠B O P 1=∠B O C-∠P 1 OC=45°-30°=15° ∴∠E O P 2=15°，∴∠P 2OC=150°综合以上论述可知，当四边形OPQC 为菱形时，∠POC 的度数为30°或150°。

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题：（每题7分，共35分）1.【】2222222(234)(23)0.1()0().21.().2a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca A a b c ++=++-++=++=++=-++++=-++由已知可得，因此，，则：故，选2.】2222222222222222()(2)0()(2)0()(2)0()(2)0.A c x b ac x aB c x b ac x aC c x b ac x aD c x b ac x a +-+=--+=+--=---=；；；12121212222121222222222121212222222122222000.11()22111120.(2)0.().x x x b ca x x x x x x c a ax x x x b ac a x x x x c x x cb ac a x x x x c cc x b ac x a B ≠+=-=≠≠+--+==⋅=--+=--+=由于关于的二次方程有两个非零实根、，则：，且，；且，从而又，因此，以、为实根的一元二次方程为：即，故，选3.Rt ABC O AB CD AB AB D DE OC ∆⊥⊥如图，在中，为斜边中点，交于点，交.OC E ADDB CD OD OE DE AC于点若、和的长度为有理数，则：线段、、和【 】的长度中，不一定为有理数的是()()()().A ODB OEC DED AC ；；；通护关于管路高中资料试卷连接管口处理高决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。

线缆敷设原对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关以正常工作；对于继电保护进行整核对定过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。

2013年全国初中数学联赛试题及详解2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1?计算 4,3 2 ：2 41 24 2( )（A ） .2 1（ B ）1（ C ）2（ D ）2【答案】（B ）【解析】原式=42+1）2 3 ,（4 2 3）2 4（、.2 1）（4.2 3） 1，故选（B ）一 - m 2 m 22?满足等式 2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ） 3（ B ）4（ C ）5（ D ）6【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：(1) 若 2m 1,即m1时，满足已知等式；21,即m 3时， m 2 m 2(2) 若 m2 m( 1）41满足已知等式；2 m 0一口 1(3) 若 2m1,即m1且m 3时，由已知，得2解得，mm m 2m 2 m 2故j 足等2 m 1的所'实数m 的和1 3（1）=3，故选（A ）.24?不定方程 3x 7xy 2x 5y 17CAB 15o ， ABC 的平分线交圆O 于点D ，若CD3，则 AB =() (A ) 2 (B ) 6 (C ) 2.2 (D ) 3 【答案】（A ）【解析】连接 OC ，过点0作ON CD 于点N ，贝V 3?已知AB 是圆O 的直径, C 为圆O 上一点, CN DN OA ,从而 OCA CAB 15o ,由AB 是圆O 的直径，ACB 90°,因 CD 平分 ACB ,故 ACD45°, OCN ACD OCA 30°,在 Rt ONC 中， cosOCNCN OC2OC 2,故选（A ）0的全部正整数解（x, y）的组数为（(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4(A) 33 【答案】(B ) 34 (B )因1既不是质数, (C ) 2013( D ) 2014设不超过n 的正整数中, n13 57911U 152 34 49G 6 b.(1 __Ii w2468【答案】(B )3x 2x 17【解析】由3x 2 7xy 2x 5y 170,得y —— -------- ，因x, y 为正整数，7x 5故 x 1,y 1,从而 7x 5 0,于是 3x 2 2x 17 7x 5 , 3x 2 5x 22 0 ,即卩(x 2)(3x 11) 0,由 x 1，知 3x 11 0,故x 2 0, x 2，故 x 1 或 x 2 当x 1时，y 8 ；当x 2时，y 1.故原不定方程的全部正整数解 (x, y)有两组：(1,8)，(2,1),故选(B ).5.矩形ABCD 的边长AD 3, AB 2 , E 为AB 的中点，F 在线段BC 1：2 , AF 分别与DE , DB 交于点M , N ,则MN =(―、3、、5 5 .59、、511,5(A ) (B )(C )( D )—714 28 28【答案】(C )BF 1【解析】因，故FC 2BF BF 11FN BF 1,BF - AD 1,因 BF // AD ，故 BNF s DNA ，故，故DA BC 33AN DA 31 FN -AN 1 3AF -AF . 延长DE,CB 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知3 34 4ADE 也 BGE ,故 BG AD 3 , FG BF BG1 3 4 ,因 FG // AD , 故AM AD 3 亠 33AMD s FMG ，故，故 AM FM AF ，于是FM FG 4 47上，BF : FC )考虑n 为奇数的情况)：质数的个数为 a n ,合数的个数为b n ,当n 15时，列表如下(只也不是合数，故“好数”一定是奇MN AF AM FN AF 3AF 1AF —AF 9.AB2 BF29.57 4 28 28 28 故选(C).6?设n为正整数，若不超过那么，所有“好数”之和为( n的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称 )n为“好数”由上表可知，1,9,11,13都是“好数”因05印5 2，当n 16时，在n 15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有b n a n 2,故当n 16时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为 1 9 11 13 34，故选(B ).二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1.已知实数x,y,z 满足x y 4, z 1 xy 2y 9,则x 2y 3z _________________ .【答案】 4【解析】由x y 4,得x 4 y ，代入z 1 xy 2y 9，得 z 12(4 y)y 2y 9 y 6y 92 2(y 3)0,故(y 3)20，又(y 3)20,故(y 3)20,故 y 3,z 1,x 1，于是 x 2y 3z 42?将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3(n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= _____ .【答案】8、 2【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为6(n 2)个，任何面都不是红色的小正方体的总数为(n 2)3个，依题意有6(n2)23.在 ABC 中， A 60o , C 75o , AB 10， D,E,F 分别在 AB, BC,CA 上，则DEF 的周长最小值为 _______ .【答案】5.6【解析】分别作点 E 关于AB, AC 的对称的P,Q . 则 DE PD,EF FQ .连接 AE, AP, AQ, DP,FQ,PQ , 则PAQ 120°,且 AP AE AQ ,从而 APQ 30°，AH AB sinB 10 sin 45° 5、、2，于是 DEF 的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ 、、3AP 、3AE 3AH 5、6(n 2)3，解得 n 8( n 2舍去).APcos30°， PQ-3AP ，过点A 作AH BC 于点H ,则当且仅当点 E 与点H 重合，且P,D,F,Q 四点共线时取得等号，即DEF 的周长1 min5 62 2 2 ,__,4?若实数 x, y,z 满足 x y z xy yz zx 8，用 A 表示 x y,y z,z x 的最大值，贝U A 的最大值为 ______ .4苗【答案】——3【解析】由已知，得(x y)2 (y z)2 (z x)2 16 ,不妨设A |x y ，贝UA 2 x y 2 (y x)2 (y z) (z x) 22 (y z)2 (z x)2 2 16 (x y)22(16 A 2)解得A 还.当且仅当x y也，y z z x时取等号.333故A 的最大值力.3第二试(A )、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 求a 2 b 2 c 2 d 2的值.又因为6.即 a 2 b 2 c 2 d 2由①,②可得mnmn a 2 b 2b 2c 2ac 2bd ad 2bc故 mn ad2bcac bd 0(1)2a 2 2b 2 3c 23d 2(2) ab a由（1）得一令—2a 2 3c 2 2b 23d 26(3)d cd(ad bc)2 6(4)注：符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，应满足2ad bc 6,解：设m a 2 b 2, n2 2c d ，贝U 2m 3n(2a 22 23c ) (2 b3d 2)12.因 2m 3n 22m 23n 24mn 24mn ,即12224mn ，故 mn因为OA OC ,所以 OCA OAC ,因为 COB所以 2 POB 2 OAC ,所以 POB OAC ,所以 OP // AC连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故 ACB OBP 90°_22解：因为t 是一元二次方程X x 1 0的一个根，显然t 是无理数，且t a dt,b Ct ,代入（2）得t .6于是 a —d,b 2 討a 于d ,bC ，代入（3）或（4）,得 c 2 d 22 , 故符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，如 a 1,c 迈,d3 又如a f,b T ,c 1,d 1也是一组，当然还有很多组二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B,C 9PB作圆O 的切线，交于点 P ，连接AC ，若OP 9AC ，求——的值.2 AC解：连接OC ，因为PC,PB 为圆O 的切线，所以 POC POB二就是3 组.OCA OAC ,又 POBOAC ，所以 BAC s POB ，所以AC OBAB OP9又OP AC , AB 2r ,OB r （ r 为圆O 的半径），代入，得OP23r, AC在Rt POB 中，由勾股定理，得PB 、.OP 2 OB 22為,所以空碧3门.AC 2r3、（本题满分25分）已知t 是一兀二次方程x 2 X 10的一个根，若正整数a,b, m使得等式 at m bt m31m 成立，求ab 的值.1 t .由 at m bt m31m ，得 abt 2m a b t2 2m 31m0，将 t1 t 代入，得ab 1 t ma b t m 31m 0，即卩 ma b因为a,b,m 是正整数，t 是无理数，所以m a bab 0a b 31 mab m 2于是可得31m m 231m 0ab因此a, b 是关于x 的一元二次方程 x 2m 31 x 31m m ab tab m 31m 0.20的两个正整数根，该方程第二试（B）立，求ab的值.解：因为t 、 2 1，所以t2 3 2.2.由at m bt m 17m，得abt2m a b t m217m 20 ,将t 3 2 2代入，得ab 3 2.2m a b ,2 1 m217m 0 ,整理得m a b 2ab 2 3ab m a b m217m 0a 于是可得ab b 2 17 m17m m2因为a,b,m是正整数，.2是无理数, 所以m(a3abb)m(a2abb)m217m 0因此a,b是关于x的一元二次方程x22(m 17)x 17m m20的两个正整数根,该方程的判别式24 m 17 4 17m4 17 m 17 2m 0.又因为a, b,m是正整数，所以a b 2 17 又因为判别式是一个完全平方数，验证可知,17m 0,从而可得0 m -2m 8符合要求.只有把m 8代入，得ab 17m m272.二、（本题满分25分）在ABC的外心和内心，且满足（1）OI // BC;ABC 中,AB ACAB2OIAC，,求证:0、I分别是(2) S AOC S AOB2S AOI证明：（1）过点O作OM BC于M ，过点I作IN的判别式 2 2m 31 4 31m m 31 m 31 5m 0.又因为a,b是正整数，所以a b31 m 0，从而可得又因为判别式是一个完全平方数, 验证可知，只有m c 310 m -5 6符合要求.把m 6代入，得ab31m m2150.、（本题满分20分）已知t ,2 1，若正整数a,b,m，使at m bt m 17m 成则OM //IN,设BC a,AC b, AB c,由0、I分别是ABC的外心和内心，得1 1 1 CM -a,CN -（a b c ），所以 MN CM CN - （c b ） 01 ,又MN 恰好是两条平行线 0M ,IN 之间的垂线段，所以01也是两条平行线 OM ,IN 之间的垂线段，所以01 // MN ，所以01 // BC . 半径），则 S A0C SAOB S AOI S COI S AIC 2S A0I S BOI S COI S AIC S AIB 2S AOI 2S A0I r OI +(b c) 2S AOI r ^(c 22 （2）由（1 ）知0MNI 是矩形，连接BI ,CI ，设0M b 2 2 三、（本题满分25分）若正数a,b,c 满足一- S AIB S A OI S BOI 1 OI r 1 OI r 1 AC r 1 -AB r 2 2 22 b) 1 (b c) 2S AOI -2 2 2 2 . 2 22 .2 2 2 a c a b a b c3 2ca 2ab 3 IN r （即为 ABC 的内切圆的值.求代数式 b 2 c 2a 2 c 2 a 2b 2 a 2 2bc 2cab 2c 22ab解：由于a,b,c 具有轮换对称性，不妨设0 a b c.(1) b ，则c 0, c bb 2c 2 2bc 2bc 1,$2ca c a $ b 22ca1,2 . 2 2 a b c 2ab b $ c 2 这与已知条件矛盾 (2)若 c b c 2 2bc 2 2b c 2ab.2 2故3-2bc2ab1,故b 2c 22bcc 2 a 2 b 2 2caa 2b 2c 2 2ab3,b,0从而，得2bc 1,02a 2cab 2 b 2 2ca1,b $c 2 2ab1,02 2 2a b c 2ab2ab1,2 2c a 2cab 222 . 2 2a b c2ab这与已知条件矛盾.综合（1）（ 2）可知，一定有cab. .2 2 2.2 2 2 于是可得bc ab —(a b) abc2b(a b)2 2 2 2 2 2 同理可得E —a ―L 1, ―b —L 2ca 1 2ab,2 2 2 2 2,2 2,2 2.,b c a cababc*故1.2bc2ca2ab2b 2 2b 2 ab i, 2ab。

全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ A ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．12253．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ B ）A B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ）A ．12B ．25C ．23D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ D ）A ．12 B ．3 C ．1(32- D ．1 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ A ）A ．4-B ．2C ．11)2D 1 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b ++=+-+-+-，则abc =__0__． 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠=48︒．4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = 36 ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分 若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以 2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠. ……………………5分又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， ……………………15分 所以ED CD AB DF AF AF==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB ∠=∠. ……………………25分 三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++FB＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① ……………………10分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+；如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+；由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）同（A ）卷第一题.二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线. ……………………5分又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =. ……………………10分延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.……………………15分又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =. ……………………20分因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+7310=+=，即210AH =，所以5AH =. ……………………25分N三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？ 解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ；取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质P ；…………………5分 若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P . ……………………10分（2）记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则 33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+-3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++ 2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ① ……………………15分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+；如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+；由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则33|()x y z ++，从而3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P .又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数共有224×2＝448个. ……………………25分。